2022-2023学年四川省绵阳南山中学高三上学期11月月考文科数学试卷带讲解

【小问1详解】
设 ， 代入椭圆方程得： ①-②得：
因为直线l的斜率为1，所以 ；因为M（ ，－ ）是线段AB的中点，所以 ，故
【小问2详解】
设直线l的方程为 ，联立方程
化简得方程：
将 代入方程得:
因为直线l与椭圆存在两个交点，故 ，
根据韦达定理: ，
设 ， ，则 ，
根据题意可知
因为 ，所以化简原式可得
【详解】由题意可得 ，
解得 或0.
故选：A
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 ＝ ，则 等于（）
A.1B.－1C.2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.
【详解】 ＝ ＝ ＝1.
故选：A.
5.已知 与 之间的线性回归方程为 ，其样本点的中心为 ，样本数据中 的取值依次为2.5， ，3.4，4.2，5.4，则 （）
（1）若直线l的斜率为1，M（ ，－ ）为线段AB的中点，求 的值；
（2）若 ，点Q（16，0），当l变化时，直线AQ，BQ的斜率总是互为相反数，求C的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）假设A，B两点坐标代入椭圆方程，构造出 可利用中点坐标公式，构造出 可利用斜率公式，即可求出答案.
（2）设直线l的方程，根据题意写出AQ，BQ的斜率，列出式子写出关系式；，再联立方程写出韦达定理化简关系式即可求出C的方程.
（2）首先根据已知求出 ，再利用裂项求和即可得到 ，根据数列的函数性质证明.
【小问1详解】
令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
设数列 的公比为 ，
则 ，所以 ；
【小问2详解】
当 时， ①
又 ，②②–① ，
因为 ，所单调递增，且 ， .
20.已知直线l过点P（1，0），与椭圆C： 交于A，B两点，且直线l不与椭圆C的对称轴垂直．
14.已知向量 ， 满足 ，其中 是单位向量，则 在 方向上的投影______．
【答案】
【解析】
【分析】
对式子 两边平方化简后得 ，然后由平面向量的投影公式计算即可得解.
【详解】 是单位向量，∴ ，
∵ ，∴ ，
化简得 ，即 ，
∴ 在 方向上的投影是 ．
故答案为： .
【点睛】易错点睛：本题主要考查向量数量积的运算性质，平面向量的投影公式，解决向量的投影问题，应注意区分 在 方向上的投影，还是 在 方向上的投影，属于常考题.
【小问1详解】
根据表中数据，万科物业共有500人次评价，获得好评有480人次，
设万科物业获得好评事件为 ，则 ；
绿地物业共有500人次评价，获得好评有360人次，
设绿地物业获得好评事件为 ，则 .
故：万科物业在上海获得好评的概率为 ；绿地物业在上海获得好评的概率为 .
【小问2详解】
列联表
获得好评
未获得好评
【详解】由频率分布直方图知中位数在 上，设其为 ，则 ，
解得 ，A错；
要全省 合格考通过率达到 ，设合格分数线为 ，则 ， ，B正确；
由频率分布直方图优秀的频率为 ，因此人数为 ，C正确；
由频率分布直方图得平均分为 ，考试数学成绩的平均分约为70,D正确．
故选：A.
9.已知函数 的最小正周期为 ，且 时，函数 取最小值，若函数 在 上单调递减，则 的最大值是（）
15.已知函数 ，函数 在 处是连续的，若 ，则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】构造 ，利用导数证明 ，再证明 在 上单调递增，转化为解不等式 即得解.
【详解】构造 ，
∴ ，
当 时， ，函数 单调递减，当 ， ，函数 单调递增.
∴ 成立，
当 时，
，
故 在 单调递增；
当 时， 单调递增，
故 ．
故选：B
7.已知 ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 可知， 为偶函数，则 ，易知 在 上为增函数，由 ，则可选出答案.
【详解】因为 ，所以 为偶函数，
所以 ．
因为在 上 且单调递增， 且单调递增，
所以 在 上为增函数，且 ，所以 ，
故选：C．
8.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）
A.2B.2.8C.3D.3.2
【答案】C
【解析】
【分析】根据线性回归方程过样本中心点求出 ，再根据平均数的算法可求m.
【详解】因为线性回归方程过样本中心点，所以 ，
所以 .
故选：C.6 已知 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，则 ，然后利用诱导公式求解即可.
【详解】设 ，则 ，
若选③，首先根据 的面积求出 与 的长度，进而得到 的长度，然后在 中使用余弦定理即可求出中线 的长度；
【小问1详解】
依题意 ， ，由正弦定理得 ， ，由于 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）知， ，故不能选①.
如图所示，设 为 的中点，则 为 边上的中线.
若选②，由（1）知 ，
设 ，由 ，得 ，则 ，
三､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（一）必考题：共60分.
17.随机调查了上海的两家物业公司：万科物业和绿地物业，为了深人了解这两家物业公司在市场上的声誉情况，随机调查了万科物业和绿地物业在上海的多个小区居民，得到下面列联表：
获得好评
未获得好评
万科物业
480
即 ，得 ，则
故椭圆方程为：
21.已知函数 ．
（1）当 时，求过点 且和曲线 相切的直线方程；
（2）若对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1） ；
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由周期求得 ，再由最小值求得 函数解析式，然后由单调性可得 的范围，从而得最大值．
【详解】由题意 ， ， ，又 ，∴ ，
， 时， ，
又 在 上单调递减，所以 ， ，即 ， 的最大值是 ．
故选：D．
10.若圆 上有且仅有两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范围为（）
12.已知函数 ，若 有极值，且 与 （ 为 的导函数）的所有极值之和不小于 ，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 有 个不等实根，可得 ，可得 的取值范围，设函数 的极值点为 ， ，由根与系数的关系可得 ，则 与 的所有极值之和 ，由单调性可得 的范围，即可求解.
20
绿地物业
360
140
（1）根据上表，分别估计这两家物业公司在上海获得好评的概率；
（2）能否有 的把握认为这两家物业公司是否获得好评与物业公司有关？
附： .
【答案】（1） ，
（2）有 的把握【解析】
【分析】（1）根据表格数据直接计算即可.
（2）利用公式计算随机变量 的观测值，利用临界值表判断这两家物业公司是否获得好评与物业公司有关的可靠程度.
第II卷（非选择题，共90分）
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.如图的矩形，长为5 m，宽为2 m，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为____ ；
【答案】4.6
【解析】【详解】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 ,矩形的面积为10，设阴影部分的面积为
【详解】易知 在抛物线上， 的斜率都存在且不为0，
设 的斜率为 ，直线 方程为 ，
由 得 ， 是方程的一解，另一解为 （ 不重合，因此 ），
抛物线的焦点为 ，
，（∵ ），同理 ，
，
∴ 时， 取得最小值11，此时 满足题意．
故答案为：11.
【点睛】方法点睛：直线与抛物线相交弦长问题，弦所在直线为 ，可设 ， ，直线方程与抛物线方程联立方程组后消元，应用韦达定理得 ,然后由弦长公式 计算，本题中由于弦 的一个端点 已知，即方程的一个解已知，因此可由韦达定理求得另一解，从而由两点间距离公式直接计算．
万科物业
480
20
500
绿地物业
360
140
500
合计
840
160
1000
，
根据临界值表可知，有 的把握认为这两家物业公司是否获得好评与物业公司有关.
18.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， .
（1）求 ；
（2）在下面三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求 边上的中线的长度.
【详解】由题意得 ，因为 有极值，所以 有 个不等实根，
即 ，即 ，
因为 ，解得 ．
令 ，
由 得 ，
设 的极值点为 ， ，则 ， 为方程 的根，
则 ， ，
因为
，
所以 ，
令 ，易得 在 上单调递减，且 ，
所以 ．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是判断出 有 个不等实根 ， ，计算
的值，对 求导可得 的极值，利用函数的单调性解不等式.
3.回答第I卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析： , ,所以 ，故选A.