江苏省启东中学2022届高三上学期第一次月考(10月)数学(文)试题 Word版含答案

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2021-2022学年高三(上)月考数学试卷(文科)(10月份)

2021-2022学年高三（上）月考数学试卷（文科）（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{（x，y）|y＝1}，B＝{（x，y）|x2+y2≤2}，则集合A∩B中含有的元素有（）A．零个B．一个C．两个D．无数个2．若复数z＝（i为虚数单位），则在复平面对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数，若实数x0是方程f（x）＝0的解，且0＜x1＜x0，则f （x1）的值（）A．等于0B．不大于0C．恒为正值D．恒为负值4．下列命题中，是真命题的为（）A．∀x∈R，ln（x﹣1）2≥0B．∀x∈R，（sin x﹣1）2＜4C．∃x0∈R，≤1D．∃x0∈R，sin x0＝﹣5．已知x，y＞0，且，则3x+2y的最小值是（）A．B．C．20D．256．已知定义在R上的奇函数f（x）满足对于任意的x∈R都有f（x）＝f（2﹣x）．若f（﹣1）＝1，则f（2021）＝（）A．1B．﹣1C．0D．不能确定7．某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）A．B．C．D．8．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C＝W log2（1+），其中S是信道内信号的平均功率．N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比．当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计，若不改变带宽W．而将信噪比从1000提升4000．则C 大约增加了（）（附：lg2＝0.3010）A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%9．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km /h ）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是（）A ．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B ．这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为77.5C ．这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为77.5D ．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km /h 的概率为0.6510．已知f （x ）＝x +，g （x ）＝x 2﹣ax +1，若対∀x 1∈[1，3]及∀x 2∈[1，3]，都有f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．[﹣2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2]D ．（﹣∞，2]11．函数f （x ）＝sin （ωx +）（ω＞0）在（0，π）内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围为（） A ．（，]B ．[，+∞）C ．（0，]D ．（，]12．设a ＝sin2，则（） A ．a 2＜2a ＜12log aB ．12log a ＜2a ＜a 2C ．a 2＜12log a ＜2aD ．12log a ＜a 2＜2a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝ln （x 2﹣2x ﹣3）的单调递减区间为． 14．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝21﹣7a 7，则S 10＝．15．已知函数f （x ）＝lnx +a （2﹣x ）在点（1，f （1））处的切线与圆（x ﹣3）2+y 2＝1相切，则a＝．16．已知函数f（x）＝alnx﹣3x，当x∈（0，+∞）时，f（x+1）≥f（e x）恒成立，则实数a 的最大值为．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

南通市启东中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题含解析

江苏省启东中学2022-2023学年度高三第一学期第一次月考一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.）1.已知集合{}1,2A =，{}220B x x mx =+-=，若{}1A B ⋂=，则B =（）A.{}1,3 B.{}1 C.{}1,2- D.{}1,1,2-2.若1i z =-+，设zzω=，则ω=（）A.12B.1C.32D.23.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100ektθθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C o 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（）A.ln 220B.ln 320 C.ln 210-D.ln 310-4.已知平面α和平面β不重合，直线m 和n 不重合，则//αβ的一个充分条件是（）.A .,m n αβ⊂⊂且//m nB.,m n αβ⊂⊂且//,//m n βαC.//,//m n αβ且//m nD.,m n αβ⊥⊥且//m n5.设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（）A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数6.若()1tan022θθπ=<<，则sin 2θ的值为（）A.2425B.1516 C.1516-D.2425-7.在ABC 中,120BAC ∠=,AD 为BAC ∠的平分线,2AB AC =,则ABAD=（）A.2B.C.3D.8.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b c a<< D.c a b<<二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A.2ω= B.6π=ϕC.对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭D.()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π10.已知,D E 是 ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的值可以是（）A.19B.29C.14D.1311.公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足11a >,202120221a a ⋅>，20212022101a a -<-.则下列结论正确的是（）A.01q <<B.202120231a a ⋅>C.n S 的最大值为2023S D.n T 的最大值为2021T 12.已知定义域为R 的函数()f x 的图象连续不断，且R x ∀∈，()()24f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()4f x x '<，若()()221682f m f m m m +--≤++，则实数m 的取值可以为（）A.－1B.13-C.12D.1三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{}n a 满足()121n n a a n n N +++=+∈，1=1a ，则数列{}n a 的通项公式为___________.14.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，7BC =AO BC ⋅=________．15.三棱锥P ABC -中，2PA AB PB AC ====，22CP =D 是侧棱PB 的中点，且7CD =则三棱锥P ABC -的外接球O 的表面积___________.16.不等式220x x ax a ---<的解集中只存在两个整数，则正数a 的取值范围是___________.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()243xf x x a-=-，a R ∈.（1）若()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为5-，求a 的值；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 在[]22-,上的最大值.18.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S 为BC .19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ,122AA AB ==，点M 在1DD 上，且1B D ⊥平面ACM.（1）求1DMDD 的值；（2）求二面角D AC M --的正弦值.20.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有22(n n n pS a pa =+其中0p >，且p 为常数)，记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nH （1）求数列{}n a 的通项公式及n H （2）当=2p 时，将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前m 项和为m T ，若存在*N m ∈，使得对任意*n ∈N ，总有m n T H λ<+恒成立，求实数λ的取值范围21.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2，点A ，B ，C 分别为Γ的上，左，右顶点，且||4BC =.（1）求Γ的标准方程；（2）点D 为线段AB 上异于端点的动点，过点D 作与直线AC 平行的直线交Γ于点P ，Q ，求||||PD QD ⋅的最大值.22.已知函数()e xf x x x =-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：当0x >时，()ln 1f x x -≥．2022-2023学年度江苏省启东中学高三第一学期第一次月考一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}1,2A =，{}220B x x mx =+-=，若{}1A B ⋂=，则B =（）A.{}1,3 B.{}1 C.{}1,2- D.{}1,1,2-【答案】C 【解析】【分析】分析可知1B ∈，根据根与系数的关系求出m 的值，进而可求得集合B .【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1B ∈，把1x =代入220x mx +-=得1m =，所以{}{}2201,2B x x x =+-==-，故选：C.2.若1i z =-+，设zzω=，则ω=（）A.12B.1C.32D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数ω，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】()()()21i 1i i 1i 1i 1i z z ω----====-+-+--，所以1ω=.故选：B.3.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e kt θθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C o 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（）A.ln 220B.ln 320C.ln 210-D.ln 310-【答案】A 【解析】【分析】把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e kt θθθθ-=-+可求得实数k 的值.【详解】由题意，把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e kt θθθθ-=-+中得2080e 2060k -+=，可得201e 2k -=，所以，20ln 2k -=-，因此，ln 220k =.故选：A.4.已知平面α和平面β不重合，直线m 和n 不重合，则//αβ的一个充分条件是（）.A.,m n αβ⊂⊂且//m n B.,m n αβ⊂⊂且//,//m n βαC.//,//m n αβ且//m nD.,m n αβ⊥⊥且//m n【答案】D 【解析】【分析】根据空间中直线、平面的平行关系进行逐项判断即可.【详解】A ．若,m n αβ⊂⊂且//m n ，此时α和β可以相交或平行，故错误；B ．若,m n αβ⊂⊂且//,//m n βα，此时α和β可以相交或平行，故错误；C ．若//,//m n αβ且//m n ，此时α和β可以相交或平行，故错误；D ．若,mn αβ⊥⊥且//m n ，则有m β⊥，两个不同平面和同一直线垂直，则两平面平行，所以//αβ，故正确；故选：D.5.设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（）A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数【答案】C 【解析】【分析】利用题中条件推导出()()4f x f x =+，()()f x f x -=-，即可得出结论.【详解】因为()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，所以()()()()()()()211112f x f x f x f x f x -=+-=--==-+，所以()()()24f x f x f x +=-+=-，故()()4f x f x =+，所以()f x 周期为4，因为()()()()()()()42222f x f x f x f x f x -=-=+-=---=-，所以()f x 是奇函数.故选：C.6.若()1tan022θθπ=<<，则sin 2θ的值为（）A.2425 B.1516 C.1516- D.2425-【答案】A 【解析】【分析】根据正切的倍角公式，求得tan θ，再利用正弦的倍角公式将sin 2θ转化为齐次式，结合同角三角函数关系即可求得结果.【详解】因为22tan42tan 31tan 2θθθ==-，又2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos tan 125θθθθθθθ===+.故选：A .7.在ABC中,120BAC∠= ,AD 为BAC∠的平分线,2AB AC=,则ABAD=（）A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用ABC ABD ACD S S S =+ ,得到AB和AD大小关系,即可得到结果.【详解】ABC ABD ACD S S S =+ ,且120BAC ∠= ,AD 为BAC ∠的平分线,∴1211sin sin sin 232323AB AC AB AD AC AD πππ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,即AB AC AB AD AC AD⋅=⋅+⋅,(*)2AB AC =,∴(*)式可化为:1322AB AD =,即3AB AD=.故选:C.8.已知2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b c a<< D.c a b<<【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的单调性可得出a 、c的大小关系，利用指数函数的单调性可得出b 、c 的大小关系，构造函数()ln xf x x=，利用函数()f x 在()0,e 上的单调性可得出a 、b 的大小关系，即可得出结论.【详解】因为2.1 2.12.2 2.1>， 2.2 2.12.1 2.1>，即a c >，b c >，构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>，故函数()f x 在()0,e 上为增函数，因为0 2.1 2.2e <<<，则()()2.1 2.2f f <，即ln 2.1ln 2.22.1 2.2<，可得2.2ln 2.1 2.1ln 2.2<，即2.2 2.1ln 2.1ln 2.2<，故 2.2 2.12.1 2.2<，因此c b a <<.故选：B.二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A.2ω= B.6π=ϕ C.对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭D.()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π【答案】AB 解析】【分析】利用图象求得函数)f x 的解析式，可判断AB 选项的正误；计算512f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.【详解】由题图可知函数()f x 的最小正周期为4113126T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则22πωπ==，所以，()()sin 2f x x ϕ=+，把,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，2πϕ< ，6πϕ∴=，则AB 选项均正确；()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当512x π=时，()0f x =，不满足对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，C 错误；[],x ππ∈- ，11132,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 共有4个零点，不妨设为a 、b 、c 、d ，且ab c d<<<，则222662ab πππ⎛⎫+++=⨯- ⎪⎝⎭，3222662c d πππ+++=⨯，两式相加，整理得422223ab c d π+++=，故()f x 的所有零点之和为23a b c d π+++=，D 错误，故选：AB.10.已知,D E 是 ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的值可以是（）A.19B.29C.14D.13【答案】BC 【解析】【分析】根据平面向量共线定理的推论，求得1x y +=以及,x y 的取值范围，将xy 转化为关于x 的二次函数，求其值域，即可结合选项进行选择.【详解】因为,D E 是BC 边的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+ ，可得1x y +=，12,,33x y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()2211124xy x x x x x ⎛⎫=-=-=--+⎪⎝⎭，当12x =时，xy 取最大值14，当13x =或23x =时，x 取最小值29.故选：BC .11.公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足11a >,202120221a a ⋅>，20212022101a a -<-.则下列结论正确的是（）A.01q << B.202120231a a ⋅>C.n S 的最大值为2023S D.n T 的最大值为2021T 【答案】AD 【解析】【分析】推导出0q >，20211a >，202201a <<，可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；由数列{}n a 为正项等比数列可判断C 选项的正误；由20211a >，202201a <<可判断D 选项的正误.【详解】若0q <，则22021202220210a a a q =<不合乎题意，所以，0q >，故数列{}n a 为正项等比数列，11a >Q ，202120221a a ⋅>，20212022101a a -<-，20211a ∴>，202201a <<，所以01q <<，故A 正确；22021202320221a a a ⋅=<，故B 错误；11a >Q ，01q <<，所以，数列{}n a 为各项为正的递减数列，所以，n S 无最大值，故C 错误；又20211a >，202201a <<，所以，2021T 是数列{}n T 中的最大项，故D 正确.故选：AD.12.已知定义域为R 的函数()f x 的图象连续不断，且R x ∀∈，()()24f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()4f x x '<，若()()221682f m f m m m +--≤++，则实数m 的取值可以为（）A.－1B.13-C.12D.1【答案】BCD 【解析】【分析】利用已知条件得到()()()2222f x x f x x ⎡⎤-=----⎣⎦，构造函数()()22g x f x x =-，利用已知条件得到函数()g x 为奇函数且函数()g x 在()0,∞+上单调递减，可得函数()g x 在R 上单调递减，所给的不等式转化为()()21g m g m +≤-，利用单调性求解即可.【详解】依题意可得：()()24f x f x x +-=，故()()()2222f x x f x x ⎡⎤-=----⎣⎦，令()()22g x f x x =-，则()()g x g x =--，所以函数()g x 为奇函数，()()4g x f x x ''=-，因为当()0,x ∈+∞时，()4f x x '<，即当()0,x ∈+∞时，()()40g x f x x ''=-<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，由()g x 为奇函数可知，()g x 在R 上单调递减，因为()()221682f m f m m m +--≤++，故()()()()22212212f m m f m m +-⋅+≤--⋅-，即()()21g m g m +≤-，故21m m +≥-，故13m ≥-，故实数m 的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.由选项可知：BCD 正确；故选：BCD.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{}n a 满足()121n n a a n n N +++=+∈，1=1a ，则数列{}n a 的通项公式为___________.【答案】=n a n 【解析】【分析】把n 变为1n -，得到()121121n n a a n n -+=-+=-，和原式相减得到112n n a a +--=，得到奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为2，即可得解.【详解】当2n ≥时，由题得()121121n n a a n n -+=-+=-，联立()1+1+=21+1=21+=2+1n n n n a a n n a a n ---⎧⎨⎩得，112n n a a +--=，所以奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为2，由1=1a 得当n 为奇数时，=n a n ，当=1n 时，由()121n n a a n n N +++=+∈得22a =，所以当n 为偶数时，=n a n ，从而=n a n .故答案为:=n a n .14.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC =AO BC ⋅=________．【答案】52【解析】【详解】因为BC AC AB=- AO BC ⋅= 0()00A AC AB A AC A AB⋅-=⋅-⋅,根据向量数量积的几何意义得：35003232122A AC A AB AE AF ⋅-⋅=-=⨯-⨯= ．15.三棱锥P ABC -中，2PA AB PB AC ====，CP =，点D 是侧棱PB 的中点，且CD =P ABC -的外接球O 的表面积___________.【答案】283π##283π【解析】【分析】推导出AC ⊥平面PAB ，利用正弦定理计算出PAB △的外接圆半径r ，可得出三棱锥P ABC -的外接球半径为R =，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】如下图所示：圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，母线长为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O 为圆柱12O O 的外接球球心，且有2R =.本题中，依题意，由2PA AC ==，CP =，得AP AC ⊥.连接AD ，由点D 是PB 的中点且2PA AB PB ===，则AD PB ⊥，且AD ==，又CD=2AC =，则222CD AC AD =+，可知AD AC ⊥，又AP AD A ⋂=，所以AC ⊥平面PAB .可将三棱锥CPAB -置于圆柱12O O 中，且PAB △的外接圆为圆2O ，圆2O 的半径为2sin 603AB r==，所以，三棱锥CPAB -的外接球的直径为23R ==，则3R =，故三棱锥P ABC -的外接球的表面积23428S R ππ==.故答案为：283π.16.不等式220x x ax a ---<的解集中只存在两个整数，则正数a 的取值范围是___________.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】画出22y x x=-与()1=+y a x 的图象，数形结合，找出临界状态从而得到a 的取值范围即可.【详解】220x x ax a ---<，则22x x ax a -<+，分别画出22y x x=-与()1=+y a x 的图象，因为只存在两个整数x ，使得不等式成立，故而从图象上看，只需22y x x=-上有两个横坐标为整数的点在()1y a x =+的下方.数形结合可知：当1x =时，22y x x=-过点()1,1A ，此处为临界状态.此时直线()1y a x =+的斜率12a =，故而要满足题意，只需12a ≤.满足不等式解集的整数为0x =或2x =.又a >，故a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎝⎦.故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()243xf x x a-=-，a R ∈.（1）若()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为5-，求a 的值；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 在[]22-,上的最大值.【答案】（1）0a=或75a =（2）32【解析】【分析】（1）由已知可得出()15f '=-，即可解得实数a 的值；（2）由已知可得()10f '-=，求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 在区间[]22-,上的单调性，即可求得函数()f x 在区间[]22-,上的最大值.【小问1详解】解：因为()243xf x x a-=-，则()()()()()2222223243383x a x x x x af x xa xa -----+'==--，因为()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为5-，所以()()235151a f a -'==--，整理得2570a a -=，解得0a =或75a =.【小问2详解】解：因为()f x 在1x =-处取得极值，即()()2311101a f a +'-==-，解得113a =-，所以()243113xf x x -=+，则()2223811113x x f x x --'=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，解得1113x =，21x =-，所以当()2,1x ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，()()max 312f x f =-=.18.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S为BC .【答案】（1）∠BEC ＝3π；（2）B C =．【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1cos 2BEC ∠=，故可求其大小.（2）设AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.【详解】（1）∵2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB∠=∠+∠2222222•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BCBC+-+-⋅⋅＝＋＝∴1cos 2BEC ∠=，而BEC ∠为三角形内角，故3BEC π∠=．（2）设AEB α∠＝，则23DECπα∠=-，其中203πα<<，∵DE ＝2AE ＝4，∴2cos cos AE BE αα==，422cos()cos()33CE DE ππαα=--=，∵△BCE的面积1sin 223cos cos()3S BE CE ππαα=⋅⋅=-22=2sin(2)16πα==--，∴由已知得2sin(21)6πα=--，∴sin 216πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为72666πππα-<-<，故262ππα-=，即3πα=，此时24cos BE α==，482cos()3CE πα==-，∴在△BCE 中，由余弦定理得：2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，∴B C =.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ,122AA AB ==，点M在1DD 上，且1B D ⊥平面ACM.（1）求1DM DD 的值；（2）求二面角D AC M --的正弦值.【答案】（1）14（2）3【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设()0,1,M a ，利用空间向量法可得出关于a 的等式，求出a 的值，即可得出结果；（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【小问1详解】解：因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为122AA AB ==，故可设()0,1,M a ，其中02a ≤≤，则()11,0,2B 、()0,1,0D 、()C ，所以()1,1,0AC = ，()0,1,AM a =，()11,1,2B D =-- ，设平面ACM 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00m AC m AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y y az +=⎧⎨+=⎩，取x a =，得(),,1m a a =-，因为1B D ⊥平面ACM，所以1//B D m，即1112a a -==--，解得12a =，所以12DM =，114DM DD =.【小问2详解】易知平面ACD 的一个法向量为()0,0,1n =，设二面角D AC M --的大小θ为，而11,,122m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅，则sin3θ=.20.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有22(n n n pS a pa =+其中0p >，且p 为常数)，记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n H （1）求数列{}n a 的通项公式及nH （2）当=2p 时，将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前m 项和为m T ，若存在*N m ∈，使得对任意*n ∈N ，总有m n T H λ<+恒成立，求实数λ的取值范围【答案】（1）n a np =，21n n H p n =⋅+（2）()0,+∞.【解析】【分析】（1）利用11,=1=,2n n n S n a S S n --≥⎧⎨⎩，求出10n n a a p --=>，得到数列{}n a 是等差数列，求出通项公式和n S ，利用裂项相消法求解n H ；（2）当=2p 时，2n a n =，可得1234111111112468a a a a ====，，，，只有111248，，成等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式可得n b ､.n T 再利用m T 及n H 的单调性即可.【小问1详解】当=1n 时，21112paa pa =+，10a > ，12p a p ∴=+，解得1a p =.当2n ≥时，由22n n n pS a pa =+，21112n n n pS a pa ---=+，两式相减得：22112nn n n n paa pa a pa --=+-+（），化为()()110n n n n a a a a p --+--=，*N n ∀∈ ，都有0n a >，10n n a a p -∴-=>，∴数列{}n a 是等差数列，1n a p n p np∴=+-=（），222222n n p np n n pS p ++∴==（），12111n S p n n ∴=-+（），1211121111112231n n H S S S p n n ⎡⎤∴=++⋯+=-+-+⋯+-⎢⎥+⎣⎦（）（2121.11np n p n =-=⋅++（）即21nn na np H p n ==⋅+，.【小问2详解】当=2p 时，2n a n =，1234111111112468a a a a ∴====，，，，只有111248，，成等比数列，∴数列{}n b 的首项112b =，公比12q =，1111222n nn b -∴=⋅=（）（.11112211212n n n T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==--（（）.112mm T =- （）是关于m 的单调递增数列，112m T ∴≤<.又2211nn nH n n =⋅=++因为()()11102121n n n n H H n n n n ++=-=>++++-，所以1n n H n =+的最小值为112H =，存在*N m ∈，使对任意*n ∈N ，总有m n T H λ<+恒成立，故只需()()min min m n T H λ<+11022λ∴>-=，故实数λ的取值范围是()0,+∞.21.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2，点A ，B ，C 分别为Γ的上，左，右顶点，且||4BC =.（1）求Γ的标准方程；（2）点D 为线段AB 上异于端点的动点，过点D 作与直线AC 平行的直线交Γ于点P ，Q ，求||||PD QD ⋅的最大值.【答案】（1）2214x y +=（2）54【解析】【分析】（1）由题可得2a =，根据离心率即可求出；（2）求出直线AB 的方程，设出直线l 的方程12y x λ=-+，与椭圆联立，得出11λ-<<，联立两直线表示出D 坐标，表示出||||PD QD ⋅即可求出最值.【小问1详解】由题意得：2||4aBC ==，解得2a =.又因为2c e a ==，所以c =2221b a c =-=.所求Γ的标准方程为2214x y +=.【小问2详解】可得(0,1),(2,0),(2,0)A B C -，则12AC k =-，直线AB 的方程为：220x y -+=，设直线l 的方程为12y x λ=-+.联立方程组221214y x x y λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得221442x x λ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭，整理得：222220x x λλ-+-=①由l 与线段AB 有公共点，得11λ-<<，联立方程组12220y x x y λ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩，解得D 的坐标为11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()1122,,,P x y Q x y ，由①知12212222x x x x λλ+=⎧⎨=-⎩②又12||(1),||(1)PD QD λλ=--=--所以()212125||||(1)(1)4PD QD x x x x λλ⋅=--++-③②代入③，得25||||1,(1,1)4PD QD λλ⋅=-∈-所以当0λ=时，||||PD QD ⋅有最大值54.22.已知函数()e x f x x x =-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：当0x >时，()ln 1f x x -≥．【答案】（Ⅰ）()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数()'f x ，由()'f x 的正负确定()f x 的单调区间；（Ⅱ）不等式变形为()ln e ln 1x x x x +-+≥，令ln t x x =+，又变为e 1t t -≥．引入新函数()e t u t t =-，由导数求得最小值可证明不等式成立．【详解】（Ⅰ）由题意得()()1e 1x f x x =+-'，设()()1e x g x x =+，则()()2e x g x x '=+，当1x ≤-时，()0g x ≤，当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，又因为()01g =，所以当0x <时，()1g x <，即()0f x '<，当0x >时，()1g x >，即()0f x '>因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增．（Ⅱ）要证()ln 1f x x -≥，即证e ln 1x x x x --≥，即证()ln e ln 1x x x x +-+≥，令ln t x x =+，易知R t ∈，待证不等式转化为e 1t t -≥．设()e t u t t =-，则()e 1t u t '=-，当0t<时，()0u t '<，当0t >时，()0u t '>，故()u t 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增．所以()()01u t u ≥=，原命题得证．。

最新江苏省2022-2021年高三(上)10月月考数学试卷(解析版)

高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=．2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）3．计算：=．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=．8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B=[0，1]，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．计算：=11．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=+3+（0.5）﹣2=4+3+4=11．故答案为：11．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的性质．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，∴f（4）=4=2，故答案为：2．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为（﹣1，3）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a ﹣1）x+1＞0”是真命题，可得△＜0，解出即可得出．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3．则实数a的取值范围为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程2x+x=4的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，由y=2x和y=x﹣4均为增函数，故f（x）=2x+x﹣4在R上为增函数，故f（x）=2x+x﹣4至多有一个零点，∵f（1）=2+1﹣4＜0f（2）=4+2﹣4＞0∴f（x）=2x+x﹣4在区间[1，2]有一个零点，即方程方程2x+x=4的解所在区间为[1，2]，故m=1，故答案为：18．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出最新x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=﹣e．故答案为：﹣e9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，则2+a2≥4+a，即a2﹣a﹣2≥0解得a≤﹣1，或a≥2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是（﹣1，2）．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据f（x）为奇函数且周期为3便可得到f（2）=﹣f（1），这便得到f （1）=﹣m2+m，根据f（1）＞﹣2即可得到﹣m2+m＞﹣2，解该不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）=m2﹣m；∴f（1）=﹣m2+m；∵f（1）＞﹣2；∴﹣m2+m＞﹣2；解得﹣1＜m＜2；∴m的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【解答】解：1+2x+4x•a＞0可化为a＞，令t=2﹣x，由x∈（﹣∞，1]，得t∈[，+∞），则a＞﹣t2﹣t，﹣t2﹣t=﹣在[，+∞）上递减，当t=时﹣t2﹣t取得最大值为﹣，所以a＞﹣．故答案为：（﹣，+∞）．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值；对数的运算性质．【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为最新a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．【考点】二次函数的性质．【分析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则最新y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．【解答】解：如图所示：，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且最新y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x 上，联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1），根据中点坐标公式得到=﹣1即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0）故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．【考点】其他不等式的解法．【分析】将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．【解答】解：∵A⊂≠[0，2]，方程两边平方得a2x2﹣2ax+1=x2，整理得（a2﹣1）x2﹣2ax+1=0，当a=1时，方程为|x﹣1|=x，解得x=，A={}，满足题意；当a=﹣1时，方程为|x+1|=x，解得x=﹣，A=∅，满足题意；当a2﹣1≠0时，方程等价于[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]=0，要使A⊂≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤≤2并且0≤≤2，解得a ≥且a≥，所以a≥；②当＞0并且＜0时，只要0≤≤2，解得﹣≤a＜1；所以A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是﹣≤a≤1或a≥；故答案为：a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），B=={x|}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=﹣1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．【解答】解：（1）当a=b=2时，，∵，f（1）=0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数f（x）不是奇函数．（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或经检验符合题意．（3）由（2）可知易判断f（x）为R上的减函数，证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，∴在定义域R上单调递减，且＞0，∴在R上单调递减．由，不等式，等价为f（x）＞f（1），由f（x）在R上的减函数可得x＜1．另解：由得，即，解得2x＜2，∴x＜1．即不等式的解集为（﹣∞，1）．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣f（x）增极大值减当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：0（0，）（，）x（﹣，0）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。

2021-2022年高三上学期10月月考试题数学(文) 含答案

2021年高三上学期10月月考试题数学（文）含答案一、选择题（单选，每题5分，共60分） 1、已知集合B A x xx B x x x A 则},02|{},034|{2≤-=>+-=等于（） A ． B ．C ．D ．2、已知是两个非零向量，给定命题，命题，使得，则是的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 3、已知，，，，则（） A ． B ． C ． D ． 4、已知向量，向量，且，则实数等于（）A 、B 、C 、D 、 4、在△ABC 中，AB=4，AC =6，，则 BC=( )（） A ． 4 B ． C ．D ． 165（）7．在△ABC 中，角所对的边分别为，已知＝，＝，，则C ＝（）A 、30°B 、45°C 、45°或135°D 、60° 8．已知，其中为常数.的图象关于直线对称，则在以下区间上为单调递减的是( ) A ． B ． C ． D ．9、在中，内角所对的边长分别是。

若，则的形状为（）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形 10、已知是边长为2的正三角形的边上的动点，则（）A ．有最大值为8B ．是定值6C ．有最小值为2D ．与点的位置有关AB-CD-11、函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大值为M ，最小值为N ，则（）A. B. C. D.12、定义在上的奇函数，当时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=),,1[,31),1,0[),1(log )(21x x x x x f 则关于的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的零点之和为（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，共20分）13、已知，则的值是= 14、若，且，则的最大值为．15、已知是内的一点，且，，若，，的面积分别为，则的最小值为． 16、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，E 在CD 延长线上，且DE=CD 。

江苏省启东中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷(含答案)

2022-2023学年度江苏省启东中学高三第一学期第一次月考一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={1,2}，B={x|x2+mx−2=0}，若A∩B={1}，则B=( )A. {1,3}B. {1}C. {1,−2}D. {−1,1,2}2.若z=−1+i，设ω=zz，则|ω|=( )A. 12B. 1 C. 32D. 23.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ=(θ1−θ0)e−kt+θ0，其中t为时间(单位：min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设在室内温度为20℃的情况下，一桶咖啡由100℃降低到60℃需要20min，则k的值为( )A. ln220B. ln320C. −ln210D. −ln3104.已知平面α和平面β不重合，直线m和n不重合，则α//β的一个充分条件是( )A. m⊂α，n⊂β且m//nB. m⊂α，n⊂β且m//β，n//αC. m⊥α，n⊥β且m//nD. m//α，n//β且m//n5.设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1+x)=f(1−x)，f(2+x)=−f(2−x)，则f(x)是( )A. 奇函数，又是周期函数B. 奇函数，但不是周期函数C. 偶函数，又是周期函数D. 偶函数，但不是周期函数6.若tanθ2=12(0<θ<π)，则sin2θ的值为( )A. 2425B. 1516C. −1516D. −24257.在△ABC中，∠BAC=120∘，AD为∠BAC的平分线，|AB|=2|AC|，则|AB||AD|=( )A. 2B. √3C. 3D. 2√38.已知a=2.22.1，b=2.12.2，c=2.12.1，则( )A. a<c<bB. c<b<aC. b<c<aD. c<a<b二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

江苏省启东中学2022届高三上学期第一次月考(10月)英语试题 Word版缺答案

江苏省启东中学2021-2022学年度第一学期第一次月考高三英语试卷第I卷选择题（共三部分，满分85分）第一部分：听力（共两节，满分20分）第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来问答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Who was ill yesterday?A.LilyB.Lily’s motherC.Lily’s grandfather2.What does the boy want to do during his holiday?A.Go surfingB.Go hikingC.Go shopping3.Where are the speakers most probably?A.In a bookstoreB.In a libraryC.In a post office4.How will the man travel around?A.By subwayB.By carC.By bus5.What does the woman mean?A.The man should get up early.B.The man shouldn’t drop the class.C.The class is not difficult.其次节听下面5段对活或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6.What’s the relationship between the two speakers?A.Husband and wifeB.Brother and sisterC.Mother and son7.What will the woman do in the afternoon?A.Visit her parentsB.Make a phone callC.Do some shopping听第7段材料，回答第8至10题. 8.When will the party be held?A.On FridayB.On SaturdayC.On Sunday9.Where will the speakers have lunch?A．At a club B.At a restaurant C.At a man’s house10.What will the woman get for her granddad?A. A hatB.Some CDsC.A suitcase听第8段材料，回答第11至13题。

江苏省启东中学高三数学上学期第一次月考试题文(含解析)

江苏省启东中学2014-2015学年度第一学期第一次月考高三数学（文）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题等；一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分)【题文】1．函数y ＝1log2x －2的定义域是【知识点】对数与对数函数B7【答案解析】（1，+∞） ∵y=log2（x-1），∴x-1＞0，x ＞1,函数y=log2（x-1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【思路点拨】由函数的解析式知，令真数x-1＞0即可解出函数的定义域．【题文】2．设函数f(x)＝log2x ，则“a＞b”是“f(a)＞f (b)”的条件【知识点】对数与对数函数B7【答案解析】充要 ∵函数f （x ）=log2x ，在x ∈（0，+∞）上单调递增．∴“a ＞b ”⇔“f （a ）＞f （b ）”．∴“a ＞b ”是“f （a ）＞f （b ）”的充要条件．故答案为：充要．【思路点拨】根据函数f （x ）=log2x ，在x ∈（0，+∞）上单调递增．可得“a ＞b ”⇔“f （a ）＞f （b ）”．【题文】3．若函数f(x) (x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x≤1，sin πx ，1<x≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝_____ _．【知识点】周期性B4 【答案解析】516 函数f （x ）（x ∈R ）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f （x ）= (1)sin x x x π-≤≤⎧⎨⎩　0ｘ１１<ｘ<２，则f （294）+f （416）=f （8- 34）+f （8- 76）=f （-34）+f （-76）=-f （34）-f （76） =−34(1−34)−sin 76π=−316+12=516．故答案为：516．【思路点拨】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．【题文】4. 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】向右平移12π个单位函数（3x- 4π），故只需将函数cos3x 的图象向右平移12π个单位，得到cos[3（x-12π）]=cos （3x-4π）的图象．故答案为：向右平移12π个单位．【思路点拨】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【题文】5．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A∩B ＝_______ _.【知识点】集合及其运算A1【答案解析】{}0,11,2-（）,（）把集合A 中的（0,1）（-1,2）代入B 中成立（1,1）代入不成立，所以答案为{}0,11,2-（）,（）。

江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学(文)试题.pdf

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.已知全集，集合，，则 . 2.设为等差数列的前项和,,则=. 3.已知函数在时取得最小值,则“”是”的满足不等式组则的最小值是 . 6.在等比数列中，若是方程的两根，则的值是_______. 7.已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的则面积为_______. ④命题“，使”；命题“若，则”，那么为真命题． 9.数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则 . 10.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若则； ②若则； ③若则；④若则. 其中正确的命题序号是 . 11.不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 12.在棱长为的正方体中，，分别为线段，（不包括端点）上的动点，且平行于平面，则面体体积的最大值是 _____.其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是 . 14.设为函数图象上一动点，记，则当最小时，点的坐标为 . 解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题14分）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．（）求集合A，B；（）若集合A，B满足 ,求实数a的取值范围．如图,(I)求证:(II)设已知等差数列满足＝0，＝－10. 求数列的通项公式；求数列的前项和．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中．（1）若BB1=BC，B1CA1B，证明：平面AB1C平面A1BC1；（2）设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B平面B1DE，求．已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）设是数列的前项和，问是否存在常数，使得对都成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．。

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江苏省启东中学2021-2022学年度第一学期第一次月考高三数学试卷（文科）命题人：施勇一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相．．．．应位置上．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则 ▲ ． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．3．设幂函数()f x kx =α的图象经过点()4,2，则k +=α ▲4．计算121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭▲ ．5．若()()1233,2,log 1, 2.x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f f 的值为 ▲ 6.已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x 上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ . 11. 如图所示的梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，假如AD AB BM AC ⋅-=⋅则,3= ▲ .12. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[－π4，π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ . 13. 已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1＜x ≤1，1－|x －2|，1＜x ≤3．若函数y ＝f (x )－m |x|恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为 ▲ . 14. 已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x －a |＋a 22，当x ∈[0，ln3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2cos(sin B A -=π,2,3==c a（1）求AC AB ⋅的值；（2）求)23tan(B C-+π的值为.16.（本小题满分14分）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从其次年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考留意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必需用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为x -25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）18.（本小题满分16分）如图所示，某大路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．19.（本小题满分16分）设1a >,函数()2(1)x fx x e a =+-.（1）证明()x f 在()0,1a -上仅有一个零点；（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:321m a e≤--20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111()N n n n S a λ*++=∈，λ为常数．（1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当1λ=时，求证：1111n n a a ++≥．（3）当12λ=时，求证：当3n ≥时，803n a <≤．答案（文科）1.(),3-∞ 2.1x ∃>，23x < 3.324.20-5.36. 2 7．198．－4－ln2. 910．50231 11.2312.{13，56，43}． 13.(16，8－215) 14.5215. .解:1）在ABC ∆中,B B A sin )2cos(sin =-=π,由正弦定理BbA a sin sin =,得b a =B A b a ===∴,3 由余弦定理AC AB ⋅=223322cos 222222=-+=-+=⨯⨯a b c A b c -------7分2）π=+=++C B C B A 2 C B Ctan )23tan(=-+∴π 972cos 222=-+=ab c b a C 924cos 1sin 2=-=∴C C -------10分 ==∴C C C cos sin tan 724 -------14分 16.解：（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<，当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.q 为真时302x x -<-等价于()()230x x --<，得23x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<.若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<.（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒，设{}3A x a x a =<<，{}23B x x =<<，则BA ；则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤.17.解：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则),100(,50)]1(6[25N x x x x x x y ∈≤<--+-=，即),100(,50202N x x x x y ∈≤<-+-=，由050202>-+-x x ，解得25102510+<<-x ，而325102<-<，故从第三年开头运输累计收入超过总支出.（2）由于利润=累积收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润为)25(19)2519(1)]25([12xx x x x x y x y +-=-+-=-+=，而925219)25(19=⋅-≤+-xx x x ，当且仅当5=x 时等号成立。

答：第5年底出售货车，年平均利润最大.18.解：（1）在△OAB 中，由于OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7，所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277．在△OMN 中，由MN sin30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74．（2）解法1：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9，所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9．由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝33x 2－3x ＋96－x．所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3．令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t)≥334·(2t ·27t －9)＝27(2－3) 4．当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4．所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是 27(2－3)4km 2．解法2：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OA sin ∠OMA ，得OM ＝332sin(θ＋π3)．在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝332sin(θ＋π2)＝332cos θ．所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·332sin(θ＋π3)·332cos θ·12＝2716sin(θ＋π3)cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin2θ＋43cos2θ＋43＝274sin2θ＋43cos2θ＋43＝278sin(2θ＋π3)＋43，0＜θ＜π3．当2θ＋π3＝π2，即θ＝π12时，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4．所以应设计∠AOM ＝π12，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4 km 2．19.解：（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f ′（x ）≥0，-------2分 ∴f （x ）=（1+x 2）e x ﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． ∵a ＞1．∴1﹣a ＜0又f （0）=1﹣a ，∴f （0）＜0．())1(111-=-=---a a ea a aea f1011>∴>--a ea ()01>-∴a f，()()010<-⋅a ff()1,00-∈∃∴a x 使得()00=x f∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点--------------------7分（2）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0，∴x 0=﹣1-------------9分将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴------11分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1），则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0．当m ∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0当m ∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g （m ）的最小值为g （0）=0 ------------13分 ∴g （m ）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m ≤--------------------------------16分解：（1）若0λ=，则1110n n S a ++=，即1n n S a +=-，即10n S +=，则230(2)n S S S n n ====∈≥N,，所以不存在数列{}n a 使得0λ=．（2）由1111n n S a ++=得111n n n a S a ++=-，当2n ≥时，11n n n a S a -=-，两式相减得1111n n n n n a a a a a ++=---，即21111n n n n a a a a ++=--，12111n n n na a a a ++--=，211111n n n a a a +-=-，2111111n n n a a a ++=+>，当1n =时，12111S a +=，即12111a a +=，综上，1111n n a a ++≥．（3）证1：由1111()2n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=-，当2n ≥时，122nn n a S a -=-，两式相减得112222n n n n n a a a a a ++=---，解得212224n n n n a a a a +=-+，所以当3n ≥时，21211224n n n n a a a a ---=-+，由于2211124(1)30n n n a a a ----+=-+>，又由1111()2n n n N S a *++=∈可见210n a ->，所以0n a >；另一方面，2211211288(4)03243n n n n n a a a a a ----≤⇔≤⇔-≥-+，故803n a <≤．证2：由1111()2n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=-，122n n n S a S +=-，所以当3n ≥时，1121211121121111122()22()222222422n n n n n n n n n n n n n n n n a a S S a a a a a S S a a a a a ---------------++-====-+--++--，下同证1.。