习题1.1参考答案

第一章 随机事件与概率
习题1.1
1． 写出下列随机试验的样本空间：
（1）抛三枚硬币；
（2）抛三颗骰子；
（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；
（4）在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数；
（5）某市一天内的用电量．
解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，
其中出现正面记为1，出现反面记为0；
（2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；
（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，
其中出现正面记为1，出现反面记为0；
（4）Ω = {0，1，2，3，…，n ，…}；
（5）Ω = {x ：x ≥ 0}．
2． 在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示：
A = “至少出现一个正面”；
B = “最多出现一个正面”；
C = “恰好出现一个正面”；
D = “出现三面相同”．
解：设出现正面记为1，出现反面记为0，
则A = {(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}；
B = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)}；
C = {(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)}；
D = {(0, 0, 0)，(1, 1, 1)}．
3． 设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：
（1）A , B , C 都发生或都不发生；
（2）A , B , C 中不多于一个发生；
（3）A , B , C 中不多于两个发生；
（4）A , B , C 中至少有两个发生．
解：（1）C B A ABC U ；
（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；
（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ；
（4）ABC BC A C B A C AB U U U ．
4． 请指明以下事件A 与B 间的关系：
（1）检查两件产品，记事件A =“至少有一件不合格品”，B =“两次检查结果不同”；
（2）设T 表示轴承寿命，记事件A = {T > 5000 h}，B = {T > 8000 h}．
解：（1）因事件B 发生必有事件A 发生，故A ⊃ B ；
（2）因事件B 发生必有事件A 发生，故A ⊃ B ．
5． 设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出
下列事件：
（1）B A ；
（2）B A U ；
（3）AB ；
（4）B A U ． 解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；
（2
）Ω=≤≤=}20{X B A U ；
（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ；
（4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．
6． 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A = {恰有一弹击中飞机}，B = {至少有一弹击中飞机}，C = {两
弹都击中飞机}，D = {两弹都没击中飞机}．又设随机变量X 为击中飞机的次数，试用X 表示事件A , B , C , D ．进一步问中哪些是互不相容的事件？哪些是对立事件？
解：A = {X = 1}，B = {X ≥ 1}，C = {X = 2}，D = {X = 0}；
事件A 与C ，A 与D ，B 与D ，C 与D 分别是互不相容的事件；其中事件B 与D 是对立事件．
7． 试问下列命题是否成立？
（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；
（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅；
（3）(A ∪B ) − B = A ；
（4）(A − B )∪B = A ．
解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；
（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；
（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(；
（4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(．
8． 试用维恩图说明，当事件A 与B 互不相容时，能否得出结论A 与B 相容．
解：不能得出此结论．事实上，此时若A 与B 互为对立事件，则A 与B 不相容，否则，A 与B 相容．
B A
Ω B A =A
B ==B A ∅
9． 请叙述下列事件的对立事件：
（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”；
（2）B =“射击三次，皆命中目标”；
（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”．
解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；
（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”；
（3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”．
10．如果A 与B 互为对立事件，证明：A 与B 也互为对立事件．
证：如果A 与B 互为对立事件，有A B =且B A =，即==BA B A ∅且Ω==A B B A U U ， 故A 与B 也互为对立事件．
11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：
（1）∅ ∈F ；
（2）有限并∈=U n
i i A 1F ，n ≥ 1；
（3）有限交∈=I n
i i A 1F ，n ≥ 1；
（4）可列交∈+∞
=I 1i i A F ；
（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．
证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；
（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞
==U U 11i i n i i A A F ；
（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U n
i i A 1
F ，
再由定义条件2，知∈=U n i i A 1 F ，即∈=I n i i A 1
F ；
（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞
=U 1
i i A F ，
再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1
i i A F ；
（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．。