高中数学选修2-1苏教版课件：3.1.3空间向量基本定理
数学苏教版选修2-1教案：3.1.3-4 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示 Word版含解析
3.1.3-4空间向量基本定理空间向量的坐标表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握空间向量基本定理，能恰当地选择基底，用基向量表示空间任一向量．(2)理解空间向量的正交分解，理解向量坐标的意义．(3)掌握向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会应用向量坐标进行线性运算，能判断向量共线．2．过程与方法(1)由平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，体会定理的条件及内涵；会在具体空间图形中，选取基底表示空间向量．(2)类比平面向量坐标运算法则，得出空间向量坐标运算法则，并运用这些法则进行向量坐标线性运算．(3)运用向量坐标进行向量共线的判定与应用．3．情感、态度与价值观能过教师的引导，学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生具备探究、归纳、应用的能力，形成严谨的思维习惯．●重点难点重点：用基底表示空间向量，向量线性运算的坐标表示．难点：用基底表示空间向量．教学时，应采用类比思维的方法，先回顾平面向量基本定理及坐标表示，得出空间向量基本定理及坐标表示，降低问题的难度，在具体的常见几何体(正方体、三棱锥、棱柱)中，展示用基底表示空间向量的方法与过程，突出本节的重点，化解教学的难点．(教师用书独具)●教学建议空间向量基本定理是向量法研究立体几何问题的基石，是本章的重中之重，空间向量的坐标表示及坐标运算，是坐标法研究立体几何的工具．因此本节课是全章内容的工具性内容，为学生学习立体几何提供新角度、新手段、新方法．由于学生已学习了平面向量基本定理及坐标运算，因而本节宜采用类比教学法，多发挥学生自主探究能力，通过回顾→类比→完善→应用的环节获取新知识，应用新知识．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机辅助教学，增加教学的直观性和趣味性．●教学流程回顾平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，强调基向量的不共面性，线性表示的惟一性，常见几何体中基底的一般选法，定义单位正交基，推导空间向量基本定理的推论.⇒回顾平面向量的坐标表示，得出空间向量的坐标表示，理清向量坐标的实际意义，向量坐标与点坐标的关系．⇒回顾平面向量线性运算的坐标表示，得出空间向量的线性运算的坐标表示，向量坐标与起始点坐标的关系，共线向量的坐标条件．⇒通过例1及变式训练，让学生掌握基底的选取条件，即不共面向量，加深对基底概念的理解．⇒通过例2及变式训练，让学生掌握如何选取基向量，如何用基底表示某一向量，在具体操作中运用向量的线性运算法则．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握向量坐标运算法则，掌握如何运用起点、终点坐标表示向量坐标．⇒通过例4及变式训练，让学生掌握向量共线的坐标条件的应用，由此判定向量共线或求值．⇒通过易错易误辨析，让学生分清向量共线与向量同向的区别，以免概念混淆，解题出错．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.123(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.123是空间不共面的三个向量，则把1e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量.0不能作为基向量．如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，特别地：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．设O 是不共面的四点，则对空间任意一点(x ，y ，z )，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？【提示】 在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a 的坐标．空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？【提示】 坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便． 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD →＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．【思路探究】 判断{OA →，OB →，OC →}能否作为基底，关键是判断它们是否共面，一般假设其共面，利用共面向量定理分析；求OD →的表示式，设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，利用待定系数法求系数．【自主解答】 假设OA →、OB →、OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3， ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →， ∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30，∴OD →＝17OA →－5OB →－30OC →.1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．2．求一向量在不同基底下的表示式(或坐标)，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标)，转化为在原基底下的表示式，对比系数．若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．【解】假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)成立，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝1λ＝1λ＋μ＝0，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． 故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．图3－1－10如图3－1－10，四棱锥P －OABC 的底面为矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.【思路探究】选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量【自主解答】 连结OB ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(－OA →－OC →＋OP →)＝ －12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a ＋12(－b ＋c )＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12PC →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b＋12c . EF →＝12CB →＝12OA →＝－12a .1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的．2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．图3－1－11如图3－1－11，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，＝c ，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →.【解】 (1)AM →＝12(AC →＋)＝12(AB →＋AD →＋AD →＋)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (2)AN →＝12(＋)＝12[(AB →＋AD →＋)＋(AD →＋)]＝12(AB →＋2AD→＋2)＝12a ＋b ＋c .空间向量的坐标运算已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．【思路探究】 利用向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标求出AB →，AC →，然后进行坐标运算得到OP →，AP →，从而可确定点P 的坐标．【自主解答】 AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．由(1)知，AP →＝12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y ＋1＝32z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝12z ＝0，则点P的坐标为(5，12，0)．1．牢记运算法则是正确进行向量线性运算的关键．2．涉及已知点的坐标进行向量运算时，注意利用终点的坐标减去起点的坐标得到向量的坐标，这是向量运算的前提．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，求AB →，AC →及2AB →＋3AC →.【解】 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)，2AB →＋3AC →＝2(1,1,0)＋3(－1,0,2)＝(2,2,0)＋(－3，0,6)＝(－1,2,6)．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标．【思路探究】 由已知条件DB ∥AC ，DC ∥AB ，转化为向量平行，用共线向量定理及空间向量平行的坐标表示，可求得D 点的坐标．【自主解答】 设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)， 由DB ∥AC ，设DB →＝λAC →， 即(－x,1－y ，－z )＝(－λ，0,2λ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－λ，1－y ＝0，－z ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝1，z ＝－2λ，得D (λ，1，－2λ)．∴DC →＝(－λ，－1,2＋2λ)，AB →＝(－1,1,0)． 又DC →∥AB →，设DC →＝μAB →， 即(－λ，－1,2＋2λ)＝(－μ，μ，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝－μ，－1＝μ，2＋2λ＝0.解得λ＝μ＝－1.∴点D 的坐标为(－1,1,2)．1．本例中，求点D 的坐标，主要是利用两向量平行的坐标条件，列出关于点D 的坐标的方程组，通过解方程组求得．2．两向量平行的充要条件有两个：①a ＝λb ，②⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx2y 1＝λy2z 1＝λz2，依此，既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．设a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，计算2a ＋3b,5a －6b ，并确定λ，μ的值，使λa ＋μb 与向量b 平行．【解】 ∵a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，∴2a ＋3b ＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)， 5a －6b ＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)． ∵λa ＋μb ＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa ＋μb )∥b ， ∴2λ－3μ－3＝3λ－2μ－2＝μ1.∴λ＝0，μ∈R ，即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行.误解“两向量平行”和“两向量同向”已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，求x，y的值．【错解】由题意知a∥b，则x1＝x2＋y－22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x①x2＋y－2＝2x②，把①代入②得x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.【错因分析】“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解忽略了“同向”这一条件的限制，扩大了范围．【防范措施】由于向量具有平移不变性，因此有关向量的平行问题与直线的平行是有区别的，并且两向量同向与向量平行也是不等价的，向量平行则两向量可能同向也可能反向，因此，解决这类问题时要特别注意限制条件．【正解】 由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2＋y －22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②，把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，向量a 与b 反向，不符合题意，故舍去． 当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，向量a 与b 同向， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3.1．用基底表示空间几何体中一向量时，应结合立体图形，根据空间向量线性运算法则，写出要求的向量表达式．2．建立空间直角坐标系后，空间向量都有惟一的坐标(x ，y ，z )，两向量间的线性运算也有相应的坐标运算法则．3．对于两向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λy 2z 1＝λz 2(b ≠0)，依此可以判定两向量平行或由两向量平行求待定字母的值.1．下列说法正确的是________．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．【解析】 根据基底的有关概念可知：任何三个不共面的向量都可以构成一个基底，当这三个基向量是模为1且两两垂直的向量时，称此基底为单位正交基底，故有③正确，①②④错误．【答案】 ③图3－1－122．如图3－1－12，已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝c ，＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则OD →＝________.【解析】 结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a 、b 、c 表示OD →.仔细观察会发现OD →与OA →、OC →是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．【答案】 12a ＋12c3．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝______. 【解析】 设b ＝(x ，y ，z )，则a ＋b ＝(x ＋1，y －2，z ＋1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝－1，y －2＝2，z ＋1＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，z ＝－2.∴b ＝(－2,4，－2)． 【答案】 (－2,4，－2)4．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k . 【解】 法一 ∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．∴k a ＋b ＝k (1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)．a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16. ∴k ＝－13.法二 ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k a ＋b ＝λ(a －3b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，∴k ＝－13.一、填空题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】 命题q 中，{a ，b ，c }为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a ，b ，c 为非零向量，且为不共面向量．故q ⇒p ，pD ⇒/q ，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件．【答案】 必要不充分2．设向量a ，b ，c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________． ①{a ＋b ，b －a ，a }； ②{a ＋b ，b －a ，b }； ③{a ＋b ，b －a ，c }; ④{a ＋b ＋c ，a ＋b ，c }．【解析】 因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底． 【答案】 ③3．已知{i ，j ，k }为空间的一个基底，若a ＝i －j ＋k ，b ＝i ＋j ＋k ，c ＝i ＋j －k ，d ＝3i ＋2j －4k ，又d ＝α a ＋β b ＋γc ，则α＝________，β＝________，γ＝________.【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝3－α＋β＋γ＝2α＋β－γ＝－4，解之得：⎩⎨⎧α＝12β＝－1γ＝72.【答案】 12 －1 72图3－1－134．如图3－1－13，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为x ＝________，y ＝________，z ＝________.【解析】 由题意知AA ′→，AB →，AD →为不共面向量，而AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12AB →＋12AD →＝2a ＋b ＋32c ，∴x ＝2，y ＝1，z ＝32.【答案】 2 1 325．已知A (3,2,1)，B (－4,5,3)，C (－1,2,1)，则2AB →＋5AC →的坐标为________． 【解析】 2AB →＋5AC →＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)． 【答案】 (－34,6,4)6．(2013·平遥高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝ (6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为________． 【解析】 根据已知a ∥b ，则有λ＋16＝2λ2且2μ－1＝0，解得：λ＝15，μ＝12.【答案】 15，12图3－1－147．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，则在如图3－1－14所示的空间直角坐标系中，DO →的坐标是________．【解析】 由题意得A 1(4,0,4)，B 1(0，2,4)，由D 为A 1B 1的中点可得D (2,1,4)，故OD →＝(2,1,4)，所以DO →＝－OD →＝(－2，－1，－4)．【答案】 (－2，－1，－4)8．(2013·威海高二检测)有下列命题： ①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ①AB →∥CD →时，四点A ，B ，C ，D 可能共线也可能AB ∥CD ，故①为假命题； ②AB →∥AC →时，又AB →，AC →共起点，所以A ，B ，C 三点共线，②为真命题； ③a ＝4e 1－25e 2＝－4(－e 1＋110e 2)＝－4b ，∴a ∥b ，故③为真命题；④中，k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，又e 1，e 2，e 3不共面，根据空间向量基本定理可知，只能k 1＝0，k 2＝0，k 3＝0，所以④为真命题．【答案】 ②③④ 二、解答题图3－1－159．如图3－1－15所示，M 、N 分别是四面体OABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.【解】 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23(ON →－12OA →) ＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13(ON →－12OA →) ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →) ＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→的坐标．【解】 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，32，0)，A 1(0，32，2)，B 1(－12，0,2)，C 1(12，0,2)，所以AA 1→＝(0,0,2)，AB 1→＝(－12，－32，2)，AC 1→＝(12，－32，2)．11．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标．(2)是否存在实数x ，y ，使AC →＝xAB →＋yBC →成立．若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设D (x ，y ，z )，则有 DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)， DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)． ∵DB →∥AC →，DC →∥AB →， ∴DB →＝λ1AC →且DC →＝λ2AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＝－λ11－y ＝0－z ＝2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＝－λ2，－y ＝λ2，2－z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ1y ＝1z ＝－2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ2，y ＝－λ2，z ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2，∴D 点坐标为(－1,1,2)．(2)∵AC →＝(－1,0,2)，AB →＝(－1,1,0)， BC →＝(0，－1,2)，假设满足条件的x ，y 存在， 即AC →＝xAB →＋yBC →，也即(－1,0,2)＝(－x ，x,0)＋(0，－y ，2y ) ＝(－x ，x －y,2y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－x ，x －y ＝0，2＝2y ，解得x ＝1，y ＝1. ∴存在实数x ＝1，y ＝1， 使AC →＝xAB →＋yBC →成立．(教师用书独具)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 分AC →成的比为1∶2，N 分A 1D →成的比为2∶1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量MN →.【思路探究】 由于AB →、AD →、AA 1→三个向量不共面，故AB →，AD →，AA 1→可作为一个基底来表示空间中的向量MN →.【自主解答】 如图，连结AN ，则MN →＝MA →＋AN →. 由已知四边形ABCD 是平行四边形， 可知AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， 又M 分AC →成的比为1∶2，故MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )． ∵N 分A 1D →成的比为2∶1，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝13(c ＋2b )， ∴MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b ) ＝13(－a ＋b ＋c )．1．由基底表示空间任一向量，首先明确基底是哪三个向量，然后将所求向量进行分解，分解时主要看三种运算，即相加、相减与数乘(倍数关系)．2．用基底表示一个空间向量，要注意数形结合，结合图形逐步转化．如图，已知矩形ABCD 中，P 为面ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM →＝2MC →，PN →＝ND →，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．【解】 取PC 的中点E ，连结NE ， 则MN →＝EN →－EM →.∵EN →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →， EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC → ＝16PC →， 连结AC ，则PC →＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →. ∴MN →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →) ＝－23AB →－16AD →＋16AP →. ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.。
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1课件： 3.1.3 空间向量基本定理 课件
2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。
练习
1、如果a,b与任何向量都不能空构间成的一个基底， 则a与b有什么关系？共线
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫 正交基底. 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为
{ } 单位正交基底，通常用 i , j , k
建构数学:
推论：O设、A、B、C是不共面的四点，
则对空间任一 P，点都存在唯一的有数序组实
(x，y，z)，使得
OP＝xOA＋yOB＋zOC。来自B’ D’CA’
M
B
D
E
O
A
数学运用
例 2如 图 ， 已 知 空 间 四 边 形 O A B C ， 其 对 角 线 O B ， A C ， M ， N 分 别 是 对 边 O A ， B C 的 中 点 ， 点 G 在 线 段 M N 上 ， 且 M G ＝ 2G N ， 用 基 底 O A ， O B ， O C 表 示 向 量 O G .
思考 平面向量
共线向量定理
类比
空间向量 共面向量定理
平面向量 基本定理
空间向量 基本定理
3.1.3空间向量基本定理
复习
平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ1、λ2，使
a = λ1e1+λ2e2
建构数学:
空间向量基本定理:
3.1.3 空间向量基本定理
存在惟一的三个有序实数x，y，z，使 OP＝xOA＋yOB＋zOC ．
数学应用
例1 如图，在正方体OADB -CA' D' B'中，点E是AB与OD的交点， M 是OD与CE的交点，试分别用向量OA，OB，OC表示OD '和OM .
B’
D’
解：OD＝OA＋OB＋OC C
A’
OM＝1 OA＋1 OB＋1 OC
3
23
O
＝1 OA＋ 2 [1 (OB＋OC)－1 OA]
2 32
2
＝1 OA＋1 (OB＋OC)－1 OA
M
23
3
＝1 OA＋1 OB＋1 OC
A
633
C
G N
OG＝1 OA＋1 OB＋1 OC
B
633
练一练
如图，空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，已知
AA1＝a， AB＝b， AC＝c ，且M是BC1的中点，N在AC1上，
底 e1， e2，e3 叫做基向量．
（（45））空如间果任空意间三一个个不基共底面的的三向个量基都向可量以两构两成互空相间垂的直一，个那基么底这．个基
底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位
向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 { ， ， } 表示
．
i jk
（6）推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都
与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， j， k
作为基向量，对于空间任意一个向量 a，
根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组
（x,y,z ），使 a＝xi＋y j＋zk.
有序实数组（x,y,z ）叫做向量 a在空间直角
苏教版高中数学选修(2-1)课件3.1.1空间向量及其运算
（金戈铁骑 整理制作）
空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间
减法 运算
减平法 行:四三边角形向形对法法量则于则，空a间,b任,(a意≠0的）两，个b
运 算
加法交换律 a与 ba共b 线a 的充加法要交换条律件a 是b b a 加法结合律 存在实数λ，加法使结合b律= λ a
律 (a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
做共线向量(或平行向量),记作
a // b
规定零向量与任何向量共线
探究三：空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a +b = b + a
空间向量的加法是否满足结合律？
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
苏教版高中数学选修2-1：空间向量的应用_课件3
则nn11··AA→→AC1＝＝00
⇒z－＝20x，＋2y＝0.
令 x＝1，得 y＝1，∴n1＝(1,1,0)． 设平面 AEC1 的一个法向量为 n2＝(x，y，z)，
则nn22··AA→→CE1＝＝00
－2x＋2y＋z＝0， ⇒－2x＋12z＝0.
令 z＝4，得 x＝1，y＝－1，∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
则D→1E＝(0，a，－2a)，D→A1＝(a,0,2a)，D→B＝(a，a,0)．
又(0，a，－2a)＝(a，a,0)－(a,0,2a)， 所以D→1E＝D→B－D→A1，所以D→1E、D→B、D→A1共面． 因为 DA1、DB⊂平面 A1BD，D1E⊄平面 A1BD，
故 D1E∥平面 A1BD.
即r2－12rt＋12r2－12rt＋12rt－t2＝0， 12r2－12rt＋r2－12rt＋12rt－t2＝0，
得32r2－12rt－t2＝0，∴r＝t. 因此，当CCCD1＝1 时，A1C⊥平面 C1BD.
【名师点评】 当空间图形不适合建立空间 直角坐标系时，一般选用基向量法．
θ＝
1 3.
【名师点评】 用向量法求二面角的大小时， 可以转化为求两平面的法向量的夹角，但应 注意二面角与该角的关系是相等还是互补， 应根据图形进行选择．
(2)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：作 SO⊥BC，垂足为 O， 连结 AO. 由侧面 SBC⊥底面 ABCD，得 SO⊥平面 ABCD. 因为 SA＝SB，所以 AO＝BO.又∠ABC＝45°， 故△AOB 为等腰直角三角形，且 AO⊥OB.
如图，以 O 为坐标原点，O→A方向为 x 轴正向，O→B 方向为 y 轴正向，O→S方向为 z 轴正向，建立空间 直角坐标系 O－xyz，则 A( 2，0,0)、B(0， 2， 0)、C(0，－ 2，0)、S(0,0,1)，
苏教版高中数学选修(2-1)课件3.1《空间向量及其运算》
•
例2已知平行四边形 ABCD，从平面
AC外一点O引向量， OG k OC ，， OH k OD OE k OA
，求证： OF k OB
(1) 四点E、F、G、H共面； (2)平面EG∥平面AC
a与c
(3)若向量平行，则存在唯一的实数 m，使 a与b
a mb
(4) 已知 A 、 B 、 C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 1 1 1 Ｏ，若，则点Ｏ是△ ABC 的重心。 OM OA OB OC 3 3 3 其中不正确的命题的序号是.
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2 、已知是空间向量的一组基底，则 a, b , c
1 2 3
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第课时
1
•
如果l是经过点A且平行于已知非零
向量的直线，那么对任一点 O，点P a
在直线l上的充要条件是存在实数t， 满足等式： OP OA ta
•
三个向量共面的充要条件：
定理：如果两个向量不共线，则向 a与b
数对x、y，使：
量与向量共面的充要条件是存在实 p a, b
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推论：
设O、A、B、C是不共面的四个点，
则对空间任一点P，都存在唯一的
三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB z OC
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理：
如果一条直线与平面内的两相交直线 都垂直，则这条直线与这个平面垂直
.
•
例2
已知：在空间四边形OABC中，
•
4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
点F是侧面CD1的中心，若 ，则 m=,n= 。 AF AD m AB n AA1
最新高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(1.1)ppt课件
3.1.1 空间向量及其线性运算
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(2)运算律
分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；
结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
4.共线向量定理
(1)共线向量的定义
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合 ，则这些向量叫做 共线向量 或平行
向量，记作a∥b.
3.1.1 空间向量及其线性运算
3.1.1 空间向量及其线性运算
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(2)不相等的两个空间向量的模必不相等； 解 假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只 要它们的方向不相同即可. (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； 解 假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这 两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点 和终点.
3.1.1 空间向量及其线性运算
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跟踪演练1 给出以下命题： ①若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c； ②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b； ③在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是________.
O→B＝O→A＋A→B＝ a＋b ；
C→A＝O→A－O→C＝ a－b . (2)运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
3.1.1 空间向量及其线性运算
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3.空间向量的数乘运算 (1)定义 实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘 运算.当λ>0时，λa与a方向 相同 ；当λ<0时，λa与a方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝ 0 .λa的长度是a的长度的|λ|倍.如图所示.
苏教版高中数学选修2-13.1.3 空间向量基本定理.docx
3.1.3 空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示双基达标 (限时20分钟)1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c ，也是空间的一个基底．其中正确的命题序号是________．解析 对于①“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的 关系一定共线”所以①错误；②③正确．答案 ②③2.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则CE →＝________.解析 ∵G 为△ABC 的重心，∴AG →＝23AM →＝23×12(AB →＋AC →) ＝13(AB →＋AC →)， ∵BE →＝3ED →∴BE →＝34BD →＝34(AD →－AB →) AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34(AD →－AB →)＝14AB →＋34AD →， 故GE →＝AE →－AG →＝14AB →＋34AD →－13(AB →＋AC →) ＝－112AB →－13AC →＋34AD → 答案 －112AB →－13AC →＋34AD →3.已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，点M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →为________．解析 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →] ＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 答案 16OA →＋13OB →＋13OC → 4．已知a ＝{3λ，6，λ＋6}，b ＝{λ＋1，3，2λ}，若a ∥b ，则λ＝________.解析 由a ∥b ，得3λλ＋1＝63＝λ＋62λ，解得λ＝2. 答案 25．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，若k a ＋b 与2a －b 平行，则实数k ＝________.解析 计算得k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2)，由k a ＋b 与2a －b 平行得k －13＝k 2＝2－2，解得k ＝－2. 答案 －26．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且P A ＝AD .建立适当坐标系求MN →的坐标．解 设AD →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k ，以i ，j ，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →①MN →＝MB →＋BC →＋CN →②又∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点由①＋②得2MN →＝AP →＋BC →＝k ＋i ，∴MN →＝12(k ＋i )＝12i ＋12k ，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12. 综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，则顶点B 、C 的坐标分别为________．解析 由A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，解得B (6，－4，5)，再由BC →＝(3，－2，5)，解得C (9，－6，10)．答案 B (6，－4，5)，C (9，－6，10)8.如图，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底，DM →＝xOA→＋yOC →＋zOD →，则实数对(x ，y ，z )＝________.解析 DM →＝OM →－OD →＝12OA →＋0OC →－OD →，所以实数对(x ，y ， z )＝(12，0，－1)． 答案 (12，0，－1) 9．已知a ＝2(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ的值为________．解析 有共面向量定理知存在实数x ，y 使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2，6)＝(－x ，4x ，－ 2x )＋(7y ，5y ，λy )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝－x ＋7y －2＝4x ＋5y ，6＝－2x ＋λy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3433y ＝1433λ＝657答案657 10．设点C (2a ＋1，a ＋1，3)在点P (2，0，0)，A (1，－3，2)，B (8，－1，4)确定的平面上，则实数a 的值为________．解析 P A →＝(－1，－3，2)，PB →＝(6，－1，4)，根据共面向量定理，可设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )，则(2a －1，a ＋1，3)＝x (－1，－3，2)＋y (6，－1，4)，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y .3＝2x ＋4y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝214，a ＝834，即实数a 的值是834. 答案 834 11．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0，0，0)，(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求P 点坐标，分别满足：(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)． 解 AB →＝OB →－OA →＝(2，6，－3)，AC →＝OC →－OA →＝(－4，3，1)．(1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC )＝(3，32，－2)， 所以OP →＝(3，32，－2)，即P 点坐标为(3，32，－2)； (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝OP →－OA →＝(x －2，y ＋1，z －2)，12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，z ＝0，所以P 点坐标为(5，12，0)． 12．如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH →.解 GH →＝OH →－OG →，∵OH →＝23OD →，∴OH →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝13OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝13a ＋13(b ＋c )，∴GH →＝13(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ，即GH →＝－13a .13．(创新拓展)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x 、y 、z 的值．解 (1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)∵EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →)＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →＝12AB →－12AD →－23AA 1→.即：x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.。