九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线教案新人教版
九年级数学上册第二十二章二次函数：
第3课时拱桥问题和运动中的抛物线
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．
一、情境导入
某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？
二、合作探究
探究点一：建立二次函数模型
【类型一】运动轨迹问题
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，
已知球出手时离地面高209
米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．
解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209
)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2
＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2
＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．
(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得
成功．
【类型二】拱桥、涵洞问题 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．
解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，
－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12
x 2
＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.
方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：
(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．
解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，
6)．
(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋
6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2
＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112
x 2＋x ＋3. (3)设A (m ，0)，则B (12－m ，0)，C (12－m ，－112
m 2＋m ＋3)，D (m ，－112m 2＋m ＋3)．即“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－112
m 2＋m ＋3)＋(12－2m )＋(－112m 2＋m ＋3)＝－16
m 2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m ＝0时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为18.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
22_3_3 实际问题与二次函数(三)-拱桥问题中的抛物线【人教版九上数学优质课件】
你有其它解法吗？
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，
水面宽度增加多少？
解：以离拱顶2m时的水面为x轴，以抛物线的对
称轴为y轴建立直角坐标系.
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2+2.由抛物
线经过点(2，0)，可得
1
2
0=a×2 +2，解得，a=2
∴
1 2
这条抛物线表示的二次函数为：y=- x +2
轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下.
＜0
2.二次函数解析式的形式有：
①一般式：____________，
y=ax2+bx+c
②顶点式：_____________，
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
③交点式：________________.
y=ax2+2
3.(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为_________，也可以
y=a(x+2)(x-2)
根据抛物线与x轴的交点坐标设为______________.
(2)由A，B两点的横坐标，可以求得线段AB的长
为______.
4
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，
第二十二章 二次函数
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
(0,0)
1.函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称
2020秋九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线学习目标：会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．重点、难点1.重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题2.难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题导学过程：阅读教材P25, 完成课前预习【课前预习】探究1：如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系是35321212++-=x x y ，问此运动员把铅球推出多远？探究2：图26．3-2中的抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m 。
水面宽4m 。
水面下降1m ，水面宽度增加多少？(多种方法)【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2．25m ．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）活动3：随堂训练1. 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C 的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中?（选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?活动4：课堂小结【课后巩固】1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB 为4m ，高OC 为3.2m ；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m ；集装箱顶部离地面2.1m 。
22.3+实际问题与二次函数(拱桥问题)课件++2023—2024学年人教版数学九年级上册
之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
1
•(3)设点A的坐标为(m，- m²+2m)，
6
1
•∴OB=m，AB=DC=- m²+2m
6
•根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，
•∴BC=12-2m，即AD=12-2m
1
1
•∴L=AB+AD+DC=- m²+2m+12=- (m-3)²+15
角坐标系，可得抛物线解析式为y=-0.1x2+8.1．
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高
度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直
线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
•(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值
范围；
解：（1）∵M（12，0），P（6，6）．
图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个
二次函数的形式为 y ax 2
y
我们来比较一下
（2，2）
y
（0，0）
x
o
o
（0，0）
（4，0） x
o
（2，0）
（2，-2）
（-2，2）
y （0，2）
（-2，0）
（-2，-2）
y
谁最
合适
o
x
（-4，0）
（0，0） x
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
【分析】(1)首先设所求抛物线的解析式为：
y=ax²(a≠0)，把D(5，b)，则B(10，b-3)代入解
方程组即可；
人教版数学九年级上册22 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线课件牛老师
标是（4，4），C点坐标是（8，3）.
因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.
把点A(0,
20 9
)代入①，得
判断此球能否准 确投中的问题就
20 =a(0 4)2 4, 9
解得
a 1. 9
所以抛物线的解析式是 y 1 (x 4)2 4
.
是判断代表篮圈 的点是否在抛物 线上.
y9
A
O
B A
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为B，落水与x轴交于点C. 由题意可知A（ 0，1.25）、 B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
O
C
转化
（实物中的抛物线形问题）
（二次函数的图象和性质）
运动中的抛 物线问题
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标
② 选择运算简便的方法
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则
球在
s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）
关于水平距离x(米）的函数解析式为 y 1 x2 1 x 3 ，那么
8 22
铅球运动过程中最高点离地面的距来自为米.yO
x
3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一 个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处 的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落 下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处 达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的 半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？
●
-3
y ax2.
x
a 1,
景县十中九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线教
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.[圆]说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用圆是在学习了直线图形的有关性质的根底上来研究的一种特殊的曲线图形.它是常见的几何图形之一，在初中数学中占有重要地位,中考中分值占有一定比例，与其它知识的综合性较强.本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的稳固,也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实的根底。
22.3实际问题与二次函数-拱桥问题解析
试一试：
如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位 AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线型拱桥的解析式。
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到 拱桥顶？
抛物线的顶点在象限内，对称轴平行于_y__轴， 抛物线的形式为____y_=_a_(_x_-_h_)_2+_k.
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相
同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路
线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.
以A处的竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,
该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25 ,如果不考虑其他
因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流
不致落到池外。
y
. 1 BB．(1,2.25 ） .AA(0,1.25)
1.25 2.25
O
Cx
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面
2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
a1
●
2
x 所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 2
22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线课件人教版九年级数学上册
距离x(米)的函数解析式为
，那么铅球运动过程中
最高点离地面的距离为
米2.
y
O
x
课 堂
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了 牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏
练 的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长
习 度至少为(
)C
轴为y轴，建立直角坐标系．
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
索
y
求
知 由于顶点坐标是(0，0)，因此这
个二次函数的形式为y＝ax2.
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题3 如何确定a是多少？ 索 解：设这个抛物线解析式为 y＝ax2.
精 状，喷出的水流高度y(m)与喷出水流喷嘴的水平距离x(m)之间满足
析
y(米)
(1)喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
(2)喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
∴x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2. O 解得 x1＝0,x2＝4.
∴喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
x(米)
变 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰 式 在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方 训 向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 练 OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的
y
-450
O
450 x
能 力
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角 坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
22.3二次函数和实际问题3(桥拱问题)
l
2 B 4
探究2：
0
(-2,-2)
●
y
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y ax
x
(2,-2)
●
2
由抛物线经过点（2，-2），可得
a
所以，这条抛物线的二次函数为： 1 2 y x 2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为 当
1 2
y 3 y 3 时，x 6
所以，水面下降1m，水面的宽 度为 2 6m.
用抛物线的知识解决生活中的一些 实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系
二次函数 问题求解
注意变量的取值范围
找出实际问题的答案
巩固练习 1.一个涵洞的截面成抛物线形(如图),现测得, 当水面宽 AB ＝ 1.6 m 时 , 涵洞顶点与水面的距离 为2.4 m.这时,离开水 面1.5 m处,涵洞宽 ED是多少？是否会 超过1 m？ E D
C B
甲
A 1m
丙
2.5m
丁
D
乙
o
1m
4m
3.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成 一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个 规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水 2 10 面 3 米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面 高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入 水姿势，否则就会出现失误． A （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动 员在空中的运动路线是（1） 中的抛物线，且运动员在空中 调整好入水姿势时，距池边的 水平距离为3 3 米，问此次跳水 B 5 会不会失误？
巩固练习 有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下 河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过 往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小 于18m，求水面在正常水位基础上上涨多 少米时，就会影响过往船只航行。
拱桥问题
② 选择运算简便的方法.
课后作业
见《学练优》本课时练习
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 2 二次函数的形式为 y ax
如何确定a是多少？
-2
-1 -2
1
2
A
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出 解得
A
∴-4=100a，a=-0.04 ∴y=-0.04x2.
二 利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距
离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运
行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，
篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中 心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少米？
导入新课
情境引入
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州 观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛
美丽的广州吧！
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的
坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y y y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
5悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地
看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥 面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建
人教版九年级上册第二十二章22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
一．导如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出二次函数的解析式类型.(1)_________ (2)_________ (3)_________二．思阅读课本完成探究一探究点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题合作探究如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？问题3如何确定a是多少？问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？知识要点：解决抛物线型实际问题的一般步骤.(1) 根据题意建立适当的直角坐标系；(2) 把已知条件转化为点的坐标；(3) 合理设出函数解析式；(4) 利用待定系数法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+2x+c表示．（1）请写出该抛物线的函数关系式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？变式如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．探究点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流喷嘴的水平距离x（m）之间满足（1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？变式某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？例3 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？三、检测1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=－4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在s后落地.2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为2113822y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.第2题图 第3题图3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A.50mB.100mC.160mD.200m4.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m ，拱顶距离水面 4 m ．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式.5.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m 时，达到飞行的最高点C 处，此时的竖直高度为45m ，他落地时的水平距离（即OA 的长）为60m ，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB 的长）．能力提升悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1) 若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；(2) 计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长.四、课堂小结、形成网络（一）小结拱桥问题和运动中的抛物线问题转化的关键→建立恰当的直角坐标系→①能够将实际距离准确的转化为点的坐标；①选择运算简便的方法.。