二次函数的实际应用(面积最值问题)

二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题

知识要点：

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：

1．运用配方法求最值；

2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，

利用判别式求最值；

3．建立函数模型求最值；

4．利用基本不等式或不等分析法求最值．

[例1]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A 出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t

的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：

63

363

3360726612626262

1

)1(2222有最小值等于时；当）（）（）

（）（）（）（S t t S t t t t t S t

t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=

[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米

则长为：x x 4342432-=+-(米)

则：)434(x x S -=

x x 3442+-=

4

289

)417(42+

-

-=x ∵104340≤-

176<≤x

∵64

17<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，

而当2

176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，

∴当6=x 时，604

289)4

176(42max =+--=S (平方米)

答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．

[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x ≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H

则有△AFB ∽△BHP ∴PH

BH BF

AF =，即3

41

2--=y x ，

∴52

1+-=x y ，

x x xy S 52

1

2+-==)42(≤≤x ，

此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x ≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，

对于42≤≤x 来说，当x=4时，124542

12=⨯+⨯-=最大S ．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30

元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

解：(1) 四边形EFGH是正方形．

图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点

按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，

故CE=CF =CG．

∴△CEF是等腰直角三角形

因此四边形EFGH是正方形．

(2)设CE=x, 则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元

那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10]

(

102+

24.0

2.0

)

x

-

=x

102+

(

3.2

)1.0

=x)4.0

-

0(<

当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．

作业布置：

1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是

，那么小球运动中的最大高度 最大h 4.9米 ．

2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．

5 m 12

m A

B

C

D

提示：利用对称性，答案：2080．

3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面