光学习题 光的衍射2
I
I0
1
0 题 11 图
I6 0.04 I0
I7 0.02 I0
I8 0 I0
根据以上光强度比例可做上图 12． 一束平行白色光垂直入射在每毫米 50 条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端 和第二级光谱的始端的衍射角之差为多少？（设可见光中最短的紫光的波长为 400nm， 最长的红光波长为 760nm） 解：该光栅的光栅常数为
有光阑存在时露出半波带数目为 k k 2 k1 3 ，所以这时 P 点的振幅
A a 2 a3 a 4 a1
I A 2 ( a1 ) 2 2 4 a1 I 0 A ( ) 2
4．波长为 632.8nm 的平行光射想直径为 2.76mm 的圆孔，与孔相距 1m 处放一屏。 试问（1）屏上正对圆孔中心的 P 点是亮点还是暗点？（2）要使 P 点变成与（1）相反 的情况，至少要把屏幕向前或向后移动多少？ 解： （1）因为是平行光入射所以 R ，则
100
A
a
k 1
2 k 1
a1 a3 a199
100a1
当移去波带片使用透镜后，透镜对所有光波的相位延迟一样，所以 a1 , a 2 , a3 , a 200 的方向是一致的，即：
200
A0 a k a1 a 2 a 200 200a1
r1 1.5 1 0.5m
2.76 10 3 ) 2 R R 2 r02 0.75m (k 1) 632.8 10 9 (3 1) k
2 hk ' 2 hk
(
r2 0.75 1 0.25m
故，应向前移动 0.25m，或向后移动 0.25m 5．一波带片由五个半波带组成。第一半波带为半径 r1 的不透明圆盘，第二半波带 是半径 r1 至 r2 的透明圆环， 第三半波带是 r2 至 r3 的不透明圆环， 第四半波带是 r3 至 r4 的 透明圆环，第五半波带是 r4 至无穷大的不透明区域，已知 r1 ：r2 ：r3 ：r4 1：2：3：4 ， 用波长 500nm 的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片 1m 的轴上。试求： （1） r1 ； （2）像点的光强； （3）光强极大值出现在轴上的那些位置上。 解： （1）因为是平行光入射所以 R ，则
2 2.29 0
‘ 2 1 0.110 6.7’ 7
13．用可见光（760—400nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级 和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？ 解：根据光栅方程
d sin j
sin j d
一级光谱对应的最大衍射角， 二级光谱对应的最小衍射角
解： （1）单缝衍射最小的位置
sin k k
b
tg k
y f'
y2
2f ' ， b
y1
1f ' b
y y 2 y1
2f ' f ' ' f b b b
yb 0.2 0.885 5.9 10 4 mm 590nm ' f 300
Rhk kr0
圆孔对于考察点 P 露出半波带数目为 2.76 ( 10 3 ) 2 2 Rhk 2 k 3 r0 632.8 10 9 1 因为圆孔对于考察点 P 露出奇数个半波带，所以 P 点是亮点。 （2）要使 P 点变成与（1）相反的情况，必须相对参考点露出的半波带数目 k ' 取 偶数 2.76 ( 10 3 ) 2 2 2 Rhk Rhk 2 r01 ' 1.5m (k 1) 632.8 10 9 (3 1) k
8．白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为 600nm 的光波的第二个次最大值重合，求该光波的波长 解：单缝衍射次最大的位置
1 sin k 0 (k 0 ) 2 b
第三个次最大可以表示为 第二个次最大可以表示为 据题意有： 从而得：
7 1 5 2 2 b 2 b
A a1 2
根据半波带数目计算式 Rh2 1 1 k ( ) r0 R
k1 k2
(0.5 10 3 ) 2 5000 10 10 (1 10 3 ) 2 5000 10 10
1 1 1 1 1 1 1 4 1 1
d 1 1 0.02mm N 50
根据光栅方程
d sin j
第一级光谱的末端对应的衍射角
sin 1
j1大 d
50 1 7600 10 7 0.038 ， 1 2.18 0
第二级光谱的始端对应的衍射角
sin 2
j 2 小 d
50 2 4000 10 7 0.04 ，
sin 1 400 10 9 800 10 9 d d d
sin 1 sin 2
所以
1 2 ，故没有重叠区域。
二级光谱对应的最大衍射角
j2'2 2 760 10 9 1520 10 9 sin '2 d d d
Rhk kr0 1.414mm ，
d 2 Rhk 2.828mm
3．波长为 500nm 的单色点光源离光阑 1m，光阑上有一个内外半径分别为 0.5mm 和 1mm 的透光圆环，接收点 P 离光阑 1m，就 P 点的光强 I 与没有光阑时光强 I 0 之比。 解：没有光阑时 P 点的合振幅为
（3）单缝衍射最小的位置
sin k k
b
tg k
y f'
yk
f '
b
3
546.1 10 7 100 0.164cm 0.1
10．钠光通过 0.2mm 的狭缝后，投射到与缝相距 300cm 的照相底片上，所得的第 一最小与第二最小间的距离为 0.885cm，问钠光的波长为多少？若改用 X 射线 （ 0.1nm) 做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少？
' '3
‘' j2 j ’ 400 3 2 600nm 3 3 ， ' '2 2 d d
jk
Aj
d' 4k 4,8, b
A0 N d b sin( j ) b j d
Ij I0
4 1.6 ( ) 2 sin 2 ( j ) 2 sin 2 ( j ) j 4 4 ( A0 N ) j
2
(Aj )2
I1 0.80 I0 I2 0.40 I0 I3 0.09 I0 I4 0 I0 I5 0.03 I0
k 1
(100a1 ) 2 1 I I 0 (200a 2 ) 2 4 7．平面光的波长为 480nm，垂直照射到宽度为 0.4mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距 为 60cm，分别计算当缝的两边到 P 点的相位差为 和 时，P 点离焦点的距离。 2 6 解：缝的两边到参考点 P 点的相位差可以表示为
A a 2 K a 2 a 4 2a 2
K
其中 所以
2 I 0 a2
I ( 2a 2 ) 2 = 4 I 0 （3）波带片还有次焦点： f
'
3
, f
'
5
, f
'
7
故光强极大值出现在轴上
1 m， 1 m， 1 m 1 等处。 3 5 7 （2k 1)
6． 波长为 的点光源经波带片成一个像点， 该波带片有 100 个透明奇数半波带 （1， 3，5，…，199） 。另外 100 个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口 径的透镜时该像点的强度比 I：I 0 。 解：该波带片露出 100 个奇数半波带，那么在考察点的振幅
三级光谱对应的最小衍射角
sin 3'
由于 当 当
j3 '3 3 400 10 9 1200 10 9 d d d
'2 '3 ，故有重叠区域
2 760 507.6nm 3
sin '2 sin '3 ，所以
j 2 '2 j " 3 3 ， d d
' y1' （2） y ' y 2
2' f ' ' f ' ' ' 300 1 10 7 f 1.5 10 4 cm b b b 0.2
11．以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍 射（包括缝与缝之间的干涉）图样，设缝宽为 b ，相邻缝间的距离为 d ， d 3b 。注 意缺级问题。 解：因为缝数为 N 3 ，光栅常数为 d ' b 3b 4b 最小值有 N 1 3 1 2 ，最大值有 N 2 3 2 1 缺级级次
2
b sin
2
btg
2
b
y f'
将上式变形为：
y
f' 2 b
y1 y2
f' 4800 10 7 600 1 0.18 （mm) 2 b 2 0.4 2 f' 4800 10 7 600 2 0.06 （mm) 2 b 2 0.4 6
光的衍射
1．单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第 k 个带的半径。若 极点到观察点的距离 r0 为 1m，单色光波长为 450nm，求此时第一半波带的半径。 解：因为是平面光所以 R ，则
光的衍射2
棱镜光谱是零级光谱。只有 一个级次，没有重级现象。
定义恰能分辨的两条谱线的平均波长 与 R 它们的波长差 之比为光栅的分辨本领 R
由光栅方程
P
( a b) sin k ( k 0,1,2) 加强
kf x a b
( k 0,1,2)
明纹
播放动画
播放动画
例：分光计作光栅实验，用波长 = 632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300 mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观 察谱线，最大衍射 角为 90°,
d
( a b) sin k
kmax ( a b) sin 90
o x
f
P
kmax
( a b) sin 90
3 . 5
3 1 10 9 300 632.8 10
-8
单缝衍射 轮廓线
4 8
-4
0
a b k m a k'
(m 1，3) 2，
m为整数时，光栅谱线中m、2m、3m等 处缺级。
I单
当 m=4 时 谱线中的第 –8、 – 4、4、 8级条纹缺级。
-2 -1
0 I 光栅衍射 光强曲线 1 2
单缝衍射 轮廓线
4 8
-8
-4
0
第五节 光栅光谱
X 射线的应用不仅开创了研究晶体结构的新领域， 而且用它可以作光谱分析，在科学研究和工程技 术上有着广泛的应用。 在医学和分子生物学领域也不断有新的突破。 1953年英国的威尔金斯、沃森和克里克利用 X 射线的结构分析得到了遗传基因脱氧核糖 核酸（DNA) 的双螺旋结构，荣获了1962 年 度诺贝尔生物和医学奖。
光学练习题光的干涉和衍射计算
光学练习题光的干涉和衍射计算光学练习题：光的干涉和衍射计算在光学领域中，干涉和衍射是两个重要的现象。
干涉是指光波的叠加，而衍射是指光波通过一个小孔或者由一些障碍物组成的小孔时所发生的弯曲现象。
本文将通过一些光学练习题来帮助读者更好地理解光的干涉和衍射。
练习题一：单缝衍射假设一束波长为λ的单色光以近似平行的光线通过一个宽度为b的狭缝，距离屏幕的距离为D。
计算在屏幕上距离中央亮纹的距离为y 的位置，光的强度与y的关系。
解答：单缝衍射的衍射角θ可以通过衍射公式求得：sinθ = mλ / b其中，m为整数，表示衍射的级次。
由衍射角可以推导出亮纹间距d：d = y / D = λ / b根据亮纹间距d与y的关系可得：y = mλD / b光的强度与y的关系可以通过振幅叠加原理得到，即所有衍射波的振幅的平方和。
练习题二：双缝干涉考虑一束波长为λ的单色光以近似平行的光线通过一个双缝系统，两个缝的间距为d。
计算在屏幕上距离中央亮纹的距离为y的位置，光的强度与y的关系。
解答：双缝干涉的干涉角θ可以通过干涉公式求得：sinθ = mλ / d其中，m为整数，表示干涉条纹的级次。
由干涉角可以推导出亮纹间距D：D = y / d = λ / d根据亮纹间距D与y的关系可得：y = mλD / d光的强度与y的关系同样可以通过振幅叠加原理得到。
练习题三：杨氏实验杨氏实验是一种通过干涉现象测量光波波长的方法。
实验装置如下图所示：（图略）其中，S为光源，P为偏振器，L为透镜，SS'为狭缝，NN'为接收屏。
在一定条件下，可以观察到一系列等距的干涉条纹。
题目：假设在经过透镜前的光束为平行光，透镜到接收屏的距离为L，狭缝到接收屏的距离为D。
计算干涉条纹间距d与波长λ的关系。
解答：在杨氏实验中，根据几何关系可以推导出干涉条纹间距d与波长λ的关系：d = λL / D这个关系式可以用于测量光波的波长。
练习题四：薄膜干涉当一束光波从一个介质到达另一个介质时，由于介质的折射率不同，导致光波发生反射和透射。
光的衍射2
5500 A 的绿光 , 问 （1 : ）人眼最小分辨角是多
25 cm ，仪器刻度上能看到的
（2 ) 眼睛的明视距离为
最小距离为多少？
( 3 ) 在教室的黑板上画的等
号两横线相距为
2 mm ，问在距黑板
10 m
4
远的同学能否看清？
解：(1)由
0
1 . 22
d
,有
8
d l
双缝干涉 I 4 I i cos 单缝衍射
2
,
2
2
d sin
IP
sin I0
a sin
双缝衍射=双缝干涉+单缝衍射
sin 2 I 4 I P co s 4 I 0 co s
2
2
I / I0
a 1 /100
a
d 21
(度 )
16.6 8.3 0
(a) 双 缝 干 涉 作 用
8.3
16.6
I / I0
a 7 d 0
(度 )
16.6 8.3 0 8.3 16.6
( b )单 缝 衍 射 作 用
I / I0
a 7 d 21
三
光学仪器的分辨本领
像中辨别物体细节的本
— —光学仪器通过成像从
领。
光学仪器的通光孔径 D
d
1 1 . 22
D
s 1 0 *
s 2*
l
D
1
f
d 2
0
1
最小分辨角
第3章光的衍射2(光栅夫琅禾费)_168209982
a0 -- 单缝衍射 = 0
处的振幅
9
图示光栅衍射的物理机制
1
再进行 一次多 光束干 涉
2
f
f
π sin sin N d sin A a0 sin
10
sin N A A0 sin
光栅衍射的光强： 1）单缝衍射和多光束干涉的结果共同决定。 2）干涉主极大处受到衍射极小的影响，导 致所谓的“缺级”现象。
12
四. 光栅夫琅禾费衍射光强分布特点 （1）各干涉主极大受到单缝衍射的调制。
I0 I单 单缝衍射光强曲线 -2 -1 多光束干涉因子 N2 0
例 N 4 , d 4a
2
sin
sin N sin
单缝衍射因子
2
多光束干涉因子
11
光强分布与缺级现象
sin I I0
2
sin N sin
2
π
a sin
π d sin
内的干涉主极大个数减少， 若出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
15
▲
若 d 不变 各干涉主极大位置不变；
单缝中央亮 a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽， 纹内的干涉主极大个数增加，缺级的级次变高。 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变 极端情形： 为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各 干涉主极大光强几乎相同。
§3.3 多缝的夫琅禾费衍射
一. 光栅（grating） 光栅是现代科技中常用的重要光学元件。 光通过光栅衍射可以产生明亮尖锐的亮纹， 复色光入射可产生光谱，用以进行光谱分析。
光的衍射2
例:以氦放电管发出的光垂直照射到某 以氦放电管发出的光垂直照射到某 光栅上,测得波长 光栅上 测得波长λ1=0.668µm 的谱线的衍 射角为 ϕ =20°.如果在同样 ϕ 角处出现波 如果在同样 λ2=0.447µm的更高级次的谱线 的更高级次的谱线, 长 那么光栅常数最小是多少? 那么光栅常数最小是多少 解:由光栅公式得 由光栅公式得 sin ϕ = k1λ1 (a + b) = k2λ2 (a + b) k1λ1 = k2λ2 k2 k1 = λ1 λ2 = 0.668 0.447
§4
光栅衍射
一. 衍射对双缝干涉的影响 不考虑衍射时, 双缝干涉的光强分布图： 不考虑衍射时, 双缝干涉的光强分布图：
I I0
− 3λ − λ − λ λ 0 2d d 2d 2d
λ
d
3λ 2d
sin θ
设双缝的每个缝宽均为 a，在夫琅禾费衍 射下，每个缝的衍射图样位置是相重叠的。 射下，每个缝的衍射图样位置是相重叠的。
准直缝 晶体 X射线 射线 劳厄斑
* 穿透力强 * 波长较短的电磁波， 波长较短的电磁波， 范围在 0.001nm~10nm之间。 之间。 之间
·· · ·
证实了X射线的波动性
二. X射线在晶体上的衍射
同一晶面上相邻原子 D C 散射的光波的光程差 ϕ 1 零 AD-BC= 0， 它们 ， A B 相干加强。 相干加强。若要在该 P 2 N M 方向上不同晶面上原 d 3 子散射光相干加强， 子散射光相干加强， 则必须满足： 则必须满足： ∆ = NM + MP = kλ k = 1,2,3L 时各层面上的反射光相干加强， 即当 2d ⋅sin ϕ = kλ 时各层面上的反射光相干加强，形 成亮点， 级干涉主极大。该式称为布喇格公式 布喇格公式。 成亮点，称为 k 级干涉主极大。该式称为布喇格公式。 因为晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离 d 各 因为晶体有很多组平行晶面， 不相同所以，劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。 不相同所以，劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。
光的衍射2
V、当 、
5λ asin ϕ = 2
A
BC=aSinϕ ϕ P5
二级明纹 二级暗纹 一级明纹 一级暗纹 中央明纹
a
5λ B C 2
半波带 半波带 半波带 半波带 半波带
P0
单缝隙被分为五个半波带， 单缝隙被分为五个半波带，在P5点有四个波带 的光强被抵消。产生第二级明纹， 的光强被抵消。产生第二级明纹，但比第一级 暗。
conditions of maximum and minmum： ： P ϕ A A P0 a a BC=aSinϕ ϕ B C B
中央 明纹
The rays extending from the slit to P。all have the 。 same optical path lengths。 。 ϕ Ⅰ、当 a sin ϕ = 0 The central point P。 of the diffraction pattern 。 has a maximum intensity.
2. Fraunhofer diffraction by single silt (夫朗和费单缝衍射 夫朗和费单缝衍射) 夫朗和费单缝衍射 E L1 S a L2
A D
f
中央 明纹
L L1、 2 lens 透镜 A：single silt 单缝 ： E：screen 屏幕 ：
X A a BC
9
ϕ
ϕ
O
Y
ϕ
f
D
P1 I P2
2级明纹 级明纹 1级明纹 级明纹 中央明纹 -1级明纹 级明纹 -2级明纹 级明纹
a
焦平面 单缝衍射条纹的特点： 单缝衍射条纹的特点： Ⅰ、各级明纹的光强度随衍射角 ϕ 的增加而 （ 迅速减小。 剩余的半波带的面积减小） 迅速减小。 剩余的半波带的面积减小） Ⅱ、中央明条纹的角宽度和线度
第二章 光的衍射 习题
光的衍射一、填空题1. 衍射可分为 和 两大类。
2. 光的衍射条件是_障碍物的限度和波长可比拟____。
3. 光波的波长为λ的单色光，通过线度为L 的障碍物时，只有当___λ>>L_________才能观察到明显的衍射现象。
4. 单色平面波照射到一小圆孔上,将其波面分成半波带.若几点到观察点的距离为1m ，单色光的波长为4900Å,则此时第一半波带的半径为_________。
5. 惠更斯－菲涅尔原理是在惠更斯原理基础上，进一步考虑了__次波相干叠加______________，补充和发展了惠更斯原理而建立起来的。
6. 在菲涅尔圆孔衍射中，单色点光源距圆孔为R ，光波波长为λ，半径为ρ的圆孔露出的波面对在轴线上的距圆孔无限远处可作的半波带数为__λρR /2_______________。
7. 在菲涅尔圆孔衍射中，圆孔半径为 6 mm ，波长为6000οA 的平行单色光垂直通过圆孔，在圆孔的轴线上距圆孔6 m 处可作_____10___个半波带。
8. 在菲涅尔圆孔衍射中，入射光的强度为I 0，当轴线上P 点的光程差为2λ时，P 点的光强与入射光强的比为_____4__________。
9. 在菲涅尔圆孔衍射中，入射光的振幅为A 0，当轴线上P 点恰好作出一个半波带，该点的光强为__________20A ______。
10. 在夫琅禾费单缝衍射中，缝宽为b ，在衍射角为方向θ，狭缝边缘与中心光线的光程差为____________。
11. 在夫琅禾费单缝衍射中，缝宽为b ，波长为λ，在衍射角为方向θ，狭缝两边缘光波的位相差为____________。
12. 在夫琅禾费单缝衍射中，缝宽为b ，波长为λ，观察屏上出现暗纹的条件，衍射角θ可表示为_____________。
13. 夫琅禾费双缝衍射是___________与___________的总效果，其光强表达式中______________是单缝衍射因子，______________是双缝干涉因子。
光学教程(重要)第2章光的衍射2
b A : 反映了障碍物与光波波长之间的辩证关系 : 限制越强, 扩张越显著; 在何方限制, 就在何方扩张.
称为衍射反比定律, 包含如下意义 :
B : b , 是一种光学变换放大, 而非简单几何放大.
9、衍射图样与缝在垂直于透镜L的光轴方向上的位置无关。
L
∵ 衍射角相同的光线，会 聚在接收屏的相同位置上。
(4) 光强分布图： (5) 艾里斑： 第一级暗环所包围的部分为中央亮斑， 称为艾里斑，其上光强占总入射光强的 84%。 其半角宽度为 : 1 sin 1 0.610 R 1.22 ( D为圆孔直径) D 线半径 : l f tan 1 f sin 1 1.22 f D
P0
7、 由 :
1 b b A : b 亮条纹变窄, 条纹间距变小 整个花样压缩;
一定
b 亮条纹变宽, 条纹间距变大 整个花样扩展; B : b 0, 花样压缩为一条直线, 为缝的像 直线传播; (日常生活中的常见情况) b与可比拟时, 0 衍射现象明显.
l
P
由暗条纹公式: sin k k
k
得:
中央亮条纹角宽度: 0 1 1 2
b
f
b
' 2
P0
次最大亮条纹角宽度: k 1 k
相应线宽度 : 中央条纹 : l0 f 2 tan 1 tan 1 f 2 sin 1 sin 1 f 2 0 2 f 2 其它亮条纹 : l f 2
y tan u
-π π 2π 3π
u
《光学教程》(姚启钧)第二章 光的衍射
3. 惠更斯-菲涅耳原理（1818）
菲涅耳对惠更斯原理的改进: 给不同次波赋予相应的相位和振幅，并将次波的干涉 叠加性引入惠更斯原理，得到衍射的定量表达式。
波面S上每个面元dS都是次波源，次波在p点引起振动的振幅与面积dS成正 比，与距离r成反比，且与倾角有关。
A(Q) K ( ) dE( P) dS r
相应的振动相位依次为：
a1 a2 a3 a4 ...... ak ak 1
f1，f1+，f1+2， f1+3，…f1+(k-1)，f1+k。
对于轴上光源点 S 和轴上场点 P ，设圆孔恰好分 为 k 个半波带，则有
~ i 1 E1 a1e ~ i 1 E2 a2e ~ i 1 2 E3 a3e
次波中心Q 的光振幅 Q点在p 点引起的 光波振幅 倾斜因子 次波中心附 近的小面元
d · r S Q S(波面)
次波中心 设初相为零
n
dE(p) · p
观 察 点
倾斜因子K()的特点
A(Q) K ( ) dE( p) C dS cos(kr t ) r
0, K K max K ( ) , K 0 2
2
1mm 1000 mm 1000 mm 4 6 1000 mm 1000 mm 500 10 mm
2
半径为0.5mm的圆屏挡住的波带数为：
j
'
0.5mm 1000mm 1000mm 1 1000mm 1000mm 500 106 mm
又：
( h r0 , R)
2 2
R rk (r0 h)
工程光学习题参考答案第十二章-光的衍射
第十二章 光的衍射1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。
解：（1）零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0aλθ∆=∴亮纹半宽度290035010500100.010.02510r f f m a λθ---⨯⨯⨯=⋅∆===⨯ （2）第一亮纹，有1sin 4.493a παθλ=⋅= 同理224.6r mm =（3）衍射光强20sin I I αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中sin a παθλ= 当sin a n θλ=时为暗纹，tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0II0 0 11 4.493 0.047182 7.725 0.01694 . . . . . . . . .2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为20sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为λθ∆=图12-50 习题3图解：设直径为a ，则有f d aλ=4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和b 的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2ab =时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。
∴P 当（12449416a ca ⎫-=⎪⎭ ∴()()09016aI I = （2）第一暗纹有()()22110a J ka b J kb ka kb θθθθ-= 查表可有 3.144ka θ=4． （1）一束直径为2mm 的氦氖激光（632.8nm λ=）自地面射向月球，已知地面和月球相距33.7610km ⨯，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m 的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？ 解：（1）圆孔衍射角半宽度为0.61aλθ=∴传到月球上时光斑直径为（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。