考研数学三概率论与数理统计(大数定律和中心极限定理)模拟试卷1
考研数学三概率论与数理统计（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(总分：86.00，做题时间：90分钟)一、<B>选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
</B>(总题数：10，分数：20.00)1.设随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立，S n =X 1 +X 2+…+X N，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时S N近似服从正态分布，只要X 1，X 2，…，X N（分数：2.00）A.有相同期望和方差．B.服从同一离散型分布．C.服从同一均匀分布．√D.服从同一连续型分布．解析：解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，…，X n独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在。
选项(A)不成立，因为X 1，X 2，…，X n有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．2.假设随机变量X 1，X 2，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1，X 2，…，X n，…B.X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…C.X 1，2X 2，…nX n,…√解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X 1，…，X n，…，还是X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…；X 1，2X 2，…，nX n，…以及X 1，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EX n =λ，DX2λ，．因此四个备选答案都n =λ，E(X n +n)=λ+n，D(X n +n)=λ，E(nX n )=nλ，D(nX n )=n满足第二个条件；第三个条件是方差DX 1，…，DX n，…有公共上界，即DX n＜c，c是与n无关的常数．对于(A)=DX n =λ＜λ+1；对于(B)：D(X n +n)=DX n =λ＜λ+1；对于(C)：D(nX n )=n 2 DX n =n 2λ没有公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．3.设随机变量序列X 1，…X n，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时学期望，只要{X n，n≥1}（分数：2.00）A.有相同的数学期望．B.有相同的方差．C.服从同一泊松分布．√D.服从同一连续型分布，一∞＜x＜+∞)．解析：解析：辛钦大数定律要求：{X n，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．4.设X n表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F α (3，4)满足P{X＞F α (3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=（分数：2.00）√C.F α (4，3)．D.F 1-α (4，3)．解析：解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1一α=P{X≤x}=P{X＜x}= 所以=F 1-α(4，3)，即因此选(A)．6.设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N(0，2 2 )的简单随机样本，记Y=a(X 1一2X 2 ) 2 +b(3X 3—4x2，其中a，b为常数．已知Y～χ2 (n)，则4 )（分数：2.00）A.n必为2．B.n必为4．C.n为1或2．√D.n为2或4．解析：解析：依题意X i～N(0，2 2 )且相互独立，所以X 1 -2X 2～N(0，20)，3X 3—4X 4～N(0，100)，且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时，Y～χ2(2)；(2)当b=0，或a=0，时，Y～χ2 (1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．7.设X 1，X 2，…，X n是来自标准正态总体的简单随机样本，S 2为样本均值和样本方差，则（分数：2.00）服从自由度为n一1的χ2分布．D.(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布．√解析：解析：显然，(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，由于X 1，X 2，…，X n相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．8.设随机变量X～t(n)(n＞1)，（分数：2.00）A.Y～χ2 (n)．B.Y～χ2 (n一1)．C.Y～F(n，1)．√D.Y～F(1，n)．解析：解析：根据t分布的性质，如果随机变量X～t(n)，则X 2～F(1，n)，又根据F分布的性质，如果X 2～F(1，n)，则～F(n，1)．因此～F(n，1)，故应选(C)．9.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t α满足P{X≤t α }=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x等于（分数：2.00）A.t 1-b．C.t b．√解析：解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}= 根据题设定义P{X≤t α }=1一α，可知应选(D)．10.假设总体X的方差DX存在，X 1，…，X n是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，则EX 2的矩估计量是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：按定义，EX 2的矩估计量是由于所以EX 2的矩估计量，选(D)．二、填空题(总题数：20，分数：40.00)11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：7/2）解析：解析：设X 1，X 2，…，X n是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX=21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．12.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ2 )，记Y n =X 2n一X 2n-1，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2σ2．）解析：解析：由于{X n，n≥1}相互独立，故Y n =X 2n一X 2n-1(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2 )，所以{Y n2，n≥1}独立同分布且EY n2 =DY n +(EY n ) 2 =2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于2σ2．13.随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X 1，X 2，…，X n，对任何ε＞0，则a= 1b= 2．答案（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a=3）填空项1:__________________ （正确答案：b=11）解析：解析：依题意X 1，…，X n相互独立且有相同的概率分布：P{X i=k}= (k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EX i = (1+2+3+4+5)=3．根据辛钦大数定律，当n→∞时，依概率收敛于3，即a=3．同理，X 12，…，X n2相互独立且P{X i2 =k 2 }= (k=1，2，3，4，5)，EX i2 = (1+4+9+16+25)=11，当n→∞时依概率收敛于11，即b=11．14.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则= 1(结果用标准正态分布函数ψ(x)表示)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于X n相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，所以EX n =0，DX n = 根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有15.设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α= 1．答案（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0.84）解析：解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且 [*] 由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量 [*] 近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=P{16≤X≤32}=[*] ≈ψ(3)一ψ(一1)=ψ(3)一[1一ψ(1)]=0．9987一(1一0．8413)=0．84，其中ψ(u)是标准正态分布函数．16.设X 1，X 2，…，X 100是独立同服从参数为4的泊松分布的随机变量，是其算术平均值，则≤4．392}≈ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0.975）解析：解析：由于EX k =DX k =4，因为n=100充分大，故由列维一林德伯格定理知．近似地服从正态分布N(4，0．2 2 )．因此，有17.设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X 1，X 2，…，X n的联合概率密度f(x 1，x 2，…，x n )= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：总体X的概率密度f(x)= 由于X 1，X 2，…，X n相互独立，且与总体X服从同一指数分布，因此18.设总体X～P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X 1，X 2，…，X n的样本均值1．答案（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由泊松分布的可加性可知，当X 1，X 2独立时，X 1 +X 2～P(2λ)，继而有X 1，X 2，…，X n独立同为P(λ)分布时，于是，对任意n＞2，的概率分布为19.设(2，1，5，2，1，3，1)是来自总体X的简单随机样本值，则总体X的经验分布函数F n (x)= 1.答案（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：将各观测值按从小到大的顺序排列，得1，1，1，2，2，3，520.已知χ2～χ2 (n)，则E(χ2 )= 1．答案（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由χ2分布的典型模式χ2 =X 12 +X 22+…+X n2 = ，而X i～N(0，1)，且X i相互独立，由于E(X i2 )=D(X i )+[E(X i )] 2 =1+0=1，所以E(χ2=n．21.已知X 1，X 2，X 3相互独立且服从N(0，σ2 )，则 1。
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
五、大数定律与中心极限定理(答案)
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第五章 大数定律与中心极限定理一、选择题：1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}n n P p n με→∞-≥ [ A ]（A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在2．设随机变量X ，若2() 1.1,()0.1E X D X ==，则一定有 [ B ]（A ）{11}0.9P X -<<≥ （B ）{02}0.9P X <<≥（C ）{|1|1}0.9P X +≥≤ （D ）{|}1}0.1P X ≥≤》3．121000,,,X X X 是同分布相互独立的随机变量，~(1,)i X B p ，则下列不正确的是 [ D ]（A ）1000111000i i X p =≈∑ （B）10001{}i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑ （C ）10001~(1000,)i i X B p =∑ （D ）10001{}()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑二、填空题：1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据契比雪夫不等式{}6P X Y +≥≤三、计算题：1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少解：设第i 件零件的重量为随机变量i X ，根据题意得0.1.i EX ==5000500011()50000.52500,()50000.0150.i i i i E X D X ===⨯==⨯=∑∑ ;5000500012500(2510)110.92070.0793.i i i X P X P =->=>≈-Φ≈-=∑∑2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布。
考研数学三(随机变量的数字特征与大数定理和中心极限定理)模拟
考研数学三（随机变量的数字特征与大数定理和中心极限定理）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设X和Y分别表示扔n次硬币出现正面和反面的次数，则X，Y的相关系数为( )．A．-1B．0C．1／2D．1正确答案：A解析：设正面出现的概率为P，则X～B(n，p)，Y＝n－X～B(n，1－P)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－P)，E(Y)＝n(1－p)，D(Y)＝np(1－p)，Cov(X，Y)＝Cov(X，n－X)＝Cov(X，n)－Cov(X，X)，因为Cov(X，n)＝E(nX)－E(n)E(X)＝nE(X)－nE(X)＝0，Cov(X，X)＝D(X)＝np(1－P)，所以ρxy＝＝－1，选A．知识模块：随机变量的数字特征2．设随机变量X～U[－1，1]，则随机变量U＝arcsinX，V＝arccosX的相关系数为( )．A．-1B．0C．1／2D．1正确答案：A解析：当P{Y＝aX＋b}＝1(a＞0)时，ρxy＝1；当P{Y＝aX＋b)＝1(a＜0)时，ρxy＝－1．因为arcsinx＋arccosx＝(－1≤x≤1)，即U＋V＝或U＝－V＋，所以ρUV＝－1，选A．知识模块：随机变量的数字特征3．对于随机变量X1，X2，…，Xn，下列说法不正确的是( )．A．若X1，X2，…，Xn两两不相关，则D(X1＋X1＋…＋Xn)＝D(Xi)B．若X1，X2，…，Xn相互独立，则D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)C．若X1，X2，…，Xn相互独立同分布，服从(0，σ2)，则D．若D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)，则X1，X2，…，Xn两两不相关正确答案：D解析：若X1，X2，…，Xn相互独立，则B，C是正确的，若X1，X2，…，Xn两两不相关，则A是正确的，选D．知识模块：随机变量的数字特征4．设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X，Y的相关系数为ρxy＝－0．5，且P(aX＋by≤1)＝0．5，则( )．A．a＝，b＝－B．a＝，b＝－C．a＝－，b＝D．a＝，b＝正确答案：D解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以aX＋bY服从正态分布，E(aX ＋bY)＝a＋2b，D(aX＋bY)＝a2＋4b2＋2abCov(X，Y)＝a2＋4b2－2ab，即aX＋bY～N(a＋2b，a2＋4b2－2ab)，由P(aX＋bY≤1)＝0．5得a＋2b＝1，所以选D．知识模块：随机变量的数字特征填空题5．设随机变量x的密度函数为f(x)＝则P{｜X－E(X)｜＜2D(X)}＝____________．正确答案：解析：E(X)＝f(x)dx＝6x2(1－x)dx＝2－，E(X2)＝x2f(x)dx＝6x3(1－x)dx＝，则D(X)＝，于是P{｜X－E(X)｜＜2D(X)}＝P{｜X－=｜＜}＝P(＜X＜)．＝6x(1－x)dx＝．知识模块：随机变量的数字特征6．设X的分布函数为F(x)＝且Y＝X21，则E(XY)＝____________．正确答案：－0．6解析：随机变量X的分布律为X～，E(XY)＝E[X(X2－1)]＝[(X3－X)＝E(X3)－E(X)，因为E(X3)＝－8×0．3＋1×0．5＋8×0．2＝－0．3，E(X)＝－2×0．3＋1×0．5＋2×0．2＝0．3，所以E(XY)＝－0．6．知识模块：随机变量的数字特征7．设随机变量X的密度函数为f(x)＝，则E(X)＝____________，D(X)＝____________．正确答案：1,解析：因为f(x)＝，所以X～N(1，)，于是E(x)＝1，D(X)＝．知识模块：随机变量的数字特征8．设随机变量X～P(λ)，且E[(X－1)(X－2)]＝1，则λ＝____________．正确答案：1解析：因为X～P(λ)，所以E(X)＝λ，D(X)＝λ，故E(X2)＝D(X)＋[E(X)]2＝λ2＋λ．由E[(X－1)(X－2)]＝E(X2－3X＋2)＝E(X2)－3E(X)＋2＝λ2－2λ＋2＝1得λ＝1．知识模块：随机变量的数字特征设随机变量X，Y不相关，X～U(－3，3)，Y的密度为fY(y)＝根据切比夫不等式，9．有P{｜X－Y｜＜3}≥____________．正确答案：解析：E(X)＝0，D(X)＝3，E(Y)＝0，D(Y)＝，则E(X－Y)＝0，D(X－Y)＝D(X)＋D(Y)－2Cov(X，Y)＝，所以P{｜X－Y｜＜3}＝P{｜(X－Y)－E(X－Y)｜＜3}≥1－．知识模块：大数定律和中心极限定理10．设随机变量X1，X2，…，X10相互独立，且Xi～π(i)(i＝1，2，…，10)，Y＝Xi，根据切比雪夫不等式，P{4＜Y＜7)≥____________．正确答案：解析：由Xi～π(i)得E(Xi)＝i，E(Di)＝i(i＝1，2，…，10)，E(Y)＝E(Xi)＝，D(Y)＝D(Xi)＝，则P{4＜Y＜7}＝P{－＜Y－E(Y)＜}＝P{｜Y－E(Y)｜＜}≥1－．知识模块：大数定律和中心极限定理11．将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为X，用切比雪夫不等式估计P(14＜X＜28)＝____________．正确答案：解析：设Xi为第i次的点数(i＝1，2，3，4，5，6)，则X＝Xi，其中Xi～(i＝1，2，3，4，5，6)，E(Xi＝×k＝，E(X2i)＝×k2＝，D(Xi＝，i＝1，2，3，4，5，6．则E(X)＝6×＝21，D(X)＝6×，由切比雪夫不等式，有P(14＜X＜28)＝P{｜X－E(X)｜＜7}≥1－．知识模块：大数定律和中心极限定理12．设X1，X2，…，X100相互独立且在区间[－1，1]上同服从均匀分布，则由中心极限定理P()≈____________．正确答案：0.8413解析：令U＝Xi，则E(U)＝0，D(U)＝100×，则P(Xi≤)＝P(≤1)≈(1)＝0．8413．知识模块：大数定律和中心极限定理解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第五章 大数定律及中心极限定理教学要求：一、了解大数定律的直观意义； 二、掌握Chebyshev 不等式；三、了解Chebyshev 大数定理和贝努里大数定理； 四、会用中心极限定理估算有关事件的概率．重点：中心极限定理．难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理．综合练习题一、选择题1.设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且1,2,,i n = .令∑==ni i n X Y 1，1,2,,i n = ，()x Φ为标准正态分布函数，则()=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞→11lim p np np Y P n n （B ）. （A ）0 ； （B ）()1Φ； （C ）()11Φ-； （D ）1.6 . 2.设()x Φ为标准正态分布函数，0,1,i A X A ⎧=⎨⎩事件不发生，事件发生，()100,,2,1 =i ，且()8.0=A P ，10021,,,X X X 相互独立.令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数()y F 近似于（B ）. （A ）()y Φ； （B ）⎪⎭⎫⎝⎛-Φ480y ； （C ）()8016+Φy ； （D ）()804+Φy .3.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且i X () ,,,2,1n i =都服从参数为21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑==ni i n X n Z 11的概率分布近似服从（B ）.（A ）()4,2N ； （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 4,2； （C ）⎪⎭⎫⎝⎛n N 41,21； （D ）()n n N 4,2. 二、填空题1.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2σ，令∑==ni i n X n Z 11，则对任意正数ε，有{}=≤-∞→εμn n Z P lim 1 .2.设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差()μ=i X E ，()02>=σi X D ，() ,2,1=i ， 则对任意实数x ， =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim ()x Φ. 3.设()1-=X E ，()4=X D ，则由切比雪夫不等式估计概率{}42P X -<<≥95. 4.设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-3121X P 41. 5.设随机变量()2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P 0062.0.（其中()()9938.05.2=Φ）三、应用题1. 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%， 求任一时刻有70至86台车床在工作的概率.解：设⎩⎨⎧=台车床没有工作第台车床正在工作第i i X i .0.1（100,,2,1 =i ），且()8.0,1~B X i ，则100台车床中在任一时刻正在工作的机床台数为10021X X X X +++= ，且()80=X E ，()16=X D ，（其中10021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-≤-=≤≤16808616801680708670X P X P()()()()927.015.25.15.25.1=-Φ+Φ=-Φ-Φ≈.2. 某计算机系统有120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少有10个终端同时使用打印机的概率.解：设,,0,1⎩⎨⎧=个终端没有使用打印机第个终端正在使用打印机第i i X i （120,,2,1 =i ），且()05.0,1~B X i ，则120个终端中同时使用打印机的台数为12021X X X X +++= ，且()6=X E ，()7.5=X D （其中12021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得:()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=<-=≥7.56107.56110110X P X P X P()0465.09535.0168.11=-=Φ-≈.３.设某产品的废品率为0.005，从这批产品中任取1000件，求其中废品率不大于0.007的概率.解：设1000件设产品的废品数为n μ，易知()005.0,1000~B n μ，则()()(),975.41,5=-===p np D np E n n μμ 相应的废品率为nnμ，()1000=n 由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理知：当n 充分大时n μ近似地服从正态分布，于是由中心极限定理近似可得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤=⎪⎭⎫⎝⎛≤975.457975.457007.0n n n P P n P μμμ()8159.09.0=Φ≈.４.在掷硬币的试验中，至少掷多少次，才能使正面出现的频率落在（0.4，0.6）区间的概率不小于0.9？解：设A n 表示n 次试验中正面出现的次数，;.0.1⎩⎨⎧=次试验中出现反面第次试验中出现正面第i i X i （n i ,,2,1 =），显然()5.0,~21n B X X X n n A +++= （其中n X X X ,,,21 独立同分布），()(),25.0,5.0n n D n n E A A ==于是正面出现的频率nn A应满足9.06.04.0≥⎪⎭⎫⎝⎛<<n n P A .从而由中心极限定理知：()n n n P n n P A A 6.04.06.04.0<<=⎪⎭⎫⎝⎛<<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<-<-=n n n n n n n n n P A 25.05.06.025.05.025.05.04.0()()()12.022.02.0-Φ=-Φ-Φ≈n n n , 要使9.06.04.0≥⎪⎭⎫⎝⎛<<n n P A ，只要()9.012.02≥-Φn ，即()95.02.0≥Φn .反查表可得65.12.0≥n ，即06.68≥n ，所以至少掷69次，才能使正面出现的频率落在（0.4，0.6）区间的概率不小于0.9.５.设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，必须有85个以上的部件正常工作，才能保证系统正常运行，求整个系统正常工作的概率.解：设X 为100个相互独立的部件中正常工作的部件数，则()9.0,100~B X ，()()(),91.09.01001,909.0100=⨯⨯=-==⨯==p np X D np X E 整个系统正常工作的概率为()85>X P .由中心极限定理知：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=≤-=>99085990185185X P X P X P9525.035351=⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-≈. ６.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木材中随机抽取100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？解：设X 为100根木柱中长度小于3米的根数，易知()2.0,100~B X ，()(),16,20==X D X E 则所求问题为()30≥X P ，由中心极限定理知：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=<-=≥1620301620130130X P X P X P()0062.09938.015.21=-=Φ-≈.7.某车间有同型号机床200台，它们独立地工作着，每台开动的概率均为0.7，开动时耗电均为1.5千瓦，问电厂至少要供给该车间多少电力，才能以99..5%的概率保证用电需要？解：设⎩⎨⎧=台机床没有工作第台机床正在工作第i i X i .0.1（200,,2,1 =i ），且()7.0,1~B X i ，记X 某时刻正在工作的机床数，则20021X X X X +++= ，()(),42,140==X D X E 于是某时刻该车间的耗电数为X Y 5.1=千瓦.设供给该车间的电力数为α千瓦，则问题要求是()995.0=≤αY P ，由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理知：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤=≤5.15.1αααX P X P Y P995.0421405.1421405.142140=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-=ααX P , 查标准正态分布表，得58.2421405.1=-α，即 235=α.所以电厂至少要供给该车间235千瓦的电力，才能以%5.99的概率保证用电需要.。
考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷30(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷30(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设X1，…，Xn为相互独立的随机变量，Sn＝X1＋…＋Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，…，Xn 【】A．有相同的数学期望B．有相同的方差C．服从同一指数分布D．服从同一离散型分布正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．设总体X～N(μ，σ2)，从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn，记则Y1～_______，Y2～_______(写出分布，若有参数请注出)且【】A．Y1、Y2均与独立．B．Y1、Y2均与不独立．C．Y1与独立，而Y2未必．D．Y2与独立，而Y1未必．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计填空题3．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～N(4，5)，Y～N(－2，9)，Z～N(2，2)，则P{0≤X＋Y－Z≤3}_______．(Ф()＝0．7734)正确答案：0.2734解析：E(X＋Y－Z)＝EX＋EY－EZ＝4－2－2＝0，D(X＋Y－Z)＝DX ＋DY＋DZ＝5＋9＋2＝16，∴X＋Y－Z～N(0，16)，故P{0≤X＋Y－Z≤3}＝－Ф(0)＝0．7734－0．5＝0．2734．知识模块：概率论与数理统计4．设作一次实验的费用为1000元，如果实验失败，则要另外再花300元对设备调整才能进行下一次的实验．设各次实验相互独立，成功的概率均为0．2，并假定实验一定要进行到出现成功为止．求整个实验程序的平均费用为_______．正确答案：2200(元) 涉及知识点：概率论与数理统计5．对随机变量X，Y，Z，已知EX＝EY＝1，EZ＝－1，DX＝＝DY＝1，DZ＝4，ρ(X，Y)＝0，ρ(X，Z)＝，ρ(Y，Z)＝－．(ρ为相关系数)则E(X＋Y＋Z)＝_______，D(X＋Y＋Z)＝_______，cov(2X＋Y，3Z＋X)＝_______．正确答案：1；；3．涉及知识点：概率论与数理统计6．n个小球和n个盒子均编号1，2，…，n，将n个小球随机地投入n个盒中去，每盒投1个球．记X为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求E(X)＝_______．正确答案：1 涉及知识点：概率论与数理统计7．在长为a的线段AB上独立、随机地取两点C，D，试求CD的平均长度为_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计8．设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如下)．其中α，β未知，但已知EY＝，则α＝_______，β＝_______，EX＝_______，E(XY)＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计9．设(X，Y)在D：｜χ｜＋｜y｜≤a(a＞0)上服从均匀分布，则E(X)＝_______，E(Y)＝_______，E(XY)＝_______．正确答案：0；0；0．涉及知识点：概率论与数理统计10．对随机变量X，Y，已知3X＋5Y＝11，则X和Y的相关系数为_______．正确答案：－1 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计12．设X～F(n，n)且P(｜X｜＜A)＝0．3，则P(X＜)＝_______．(其中A 为一常数)．正确答案：0．7 涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数
考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设X1，X2，…，Xn，…相互独立，则X1，X2，…，Xn，…满足辛钦大数定律的条件是( )．A．X1，X2，…，Xn，…同分布且有相同的数学期望与方差B．X1，X2，…，Xn，…同分布且有相同的数学期望C．X1，X2，…，Xn，…为同分布的离散型随机变量D．X1，X2，…，Xn，…为同分布的连续型随机变量正确答案：B解析：根据辛钦大数定律的条件，选B．知识模块：大数定律和中心极限定理2．设(X1，X2，X3)为来自总体X的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )．A．X1+2+X3B．kX12+(1+k)X22+X32C．X12+2X22+X32D．正确答案：B解析：因为统计量为样本的无参函数，选B．知识模块：数理统计的基本概念3．设(X1，X2，…，Xn)(n≥2)为标准正态总体X的简单随机样本，则( )．A．～N(0，1)B．nS2～χ2(n)C．D．正确答案：D解析：由X12～χ2(1)，Xi2～χ2(n-1)，得～F(1，n-1)，选D．知识模块：数理统计的基本概念4．设X～t(2)，则服从的分布为( )．A．χ2(2)B．F(1，2)C．F(2，1)D．)χ2(4)正确答案：C解析：因为X～t(2)，所以存在U～N(O，1)，V～χ2(2)，且U，V相互独立，使得X=，则，因为V～χ2(2)，U2～χ2(1)且V，U2相互独立，所以～F(2，1)，选C．知识模块：数理统计的基本概念5．设随机变量X～F(m，n)，令P{X＞Fa(m，n)}a(0＜a＜1)，若P(X＜k)=a，则k等于( )．A．Fa(m，n)B．F1-a(m，n)C．D．正确答案：B解析：根据左、右分位点的定义，选B．知识模块：数理统计的基本概念6．设X，Y都服从标准正态分布，则( )．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2，Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：因为X，Y不一定相互独立，所以X+Y不一定服从正态分布，同理B，D也不对，选C．知识模块：数理统计的基本概念7．设随机变量X～F(m，m)，令p=P(X≤1)，q=P(X≥1)，则( )．A．p＜qB．p＞qC．p=qD．p，q的大小与自由度m有关正确答案：C解析：因为X～F(m，m)，所以～F(m，m)，于是q=P(X≥1)=P(≤1)，故p=q，选C．知识模块：数理统计的基本概念填空题8．设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{｜X-E(X)｜≥2}≤=_______．正确答案：解析：P{｜X-E(X)｜≥2}≤知识模块：大数定律和中心极限定理9．若随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布于N(μ，22)，则根据切比雪夫不等式得P(｜～μ｜≥2}≤_______．正确答案：解析：因为X1，X2，…，Xn相互独立同分布于N(μ，22)，所以从而知识模块：大数定律和中心极限定理10．设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单随机样本，～________，=_________.正确答案：解析：知识模块：数理统计的基本概念11．设X为总体，E(X)=μ，D(X)=σ2，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，S2=，则E(S2)=______．正确答案：σ2解析：由S2=，得由+μ2，得E[(n-1)S2]=E(Xi2)-=n(μ2+σ2)-=(n-1)σ2，则E(S2)=σ2．知识模块：数理统计的基本概念12．设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，X10为总体的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=_______.正确答案：σ4解析：因为～χ2(n-1)，所以～χ2(9)，则D(S2)，故D(S2)=σ4．知识模块：数理统计的基本概念13．设总体X～N(2，42)，从总体中取容量为16的简单随机样本，则(-2)2～_______.正确答案：χ2(1)解析：因为～N(2，1)，所以-2～N(0，1)，于是(-2)2～)χ2(1)．知识模块：数理统计的基本概念14．设随机变量X～N(1，2)，Y～N(-1，2)，Z～N(0，9)且随机变量X，Y，Z相互独立，已知a(X+Y)2+bZ2～χ2(n)，则a=_______，b=_______，n=_______．正确答案：解析：由X～N(1，2)，Y～N(-1，2)，Z～N(0，9)，得X+Y～N(0，4)且～N(0，1)，～N(0，1)，故a=，n=2．知识模块：数理统计的基本概念15．若总体X～N(0，32)，X1，X2，…，X0为来自总体样本容量为9的简单随机样本，则Y=Xi2服从_______分布，其自由度为_______．正确答案：Xi2～χ2(9)；9解析：因为Xi～N(0，32)(i=1，2，...，9)，所以～N(0，1)(i=1，2， (9)且相互独立，故Y=Xi2～χ2(9)，自由度为9．知识模块：数理统计的基本概念16．设X1，X2，X3，X4，X5为来自正态总体X～N(0，4)的简单随机样本，Y=a(XX1-2XX2)2+b(3X3-4X4)2+cX52，且Y～χ2(n)，则a=_______，b=_______，c=_______，n=_______．正确答案：解析：因为X1-2X2～N(0，20)，3X3～4X4～N(0，100)，X5～N(0，4)，所以于是(X1～2X2)2+(3X3-4X4)2+X52～χ2(3)，故，n=3．知识模块：数理统计的基本概念17．设(X1，X2，…，Xn，Xn+1，…，Xn+m)为来自总体X～N(0，σ2)的简单样本，则统计量U=服从______分布．正确答案：解析：因为X2～χ2(n)，Xi2～χ2(m)，且Xi2～χ2(n)与Xi2～χ2(m)相互独立，所以知识模块：数理统计的基本概念18．设U～N(μ，1)，V～χ2(n)，且U，V相互独立，则T=服从______分布．正确答案：T～t(n)解析：由U～N(μ，1)，得=U-μ～N(0，1)，又U，V相互独立，则=T～t(n)．知识模块：数理统计的基本概念19．设X为总体，(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的样本，且总体的方差DX=σ2，令S02=，则E(S02)=_______．正确答案：解析：E(S02)= 知识模块：数理统计的基本概念20．设总体X的分布律为P(X=i)=(i=1，2，…，θ)，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，则θ的矩估计量为________(其中θ为正整数)．正确答案：解析：令E(X)=，则θ的矩估计量为知识模块：参数估计21．设总体X的分布律为X～(θ为正参数)，-1，2，-1，1，2为样本观察值，则θ的极大似然估计值为_______．正确答案：解析：L(θ)=θ2×(1-2θ)×θ2=θ4(1-2θ)，lnL(θ)=4lnθ+ln(1-2θ)，令，得参数θ的极大似然估计值为知识模块：参数估计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷19(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B，C为随机事件，且A发生必导致B与C最多有一个发生，则有（）正确答案：C解析：B与C最多有一个发生（即B与C同时发生的反面）等价于事件。
当A发生时必导致B与C最多有一个发生，说明，故选C。
知识模块：概率论与数理统计2．设A，B为随机事件，P（B）＞0，则（）A．P（A∪B）≥P（A）+P（B）B．P（A—B）≥P（A）—P（B）C．P（AB）≥P（A）P（B）D．P（A|B）≥正确答案：B解析：根据概率运算性质可知，P（A∪B）=P（A）+P（B）一P（AB）≤P（A）+P（B），选项A不成立。
P（A—B）=P（A）—P（AB）≥P（A）—P （B），故正确选项为B。
而P（A|B）=B，则P（A8）=P（A）≥P（A）P（B）。
知识模块：概率论与数理统计3．设随机事件A，B，C两两独立，且P（A），P（B），P（C）∈（0，1），则必有（）A．C与A—B独立B．C与A—B不独立C．A∪C与B∪独立D．A∪C与B∪不独立正确答案：D解析：对于选项A、B：P（C（A—B））=P（AC）=P（AC）—P（ABC）=P（A）P（C）—P（ABC），P（C）P（A—B）=P（C）[P（A）一P（AB）]=P （A）P（C）一P（A）P（B）P（C）。
尽管A，B，C两两独立，但未知A，B，C是否相互独立，从而不能判定P（ABC）=P（A）P（B）P（C）是否成立，故选项A、B均不正确。
与题设P（A），P（B），P（C）∈（0，1）矛盾，所以排除C选项，故选D。
知识模块：概率论与数理统计4．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p（0＜p＜1），则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）A．3p（1—p）2B．6p（1—p）2C．3p2（1—p）2D．6p2（1—p）2正确答案：C解析：根据题干可知p={前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标}=C31p （1—p）2p=3p2（1—p）2，故正确答案为C。
考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列事件中与A互不相容的事件是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由于不可能事件φ与任何一个事件A都相互不相容，即Aφ=φ，而综上分析，选项D正确．知识模块：概率论与数理统计2．设随机事件A与B为对立事件，0＜P(A)＜1，则一定有( )A．0＜P(A ∪B)＜1．B．0＜P(B)＜1．C．0＜P(AB)＜1．D．正确答案：B解析：因A、B为对立事件，即A ∪B=Ω，AB=φ，所以P(AB)=0，=0，且P(A)+P(B)=P(A∪B)=1．因此选项A、C、D均不成立，故选B．知识模块：概率论与数理统计3．在最简单的全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+要求事件A与B必须满足的条件是( )A．0＜P(A)＜1，B为任意随机事件．B．A与B为互不相容事件．C．A与B为对立事件．D．A与B为相互独立事件．正确答案：A解析：故选项A正确．知识模块：概率论与数理统计4．在全概率公式P(B)=中，除了要求条件B是任意随机事件及P(Ai)>0(i=1，2，…，n)之外，我们可以将其他条件改为( )A．A1，A2，…，An两两独立，但不相互独立．B．A1，A2，…，An相互独立．C．A1，A2，…，An两两互不相容．D．A1，A2，…，An两两互不相容，其和包含事件B，即正确答案：D解析：如果A1，A2，…，An两两互不相容，则A1B，A2B，…，AnB亦两两互不相容，且因故应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即应选D．知识模块：概率论与数理统计5．同时抛掷三枚匀称的硬币，正面和反面都出现的概率为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：设Bk表示三枚硬币中出现正面硬币个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，根据题意应选D．知识模块：概率论与数理统计6．将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( ) A．A与B独立．B．B与C独立．C．A与C独立．D．B∪C与A独立．正确答案：B解析：试验的样本空间有8个样本点，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．显然B与C为对立事件，且依古典型概率公式有P(BC)=P(φ)=0，P(B∪C)=P(Ω)=1．由于P(A)P(B)=即P(AB)=P(A)P(B)．因此A与B独立，类似地A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此B∪C与A也独立，用排除法应选B．知识模块：概率论与数理统计7．设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则( )A．P(C)≤P(A)+P(B)一1．B．P(C)≥P(A)+P(B)一1．C．P(C)=P(AB)．D．P(C)=P(A ∪B)．正确答案：B解析：由题设条件可知，于是根据概率的性质、加法公式，有P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)一P(A ∪B)≥P(A)+P(B)一1故B正确．知识模块：概率论与数理统计8．设A，B为随机事件，P(A)＞0，则P(B | A)=1不等价于( )A．P(A—B)=0．B．P(B—A)=0．C．P(AB)=P(A)．D．P(A ∪B)=P(B)．正确答案：B解析：，然而P(B一A)=P(B)一P(AB)，所以选项B正确．容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上，知识模块：概率论与数理统计9．设A、B、C为事件，P(ABC)＞0，则P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )A．P(A|C)=P(A)．B．P(B|C)=P(B)．C．P(AB|C)=P(AB)．D．P(B|AC)=P(B|C)．正确答案：D解析：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，指在C发生的条件下，A与B独立，所以“在C发生的条件下，A发生与否不影响B发生的概率”，即P(B | AC)=P(B|C)，故选D．选项A、B、C分别是A与C、B与C、AB与C独立的充要条件．知识模块：概率论与数理统计10．设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A|B)+=1，则事件A和B( )A．互不相容．B．相容．C．不独立．D．独立．正确答案：D解析：根据得由上式解得P(AB)=P(A)P(B)．故选项D正确．知识模块：概率论与数理统计11．袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，甲、乙两人依次从袋中各取一球，记A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”．①若取后放回，此时记p1=P(A)，p2=P(B)；②若取后不放回，此时记p3=P(A)，p4=P(B)．则( ) A．p1≠p2≠p3≠p4．B．p1=p2≠p3≠p4．C．p1=p2=p3≠p4．D．p1=p2=p3=p4．正确答案：D解析：依据取球方式知p1=p2=p3，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得p3=p4，所以正确答案是D．知识模块：概率论与数理统计12．已知0＜P(B)＜1，且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项成立的是( )A．B．P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)．C．P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)．D．P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)．正确答案：B解析：将题设条件两边乘以P(B)，得P[(A1+A2)|B]P(B)=P(A1|B)P(B)+P(A2|B)P(B);P[(A1+A2)B]=P(A1B)+P(A2B)P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)，由乘法公式可知，上式即为选项B，故选项B正确．知识模块：概率论与数理统计13．连续抛掷一枚硬币，第k次(k≤n)正面向上在第n次抛掷时出现的概率为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：依据题意，总共抛掷n次，其中有k次出现正面，余下的为n一k 次反面．第n次必是正面向上，前n一1次中有n一k次反面，k一1次正面(如上图所示)．根据伯努利公式，所以概率为知识模块：概率论与数理统计14．设A、B为任意两个事件，且，P(B)＞0，则下列选项必然成立的是( ) A．P(A)＜P(A|B)．B．P(A)≤P(A|B)．C．P(A)＞P(A|B)．D．P(A)≥P(A|B)．正确答案：B解析：由于可得A=AB，于是P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)≤P(A|B)．故选项B 正确．知识模块：概率论与数理统计15．设A、B是两个随机事件，且＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=，则必有( ) A．P(A | B)=B．P(A | B)≠C．P(AB)=P(A)P(B)．D．P(AB)≠P(A)P(B)．正确答案：C解析：由P(B|A)=可得化简整理上式可得P(AB)=P(A)P(B)．即A，B 相互独立，故选项C正确．知识模块：概率论与数理统计16．设A、B、C是三个相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系．由A、B、C相互独立可知，事件A、B的和、差、积(或其逆)与事件C或C必相互独立，因此选项A、C、D均被排除，选项B正确．知识模块：概率论与数理统计17．在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电．以E表示事件“电炉断电”，而T1≤T2≤T3≤T4为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E=( )A．{T1≥t0}．B．{T2≥t0}．C．{T3≥t0}．D．{T4≥t0}．正确答案：C解析：由于T1≤T2≤T3≤T4，因此，当有两个温控器显示温度大于等于t0时，E发生，即当{T3≥t0}和{T4≥t0}发生时，E发生．又因为{T3≥t0}发生时，{T4≥t0}必发生，故选C．知识模块：概率论与数理统计18．设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是( )A．A与BC独立．B．AB与A∪C独立．C．AB与AC独立．D．A∪B与A∪C独立．正确答案：A解析：经观察，即可知由选项A能够推得所需条件．事实上，若A与BC 独立，则有P(ABC)=P(A)P(BC)．而由题设知P(BC)=P(B)P(C)．从而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．故选A．知识模块：概率论与数理统计19．对于任意两事件A和B，与A ∪B=B不等价的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：选项A、B、C均与A∪B=B等价，当A≠B时，由A∪B=B不能推得选项D．这表明A∪B=B与不等价，故选D．知识模块：概率论与数理统计20．将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件( ) A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C解析：显然P(A1)=P(A2)=且A1与A2相互独立．故选项C正确．知识模块：概率论与数理统计21．对于任意两事件A和B( )A．若AB≠φ，则A，B一定独立．B．若AB≠φ，则A，B有可能独立．C．若AB=φ，则A，B一定独立．D．若AB=φ，则A，B一定不独立．正确答案：B解析：由AB≠φ不能推得P(Ab)=P(A)P(B)，因此推不出A、B一定独立，排除选项A．若AB≠φ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不能确定，因此选项C、D也不正确，故正确选项为选项B．知识模块：概率论与数理统计22．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜p＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )A．3p(1一p)2．B．6p(1一p)2．C．3p2(1一p)2．D．6p2(1一p)2．正确答案：C解析：根据题干可知p={前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标} =C31p(1一p)2p=3p2(1一p)2，故正确答案为C．知识模块：概率论与数理统计23．设事件A与事件B互不相容，则( )A．B．P(AB)=P(A)P(B)．C．P(A)=1一P(B)．D．正确答案：D解析：由于事件A，B互不相容，则P(AB)=0．因为P(A∪B)不一定等于1，A项错误；B项：当P(A)，P(B)不为0时，B不成立，B项排除；C项：只有当A，B互为对立事件的时候才成立，C项排除；故选项D正确．知识模块：概率论与数理统计填空题24．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1％和2％，现从由A和B 的产品分别占60％和40％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是_______．正确答案：解析：设事件A={抽到的产品为工厂A生产的}，事件B={抽到的产品为工厂B生产的}，事件C={抽到的产品是次品}，则P(A)=0．6，P(B)=0．4，P(C|A)=0．01，P(C|B)=0．02，根据贝叶斯公式可知知识模块：概率论与数理统计25．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_________。
考研数学三概率论与数理统计(随机事件和概率)模拟试卷1
考研数学三概率论与数理统计（随机事件和概率）模拟试卷1(总分：52.00，做题时间：90分钟)一、<B>选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
</B>(总题数：8，分数：16.00)1.设A，B，C为随机事件，A发生必导致B与C（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：B与C最多有一个发生就是B与C(C)．2.设随机事件A，B，C两两独立，且P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)，则必有（分数：2.00）A.C与A—B独立．B.C与A—B不独立．C.A∪C与D.A∪C与√解析：解析：对于(A)，(B)：P[C(A—B)]==P(AC)一P(ABC)=P(A)P(C)一P(ABC)，P(C)P(A—B)=P(C)[P(A)一P(AB)]=P(A)P(C)一P(A)P(B)P(C)．尽管A，B，C两两独立，但未知A，B，C是否相互独立，从而不能判定P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故(A)，(B)与题设P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)矛盾，因此排除(C)，选(D)．3.设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，则必有（分数：2.00）C.P(AB)=P(A)P(B)．√D.P(AB)≠P(A)P(B)．解析：4.设事件A与B满足条件（分数：2.00）B.A∪B=Ω．√C.A∪B=A．D.A∪B=B．解析：解析：由“对称性”知(C)、(D)都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，而(A)成立A=B=相矛盾，所以正确选项是(B)．5.设随机事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论中一定成立的是（分数：2.00）A.A，B为对立事件．C.A，B不独立．√D.A，B相互独立．解析：解析：A，B互不相容，只说明AB=，但并不一定满足A∪B=Ω，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因A∪B=Ω不一定成立，故A∪B即AB=亦不一定成立，因此选项(A)与(B)均不能选．同时因=0，但是P(A)P(B)＞0，即P(AB)≠P(A)P(B)，故A与B一定不独立，应选(C)．6.设A，B P(A)＜P(B)＜1，则一定有（分数：2.00）A.P(A∪B)=P(A)+P(B)．B.P(A一B)=P(A)一P(B)．C.P(AB)=P(A)P(B|A)．D.P(A|B)≠P(A)．√解析：解析：由于，则A∪B=B，AB=A．当P(A)＞0时，选项(A)不成立；当P(A)=0时，条件概率P(B|A)不存在，选项(C)不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设P(A)＜P(B)，故选项(B)不成立．对于选项(D)，依题设条件0≤P(A)＜P(B)＜1，可知条件概率P(A|B)7.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1={掷第一次出现正面}，A 2={掷第二次出现正面}，A 3={正、反面各出现一次}，A 4 ={正面出现两次}，则（分数：2.00）A.A 1，A 2，A 3相互独立．B.A 2，A 3，A 4相互独立．C.A 1，A 2，A 3两两独立．√D.A 2，A 3，A 4两两独立．解析：解析：试验的样本空间有4个样本点，即Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，显然且A 3与A 4互不相容，依古典型概率公式，有 P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )= P(A 4 )= P(A1 A 2)=P(A 1A 3)=P(A2 A 3P(A3 A4 )=0．计算可见P(A 1 A 2)=P(A 1)P(A 2 )，P(A 1 A 3 )=P(A 1 )P(A 3 )， P(A 2 A 3 )=P(A 2 )P(A 3 )，P(A 3 A 4 )=0，P(A 1 A 2 A 3 )=0．因此，A 1，A 2，A 3两两独立但不相互独立．而A 2，A 3，A 4中由于A 3与A 4不独立，从而不是两两独立，更不可能相互独立．综上分析，应选(C)．8.某射手的命中率为p(0＜p＜1)，该射手连续射击n次才命中k次(k≤n)的概率为（分数：2.00）A.p k (1一p) n-k．B.C n k p k (1一p) n-k．C.C n-1-1 p k (1一p) n-k．√D.C n-1k-1 p k-1 (1一p) n-k．解析：解析：n次射击视为n次重复独立试验，每次射击命中概率为p，不中概率为1一p，设事件A=“射击n次才命中k次”=“前n一1次有k一1次击中，且第n次也击中”，则P(A)=C n-1k-1p k-1(1一p) n-1-(k-1).p=C k-1 (1一p) n-k．应选(C)．n-1二、填空题(总题数：11，分数：22.00)9.X= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）10.设随机事件A，B满足条件A∪C=B∩C和C—A=C—B（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）11.在一个盒子中放有10个乒乓球，其中8个是新球，2个是用过的球．在第一次比赛时，从该盒子中任取2个乒乓球，比赛后仍放回盒子中．在第二次比赛时从这个盒子中任取3个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0.218）解析：解析：在第一次比赛时从盒子中任取的2个乒乓球之中，可能全是用过的球，可能有1个新球1个用过的球，也可能全是新球．设A i表示事件“在第一次比赛时取出的2个球中有i个是新球，其余是用过的球”(i=0，1，2)，B表示事件“在第二次比赛时取出的球全是新球”，则有由于A 0，A 1，A 2构成完备事件组，因此由全概率公式可得12.某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面．(I)如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为1；(Ⅱ)如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1/3）填空项1:__________________ （正确答案：1/5）解析：解析：两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式．设B=“取出的硬币是均匀的”，A i=“第i 次抛出的结果是正面”，i=1，2，则(I)所求概率为P(B|A 1 )，(Ⅱ)所求概率为P(B|A 1 A 2 )． (I)由贝叶斯公式得(Ⅱ)由贝叶斯公式得13.设随机事件A与B互不相容，且A=B，则P(A)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于A=B，于是有AB=A=B，又由于A与B互不相容，因此AB=[*]，即A=B=[*]所以P(A)=0．14.重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为4的结果出现在它们点数之和为7的结果之前的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设A表示“点数之和4出现在点数之和7之前”；B表示“第一次试验出现点数之和4”；C 表示“第一次试验出现点数之和7”；D表示“第一次试验没出现点数之和4与点数之和7”，则B，C，D构成一个完备事件组，且A=A(8+C+D)．易知，总样本数为6 2 =36，P(B)= (因B中有3个样本点：(1，3)，(2，2)，(3，1))，P(C)= (因C中有6个样本点)，P(D)= 且P(A|B)=1，P(A|C)=0，P(A|D)=P(A)．由全概率公式，得 P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D) =P(B)+P(D)P(A)= 所以，15.若在区间(0，1)上随机地取两个数u，v，则关于x的一元二次方程x 2—2vx+u=0有实根的概率是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设事件A表示“方程x 2—2vx+u=0有实根”，因u，v是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，v)与正方形区域D内的点一一对应，其中D={(u，v)|0＜u＜1，0＜v＜1}．事件A={(u，v)|(2v) 2—4u≥0，(u，v)∈D}，有利于事件A的样本点区域为图1．2中阴影部分D 1，其中D 1 ={(u，v)|v 2≥u，0＜u，v＜1}．依几何型概率公式，有16.设A、B是两个随机事件，且（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据乘法公式再应用减法公式或应用加法公式17.已知X，Y为随机变量且P{X≥0，Y≥0}=，A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，则P(A)= 1，P(B)= 2，P(C)= 3．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：首先要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概率．由于A={max(X，Y)≥0}={X，Y至少有一个大于等于0}={X≥0}∪{Y≥0}，故P(A)=P{X≥0}+P{Y≥0}一P{X≥0，Y≥0}=；又{max(X，Y)＜0}{min(X，Y)＜0}，则B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}={max(X，Y)＜0}=．从而由全集分解式知：A={max(X，Y)≥0}={max(X，Y)≥0，min(X，．18.设有某种零件共100个，其中10个是次品，其余为合格品．现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为 1。