浙江省杭州市第二中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题含答案

A. -6
B. -2 或 6
C. 2 或-6
D. -2
9. 已知三条射线 OA 、 OB 、 OC 两两所成的角都是 60 ，点 M 在 OA 上，点 N 在 BOC 内运动，
MN = OM = 6 3 ，则点 N 的轨迹长度为（）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
10. 已知边长为 4 的正四面体 ABCD 的四个顶点均在平面的同侧，且分别记 A ，B ，C ，D 到平面的
15. 平行四边形 ABCD 中， AB AD ，将三角形 ABD 沿着 BD 翻折至三角形 A' BD ，则下列直线中有可能与直线 A' B 垂直的是________（填所有符合条件的序号）. ①直线 BC ；②直线 CD ；③直线 BD ；④直线 A'C . 16. 已知四棱锥 P − ABCD 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PD ⊥ 平面 ABCD ，PD = 6 ，E 为棱 PD 上一点，且 ED = 2PE ，过 EB 作平面分别与线段 PA ， PC 交于点 M ， N ，且 AC / / ，则 PM =
正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）
1
A.
2
1
B.
4
2
C.
2
2
D.
4
6. 已知两个不相等的实数 a ， b 满足以下关系式： a2 sin + a cos − = 0 ， b2 sin + b cos − = 0 ，
2
2
( ) ( ) 则连接 A a2, a ， B b2,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系为（）
三、解答题：5 小题，共 74 分.
18. 如图，已知点 A(4, 0) ， B (0, 2) ，直线 l 过原点，且 A ， B 两点位于直线 l 的两侧，过 A ， B 作直线l
的垂线，分别交 l 于 C ， D 两点. （1）当 C 、 D 重合时，求直线 l 的方程；（2）当 AC = 2 3 BD 时，求线段 CD 的长度.
3
19. 如图，在四棱锥 A − BCDE 中，底面 BCDE 为正方形，平面 ABE ⊥ 底面 BCDE ， AB = AE .
（1）求证：平面 ADE ⊥ 平面 ABE ；（2）在棱 DE 上求作一点 P ，使得 CP ⊥ AD ，并说明理由.
20.
如图，正三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面边长为 2，高为
浙江省杭州市第二中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试
数学试题
一、选择题：每小题 4 分，共 40 分.
1. 直线 2x − y +1 = 0 在 x 轴上的截距是（）
A. 1
B. -1
C. − 1
2
2. 设直线 l ： kx − y +1 = 0 ， l2 ： x − ky +1 = 0 ，若 l1 ⊥ l2 ，则 k = （
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 相切或相交
7. 如图，在正三棱柱 ABC − A1B1C1 中，已知 AB = 1， D 在棱 BB1 上，且 BD =1，则 AD 与平面 BB1C1C
1
所成角的正弦值为（）
6
A.
4
3
B.
4
6
C.
3
3
D.
3
8. 已知 A(a, 0) ，B (a + 3, 0) ，直线 x + 3y =1上存在唯一一点 P d A ， dB ， dC ， d D ，若 dA = 1 ， dB = 2 ， dC = 3 ，则 dD = （
A. 2 + 2 2
B. 2 + 2 3
C. 2 + 3 6 4
二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题 6 分.
）
D. 2 + 6
11. 已知圆 C 的圆心坐标为 (m, 0) ，半径为 r .若直线 x − 2y − 3 = 0 与圆 C 相切于点 A(−1, −2) ，则 m =
2
13.
已知
BAC
的顶点
A
的坐标为
(
−1,
−1)
，AD
为其角平分线，点
P
(3,1)
在边
AB
上，P
关于点
3 2
,
1 2
的对称点 Q 在 AD 上，则 Q 点的坐标为_________， AC 所在直线的方程为_________.
14. 如果圆 (x − a)2 + ( y − a)2 = 1(a 0) 上总存在点到原点的距离为 3，则实数 a 的取值范围为_________.
PA _________，四边形 EMBN 的面积为_________.
17. 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ： ( x −1)2 + y2 =1，点 P 为直线 y = x + 2 上的动点，以 PC 为直
径的圆交圆 C 于 A ， B 两点，点 Q 在 PC 上且满足 AQ ⊥ PB ，则点 Q 的轨迹方程是_________.
3 ，过 AB 的截面与上底面交于 PQ ，且点 P 在 2
棱 A1C1 上，点 Q 在棱 B1C1 上.
（1）证明： PQ / / A1B1；（2）当点 P 为棱 A1C1 的中点时，求四棱锥 C − ABQP 的体积. 21. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O ：x2 + y2 = 1与 y 轴交于 C ，D 两点，点 P 在第一象限且为圆O 外一点，直线 PC ， PD 分别交圆 O 于点 A ， B ，交 x 轴于点 Q ， R .
1
D.
2
）
A. -1
B. 1
C. 1
D. 0
3. 对于平面和共面的直线 m ， n ，下列选项正确的是（）
A. 若 m ， n 与所成的角相等，则 m / /n
B. 若 m / / ， n / / ，则 m / /n
C. 若 m ⊥ ， m ⊥ n ，则 n / /
D. 若 m ， n / / ，则 m / /n
4. 已知圆锥的顶点为 S ，底面圆心为 O ，以过 SO 的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为 4 的等腰直角
三角形，则该圆锥的侧面积为（）
A. 4 2
B. 8 2
C. 8
D. 16
5. 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD ⊥ 平面 CBD ，形成三棱锥 C − ABD 的
________， r = ________.
12. 如图，在四面体 ABCD 中， AB = CD ， M 、 N 、 P 、Q 分别是 BC 、 AD 、 AC 、 BD 的中点，则
MN 与 PQ 所成角为_________，若 AB 与 CD 所成角为 30 ，则 MN 和 CD 所成的角的大小为_________.

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浙江省杭州市第二中学滨江校区2020-2021学年高二下学期期中数学试题

17．已知函数有且只有一个零点，则 ______．
四、解答题
18．设函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值．
19．已知关于的方程有实数根，其中为虚数单位．
（Ⅰ）求复数在复平面内的对应点的轨迹方程；
（Ⅱ）若复数满足，求．
20．在数列中，．
（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
14．在的展开式中，已知第项的二项式系数与第项的二项式系数相等，则 _____，第项的系数是_________．
三、填空题
15．已知函数在处取到极大值，则实数 _______．
16．现有7位同学（分别编号为）排成一排拍照，若其中三人互不相邻，两人也不相邻，而两人必须相邻，则不同的排法总数为________．（用数字作答）
A． B．
C． D．
10．已知当时，不等式恒成立，则所有满足条件的整数的和为（）
A．1B．3C．6D．10
二、双空题
11．已知函数，则的最大值是__________，最小值是______．
12．已知复数（为虚数单位），若为实数，则 _______；若为纯虚数，则 ______．
13．已知函数，则函数的单调递增区间是______，函数的极大值点是_______．
【详解】
∵f′x）＝x2+3a x+2a2
∴f′（2）＝4+6a+2a2=0，
解得：a＝，a＝，
当a＝时，f′（x）＝x2﹣3x+2，
令f′（x）＞0，解得；x＞2，x＜1，
∴f（x）在（﹣∞，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减，

浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。

浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题B卷 Word版含

浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题B卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.【答案】AC10.【答案】BCD11.【答案】ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法可得向量数量积.【小问1详解】，；【小问2详解】由题意易知，则，，则．16.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出的值；（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；122DM a b c =--+ 12BE b c =+ 2()111222DM DE EF FM AB AB AF AA a b c =++=--++=--+ ()111122BE BA AF FE EE AB AF AB AF AA AF AA b c =+++=-++++=+=+ 2a b c === 2π1cos 22232a b a b ⎛⎫⋅=⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭0a c ⋅= ()11222DM BE a b c b c ⎛⎫⋅=--+⋅+ ⎪⎝⎭ 2214222a b a c b b c b c c =-⋅-⋅--⋅+⋅+ 2214222a b a c b c =-⋅-⋅-+ ()2214222222=-⨯--⨯+⨯=a（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的值.【小问1详解】∵，∴【小问2详解】每日人均业务量的平均值为：，方案（1）人均日收入为：元，方案（2）人均日收入为：元，∵248元>224元，所以选择方案（2）【小问3详解】∵，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.由频率分布直方表可知：前5组的频率和为前6组的频率和为∵，设该销售的每日的平均业务量为，则，∴，又∵∴最小取82，故他每日的平均业务量至少应达82单.17.【解析】【分析】（1）设P (x,y )，由，得动点的轨迹方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.【小问1详解】x x ()()0.005320.030.01535251a ⨯+++⨯-=0.02a =()300.005400.005500.02600.03700.02800.015900.0051062⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=100622224+⨯=()20062504248+-⨯=404000.1÷=()0.00520.020.030.02100.8⨯+++⨯=()0.00520.020.030.020.015100.95⨯++++⨯=0.80.90.95<<x ()750.0150.80.9x -⨯+>81.7x >N x *∈x 4PA PB ⋅=- P设P (x,y )，则，，由，得，所以曲线的标准方程为.【小问2详解】曲线是以为圆心，1为半径的圆，过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，有圆心到直线距离，解得，则方程为.过点且与曲线相切直线的方程为或.18.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值．【小问1详解】证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为，又，平面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】的(1,2)PA x y =-- (3,6)PB x y =-- ()()()()13264PA PB x x y y ⋅=--+--=- ()()22241x y -+-=C ()()22241x y -+-=C ()2,4(1,2)A 1x =C (1,2)A ()21y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =3450x y -+=(1,2)A C 1x =3450x y -+=DE ⊥ABCD D DA x DC y DE z BDF CDE BDM BDF EC M BDM ⊥BDF EM ECADEF ABCD AD AD DE ⊥DE ⊂ADEF DE ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD ED ⊥由（1）可得，，又，如图，以原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量,,，因为，则，令，则，所以,,．设平面与平面所成角的大小为，则．所以平面与平面【小问3详解】若与重合，则平面的一个法向量,由（2）知平面的一个法向量,,，则，则此时平面与平面不垂直．若与不重合，如图设，则,,，设平面的一个法向量,,，则，为AD DE ⊥CD DE ⊥AD CD ⊥D DA DC DE x y z D xyz -1AD =(0D 0)(1B 0)(1F 1)(0C 0)(0E 1)CDE (1,0,0)DA = BDF (n x = y )z ()()1,1,0,1,0,1DB DF == 00n DB x y y x z x n DF x z ⎧⋅=+==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=+=⎩⎪⎩ 1x =1y z ==-(1n = 1-1)-BDF CDE θcos cos ,DA n θ=== BDF CDE M C BDM ()00,0,1m = BDF (1n = 1-1)-010m n ⋅=-≠ BDF BDM M C (01)EM ECλλ=<<(0M 2λ1)λ-BDM 0(m x = 0y 0)z 00m BD m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，令，则，，所以，平面平面等价于，即，所以．所以，线段上存在点使平面平面，且．19.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，求得 ,即得答案；（2）确定，求出直线方程，联立椭圆方程求得，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合直线斜率关系，可证明结论.【小问1详解】由题意可得 ,解得故椭圆E 的方程为．【小问2详解】证明：由（1）可知，，则直线的方程为联立方程组,整理得，解得或，则，设，直线的方程为，直线的方程为，设，的000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩01x =01y =-021z λλ=-21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭BDM ⊥BDF 0m n ⋅=r r 21101λλ+-=-1[0,1]2λ=∈EC M ⊥BDFBDM 12EM EC =,a b ()()0,1,1,0A F AF 41,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭,AP BP ,C D 2222121423144a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2212x y +=()()0,1,1,0A F AF 1y x =-+22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩224400x x -=0x =43x =41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,P t AP 112t y x -=+BP 31212t y x t +=--()()1122,,,C x y D x y联立方程组，整理得，可得，联立方程组，整理得，则，得从而．因为，，即，所以三点共线，所以直线经过点F ．2212112x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩()()2223410t t x t x -++-=2224421,2323t t t C t t t t ⎛⎫-+-++ ⎪-+-+⎝⎭221231212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=--⎪⎩()()22229632422416160t t x t t x t t ++-++++=222416163963x t t t t +=++22244321t t x t t +=++22224421,321321t t t t D t t t t ⎛⎫+-- ⎪++++⎝⎭2222222210212123442121123CF t t t t t t t t k t t t t t t t -++--++---+===-+--++---+22222222210021321441211321DF t t y t t t t k t t x t t t t ------++===+-+--++CF DF k k =,,C D F CD。

浙江省杭州市第二中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题

2020学年杭二高一上期中一、选择题：每小题4分，共40分.1. 已知集合{,},{1,3}(,)A a b B a a b R ==+∈，若{}2A B ⋂=，则A B =（）A. {2}B. {3}C. {1，2，3}D. {0，1，2}【答案】C2. 与函数()f x =）A. ()2x g x x=B. ()2g x =C. ()g x x =D. ()g x x =【答案】D3. 已知幂函数()f x x α=的图象过点()93，，若()2f t =，则实数t 的值为（） A.B. C. 4± D. 4【答案】D4. 己知函数()y f x =，x ∈R ，且(0)3f =，(2)4(0)f f =，(4)4(2)f f =，(6)4(2)f f =，…，(2)4(22)f n f n =-，*n N ∈，则函数()y f x =的解析式可以是（）A. ()32xf x =⨯B. ()34xf x =⨯C. ()38xf x =⨯D. ()4xf x =【答案】A 5. 设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则(())2f f a =，则a =（） A. 0 B.13C.23D. 1【答案】C6. 若2233x y x y ---<-，则（） A. 22y x >B. 1x y<C. lg()0y x ->D. 122yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D7. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A. 0a b ab +<< B. 0ab a b <+< C. 0a b ab +<< D. 0ab a b <<+【答案】B8. 若对任意使得关于x 的方程20ax bx c ++=()0ac ≠有实数解的a ，b ，c 均有222()()()a b b c c a -+-+-2rc ≥，则实数r 的最大值是（）A. 1B.98C.916D. 2【答案】B9. 命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（） A. 8a ≥ B. 9a ≥C. 10a ≥D. 11a ≥【答案】CD10. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a =,BC b =,O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ,连结OD ,AD ,BD ,过点C 作OD 的垂线,垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A.2a bab +≥(0a >,0b >) B. 222a b ab +≥(0a >,0b >)C.211ab a b≥+(0a >,0b >) D. 2222a b a b++≥(0a ≥,0b >) 【答案】AC11. 华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b =+，2112222c a b a b =+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b ∈R 有：()()()()121111b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12f ab y y =+，则（）A. ()00=fB. ()11f -=C. ()f x 是偶函数D. ()f x 是奇函数【答案】AD12. 定义域和值域均为[-a ，a ](常数a >0）的函数()y f x =和()y g x =的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（）A. 方程(())0f f x =可能存在五个解B. 方程(())0g g x =有且仅有一个解C. 方程(())0f f x =有两负数解和一正数解D. 方程(())0g g x =最多只有三个解【答案】ABC二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13. 函数21()1f x x =+的值域是__________. 【答案】（0，1]14. 的数2()ln(2)f x x x =-的单调递增区间是__________. 【答案】（2，+∞）15. 已知函数()()()221f x x x ax b =-++，若对于任意的x ∈R ，都有()()4f x f x =-，则()f x 的最小值是_____. 【答案】16-16. 已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b+++++的最小值是_________. 【答案】4748.三、解答题：5小题，共74分.17. 计算：（1）)2411323230.002105283---⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()21lg5lg8lg10003lg 2lglg 0.066⋅++++ 【答案】（1）20-；（2）1. 18. 设常数a R ∈，集合101x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =≤-.（1）若2a =，求A B ，()RAB ；（2）若AB R =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|1AB x x =<-或1}x =，(){}R 1A B x x ⋂=>；（2）2a ≥.19. 2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]14,40t ∈时，曲线是函数()83log 5a y t =+-，（0a >且1a ≠）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．（1）试求()p f t =的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案】（1）()(]()(]21311282,0,144log 583,14,40t t p t t ⎧--+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．20. 已知函数1()xxf x a a =-(a >0，a ≠1). （1）若a >l ，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实致b 的取值范围；（2）若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1，+∞)上的最小值为2-，求m 的值. 【答案】（1）35b -<<；（2）2.21. 已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数．（1）求实数k的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m << 22. 设函数2()f x ax x a b =+-+，a ，b ∈R .（1）若函数()f x 在[]0,2上单调递增，在()2,+∞单调递减，求实数a 的值；（2）若对任意的实数[]0,1b ∈及任意的[]3,3x ∈-，不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）14-；（2）12a =-.。

专题04 恒成立问题(文理通用)(含详细答案)

专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a -C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________．五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数．（1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围（2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值；（2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理）【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数．由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数，所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理）【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-，因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <，整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确；对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-，令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确；对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>，则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=，所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值．【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=，即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列，所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭，又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<，若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论．二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a -C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数，因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误，因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误．【解析】构造函数()()xxf x F x e =，因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'，故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数，因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误；因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误；因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项．【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错；若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确；令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=，因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立；综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ．【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版）【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确；对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误；对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增．因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ，于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*）因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式，得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈．因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错；令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确．【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增；所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立，所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减，又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+，所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增，又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增；当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减；所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ．三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理）【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立，由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤，综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文）【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+，则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数，则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ，即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________．【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用）【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减，故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减，令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-，若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<；当0a =时，()0x f x e =>恒成立；当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理）【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<，即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >，即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1），令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >，则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减，当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==，而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理）【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果．【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=，所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ，又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e；设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案．【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+．当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤，构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<．所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-．【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立，令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >，因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ，令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=，再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->，所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=，则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增，所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <），则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减，所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题．解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥．由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦，令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-．当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--．又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇）【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解．【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数，又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数，所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点，故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理）【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减，故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意；当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增，则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥．令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--，则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-．【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解．四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---，设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。

2020-2021学年浙江省杭州十四中高二上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年浙江省杭州十四中高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,3，6}，B ={2,4，5}，则A ∪B =( )A. φB. {2,4，5}C. {1,3，6}D. {1,2，3，4，5，6} 2. 在△ABC 中，a =2,b =4,C =30°,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 4√3 B. 4 C. −4√3 D. −4 3. 若函数f(x)=2|x+a |的单调递减区间是(−∞,3]，则实数a 的值为( )A. −3B. 3C. −6D. 6 4. cos6°cos36°+sin6°cos54°=( )A. 12B. √32C. 0D. −12 5. 在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是( )A. 2√39πR 3 B. 4√39πR 3 C. 2√33πR 3 D. 49πR 36. 已知圆x 2+y 2−4x −5=0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( ) A. 3x +2y −7=0B. 2x +y −4=0C. x −2y −3=0D. x −2y +3=0 7. 与直线平行，且与圆相切的直线方程是( ) A.B. C.D. 8. 已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 为( ) A. 三边都不等的三角形B. 直角三角形C. 等腰不等边三角形D. 等边三角形9. 如图BC 是单位圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的点，且，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则的值是( ) A.B.C.D.10. 若实数m 、n 满mn >0，且不等式m 2+mn ≤a(m 2+n 2)恒成立，则实数a 的最小值为( ) A. √2+12 B. √2−12 C. 1 D. √2+1二、单空题（本大题共6小题，共24.0分） 11. 已知函数f(x)=2cosωx(ω≥0)在区间[0,π3]上的最小值为√2，则f(x)的最小正周期为．12. 如图是△OAB 用斜二测画法画出的直观图，则△OAB 的面积为______．13. 若实数x ，y 满足1+cos 2πx =(x+2y)2+1x+2y ，则x 2+(y +1)2的最小值为______ ．14. 若不等式(m 2+4m −5)x 2−4(m −1)x +3>0一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是______ ．15. 在极坐标系中，已知点P(2,π3)，Q 为曲线ρ=cosθ上任意一点，则|PQ|的最小值为______ ．16. 已知向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,7)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅XB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______．三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）17. 等差数列｛｝的公差不为零，首项=1，是和的等比中项，则公差= ;数列的前10项之和是．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅19. 若x，y满足约束条件{x+y≥1 x−y≥−1 2x−y≤2(Ⅰ)求目标函数z=x−2y的值域；(Ⅱ)若目标函数z=λx+2y仅在点(1,0)处取得最小值，求λ的取值范围．20. 已知直线l：4x−3y−8=0与圆M：(x+1)2+(y−1)2=m相交．(1)求m的取值范围；(2)若l与M相交所得弦长为8，求直线l′：x+y−4=0与M相交所得弦长．21. 已知数列{a n}满足a1=m，a n≠2，2a n+1−a n⋅a n+1−1=0．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．22. 已知实数a，b，c满足am+2+bm+1+cm=0，其中m为正数，对于f(x)=ax2+bx+c．(1)若a≠0，求证：af(mm+1)<0；(2)若a≠0，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有实根．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A ∪B ={1,2，3，4，5，6}．故选：D ．进行并集的运算即可．考查列举法的定义，以及并集的运算．2.答案：A解析：解：在△ABC 中，a =2,b =4,C =30°,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⋅bcos30°=2×4×√32=4√3．故选：A ．直接利用向量的数量积的公式求解即可．本题考查向量的数量积的求法，考查计算能力．3.答案：A解析：解：函数f(x)=2|x+a |，设t =|x +a|在(−∞,−a]递减，[−a,+∞)递增，y =2t 在R 上递增，由题意可得−a =3，即a =−3．故选：A ．可设t =|x +a|，求得单调区间，再由指数函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求值．本题考查函数的单调区间和应用，考查复合函数的单调性：同增异减，考查指数函数和绝对值函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．4.答案：B解析：解：cos6°cos36°+sin6°cos54°=cos6°cos36°+sin6°sin36°=cos(36°−6°)=cos30°=√32，故选：B两角和的与余弦公式和诱导公式计算即可．本题考查了两角和的与余弦公式和诱导公式，属于基础题．5.答案：A解析：。

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

B． 0
C． 0,1
D． 1, 0,1
2．已知函数 f 2x 1 x2 1，则 f 3 （）
A．1
B． 2
3．“ x2 y2 0 ”是“ xy 0 ”的（）
C． 4
D． 6
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
4．已知函数 f x 的定义域为 0,1 ，则函数 f 2x 1 的定义域为（）
是
.
15．
f
x
log 2
4x
log 1
4
x 2
，
x
1 2
, 4
的最大值为
．
16．已知函数 f x x2 mx n m, n R ，记集合 A x f x 0 ，
B x f f x 2 0 ，若 A B ，则实数 m 的取值范围是
.
四、解答题
17．设集合 A x x2 ax a2 19 0 ， B x x2 5x 6 0 ， C x x2 2x 3 0 .
P m, f n 构成一个正方形区域，则实数 a 的值为（）
试卷第 1页，共 4页
A．-1
B．-2
C．-3
D．-4
二、多选题
9．已知 x ， y 都为正数，且 2x y 1，则下列说法正确的是（）
A．
2 xy
的最大值为
1 4
C． x x y 的最大值为 1
4
B．
4x2
y2
的最小值为
1 2
问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如 x a2 y b2 的代数式，可
以转化为平面上点 M x, y 与 N a,b 的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示, 据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表), 下列说法正确的是（）
A．众数为60或70B．45%分位数为70
C．平均数为73D．中位数为75
20．已知圆22
C x y x y
+---=.
:46120
(1)求过点()
75,且与圆C相切的直线方程;
(2)求经过直线70
+-=与圆C的交点, 且面积最小的圆的方程.
x y
八、问答题
22．设圆222150
B且与x轴不重合，l交圆A x y x
++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)
于,C D两点，过B作AD的平行线交AC于点E.
(1)写出点E的轨迹方程；
)3y -
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。

浙江省9 1高中联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3y =+的倾斜角为（）A ． 30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2. 已知直线1:10l mx y +-=，()2:2310l m x my ++-=，m R ∈，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.椭圆2241x y +=的离心率为（）A ．34 B C ． 23D ．4. 在空间直角坐标系中，已知()()1,0,2,3,2,4M N --，则MN 的中点Q 关于平面xOy 的对称点坐标是（）A ．()1,1,1-B ．()1,1,1--C . ()1,1,1--D ．()1,1,1 5. 已知m 为空间的一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若//,//m ααβ，则//m β B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C . 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ D ．若,//m ααβ⊥，则m β⊥6. 方程2x =所表示的曲线大致形状为（）A ．B ．C .D ．7. 已知点F 为椭圆221:+184x y C =的右焦点，点P 为椭圆1C 与圆()222:218C x y ++=的一个交点，则PF =（）A ． 1BC . 2D ．8. 设有一组圆()()()224*:1k C x y k k k N -+-=∈，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点其中正确的命题序号是（）A ．①②③B ．②③④C .①②④D ．①③④9. 若三棱锥P ABC -满足，,,PA BC PB AC PC AB ===，则该三棱锥可能是（） A ．2,3,4AB BC CA === B ．3,4,5AB BC CA === C . 4,5,6AB BC CA === D ．以上选项都不可能10. 如图，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，若点,M N 分别为线段1BD ，1CB 上的动点，点P 为底面ABCD 上的动点，则MN MP +的最小值为（）A ．23B ．CD ．1第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的体积为__________，表面积为___________.13.已知(),P m n 是椭圆2214x y +=上的动点，则23m n +的最大值是，点P 到直线:20l x y -+=的最小距离是___________.14.如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，垂足为D ，DE PC ⊥，垂足为E ，若2PA AC ==，则PEEC= ，三棱锥P ADE -体积的最大值是__________.15.经过点()2,1M -作圆22:5O x y +=的切线，则切线的方程为．16.已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线AB 与1A C 所成角的余弦值为．17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知m R ∈，命题:p 方程22119x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 函数()2f x x x m =-+在[]2,2-上有零点.（1）若命题p 是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题,p q 中有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ；（2）求二面角111F AC B --的大小.20. 如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2BAD BDC π∠=∠=，BM MD DC ==，且ACD∆为正三角形.（1）证明：CM AD ⊥；（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.21.如图，已知圆()()221:112C x y -++=，圆()()222:215C x y +++=，过原点O 的直线l 与圆1C ，2C 的交点依次是,,P O Q .（1）若2OQ OP =，求直线l 的方程；（2）若线段PQ 的中点为M ，求点M 的轨迹方程.22.如图，已知椭圆22:143x y Γ+=，斜率为k 的直线l 与椭圆Γ交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作AB 的垂线交y 轴于点C .（1）设直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若1k =，直线l 经过椭圆Γ的左焦点，求1211k k +的值；（2）若AB =23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OMC ∆面积的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CABDD 6-10:DBCCA 二、填空题11. ()()1,1,1,3- 12. 26π+，)144π+13. 5，5 14. 3，3415. 250x y -+=16. 4 17. 13三、解答题18.解：（1）命题:91014p m m m ->+>⇒-<<，即实数m 的取值范围为()1,4-；（2）命题p 真：[]2,2x ∈-时，216,4m x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，p 真q 假时1,44m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，p 假q 真时[]6,1m ∈--，∴[]16,1,44m ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭. 19.证明：（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，于是111//2EG B C ，又111//2BF B C ，所以//BF EG ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ，所以直线//BE 平面11A FC ；（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG A C ⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，则11FB BG ==14FGB π∠=，∴二面角11F A C B --的大小为4π. 20.解：（1）取AD 中点P ，连结,MP CP ，由条件CP AD ⊥，又由,//2BAD MP AB π∠=得MP AD ⊥，∴AD ⊥面CMP ，又∵CM ⊂面MPC ，∴CM AD ⊥；（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，由（1）可知，AD MH ⊥，∴MH ⊥面ACD ， ∴MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角，不妨设1CD =，则CM MP CP ===，∴cos MCP ∠==∴sin 3MCP ∠=所以直线CM 与平面ACD21.解：（1）设直线l 的方程为：y kx =，12,C C 到直线l 的距离为12,d d .由条件=221243d d -=，所以2243⨯-=，整理，得240k k -=，解得0k =或4k =，所以直线l 的方程为：0y =或4y x =；（2）设:l y kx =；则由()()22215y kx x y =⎧⎪⎨+++=⎪⎩消去y ，得()()221240k x k x +++=，解得122240,1k x x k+==-+.其中2k ≠-，所以()222424,11k k k Q k k +⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭，由()()22112y kx x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩消去y ，得()()221220k x k x ++-=，解得342220,1kx x k -==+，其中1k ≠，所以()222222,11k k k P k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设(),M x y ，则()22211211k x k k k y k +⎧=-⎪+⎪⎨+⎪=-⎪+⎩消去k ，得：2220x y x y +++=，（挖去点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭和36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭）. 22.解：（1）由已知可得直线l 的方程为：1y x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：27880x x +-=，且121288,77x x x x +=-=-，所以12121212121212121221181113x x x x x x x x k k y y x x x x x x +++=+=+==+++++；（2）设直线l 的方程为：y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理可知21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，所以2443M kmx k =-+，线段AB 的中垂线方程为：221434343km m y x k k k ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，整理得2143my x k m =--+，所以243C my k =-+.又由()222221212228412414234343km m AB x x x x k k k -⎛⎫=+-=+--= ⎪++⎝⎭，整理可得：2224343k k +-=+，即()222224314341k m k k +=+-+①，所以()22222411222434343OMD M km m k S OC x m k k k ∆===+++将①代入整理可得：2211112231432124OMC kk S k k k k k k∆=-=-++++，因为23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2k ⎤∈⎥⎣⎦，而我们知道，1112,3124y y k k kk==-++都是关于k 在2⎤⎥⎣⎦上的单调递减函数，所以当1k =时，OMC S ∆有最小值128，当k =时，OMC S ∆所以1,2842OMC S ∆⎡∈⎢⎣⎦.。

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