高中数学选择题的几种解法

高中数学选择题的几种解法高中数学选择题注重双基及基本方法、逻辑思维与直觉思维能力,以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力。

解答选择题的基本原则应是小题不能大做、小题需小做、繁题要简做、难题要巧做。

求解选择题的方法是以直接思路肯定为主,间接思路否定为辅,即求解时除了用直接方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。

此外,还应注意选择题的特殊性,充分利用题干和选择支提供的信息,灵活、巧妙、快速求解。

下面介绍解答数学选择题时常用的几种方法。

一 直接法从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择项对照,从而作出选择的一种方法。

运用此方法解题需要扎实的数学基础。

1、已知f (x )=x (s i nx +1)+ax 2,f (3)=5,则f (－3)=………………………………………………………( )(A )－5 (B )－1 (C )1 (D )无法确定 例1、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 （ ） ()2A ()3B ()4C ()5D解：由映射概念可知,202=+n n 可得4=n .故选()C .例2、如果()[]0log log log 237=x ，那么21-x 等于（ ）()A 31 ()63B ()93C ()42D 解：由题干可得：()3log 1log log 223=⇒=x x .23=⇒x.4222321==∴--x 故选)(D .例1．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数， 则它的公差是 （ ）（A ）－2 （B ）－3 （C ）－4 （D ）－5解：.672302350232350236023565d a d d a d d ⎧⎧⎧>-⎪⎪⎪>+>⎪⎪⎪⇔⇔⇔-<<-⎨⎨⎨<+<⎪⎪⎪<-⎪⎪⎪⎩⎩⎩,又d 为整数, ∴d=–4.故选（C ）.从以上例题可以看出，解一元数学选择题，当得出的符合题意的结论与某选择支相符时，便可断定该选择支是正确的.二 特例法运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择项进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。

用特例法解选择题时,特例取得越简单、越特殊越好。

特例法包括:特殊值法、特殊函数法、特殊方程法、特殊数列法、特殊位置法、特殊点法等。

1. 特殊值法2. 例7、()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⋅=>>2lg ,lg lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a ，则 （ ） ()Q P R A << ()R Q P B << ()R P Q C << ()Q R P D <<解：由,1>>b a 不妨取10,100==b a ，则.2310100lg 210100lg ,23,2=⨯>⎪⎭⎫ ⎝⎛+===R Q P 故选()B . 注：本题也可尝试利用基本不等式进行变换.例如：（07全国2）设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3发现有A 、B 、C 三个动点，只有一个FA FB FC ++=0条件，显然无法确定A 、B 、C 的位置，可令C 为原点，此时可求A 、B 的坐标，得出答案B 。

抓住题目叙述的关键点，往往能够排除很多选项，达到出奇制胜的效果。

例如：（07浙江）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ） A ．(][)11--+∞，，∞ B ．(][)10--+∞，，∞ C ．[)0+，∞ D ．[)1+，∞看到二次函数的条件，应该排除A,B 选项。

此题最终应选择C 。

例3.直线xcos θ－y ＋1=0的倾斜角的范围是 （ ）（A ）[－4π, 4π] （B ）[4π, 43π] （C ）(0, 4π)∪(43π, π) （D ）3044πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，， 解: 因为直线倾斜角的范围是)0π⎡⎣，,所以,可将答案(A)淘汰;又因θ=0时,cos θ=1,满足条件,而答案(B)与(C)不含0,所以再淘汰答案（B ）与(C).故选答案(D)例4. 已知函数y ＝1-x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减（B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增（C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减（D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增 解: x=1时函数无意义,所以淘汰答案(C)、（D ）；又因为x=2时，y=2，而x=3时，y=32.所以,答案(B)不对.从而选答案(A).例6: 体积为9的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是侧棱CC 1上一点，三棱锥M -ABC 是体积2. 则三棱锥M -A 1B 1C 1的体积为A 、23B 、1C 、2D 、3解: 将三棱柱ABC -A 1B 1C 1看成正三棱柱,底面面积为1,高为9, 则M C=6, MC 1=3. 从而,三棱锥S -A 1B 1C 1的体积为11313⨯⨯=.故选答案(B)..3、图象法通过画图象作出判断的方法称为图象法. 利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用几何图形的直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。

例3、方程x x sin 100=的实数解的个数为 （ ） ()61A()62B ()63C ()64D 解：令x y x y sin ,100==，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数.由于直线x y 1001=的斜率为1001，又.1sin 1≤≤-x 所以仅当100100≤≤-x 时，两图象有交点.由函数x y sin =的周期性，把闭区间[]100,100-分成()[]()[][].100,152,12,2,1162,100ππππ⨯++--k k ,,14,15( --=k ),14,,2,1,0,1,2 --共32个区间，在每个区间上，两图象都有两个交点，注意到原点多计一次，故实际交点有63个.即原方程有63个实数解.故选)(C例11、方程()x x 104lg =+的根的情况是 （ ）()A 仅有一根 ()B 有一正根一负根()C 有两个负根 ()D 没有实数根解：令().4lg ,1021+==x y y x 画草图（略）.当0=x 时，()2121.4lg 4lg ,110y y x y y x >∴=+===.当1-=x 时，()..3lg 4lg ,101102121y y x y y x <∴=+=== 当3-=x 时，()2121.01lg 4lg ,1000110y y x y y x >∴==+===. 由此可知，两曲线的两交点落在区间()0,3-∈x 内.故选()C .例12、已知(){}()(){}1,,,222≤-+=≥=a y x y x F x y y x E ，那么使F F E = 成立的充要条件是 （ ）()45≥a A ()45=a B ()1≥a C ()0>a D解：E 为抛物线2x y =的内部（包括周界），F 为动圆()122=-+a y x 的内部（包括周界）.该题的几何意义是a 为何值时，动圆进入区域E ，并被E 所覆盖.（图略）a 是动圆圆心的纵坐标，显然结论应是()+∈≥R c c a ，故可排除()()D B ,，而当1=a 时，.F F E ≠ （可验证点()1,0到抛物线上点的最小距离为23）.故选()A .从以上例题可以看出，解一元数学选择题，当得出的符合题意的结论与某选择支相符时，便可断定该选择支是正确的.四 代入验证法将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择项的一种方法。

将选择支代入题干或将题干代入选择支进行检验，然后作出判断的方法称为代入法.例9、满足2137=-+-x x 的值是 （ ）()3=x A ()73=x B ()2=x C ()1=x D分析：找最简单的选择支代入，并根据正确支是唯一的可知选()D .注：本问题若从解方程去找正确支实属下策.例10、已知,log ,1log .11,10b N bM ab b a a a ==>><<则且 bP b 1log =.三数大小关系为 （ ） ()M N P A <<()M P N B <<()P M N C <<()N M P D <<解：由.0,01,10<>><<N M b a 知又.01<-=P 代入选择支检验()()D C ,被排除；又由0log log 0log 1<+⇒<⇒>a b ab ab a a a ，.1log -<b a 即()A bb b a .1log log <被排除.故选()B .五 筛选法充分利用数学选择题是单选题的特征,从选择项入手,根据题设条件与各选择项之间的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择项进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。

例如：（08江西）已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)我们可以简单的代入数据m=4及m=2，容易检验这两个数都是符合条件的，所以正确选项为B 。

4、逻辑分析法根据选择支的逻辑结构和解题指令的关系作出判断的方法称为逻辑分析法. 例13、若c c b c c a c -+=--=>1,1,1.则下列结论中正确的是 （ ）()b a A >()b a B = ()b a C < ()b a D ≤ 分析：由于b a ≤的含义是.b a b a =<或于是若()B 成立，则有()D 成立；同理，若()C 成立，则()D 也成立，以上与指令“供选择的答案中只有一个正确”相矛盾，故排除()()C B ,.再考虑()()D A ,，取3=c 代入得32,23-=-=b a ，显然b a >，排除()D .故选()A .例14、当[]1344,0,42+≤--+-∈x x x a x 时恒成立，则a 的一个可能取值是 （ ）()5A ()35B ()35-C ()5-D 解：()()()()真真真真D C B A x x ⇒⇒⇒∴≥--042 .故选()D .注：本题由解题指令“只有一个供选答案正确”可知选()D 才正确.例如：（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形看到此题四个选项，我们比较容易发现A 选项显然不正确，因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以排除C 选项。