大学物理A第六章习习题选解

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第六章 真空中的静电场

习题选解

6-1 三个电量为q -的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电

(

的由牛顿第二定律得：

6-3 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。

解：由图可知，第3个电荷与其它各电荷等距，均为

2

r =

。各电荷之间均为斥力，

且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为

题6-3 图 题6-3 图

力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x 轴成45角。

6-4 在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷C q 91108.1-⨯=，B 点放置点电荷

C q 92108.4-⨯-=，已知0.04,0.03BC m AC m ==，试求直角顶点C 处的场强E 。

题6-5图

6-6 如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀 带电，单位长度上的电荷量为λ，试求距棒的一端垂直距离为d 的P 点处的电场强度。

解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线 元dx 在P 点产生的场强为dE 题6-6图

场强dE 可分解成沿x 轴、y 轴的分量 题6-6图

P 点场强 d

E E E y x

02242πελ

=+= 方向与Y 轴夹角为ϕ arctan

45x

y

E E ϕ== 6-7 一根带电细棒长为l 2，沿x 轴放置，其一端在原点，电荷线密度Ax =λ（A 为正的常数）。求x 轴上，l b x 2+=处的电场强度。

解：在坐标为x 处取线元

，带电量为Axdx dq =，该线元在点的场强为，方

洞，求在这个圆洞轴线上距洞心r 处一点P 的场强。

解：开了一个圆洞的无限大均匀带电 平面，相当于一个无限大均匀带电平面又 加了一块带异号电荷，面密度σ相同的圆 盘。距洞心r 处P 点的场强

式中+E 为无限大均匀带电平面在P 点产生的场强 题6-9图

方向垂直于平面向外

-E 为半径为R 的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为r 处的P 产生的场强。在圆

盘上取半径为r '，宽为r d '的细圆环，在P 点产生场强

0(12σε=

方向垂直圆盘向里

故 2

12

2

0)

(2r R r

E E E P +=

-=-+εσ 方向垂直平面向外

（0σ>，E 的方向沿x 轴正方向） （2）建如图()b 所示的三维坐标，在与z 轴相距为y 处取一细长线元，沿y 轴方向单位长度带电荷为dy σ，由长直带电直线场强公式，线元在x 轴距原点O 为

a 的点P 的场强

题6-11()b 图

由于对称性，dE 的y 轴分量总和为零

所以 ⎰⎰==θc o s dE dE E x

因为0σ>，所以E 的方向沿x 轴正方向。

6-12 如图所示，半径为R 的带电细圆环，线电荷密度θλλcos 0=，0λ为常数，

θ为半径R 与x 轴夹角，求圆环中心O 处的电场强度。

解：在带电圆环上任取一线元θRd dl =，带电量为θθλλRd dl dq cos 0==，线元与原点O 的连线与x 轴夹角为θ，在O 点的场强d E 大小为

方向的分量，方向相反，大小相等，相

2

202(

)4

d

d

y λπε=

+ 方向沿x 轴正方向

（2）两直线相距为d ，带正电直线在带负电直线处的场强为d

E 02πελ

=

+。由

qE F =，带负电直线单位长度的电荷受电场力d

E F 02

2πελλ=

=+-，方向指向带正电直线。

同理，带正电直线单位长度受电场力d

F 02

2πελ=+，方向指向带负电直线。

故有+-=-F F ，两带电直线相互吸引。

，题6-15图

看成一个点电荷，电量为：

圆心处场强100.714AB E E V m -==-⋅，方向指向空隙。

6-16 如图所示，一点电荷q 处于边长为的正方形平面中垂线上，q 与平面中心O 点相距/2a ，求通过正方形平面的电场强度通量e ψ。

解：以点电荷所在处为中心，以图中正方形为一面作一边长为a 的正方

体，由高斯定理知：通过正方体表面的电通量为

题6-16图

则通过该正方形平面的电通量为

q

。 0

原式成为 e a

C -=⨯-4

43

0π

所以 30

a e C π=

要求半径为0a 的球内的静电荷。应先求半径0a 的球内的负电荷q ' 球内净电荷为 19

0.677 1.0810

q e q e C -'=+==⨯∑

q

由高斯定律

20

4q d a E πε⋅==

∑⎰⎰

E S

6-19 在半径分别为1R ,2R 的两个同心球面上，分别均匀带电为1Q 和2Q ，求空间的场强分布，并作出r E -关系曲线。

解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外。

s

d ⋅=⎰E S ，因而各点场强为零。（2）在12R r R ≤≤区域，以r 为半径作同心球面。 由高斯定理 由 331332144

()443333

Q

q V r R R R ρππππ==

--

因此 3

1

323

13204R R R r r Q

E --=πε