第3章 弹性地基梁理论-PPT精选
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弹性地基梁计算理论和算例讲义46页PPT
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
弹性地基梁计算理论ຫໍສະໝຸດ 算例 讲义41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
弹性地基梁计算理论ຫໍສະໝຸດ 算例 讲义41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
3弹性地基梁理论-第三讲49页PPT文档
3.5
代入式3.4 得 3.6
此即为弹性地基梁的挠 曲微分方程式
2. 对应齐次微分方程的通解
上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非
齐次微分方程，令式中
d4 EI
y
k
y0
qx o
，即得对应齐次微分方程：
dx4
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为
（3.11）
式（3.10）和式（3.11）均为微分方程（3.7）的通解，在不同 的问题中，有各自不同的方便之处。
3. 初参数解
（一）初参数法
由式（3.11），再据式（3.5）有
yB1chxcosxB2chxsinxB3shxcosxB4shxsinx
2B1chxsinxshxcosxB2chxcosxshxsinx
寻找四个线性无关的特解，令 y e rx 并代入上式有：
4 K
EI
或 4Kcosisin
EI
由复数开方根公式得：
rk4E K C I O 4 2 k S isin 4 2 k k 0 ,1 ,2 ,3 （3.8）
令
， 若地基梁宽度为b，则有
4
kb 4 EI
（3.9）
是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设：
地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即
y p k
（3.1）
式中,y 为地基的沉陷，m ；k 为地基系数， kpa / m，其物理意义为：
弹性地基梁理论课件
假设梁为连续的一维 弹性体，且忽略梁的 轴向变形。
弹性地基梁的研究目的和意义
研究目的
通过分析弹性地基梁的振动特性，为工程实践提供理论根据和设计指点，以提高结构的稳定性和安全 性。
研究意义
弹性地基梁理论有助于揭示地基与梁之间的相互作用机制，预测结构的振动响应，从而优化结构设计 ，减少地震等自然灾害的影响。此外，该理论还为研究其他复杂结构（如高层建筑、大跨度桥梁等） 的地基基础问题提供了基础和借鉴。
2023-2026
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弹性地基梁理论课件
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目 录
• 弹性地基梁理论概述 • 弹性地基梁的力学模型 • 弹性地基梁的数值模拟 • 弹性地基梁的实验研究 • 弹性地基梁的应用案例 • 弹性地基梁的未来研究方向 • 参考文献
PART 01
弹性地基梁理论概述
利用边界积分方程求解弹 性问题，适用于处理无界 问题等。
PART 04
弹性地基梁的实验研究
实验设备和方法
实验设备
包括弹性地基梁、加载装置、位移计 、应变计等。
实验方法
在实验室中，将弹性地基梁放置在加 载装置上，通过位移计和应变计测量 梁的位移和应变，从而得到梁的力学 性能。
实验结果和分析
实验结果
边界条件
束缚梁的位移、转角等物理量， 如在支撑处的位移束缚、固定束 缚等。
初始条件
指定梁的初始状态，如初始应力 、初始位移等。
弹性地基梁的求解方法
解析法
利用数学解析方法求解方程，适 用于简单边界条件和初始条件的
情况。
数值法
采用数值计算方法求解方程，如有 限元法、有限差分法等，适用于复 杂边界条件和初始条件的情况。
【精品课件】弹性地基梁原理
j i
n
地基 柔度系数求解的网格划分
s i i1 • p 1 • A 1 i2 • p 2 • A 2 in • p n • A 1 (i 1,2 n , j 1,2 n)
对于整个基础用矩阵表 示为：
s1 11 12 1n P1
s
2
s n
21
s P
K 1 Pks
半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点， 但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土 的弹性模量和伯松比值较为准确。
3. 分层地基模型
分层地基模型即是我国 地基基础规范中用以计 算基础最终沉降的分层 总和法(图)。按照分层 总和法，地基最终沉降 量等于压缩层范围内各 计算分层在完全侧限条 件下的压缩量之和。
2. 弹性半空间地基模型 适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性
基础。
原理： 弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向 同性的弹性半空间体。当Q作用在弹性半空间体表面上 时,根据布氏的解：
Q(1 2 )
S
Er
矩形均布荷载作用下矩形面积中点 的竖向位移计算
Fii
2
a b
ln
b a
b a
∑F=0
∑M=0
2. 变形协调条件：ωi=si 表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无
脱开现象。依据这来那个个条件求解基础梁的内力和 变形。
文克勒地基上梁的计算
一、文克勒地基上梁的解析式：
下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到 集中力或集中力矩作用时的解答。
短粱(即刚性梁)。对于λ≤π/4的条形基础，可按一般的独立 基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力 按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。
n
地基 柔度系数求解的网格划分
s i i1 • p 1 • A 1 i2 • p 2 • A 2 in • p n • A 1 (i 1,2 n , j 1,2 n)
对于整个基础用矩阵表 示为：
s1 11 12 1n P1
s
2
s n
21
s P
K 1 Pks
半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点， 但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土 的弹性模量和伯松比值较为准确。
3. 分层地基模型
分层地基模型即是我国 地基基础规范中用以计 算基础最终沉降的分层 总和法(图)。按照分层 总和法，地基最终沉降 量等于压缩层范围内各 计算分层在完全侧限条 件下的压缩量之和。
2. 弹性半空间地基模型 适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性
基础。
原理： 弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向 同性的弹性半空间体。当Q作用在弹性半空间体表面上 时,根据布氏的解：
Q(1 2 )
S
Er
矩形均布荷载作用下矩形面积中点 的竖向位移计算
Fii
2
a b
ln
b a
b a
∑F=0
∑M=0
2. 变形协调条件：ωi=si 表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无
脱开现象。依据这来那个个条件求解基础梁的内力和 变形。
文克勒地基上梁的计算
一、文克勒地基上梁的解析式：
下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到 集中力或集中力矩作用时的解答。
短粱(即刚性梁)。对于λ≤π/4的条形基础，可按一般的独立 基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力 按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。
弹性地基梁理论
地下建筑结构第3章弹性地基梁理论
崔振东副教授IAEG, FICDM, FICCE cuizhendong@
中国矿业大学岩土工程研究所
3.3 按温克尔假定计算短梁z3.3.2 荷载引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（1）集中荷载P 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（2）力矩荷载M 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项
（3）分布荷载q 引起的附加项
如视x 为常数，则d(x-u)=-d u
代入
a. 梁上有一段均布荷载的附加项
,0==du
dq q q
b. 梁上有一段三角形分布荷载的附加项
()3
4334,x x q du dq x u x x q q −Δ−=−−Δ=
c. 梁的全跨布满均布荷载的附加项
布满梁的全跨时，
当均布荷载q
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于x4。
d. 梁的全跨布满三角形荷载的附加项
当三角形荷载
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于
= =
（1）查双曲线三角函数K
=。
地下建筑结构-第03章-弹性地基梁-精品文档
弹性地基梁理论
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低 的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形 减小，提高刚度降低内力。
1. 概述
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即
p y k
（3-1）
弹性底座
图3.1 局部弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
二阶
y p y qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论 (i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
ห้องสมุดไป่ตู้
是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基
的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把 称为特征系数， l 称为换算长度。
常系数齐次线性微分方程
一般形式
( n ) ( n 1 ) y p y p y p y 0 (8) 1 n 1 n
图3.3 弹性地基梁的微元分析
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低 的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形 减小，提高刚度降低内力。
1. 概述
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即
p y k
（3-1）
弹性底座
图3.1 局部弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
二阶
y p y qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论 (i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
ห้องสมุดไป่ตู้
是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基
的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把 称为特征系数， l 称为换算长度。
常系数齐次线性微分方程
一般形式
( n ) ( n 1 ) y p y p y p y 0 (8) 1 n 1 n
图3.3 弹性地基梁的微元分析
第三章 弹性地基梁理论new
地基模型
• • • • • • • • 地基反力直线分布模型 文克尔地基模型 半空间弹性地基模型 有限深度可压缩性地基模型 层状地基模型 双参数、三参数弹性地基模型 非线弹性及弹塑性模型 Duncan and Chang、剑桥模型及修正、 沈珠江模型、 Drucker and Prager
1 地基反力直线分布模型
浅基础设计方法
常规设计法
上部结构 基础
上部结构
地基
满足了静力平衡条件，忽略了地基、基础和上部 结构三者之间受荷前后的变形连续性。 地基越软弱，与实际情况差别越大。
常规设计法： 满足下列条件时可以采用：
• （1）沉降较小或较均匀 • （2）基础刚度大
§3.1 弹性地基梁的选择、布置与构造 柱下条形基础 • 连续基础 交叉条形基础 筏板基础 • 特点 底面积大 整体刚度大 补偿作用 箱形基础 地基承载力 减小不均匀沉降 箱形基础， 设置地下室的筏形基础
(3 − 18)
式中 b、l—基础的宽度和长度。 由式（3-18）可得到：条形基础的 k0（或修正 值）是与条形基础同宽的方形基础 k0值的2/3。
（4）考虑基础埋置深度的修正 太沙基1955年建议的公式是
d ' k 0 = k 0 (1 + 2 ) b (3 − 19)
前苏联卡里诺维奇建议的公式是
• 有限压缩层地基模型来源于地基计算的分层总 和法，土中位移采用了布辛奈斯克弹性理论解的 积分形式，而在变形计算中考虑了土的成层特 性。
δ ij = ∑
t =1
nc
σ tij hti
Esti
4 分析方法
• 静力平衡条件 ⎧∑ F = 0 ⎪ ⎨ ⎪∑ M = 0 ⎩ • 变形协调条件
3 弹性地基梁理论-第三讲
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设：
地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即
y p k
（3.1）
式中,y 为地基的沉陷，m ；k 为地基系数， kpa / m，其物理意义为：
图3.2 弹性地基梁的受力和变形
2. 半无限体弹性地基模型
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（半无限体是指占据整 个空间下半部的物体，即上表面是一个平面，并向四周和向下方无限 延伸的物体）。
✓优点：
一方面反映了地基的连续整体性，另一方面又从几何上、物理上对地基进行了 简化，可以把弹性力学中有关半无限弹性体这个古典问题的已知结论作为计算 的基础。
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
概述
弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初 参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁
算例
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与 地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础 梁，等等。
通过这种梁，将作用在它上面的荷载，分布到较大面积 的地基上，既使承载能力较低的地基，能承受较大的荷 载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力。 地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放 的，地基介质可以是岩石、粘土等固体材料，也可以是 水、油之类的液体介质。弹性地基梁是超静定梁，其计 算有专门的一套计算理论。
集中力p。设y1为OA段的挠度表达式，y2为AB段的挠度表达式，由梁上无 分布荷载作用，故OA和AB段的挠曲微分方程分别为
d 4 y1 dx4
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设：
地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即
y p k
（3.1）
式中,y 为地基的沉陷，m ；k 为地基系数， kpa / m，其物理意义为：
图3.2 弹性地基梁的受力和变形
2. 半无限体弹性地基模型
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（半无限体是指占据整 个空间下半部的物体，即上表面是一个平面，并向四周和向下方无限 延伸的物体）。
✓优点：
一方面反映了地基的连续整体性，另一方面又从几何上、物理上对地基进行了 简化，可以把弹性力学中有关半无限弹性体这个古典问题的已知结论作为计算 的基础。
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
概述
弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初 参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁
算例
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与 地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础 梁，等等。
通过这种梁，将作用在它上面的荷载，分布到较大面积 的地基上，既使承载能力较低的地基，能承受较大的荷 载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力。 地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放 的，地基介质可以是岩石、粘土等固体材料，也可以是 水、油之类的液体介质。弹性地基梁是超静定梁，其计 算有专门的一套计算理论。
集中力p。设y1为OA段的挠度表达式，y2为AB段的挠度表达式，由梁上无 分布荷载作用，故OA和AB段的挠曲微分方程分别为
d 4 y1 dx4
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弹性地基梁作用的初参数
其中： 4 kb
4 EI
用初参数表示的齐次微分方程的解：
y
y01
0
1
2
2
M0
2 2
bk
3
Q0
bk
4
y04
01
M0
2 3
bk
4
Q0
2 2
bk
3
M
y0
bk
2 2
3
0
bk
4 3
4
M 01
Q0
1
2
2
Q
y0
bk
2
2
0
bk
2 2
3
M 04
Q01
其中：1 chaxcosax
微分关系为：
Q 2 E 3 [ B 1 ( c Is h a i s n a x c h a x ) o B a 2 x ( c s c x h a o s a x s h s a x ) i
B 3 ( cc h a o s a x s h x a i ) a B n x 4 ( c x s h a i s a n x c h x a ) o a x
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q(x)0，得到对应齐次微分方程： d4 y
Байду номын сангаасEIdx4 ky0 通解为：
y e a A 1 x c x o A 2 sx s i e a n A 3 x c x o A 4 sx s i
利用双曲函数关系：ea xchs ah x ,ea a x xchs ah xax
普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
温克尔假设： y
p k
把地基模拟为刚性 支座上一系列独立
的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层， 下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。
2 chaxsinax shaxcosax 3 shaxsinax 4 chaxsinax shaxcosax
d1 d
4
d 2 d
2
1
d 3 d
2
d 4 d
2
3
实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值
弹性地基梁 已知初参数 A端边界条件 待求初参数
自
M0=0
MA=0
θ0
Q0=0
QA=0
y0
由
端
M0=-m Q0=-P1
MA=0 QA=P2
θ0 y0
M0=0
MA=0
θ0
简
y0=0
yA=0
Q0
支
端
M0=m1
MA=m2
θ0
y0=0
yA=0
Q0
θ0=0
θA=0
M0
固
y0=0
yA=0
Q0
定
端
θ0=0
θA=0
M0
y0=0
yA=0
Q0
弹
性
θ0=M0β0
固
y0=0
yA=0
M0
定
Q0
端
弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分
方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等；
由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；
地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
集中荷载作用下的特解项 a. 集中力Pi作用下的特解项
OA和AB段挠曲微分方程分别为：
d d4y 4 1 x44y10 d d4y '4 2 x44y20
y 1 y 0102 12- M 02 b2k 3- Q 0bk 4
集中力作用于地基梁
y2y1yP
d4yP dx'4
44yP
y B 1 ch ca o a B x s 2 x ch sa ia n B x 3 x sh ca a o B x x s 4 sh sa ia n x x
a [ B 1 ( ch sa ia n s x x h ca a o ) x B x s 2 ( ch ca o a s x s x h sa ia ) n x x
B 3 ( ss h a i c a n x c h x a ) o a B x 4 ( s s x c h a o c a x s h x a i )a n x ]
M 2 E 2 ( B 1 s Is h a i B a 2 n s x c h x a o B a 3 c x s s x h a i B 4 a n c x c h x a ) o
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y x0 y0 x0 0 M x0 M 0 Q x0 Q 0
得到积分常数：B 1 y 0
B2
1 2
0
1 4 3 EI
Q0
B3
1 2
0
1 4 3 EI
Q0
1 B 4 2 2 EI M 0
1
1
且令：A1 2(B1B2),A2 2(B2 B3)
1
1
A3 2(B1B2),A4 2(B2 B4)
得到另一通解：
y B 1 cc h a o B a 2 x c s s x h a i B a n 3 x sc x h a o B a 4 x s s s h a i
初参数解
初参数法
弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
Y0 化简得：
dQkyq(x) dx
MA0 省略二阶微量化简得：
Q dM dx
合并二式得：
d2M dx2 kyq(x)
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy dx
d
d2y
MEI d
EI xd
x2
dM
d3y
Q dxEIdx3
d4y 代入化简得到挠曲微分方程： EIdx4 kyq(x)
半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹 性的半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从 几何上、物理上对地基进行了简化。
缺点
• 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； 弹性地基梁的受力和变形 • 均质假设没有反映土壤的不均匀性； • 半无限体的假设没有反映地基的分层特点； • 数学处理上比较复杂。
第3章 弹性地基梁理论
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式
及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基 梁是无穷多次超静定结构。