江苏省盐城市高三年级第三次模拟考试数学试题
2023-2024学年江苏省盐城市高三三模数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省盐城市高三三模数学模拟试题一、单选题1．已知复数(1i z =，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．14B ．12C ．1D ．2【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算求解出z ，然后根据复数模的计算公式求解出z .【详解】由题知i 14i i4z ===，所以1z ==，故选：C.2．如图所示的Venn 图中，A 、B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若{}21,,4A x x n n n ==+∈≤N ，{}2,3,4,5,6,7B =，则A B ⊗=（）A ．{}2,4,6,1B ．{}2,4,6,9C ．{}2,3,4,5,6,7D ．{}1,2,4,6,9【正确答案】D【分析】分析可知()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂，求出集合A 、A B ⋃、A B ⋂，即可得集合A B ⊗.【详解】由韦恩图可知，()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂，因为{}{}21,,41,3,5,7,9A x x n n n ==+∈≤=N ，{}2,3,4,5,6,7B =，则{}1,2,3,4,5,6,7,9A B = ，{}3,5,7A B = ，因此，{}1,2,4,6,9A B ⊗=.故选：D.3．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：2781a a a +=+，且248,,a a a 成等比数列，则2023a =（）A ．2023B ．2023-C ．0D ．12023【正确答案】A【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则2781112771a a a a d a d +=+⇔+=++，11a =，因为248,,a a a 成等比数列，所以2428a a a =，即()()()213117d d d +=++，因为0d ≠，所以1d =，所以()20231202312023a a d =+-⨯=.故选：A4．在△ABC 中4AB AC ⋅=，2BC = ，且点D 满足BD DC = ，则AD = （）A B CD ．32【正确答案】A【分析】由1()2AD AB AC =+ 、22()BC AC AB =-，结合向量数量积的运算律转化求模长即可.【详解】由题设，D 为BC 中点，则1()2AD AB AC =+，所以222211||()(2)44AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+ ，又2222()24BC AC AB AC AC AB AB =-=-⋅+= ，即224212AC AB AC AB +=+⋅=，所以21||(128)54AD =⨯+= ，故||AD =故选：A5．已知函数()f x 的导函数()3f x x '=，21log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．b a c <<B ．b<c<aC ．a b c <<D ．a c b<<【正确答案】A【分析】由题，写出原函数()f x ，讨论其奇偶性、单调性，再结合21log 3、342-、342--的范围即可比较大小【详解】()3f x x '=，则()414f x x c =+，()f x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，()221log log 32,-13=-∈-，10342(22),--∈，即3412,12-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4324,2-∈--，所以()234342log 32f f f -⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴c a b >>，故选：A6．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243【正确答案】B【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为22215()()339+=；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为49，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算ξ为2，4的概率，ξ为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.【详解】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮24(6)916()81P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选：B7．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()()(),2223f x f x f x f x -=+'-='，则下列结论不一定正确的是（）A ．()()113f x f x -++=B ．()()22f x x f ''=+-C ．()()()()11f f x f f x -='+'D ．()()()()2f f x f f x ''+=【正确答案】C【分析】根据题意令2x x =可得()()23f x f x +-=，即函数()f x 图象关于31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可判断A ；根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数()f x '的周期为2，即可判断BD ；由(2)(2)f x f x ''-=+知函数()f x '图象关于直线2x =对称，举例说明即可判断C.【详解】A ：()()2223f x f x +-=令2x x =，得()()23f x f x +-=，则函数()f x 图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称.若(1)(1)3f x f x -++=，则函数()f x 图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，符合题意，故A 正确；B ：由选项A 的分析知()()23f x f x +-=，等式两边同时求导，得()()20f x f x ''--=，即()()2f x f x ''=-①，又()()f x f x ''=-，()f x '为偶函数，所以()2(2)f x f x ''-=-②，由①②得()(2)f x f x ''=-，所以函数()f x '的周期为2.所以(2)()(2)f x f x f x '''-==+，即(2)(2)f x f x ''-=+，故B 正确；C ：由选项B 的分析知(2)(2)f x f x ''-=+，则函数()f x '图象关于直线2x =对称.令()()()()331Δ,1Δ22f x x f x x -=-+=+，若33(Δ())(+Δ())22f x f x ''-=，则函数()f x '图象关于直线32x =对称，不符合题意，故C 错误；D ：由选项B 的分析可知函数()f x '的周期为2，则()(2)f x f x ''=+，所以(())((2))f f x f f x ''=+，故D 正确.故选：C.8．已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的公共顶点，P是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan 3AMB ∠=-，则双曲线的离心率为（）A ．2BCD．3【正确答案】D【分析】设出点P ，M 的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得MN x ⊥轴，再利用和角的正切公式求出a ，b 的关系作答.【详解】如图，设00(,)P x y ，点,,P M A 共线，点,,P B N 共线，所在直线的斜率分别为,PA PB k k，点P 在双曲线上，即2200221x y a b -=，有200200y y b x a x a a ⋅=-+，因此22PA PB b k k a⋅=，点11(,)M x y 在椭圆上，即2211221x y a b +=，有211211y y b x a x a a⋅=--+，直线,MA MB 的斜率,MA MB k k ，有22MA MBb k k a⋅=-，即22PA MB b k k a⋅=-，于是MB PB BN k k k =-=-，即直线MB 与NB 关于x 轴对称，又椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，由22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2||b y a=，显然222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，22222222222tan tan 2tan 31tan tan 1a ac a acAMF BMF a b b AMB a ac a ac AMF BMF b a b b +-+∠+∠∠====-+--∠⋅∠--⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率3e a ===.故选：D方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多选题9．已知(),,0,1a b c ∈,随机变量ξ的分布列为:ξ123Pabc则()A ．()()2E E ξξ-=B ．()()2D D ξξ-=C ．()()22[]E E ξξ≥D ．()()22[2]D D ξξ-=【正确答案】BC【分析】根据期望方差的相关公式2()(),()()E aX b aE X b D aX b aD X +=++=，以及()22()[()]D X E X E X =-判断ABC ,再举特例判断D 即可.【详解】因为(2)()2E E ξξ-=-,所以A 错，因为(2)()D D ξξ-=,所以B 对，因为[][][]2221122()()()()n nD X xE X p x E X p x E X p =-+-++- []{}21()ni i i x E X p ==-∑()()221ni i i x p E X =⎡⎤=-⎣⎦∑，所以()()22[()]0E E D ξξξ=-≥,所以()22[()]E E ξξ≥,所以C 对，举特例来说明D 错,取13a b c ===，则22221112(2)(12)(22)(32)3333E ξ⎡⎤-=-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，22222121212(2)1013333339D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-⨯-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2111141493333E ξ=⨯+⨯+⨯=，()2222141141141149333333D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121416929498(2)272727279D ξ⎡⎤=++==-⎣⎦,所以D 错.故选:BC 10．已知曲线2:14x x C y +=，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 上任意点P 满足1OP ≥（O 为坐标原点)C ．曲线C 与2240x y -=有且仅有两个公共点D ．曲线C 上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）【正确答案】BC【分析】选项A ，取特殊点(2,0)，(2,0)-验证即可判断；选项B，由==OP 0x ≥，0x <讨论，即可判断；选项C ，联立2221440x xy x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，分0x ≥，0x <讨论，即可判断；选项D ，分0x ≥，0x <讨论，分析即可判断【详解】选项A ，(2,0)满足214x x y +=，故点(2,0)在曲线上，但(2,0)-不满足214x x y +=，故点(2,0)-不在曲线上，故曲线C 不关于原点对称，错误；选项B ，令(,)P x y在曲线上，故==OP 当0x ≥时，1=≥O P 当0x <时，1=>O P 故曲线C 上任意点P 满足1OP ≥（O 为坐标原点)，正确；选项C ，联立2221440x xy x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，故2||4+=x x x 当0x ≥时，224=x，解得x =，故有两个交点22当0x <时，04=，无解故曲线C 与2240x y -=有且仅有两个公共点，正确；选项D ，当0x ≥时，曲线C 为2214+=x y 若为整点，则22104，==x y 或22014，==x y 故有(2,0),(0,1),(0,1)-三个整点当0x <时，曲线C 为2214-+=x y 若为整点，则2,x k k Z =∈，=y若=∈y Z ，则0k =，与0x <矛盾故曲线C 上只有三个整点，不正确故选：BC11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，H 为棱1AA （包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A ．CH BD⊥B ．二面角11D AB C --的大小为3πC ．点H 到平面11B CD距离的取值范围是⎣⎦D ．若CH ⊥平面β，则直线CD 与平面β所成角的正弦值的取值范围为32⎣⎦【正确答案】ACD【分析】根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出,CH DB的坐标后利用数量积可判断A 的正误，求出平面1AB C 的法向量和平面11AB D 的法向量可利用数量积计算夹角的余弦值后可判断B 的正误，利用点到平面的距离的公式计算后可判断C 的正误，最后利用直线CD 和平面β的法向量计算线面角的正弦值后可判断D 的正误.【详解】由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1D B C A D C B ，设()1,0,H h ，其中01h ≤≤，对于A ：()()1,1,,1,1,0CH h DB =-= ，故0CH DB ⋅=即CH BD ⊥，故A 正确.对于B ：()10,1,1AB =，()()11,0,1,1,1,0AD AC =-=- ，设平面11AB D 的法向量为(),,m x y z =，则1100m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则1,1x y ==-，故()1,1,1m =-.设平面1AB C 的法向量为(),,n a b c =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00b c a b +=⎧⎨-+=⎩，取1b =，则1,1a c ==-，故()1,1,1n =-.故1cos ,3m n =- ，而二面角11D AB C --为锐二面角，故其余弦值为13，不为12，故二面角11D AB C --的平面角不是π3，故B 错误.对于C ：()111,1,0D B = ，()10,1,1D C =-，设平面11CB D 的法向量为(),,k p q r =，则11100k D B k D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00p q q r +=⎧⎨-=⎩，取1q =，则1,1p r =-=，故()1,1,1k =-.而()10,1,1B H h =--，故H 到平面11CB D的距离为33BH kBH BH k⎤⋅⨯∈⎢⎥⨯⎣⎦，故C 正确.对于D ：设直线CD 与平面β所成的角为θ.因为CH ⊥平面β，故()1,1,CH h =-为平面β的法向量，而()0,1,0DC =，故sin cos ,DC CH θ===而[]0,1,h ∈∈⎣⎦，故D 正确.故选：ACD.思路点睛：空间中位置关系的判断、角的计算或范围的判断，可结合几何体的规则性建立合适空间直角坐标系，通过向量的共线、向量的数量积等来判断位置关系，通过平面的法向量、直线的法向量等来处理相关角的计算或范围问题.12．已知函数()()e 1xf x x =+，()()1lng x x x =+，则（）A ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点B ．()f x '为函数()f x 的导函数，若函数()()h x f x a '=-有两个零点，则实数a 的取值范围是211,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若对任意0x >，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则实数a 的最小值为2eD ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1t x x +的最大值为1e【正确答案】BCD【分析】对于A ：利用导数推出()g x 在()0,∞+单调递增，可得A 错误；对于B ：利用导数研究函数()y f x '=的性质，得其图象，根据函数()y f x '=的图象与直线y a =有两个交点，可得B 正确；对于C ：根据()f x 在()0,∞+单调递增，将不等式化为2ln xa x≥恒成立，右边构造函数求出最大值，可得C 正确；对于D ：根据()()()120f x g x t t ==>以及指对同构得12e x x =，将()12ln 1t x x +化为ln tt，再求导可求出最大值，可得D 正确.【详解】对于A ：()11ln g x x x'=++，令11()1ln g x x x =++，则()122111x g x x x x -'=-+=，令()10g x '>，解得：1x >，令()10g x '<，解得：01x <<，故()g x '在()1,+∞单调递增，在()0,1单调递减，故()()120g x g ''≥=>，故()g x 在()0,∞+单调递增，函数()g x 在()0,∞+上无极值点，故A 错误；对于B ：()e 1e (1)e 1x x x f x x x '=++=++，令1()(1)e 1xf x x =++，则1()e (1)e (2)e x x x f x x x '=++=+，当<2x -时，1()0f x '<，当2x >-时，1()0f x '>，故1()f x 在(),2-∞-上为减函数，在(2,)-+∞上为增函数，故1min 121()(2)1e f x f =-=-，即min21()1e f x '=-，又1x <-时，()1f x '<，作出函数()y f x '=的图象，如图：若函数()()h x f x a '=-有两个零点，得()f x a '=有两个实根，得函数()y f x '=的图象与直线y a =有两个交点，由图可知，2111e a -<<，故B 正确；对于C ：由B 得：()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在()0,∞+单调递增，则不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，等价于2ln ax x ≥恒成立，故2ln xa x≥，设()2ln x h x x =，则()()221ln x h x x-'=，令()0h x '>，解得：0e x <<，令()0h x '<，解得：e x >，故()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故max 2()(e)e h x h ==，故2e a ≥，则实数a 的最小值为2e，故C 正确；对于D ：若()()()120f x g x t t ==>，则()()1122e 11ln xx x x t +=+=，即()()1122e 1ln e 1ln x xx x t +=+=，∵0t >，∴1>0x ，1e 0x >，21x >，由A 知，()(1)ln g x x x =+在()0,∞+上单调递增，故12e xx =，所以()1121ln ln ln 1(e 1)x t t tx x x t==++，设ln ()t t t ϕ=，则()21ln tt t ϕ-'=，令()0t ϕ'>，解得：0e t <<，令()0t ϕ'<，解得：t e >，故()t ϕ在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故()()max 1e et ϕϕ==，此时()()1122e e 11ln xx x x =+=+，故()12ln 1t x x +的最大值是1e，故D 正确；故选：BCD结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <；（4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >.三、填空题13．6人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．【正确答案】216．【分析】分最左端排甲、乙两类，结合分步计数，求最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲的排法.【详解】（1）当最左端排甲的时，排法的种数为55A ；（2）当最左端排乙的时，排法种数为1444C A ．∴不同的排法的种数为51454412096216A C A +=+=．故21614．(),P x y 为圆C ：()()22215x y -+-=上任意一点，且点P 到直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y m -+=的距离之和与点P 的位置无关，则m 的取值范围是_______.【正确答案】(,8]-∞-【分析】作出图形，结合图形可知当圆C 位于直线1l 与2l 之间时即为所求，根据直线与圆相切时是临界值即可求解.【详解】由图可知当圆C 位于两直线1l 与2l 之间时，点P 到两直线1l 和2l 的距离之和即为1l 与2l 两平行直线间的距离，即点P 到直线1l 和2l 的距离之和与点P 的位置无关，当直线2l =，解得8m =-或2m =（舍去），所以8m ≤-，即m 的取值范围是(,8]-∞-，故答案为.(,8]-∞-15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，a =34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是______.【正确答案】2⎛ ⎝由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得sin()b c B λϕ+=+，其中tan ϕ=04B π<<，由于b c λ+1>，进而求解λ的取值范围.【详解】由于34A π=，所以04B π<<，由正弦定理得23sin sin sin sin4b c a B C A π====，所以2sin b B =，2sin c C =，所以2sin 2sin 2sin 2sin 4b c B C B B πλλλ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭2sin 2sin (222B B B B B λλ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭.当20λ=，即λb c B λ+=，没有最大值，所以λ≠则sin()b c B λϕ+=+，其中tan ϕ=，要使b c λ+有最大值，则B ϕ+要能取2π，由于04B π<<，所以42ππϕ<<，所以tan 1ϕ>1,>，解得2λ<<.所以λ的取值范围是⎝.故2⎛ ⎝解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16．已知正四面体ABCD 的棱长为3，点E 满足()01AE AB λλ=<<，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，设α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，DA 相交于点F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为______，四棱锥A EFGH -的体积的最大值为______.【正确答案】63【分析】根据线面平行的性质可得四边形EFGH 为平行，根据线段的比例关系可求该平行四边形的周长为6，取BD 的中点为M ，AC 的中点为Q ，连接,,AM MC MQ ，则可求MQ 的长度，故可求A 到平面EFGH 的距离，故可求四棱锥A EFGH -的体积，利用导数可求体积的最大值.【详解】//AC 平面α，平面α 平面ABC EF =，AC ⊂平面ABC ，故AC EF ∥，同理AC GH ∥，故EF GH ∥，同理EH GF ∥，故四边形EFGH 为平行四边形.由AE AB λ=，可得:AE AB λ=，则:HE DB λ=，:1EF AC λ=-又正四面体ABCD 的棱长为3，则3HE GF λ==，()31EF GH λ==-四边形EFGH 的周长为()23316HE GF EF GH λλ+++=+-=⎡⎤⎣⎦.取BD 的中点为M ，AC 的中点为Q ，连接,,AM MC MQ ，则由正四面体可得AM MC ==，故322MQ ==且MQ AC ⊥，故MQ EF ⊥.因为,AD AB DM MB ==，故AM BD ⊥，同理CM BD ⊥，而,,AM MC M AM MC =⊂ 平面AMC ，故BD ⊥平面AMC ，因,AC MQ ⊂平面AMC ，故BD MQ ⊥，BD AC ⊥，故HE MQ ⊥，且HE EF ⊥，故平行四边形EFGH 为矩形.而,,HE EF E HE EF =⊂ 平面EFGH ，故MQ ⊥平面EFGH ,因为//AC 平面EFGH ，//BD 平面EFGH ，故A 到平面EFGH 的距离即为Q 到平面EFGH 的距离，B 到平面EFGH 的距离即为M 到平面EFGH 的距离，而AE AB λ= ，故1AE EB λλ=-，故A 到平面EFGH 的距离与B 到平面EFGH 的距离的比值为1λλ-，结合MQ A 到平面EFGH，则四棱锥A EFGH -的体积()()2133113V λλλ=⨯⨯--.令()()()2101f x x x =-<<，则()()23f x x '=-，由()0f x ¢>得203x <<，由()0f x '<，得213x <<，则()f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在23x =时取最大值222213333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21λ-的最大值为3.故6四、解答题17．已知正项数列{n a }中，11a =，n S 是其前n项和，且满足)211n S S +=+(1)求数列{n a }的通项公式：(2)已知数列{n b }满足()1111n n n n n a b a a +++=-，设数列{n b }的前n 项和为n T ，求n T 的最小值.【正确答案】(1)21(N*)n a n n =-∈(2)25【分析】（1）根据已知条件，利用列{n a }为正项数列，将条件给的式子两边开方，从而构造出n S ，然后再利用1n n n a S S -=-去求解数列{n a }的通项公式，注意验证1n =时是否满足；（2）将第（1）问中求解出的数列{n a }的通项公式带入n b ，并使用裂项的方法将通项公式展开，然后求解出n T 的表达式，根据n 取奇数、偶数不同通过讨论分别求解出对应的最小值，即可完成求解.【详解】（1）正项数列{n a }，11a =，满足)211n S S +=+1=，所以数列是以1为首项1为公差的等差数列，1(1)1n n =+-⨯=，所以2n S n =，当2n ≥时，221(1)21(N*)n n n a S S n n n n -=-=--=-∈，当1n =时也成立，所以21(N*)n a n n =-∈.（2）因为()1111n n n n n a b a a +++=-()()()()1112111212122121n n nn n n n ++-⎛⎫=-=+ ⎪-+-+⎝⎭所以1111111111(1)()(1)()1(1)23352121221n n n T n n n ++⎡⎤⎡⎤=+-+++-+=+-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦，所以当n 为奇数时，11112212n T n ==++（）＞；当n 为偶数时，111221n T n ==-+（），由{n T }递增，得225n T T ≥=，所以n T 的最小值为25.18．如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C ，E ，D ，G 四点共面.(1)证明：平面⊥BDF 平面BCG ；(2)若平面BDF 与平面ABG 15AB 长度为2，求点G 到直线DF 的距离.【正确答案】(1)证明见解析62【分析】（1）过G 作//GH CB ，交底面弧于H ，连接HB ，有HBCG 为平行四边形，根据题设可得FB HB ⊥，即FB CG ⊥，再由线面垂直的性质可得CB ⊥FB ，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.（2）构建如下图示空间直角坐标系A xyz -，令半圆柱半径为r ，高为h ，确定相关点坐标，进而求平面BDF 、平面ABG 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得2h r =，即可求出点G 到直线DF 的距离.【详解】（1）过G 作//GH CB ，交底面弧于H ，连接HB ，易知：HBCG 为平行四边形，所以//HB CG ，又G 为弧CD 的中点，则H 是弧AB 的中点，所以45HBA ∠=︒，而由题设知：45ABF ∠=︒，则90HBF HBA ABF ∠=∠+∠=︒，所以FB HB ⊥，即FB CG ⊥，由CB ⊥底面ABF ，FB ⊂平面ABF ，则CB FB ⊥，又CB CG C ⋂=，,CB CG ⊂平面BCG ，所以FB ⊥平面BCG ，又FB ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面BCG .（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系A xyz -，令半圆柱半径为r ，高为h ，则()0,2,0B r ，()2,0,0F r ，()0,0,D h ，(),,G r r h -，所以()2,0,FD r h =- ，()0,2,BD r h =- ，()0,2,0AB r = ，(),,AG r r h =-，若(),,m x y z = 是面BDF 的一个法向量，则2020m FD rx hz m BD ry hz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z r =，则(),,2m h h r = ，若(),,n a b c = 是面ABG 的一个法向量，则200n AB rb n AG ra rb hc ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令c r =，则(),0,n h r = ，所以22cos ,m n m n m n ⋅=整理可得()()2222420h r h r -+=，则2h r =，又2AB =，由题设可知，此时点()1,1,2G -，()0,0,2D ，()2,0,0F ，则()2,0,2DF =- ，()1,1,0DG =- ，所以点G 到直线DF的距离d =..19．如图，在平面四边形ABCD 中，2AB BC CD ===，AD =(1)若DB 平分ADC ∠，证明：A C π+=；(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【正确答案】(1)证明见解析(2)14【分析】（1）利用cos cos ADB CDB ∠=∠可构造方程求得2BD ，利用余弦定理可求得cos cos A C =-，由此可得结论；（2）在,ABD BCD 中，利用余弦定理可构造方程求得cos 1C A =-，利用三角形面积公式化简2212S S +为224cos 146A ⎛--+ ⎝⎭，结合二次函数性质可得最大值.【详解】（1）DB 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，则cos cos ADB CDB ∠=∠，由余弦定理得：22222222AD BD AB CD BD BC AD BD CD BD+-+-=⋅⋅，22444BD BD +-=，解得：)241BD =；222124411cos22AD AB BD A AD AB +-+-==⋅ ，)22244411cos 282CD BC BD C CD BC +-+-===⋅，cos cos A C ∴=-，又()0,A π∈，()0,C π∈，A C π∴+=（2）222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-⋅=+-⋅ ，1688cos A C ∴-=-，整理可得：cos 1C A =-；2222221211sin sin 12sin 4sin 22S S AD AB A BC CD C A C⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)22221212cos 44cos 1612cos 41A C A A =-+-=---2224cos 1224cos 146A A A ⎛=-++=--+ ⎝⎭，()0,A π∈ ，∴当cos 6A =时，2212S S +取得最大值，最大值为14.20．2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有()N k k *∈发子弹，甲每次打靶的命中率均为12，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有(1)m m ≥发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行()N n n ∈次射击后，记弹巢中空包弹的发数为n X ，①当N k *∈时，请直接写出数学期望()n E X 与()1n E X -的关系；②求出()n E X 关于n 的表达式.【正确答案】(1)分布列见解析，数学期望为11()2k-；(2)①()()1516n n E X E X -=+；②()()56()N 6n n E X m n =-∈.【分析】（1）根据给定条件，求出X 的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）①按第n 次射出是空包弹和实弹求出对应的概率及空包弹数，进而求出()n E X 即可；②利用构造法求出数列{()}n E X 的通项公式作答.【详解】（1）依题意，X 的所有可能取值为0,1,2,,1,k k - ，1111()()(1)(),(0,1,2,,1)222m m P X m m k +==-==- ，1()(2k P X k ==，所以X 的分布列为X12…1k -k P1221()231()2…1()2k 1()2k X 的数学期望23111(1()()(((2222)2)1k kE X k k =+++-+ ，显然341111111()()(1()2()1()22222(2)()2k k k E X k k k ++=+++-+-+ ，两式相减得231112()111111()()()()2(1)()(22222)k k k k E X k k k ++=++++--- 2111111111()()()()222211([1()]111122(1)()()1222212k k k k k k k k k k -++++-=+---=-+=--，所以()11()2kE X =-.（2）①第n 次射击后，包含两种情况：第n 次射出空包弹和第n 次射出实弹，第n 次射击前，剩余空包弹的期望是()1n E X -，若第n 次射出空包弹，则此时对应的概率为()16n E X -，因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为()()1111n n E X E X ---+=，若第n 次射出实弹，则此时对应的概率为()116n E X --，此时空包弹的数量为()11n E X -+，所以()()()()()()111115111666n n n n n n E X E X E X E X E X E X -----⎡⎤⎡⎤⋅+-+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦=.②当0n =时，弹巢中有6m -发空包弹，即()06E X m =-，由()()1516n n E X E X -=+，得()()15666n n E X E X --=-⎡⎤⎣⎦，当N n *∈时，数列{()6}n E X -是首项为15()66E X -=-，公比为56的等比数列，因此1555()6(()666n nn E X m m --=-⋅=-，而当0n =时，0()6E X m =-满足上式，所以5()6()(N)6nn E X m n =-∈.21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点在圆E ：221x y +=上.(1)设点P 是双曲线2214y x -=左支上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，证明：直线AB 与圆E 相切；(2)设点T 是圆E 上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l 是圆E 在点T 处的切线，若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，求TM TN ⋅的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）联立直线PA 与抛物线方程，根据相切得判别式为0，进而得2000m my x -+=，进而得00,m n y mn x +==，()2,2A m m ，()2,2B n n ，根据两点坐标可得直线AB 的方程，根据点到直线的距离公式即可求解；（2）根据切线得MN 的方程，进而联立直线MN 与抛物线方程，根据韦达定理得121244,b y y y y a a +=-=-，222221212121222241,416y y y y a b x x x x a a +++====，进而由向量的坐标运算即可得2125TM TN a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⋅，根据二次函数的性质即可求解最值.【详解】（1）抛物线C ：()220y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故可知122p p =⇒=，设00(,)P x y ，PA 的直线方程为()00x m y y x =-+，PB 的直线方程为()00x n y y x =-+，m n ≠，则()22000044440y xy my my x x m y y x ⎧=⎪⇒-+-=⎨=-+⎪⎩，由于PA 与抛物线相切，所以()2200001644400m my x m my x ∆=--=⇒-+=，故方程的根为2y m =，将其代入抛物线方程得2x m =，故()2,2A m m ，同理2000n ny x -+=,()2,2B n n ，因此,m n 是方程2000x y x x -+=的两个根，故00,m n y mn x +==，直线AB 的方程为()222222m n y x m m m n -=-+-，化简得()2022y x m m y =-+，圆心(0,0)到直线AB的距离为d =，由于220014y x -=，200m my x =-，将其代入得212x d r x ===，故直线AB 与圆E相切（2）联立2222441021y x x x x x y ⎧=⇒+-=⇒=-⎨+=⎩设(,)T a b ，且满足221a b+=，21a -<<，则OT b k a =，则MN ak b=-，此时MN 的直线方程为()ay x a b b=--+，联立直线MN 与抛物线方程()224440y xb y y aa a y x ab b ⎧=⎪⇒+-=⎨=--+⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y ,所以121244,b y y y y a a+=-=-，进而222221212121222241,416y y y y a b x x x x a a+++====，()()1122,,,MT a x b y TN x a y b =--=--，因此()()()()22212121212121MT TN x a a x y b b y ax x x a ax by y y b by ⋅=--+--=--++--+ ()()22221122112222241441411a b b MT TN a x x x x b y y y y b a a ba a a aa a +⎛⎫⋅=+-++---=⨯-+-+-=-+ ⎪⎝⎭ 2125a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由于21a -<≤，当12a=时，12a =时MT TN ⋅ 取最大值5，由于T 是圆E 上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，所以,M N 在T 的两侧，故MT TM N T T N =⋅⋅，故此时TM TN ⋅的最大值为5，本题重点考查了圆锥曲线的综合运用，主要考查直线与曲线位置关系问题．常需要联立直线与曲线的方程，根据韦达定理法处理直线和曲线的相交问题.对交点设而不求，勇用韦达定理实现转化，必要时也可采用点差法配合求解与中点弦有关的问题，关于参数范围问题常用思路有：几何法，二次配方法，三角代换法，均值不等式.22．已知函数()e cos xf x x =，()()cos 0g x a x x a =+<，曲线()y g x =在6x π=处的切线的斜率为32.(1)求实数a 的值；(2)对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()()0tf x g x '-≥恒成立，求实数t 的取值范围；(3)设方程()()f x g x '=在区间()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、L 、n x 、L ，求证：12n n x x +->π．【正确答案】(1)1a =-；(2)1t ≥；(3)证明见解析.【分析】（1）由已知可得出362g π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即可求得实数a 的值；（2）由题意可知e cos 1sin x t x x ≥+对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π恒成立，验证2x π=-对任意的Rt ∈恒成立；在,02x π⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，由参变量分离法可得出1sin e cos x x t x +≥，利用导数求出函数()1sin e cos x x h x x +=在区间,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最大值，可得出t 的取值范围，综合即可得解；（3）令()e cos sin 1xx x x ϕ=--，利用导数分析函数()x ϕ在区间()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上的单调性，利用零点存在定理可知()2,232n x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，求得()112,232n x n n n ππππ+⎛⎫-∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，证明出()()12n n x x ϕπϕ+-<，结合函数()x ϕ的单调性，即可证得结论成立.【详解】（1）解：因为()()cos 0g x a x x a =+<，则()1sin g x a x '=-，由已知可得131622g a π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-.（2）解：由（1）可知()1sin g x x '=+，对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()()0tf x g x '-≥恒成立，即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π恒成立，当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立；当02x π-<≤时，cos 0x >，则1sin e cos xxt x+≥，令()1sin e cos x x h x x +=，其中02x π-<≤，()()()()()()222e cos e cos sin 1sin 1cos 1sin 0e cos ecos x x x xx x x x x x h x xx --+-+'==≥且()h x '不恒为零，故函数()h x 在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则()()max 01h x h ==，故1t ≥.综上所述，1t ≥.（3）证明：由()()f x g x '=可得e cos 1sin x x x =+，令()e cos sin 1xx x x ϕ=--，则()()e cos sin cos x x x x x ϕ'=--，因为()2,232x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，则sin cos 0x x >>，所以，()0x ϕ'<，所以，函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上单调递减，因为223312ecos 2sin 21e 13332n n n n n πππππππϕπππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23e1022ππ+≥->，2202n πϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以，存在唯一的()02,232x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，使得()00x ϕ=，所以，()2,232n x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，则()122,232n x n n n πππππ+⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭+N ，所以，()()()121112ecos 2sin 21n x n n n x x x πϕπππ+-+++-=----()()1111122211111e cos sin 1e cos e cos e e cos 0n n n n n x x x x x n n n n n n x x x x x x πππϕ+++++---+++++=--=-=-<=，因为函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上单调递减，故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π.方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
江苏省盐城市2024高三冲刺(高考数学)苏教版模拟(提分卷)完整试卷
江苏省盐城市2024高三冲刺（高考数学）苏教版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，则（）A．B．C．D．第(2)题函数,则在的最大值A．B．C．D．第(3)题函数的图象大致为（）A．B．C．D．第(4)题某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1000万元时，员工奖金总额y（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，且奖金总额不超过5万元，则y关于x的函数可以为（）（参考数据：，）A．B．C．D．第(5)题已知函数则“”是“在上单调递减”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题已知为单位向量，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，实数，分别满足，，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．第(8)题如图．与都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是（）A．存在某一值．使得B．存在某一值．使得C．存在某一值．使得D．存在某一值，使得二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，则（）A．E的方程为B．E的离心率为C．E的渐近线与圆相切D．过点作曲线E的切线仅有2条第(2)题已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．是R上的奇函数D．是R上的奇函数第(3)题已知，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题将圆分成个扇形，每个扇形用红、黄、蓝、橙四色之一涂色，要求相邻扇形不同色，设这n个扇形的涂色方法为种，则与的递推关系是______．第(2)题《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当时，则符合条件的所有a的和为________．第(3)题已知向量，若，则实数__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的左､右焦点分别为，，短轴长为2，椭圆的左顶点到的距离为.（1）求椭圆的标准方程.（2）设直线与椭圆交于，两点，已知，若为定值，则直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标和定值；若不经过定点，请说明理由.第(2)题已知函数，.(1)当时，求在处的切线方程；(2)设函数，若恒成立，求的最小值.第(3)题设函数.（1）求函数的递增区间；（2）若对任意，总存在，使得，求实数k的取值范围.第(4)题某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组．观察一段时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表：株高增量（单位：厘米）第1组鸡冠花样本株数41042第2组鸡冠花样本株数3881第3组鸡冠花样本株数7571假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．(1)从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花的株高增量在内的概率；(2)分别从第1组，第2组，第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量在内，求的分布列和数学期望；(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，．比较方差的大小，并说明理由．第(5)题以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为和，为大圆上一动点，大圆半径与小圆相交于点轴于于点的轨迹为．(1)求点轨迹的方程；(2)点，若点在上，且直线的斜率乘积为，线段的中点，当直线与轴的截距为负数时，求的余弦值．。
江苏省盐城市高三第三次模拟考试数学试题(原卷版).docx
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}=1012A -，，，，{}=024B ，，，则A B I = ▲ .2.已知复数2i z =-（其中i 为虚数单位），则z z ⋅= ▲ .3.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 ▲ .4.函数()232f x x x =--的定义域为 ▲ . 5.某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，90件，60件. 为了解它们的产品质量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了4件，则=n ▲ ．6.如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ▲ ．7.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos()2224παα-=，则α2sin = ▲ .8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ .9.设04ω<<，函数()sin()f x x ωϕ=+的图象若向右平移23π个单位所得到的图象与原图象重合，若向左平移12π个单位所得到的图象关于y 轴对称，则()tan ωϕ的值为 ▲ . 10.若圆222x y r +=过双曲线22221x y a b-=的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A 、B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为 ▲ .11.在平行四边形ABCD 中，4AD =,=3BAD π∠,E 为CD 中点，若=4AC BE ⋅u u u r u u u r ，则AB 的长为▲ ．12.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，则k 的值为 ▲ ．13.若不等式29ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c 的取值范围是 ▲ ． 14.若实数x ，y 满足1x ≥-，1y ≥-且2244x y x y +=+，则2222x y y x --+的取值范围是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b +=. （1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，23b =时，求ABC ∆的面积.16．(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点.（1）若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ；（2）若BF PC ⊥，求证：平面BDF ⊥平面PBC .17．(本小题满分14分)图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB 、CD 与桥面AC 垂直，通过测量得知=50AB m ，=50AC m ，当P 为AC 中点时，=45BPD ∠。
江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(2)
一、单选题二、多选题1.已知偶函数的定义域为，对，，且当时，，若函数在上恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知向量，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33. 复数在复平面内对应的点为，则（ ）A．B．C．D．4. 以为圆心，经过原点的圆方程为A．B．C．D．5. 北京地处中国北部､华北平原北部，东与天津毗连，其余方向均与河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心､文化中心､国际交往中心､科技创新中心.为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考后游览北京，计划6天游览故宫､八达岭长城､颐和园､“水立方”､“鸟巢”､798艺术区､首都博物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有（ ）A ．120种B ．240种C ．480种D ．960种6. 已知复数和虚数单位满足.则（ ）.A．B．C ．2D．7. 已知平面α和α外的一条直线l ，下列说法不正确的是（ ）A ．若l 垂直于α内的两条平行线，则l ⊥αB ．若l 平行于α内的一条直线，则l ∥αC ．若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥αD ．若l 平行于α内的无数条直线，则l ∥α8.复数的虚部为（ ）A．B．C．D．9. 一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是（）A ．面B．与面所成的角为定值江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(2)江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(2)三、填空题四、解答题C ．三棱锥体积为定值D ．若平面平面，则三棱锥外接球体积为10.下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的是（ ）A ．样本，，…，的极差B．样本，，…，的中位数C ．样本，，…，的标准差D ．样本，，，…，的方差11.如图，在三棱柱中，平面，是棱上的一个动点，则（）A ．直线与直线是异面直线B ．周长的最小值为C ．存在点使得平面平面D．点到平面的最大距离为12.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ）A ．在上是减函数B．C ．是奇函数D ．在上有4个零点13. 已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此规律类推．若其前n 项和，则称k为的一个理想数．将的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当的项数时，其所有理想数的和为______．14. 已知，则__________，__________．15. 有9张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中任取3张，则抽出的3张卡片标有的数字至少有2个是相邻的概率是______.16. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，．当最大时，求直线的方程．17. 已知椭圆C ：与椭圆的离心率相同，为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问以AB 为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.18. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD 休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC ，，且．(1)求氢能源环保电动步道AC的长：(2)若﹐求花卉种植区域总面积．19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．在中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足________．(1)求；(2)若，，为边上的一点，且，求．20. 已知函数（）.若是的极值点.(1)求,并求在上的最小值；(2)若不等式对任意都成立，其中为整数，为的导函数，求的最大值.21. 已知数列的前n项和为，且，令.(1)求证：为等比数列；(2)求使取得最大值时的n的值.。
江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P 是的内心，且，则a 的值为（ ）A ．9B ．11C ．17或19D ．192. 已知函数，下列选项中不可能是函数图象的是A．B．C．D．3. 设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为A．B．C．D．4. 若函数y＝(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a ＋log a＝( )A ．1B ．2C ．3D ．45. 在等比数列中，已知是方程的两根，则A ．1B．C．D ．36. 下列各式中，正确的是（ ）A．B．C．D．7. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）A．B．C．D．8. 对于直线m ，n 和平面，，的一个充分条件是（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，9.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(1)江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(1)三、填空题四、解答题A．函数的最小正周期为B ．函数的图象关于点对称C ．函数在区间上单调递减D ．若，则的值为10. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．，频率为，初相为B．函数的图象关于直线对称C ．函数在上的值域为D ．若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，则所得函数是11. 已知两点，，若直线上存在点P ，使，则称该直线为“B 型直线”.下列直线中为“B 型直线”的是（ ）A．B．C．D．12. 某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（ ）A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加13. 已知，为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为______．14. 已知内接于单位圆，以BC ，AC ，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则的面积最大值为______．15. 二项式的展开式中的系数是___________.16.某工程设备租赁公司为了调查，两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表：(1)根据这个星期的统计数据，将频率视为概率，求该公司一台型挖掘机，一台型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(2)如果，两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．17. 在中，角，，的对边分别为，，，面积为，在下列三个条件中任选一个，解答下面的问题．①，②，③．(1)求角的大小；(2)若外接圆的面积为，求的最大值．18.已知，（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围.19. 已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，．(1)求抛物线E的方程；(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．20. 在三棱柱中，，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）若侧面为菱形，求证：.21. 已知函数，且恒成立．(1)求实数的最大值；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．。
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(解析版)
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M U N ＝ ． 2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ． 4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动， 则女生入选的概率是 ．5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ． 第5题7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =u u u r u u u r ，PN NC =u u u r u u u r，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+u u u r u u u r u u u r ，则AC AB的取值范围是 ．13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m u r ＝(sin 2x，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，设()2f x m n =⋅-u r r ．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X为A，B，C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式．江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题解析第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M U N ＝ ． 答案：(﹣1，2) 考点：集合并集运算解析：∵集合M ＝{}220x x x -<，∴M ＝(0，2)，又∵N ＝{}11x x -<<，∴M U N ＝(﹣1，2)2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ． 答案：1 考点：复数 解析：∵z a i =+，∴2()()12zz a i a i a =-+=+=， 又∵a ＞0，∴a ＝1．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ． 答案：5 考点：分层抽样 解析：601000512000⨯=．4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：3人中任选两人有三种情况，其中女生入选的情况有2种，故女生入选的概率是23． 5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．答案：13 考点：伪代码解析：第一步：I ＝3，S ＝5；第一步：I ＝5，S ＝9；第一步：I ＝7，S ＝13；此时I ＞6，输出S 的值为13．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ．答案：3π 考点：双曲线的简单性质解析：∵2c a =，∴224c a =，故2224a b a +=，b a=∴两条渐近线方程为：y =， ∴两条渐近线所成的锐角为3π． 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =u u u r u u u r ，PN NC =u u u r u u u r，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ． 答案：16考点：三棱锥的体积 解析：首先得S △BMN ＝16S △PBC ，且点A 到平面BMN 与点A 到平面PBC 的距离相等， 故21V V ＝16． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．考点：正余弦定理解析：∵sin sin A b B a c =+，∴a bb a c=+，把2a c =代入得，b =，∴222222cos24b c a A bc +-===． 9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 答案：21n -考点：等差数列的通项公式，等比数列的前n 项和解析：∵{}n b 是等差数列，且32b =，109b =，∴1n b n =-， ∴12n n a -=，故{}n a 是的前n 项和212121n n n S -==--． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．答案：2π 考点：三角函数的对称性 解析：由题意得，242k ππθ⨯+=，k ∈Z ， 则22k ππθ=-+，k ∈Z ，所以θ的最小正值为2π． 11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(6，+∞)考点：函数与不等式（存在性问题）解析：∵∃x ∈(0，4)，是不等式32160x ax -+<成立， ∴2min 162()a x x>+， 令216()f x x x=+，则322(8)()x f x x -'=，当x ∈(0，2)，()0f x '<，()f x 单调递减， 当x ∈(2，4)，()0f x '>，()f x 单调递增， 故min ()(2)12f x f ==，212a >，故6a >．12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+u u u r u u u r u u u r ，则ACAB的取值范围是 ． 答案：(2，1) 考点：平面向量与解三角形 解析：由题意知AH ⊥BC ，且CH ＝13BC ， 在Rt △ACH 中，3cos 3aCH aC AC b b===，在△ABC 中，222cos 2a b c C ab +-=， 所以22223a b c a ab b +-=，化简得222330a c b =->，得1b c<，∵△ABC 是锐角三角形，∴2222233b c a c b +>=-，得2b c >，1b c <<，即ACAB的取值范围是1)． 13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(﹣2，0] 考点：函数与方程解析：假设0x 既是()y f x =的零点，也是(())y f f x =的零点，则0()0f x =，0(())0f f x =，即(0)0f =，则b ＝0，∴2()2f x x ax =-，令()0f x =，解得10x =，22x a =， ∴(())0f f x =，解得()0f x =或()2f x a =，①当a ＝0时，符合题意；②当a ≠0时，方程()2f x a =无解，即方程2220x ax a --=无解， ∴244(2)0a a --<，解得20a -<<， 综上所述，﹣2＜a ≤0．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．答案：2考点：直线与圆综合 解析：由题意可知2p m nx +=，代入圆C 1得p y ==，∵mn ＝﹣8，∴p y ==所以点P 在圆228x y +=上，其中0y <，求得圆心O 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离是2，故点P 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离的最大值是22=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m u r ＝(sin 2x，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，设()2f x m n =⋅-u r r ．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．解：（1）∵m u r ＝(sin 2x，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，∴2()sin cos 22222x x x f x m n =⋅-=-u r r1sin 22x =-1sin 2x x =sin coscos sin33x x ππ=+sin()3x π=+由322232k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 解得72266k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 又∵x ∈[0，π]，∴解得6x ππ≤≤，∴函数()f x 在[0，π]的单调减区间为[6π，π]， （2）由（1）知()sin()3f x x π=+，其对称轴为6x k ππ=+，k ∈Z ，当x ∈[0，π]，对称轴方程为6x π=，∵()()f A f B =，2a b =，即A B >，∴3A B π+=，sin 2sin A B =，∴sin()2sin 3B B π-=sincos cossin 2sin 33B B B ππ-=，∴1cos sin 2sin 22B B B -=，即cosB B =，∵22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，sin B ＞0解得sin 14B =． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．解：（1）∵在三棱柱中，平面ACC 1A 1是平行四边形， ∴O 为A 1C 的中点，又∵P 为BC 的中点， ∴OP ∥A 1B ，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，OP ⊄平面ABB 1A 1， ∴OP ∥平面ABB 1A 1，（2）∵平面ACC 1A 1是平行四边形，且AA 1＝AC ， ∴平面ACC 1A 1是菱形， ∴AC 1⊥A 1C ，即AC 1⊥OC ， ∵A 1B ⊥AC 1，且OP ∥A 1B ，∴AC 1⊥OP ，又AC 1⊥OC ，OP I OC ＝O ， ∴AC 1⊥平面OCP ， ∵AC 1⊂平面ACC 1， ∴平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的4圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）解：44244222rrl r r ππ-=-+=-=-， 222241()11444r r S r r ππ-=--=-=-，所以22144()16242r r f r r r --==--，(0,1]r ∈， 22164()2(8)r r f r r -+'=-，令()0f r '=，解得8r =-(0,1]故8r =-时，()f r 取得最大值．答：当8r =-时，该淋浴房底座的满意度最高． 18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．解：（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x ，y)，则2221x y a=-2222(1)(1)1112MA MBy y y k k x x a -+-⋅===-=-，22a = 因此，椭圆C 的标准方程为：2212x y +=； （2）设M(m ，n)，则N(﹣m ，n)，(m ∈U(1)11122(1)1p m AM x y n y n m n BN x y n ⎧=-⎪⎪-⇒==⇒=⎨-⎪=+⎪+⎩：：，故直线MN 的方程为：12y =；（3）设P(t ，2)，t ≠022110122AP y x x t y x y ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或2222224422(,)2222t x t t t M t t t y t -⎧=⎪-+⎪+⇒⎨+++⎪=⎪+⎩22310122BP y x x t y x y ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或22222212121818(,)18181818t x t t t N t t t y t ⎧=⎪-+⎪+⇒⎨++-+⎪=⎪+⎩22222261412412()1636221821820AMBNt t t t t t S AB t t t t t t+-=⋅+=+=++++++四边形令6)t x t +=∈+∞，则216()8AMBN x S f x x ==+四边形，)x ∈+∞ 22216(8)()0(8)x f x x -'=<+，故()f x在)+∞上递减，故x =6t t=，即t =max ()f x = 即AMBN S 四边形因此，四边形AMBN，对应的点P 的坐标为(，2)． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．解：（1）由题意知：2132122133958a a a a a a a a ⎧-=-⎪-=⇒=⎨⎪=⎩；（2）由题意知：11b a =，1(1)n b a n d =+-11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，其中d ＞0，111132512370d a d a a d d a d ⎧+=⎪+==⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎪>⎩此时，11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，故11a =；（3）由题意知：135211n a a a a -=<<<<<L L ，24622n a a a a =->>>>>L L 故21n k =-时，1121241n n n n k k a a a a a a k ++--=-=-=- 2n k =时，121241n n k k a a a a k ++-=-=+ 则：21212k k a a +--=，故21131532123()()()21k k k a a a a a a a a k ---=+-+-++-=-L即n 为奇数时，n a n =，又n 为奇数时，11211n n n a a n a n ++-=+⇒=-- 即n 为偶数时，n a n =- 综上，1(1)n n a n -=-⋅．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．解：（1）2()x x f x e =，1(1)f e =，22()x x x f x e -'=，1(1)f e'=故在x ＝1处的切线方程为：0x ey -=；（2）()()()xx x f x eϕϕ'-'=，2()()ln ()()x x xxg x x ϕϕϕ'-'=由题意知0000()0ln 10()0f x x xg x '=⎧⇒-=⎨'=⎩：令()ln 1h x x x =-，x ＞0，()ln 1h x x '=+1(0,)x e -∈时，()0h x '<；1(,)x e -∈+∞时，()0h x '>故()h x 在1(0,)e -递减，1(,)e -+∞递增又(0,1)x ∈时，()1h x <-，故()h x 在(0，1)上无零点 (1)10h =-<，()10h e e =->，故(1)()0h g e <又()h x 在[1,)+∞递增，因此，()h x 在(1，e)上存在唯一零点 ∴0x 存在且唯一；（3）由题意知：()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点当a ＝0时，则b ≠0，11()()0x xb f x g x e bx xe -''=⋅=-<，符合题意； 又1(1)(1)0b f g e a b-''=⋅<+，则b(a ＋b)＞0，故b ≠0 当a ≠0时，要使()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点，显然ab ＞02ln ()()0()x ba a xa axb x f x g x e ax b +---''=⋅<+在(0,)+∞上恒成立即()(ln )0bax b a a x a x+---<在(0,)+∞上恒成立 令()F x ax b a =+-，(0,)x ∈+∞，()ln bG x a x a x=--，(0,)x ∈+∞ ,0a b >①时，max{0,1}b x a>-时，()0F x >11max{,}ax b e+>时，ln 1a x a ->，1bx->-，故()0G x >因此，11max{1,,}a bx b e a+>-时，()()0F x G x >与题意不符，舍去；,0a b <②时，max{0,1}b x a>-时，()0F x <11max{,}ax b e->-时，ln 1a x a -<-，1bx-<，故()0G x < 因此，11max{1,,}a bx b e a->--时，()()0F x G x >与题意不符，舍去； 综上，存在a ＝0，b ≠0符合题意．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．解：在l 上任取一点P(x ，y)，设P 经矩阵M 变换后得到点P′(x′，y′)故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩，又P′在直线l ′：y ＝2x 上，即y′＝2x′则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：直线l的直角坐标方程为：10x ++=，曲线C 的直角坐标方程为：222x y +=，圆心为C(0，0)，半径r， 圆心C 到直线l的距离12d ==所以直线l 被曲线C截得的弦长为=C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值． 解：因为正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，所以2(1)4(2)(3)16a b c +++++=，所以1111111[2(1)4(2)(3)]()12316123a b c a b c a b c ++=+++++⋅++++++++，211121)1616+≥+=当且仅当a =，b =，c =．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23． （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．解：（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件MA 考生获得录取资格的概率为111326⨯=；B 考生获得录取资格的概率为111236⨯=； 所以15515()666618P M =⨯+⨯= 答：A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为518； （2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3 C 考生获得录取资格的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位考生获得录取资格的概率均为16， 所以A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X ~ B(3，16)， 则0335125(0)()6216P X C ===，1235175(1)()()66216P X C ===， 2235115(2)()()66216P X C ===，33311(3)()6216P X C ===， 随机变量X 的概率分布表如下：数学期望为： 125751511()01232162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（人） 答：X 的数学期望为12人．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式．解：（1）3{1,2,3}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，故31S =；4{1,2,3,4}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，故45S =；5{1,2,3,4,5}T =，，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，故515S =；（2）{1,2,3,,}n T n =L 的所有三元子集中： 最小元素为1的三元子集个数为21n C - 最小元素为2的三元子集个数为22n C - 最小元素为3的三元子集个数为23n C - ……最小元素为n ﹣2的三元子集个数为22C222222234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++L 23222222334321(3)()(4)32n n n C n C C n C C C C ---=+-++-++++L232222244321(3)(4)32n n n C n C n C C C C ---=+-+-++++L 23322222444321(4)()32n n n C C n C C C C C ---=++-+++++L 233222245321(4)32n n n C C n C C C C ---=++-++++L ……4333445n C C C C =++++L 43355n C C C =+++L 41n C +=．。
江苏省盐城市2023届高三三模数学试题(含解析)
江苏省盐城市2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．6B ．76．一般地，设A 、B 分别为函数得唯一的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意一个二、多选题四、解答题17．已知数列{}n a 、{}n b 满足143n n n a ab t +=-+，143n n n b b a t +=--，t ∈R ，n +∈N ，且11a =，10b =.(1)求证：{}n n a b +是等比数列；(2)若{}n a 是递增数列，求实数t 的取值范围.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为正方形，点D 为棱1BB 的中点，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1AA CD ⊥.(1)求证：1CA CA =；(2)若2AC AB ==，求二面角11C A D B --的余弦值.19．某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：参考答案：【详解】1,B A AC ，1A D ，11B A C D ,11A DC 平面1B AC ,与平面A DC 的距离保持不变，取1C D 的中点N ，设正方体的棱长为2，所以直线1A M 与平面11A DC 所成角正弦值为当M 为C 点时，当M 为AB 此时1=6A N ，=2NC ，AC所以()()222623cos =262θ+-⨯⨯2221sin =1cos 3θθ-=.直线1A M 与平面11A DC 所成角正弦值的取值范围是=16．5 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先利用题给条件将()12f xx转化为19．(1)没有99%的把握认为是否为(2)4 7【分析】（1）提出假设0H：论；【点睛】关键点点睛：第二问，联立直线与椭圆，应用韦达定理结合已知关系得到恒等关系求参数，注意验证所得结果.1,+∞22．(1)()-∞(2)(],1()e。
江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知等差数列的公差，其前n 项和为，，且，，成等比数列，若，则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A ．里B ．里C ．里D ．里4. 已知，，为坐标原点，动点满足，则的最小值为A．B．C．D．5. 已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（ ）A．B．C．D．6. 设，则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（ ）A．B．C．D．8. 有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4．同时抛掷两个玩具，则朝下的面的数字之积是3的倍数的概率为（ ）A．B．C．D．9.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）A．B．C．D．10.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A．B．C．D．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(2)江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(2)三、填空题四、解答题11.如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱底面圆弧的两个三等分点，为圆柱的母线，点分别为线段上的动点，经过点的平面与线段交于点，以下结论正确的是（）A．B ．若点与点重合，则直线过定点C ．若平面与平面所成角为，则的最大值为D ．若分别为线段的中点，则平面与圆柱侧面的公共点到平面距离的最小值为12.如图，在正方体的顶点处有一只青蛙，假设青蛙会随机地沿一条棱跳到相邻的某个顶点，且跳向每个顶点的概率相同，记青蛙跳动次后仍在底面上的概率为，则下列结论正确的是（）A．B．青蛙跳动奇数次后只能位于点四个点中某一个点处C．数列是等比数列D ．青蛙跳动4次后恰好回到点的概率为13. 已知在等腰直角中，，若，则等于________.14. 在二项式的展开式中，的系数为__________．15.已知函数，则____________．16. 已知函数．(1)当时，求函数的极值．(2)若有三个极值点，且，①求实数的取值范围；②证明：．17. 已知圆关于直线对称的图形为圆.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线与圆交于，两点，当时，求直线的斜率.18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（），圆（），若圆的一条切线与椭圆相交于两点.(1)当，时，若点都在坐标轴的正半轴上，求椭圆的方程；(2)若以为直径的圆经过坐标原点，探究之间的等量关系，并说明理由.19. 如图，在正方体中，E、F分别是的中点.（1）证明:；（2）证明:面；（3）设，求三棱锥的体积．20. 果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.(1)统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差；(2)统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到如下频率分布直方图.（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数（结果保留整数）.21. 如图，在四棱锥中，，，∥，，，.(1)证明：平面ABCD.(2)若M为PD的中点，求P到平面的距离.。
江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(3)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知弧长为的扇形面积也为，则该扇形的圆心角（正角）为（ ）A．B．C．D．2. 在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3.已知函数，则（ ）A ．0B ．1C．D．4. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知i是虚数单位，则（ ）A．B．C．D．6. 若函数对任意的，总有恒成立，则的取值范围是A．B．C．D．7. （多选题）某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法正确的是（ ）甲75798284868790919398乙73818183878895969799A ．甲、乙两个街道的测评分数的极差不相等B ．甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等C ．街道乙的测评分数的众数为87D ．甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大8. 某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A．若任意选择三门课程，选法总数为B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为209. 函数的最大值为________．10.（建三江）函数在处取得极小值，则=___．11. 已知集合、，则_______．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(3)江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(3)四、解答题12. 写出一个同时具有下列三个性质的一个幂函数：______．（1）偶函数；（2）值域是；（3）在上是增函数．13.设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合，．试判断集合和之间的关系，并给出证明；14. 求函数的定义域和值域．15. 关于的不等式，其中.(1)解集为空集时，求实数的取值范围；(2)解集为时，求实数的取值范围.16. 已知椭圆：（）的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于A ，两点，直线，分别交轴于，两点，点，若，，求证：为定值．。
2010-2023历年江苏省盐城市高三年级第三次调研考试数学试卷
2010-2023历年江苏省盐城市高三年级第三次调研考试数学试卷第1卷一.参考题库(共20题)1.右图是一个算法的流程图，则输出的值是▲2.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是▲3.已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围。
4.在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C D1内，若1D1P⊥平面PCE，试求线段D1P的长。
5.命题“”的否定▲ .6.已知l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l∥m，mα，则l∥α；③若lα，mβ，α∥β，则l∥m；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ其中真命题是▲ .（写出所有真命题的序号）7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是▲ .8.如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O 的直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，N，则当取最小值时，CN= ▲9.已知直线与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是▲10.已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：11.如图，在△ABC中，∠ABC=900，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为________▲_______12.如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为▲ .13.已知数列的前n项和，则正整数k的最小值为▲ .14.已知函数（1）当a=0时，求与直线x-y-10 =0平行，且与曲线y=f(x)相切的直线的方程；（2）求函数的单调递减区间；（3）如果存在，使函数在x=-3处取得最大值，试求b的最大值。
15.已知复数（i为虚数单位），则复数的虚部为▲ .16.设等比数列的前n项和为S n，已知（1）求数列通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列。
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高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}210A x x =-=，集合[0,2]B =，则AB = ▲ .2.若复数()(1)z x i i =++是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z = ▲ .3.根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ .4.若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合， 则n 的值为 ▲ .5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．7.若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ▲ ．S 0 I 041Pr int While I I I S S I End While S←←≤←+←+第3题8.已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ . 9.若角+4πα的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则tan α的值为 ▲ .10.动直线(2)y k x =-与曲线21y x =-相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取得最大值时，k 的值为 ▲ .11.若函数()2()232x x f x k -=--⋅，则2k =是函数()f x 为奇函数的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 12.在边长为1的菱形ABCD 中，23A π∠=，若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD ⋅的最大值为 ▲ .13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ▲ ． 14.若函数2()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中10,02a b -<<>，且221()f x x x =>，则方程22[()]()10a f x bf x +-=的实根个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知(2sin ,sin cos )m x x x =-，(3cos ,sin cos )n x x x =+，记函数()f x m n =⋅. （1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，3c =，求ABC ∆面积的最大值.16．(本小题满分14分)在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1BB BC =，点,,P Q R 分别是棱111,,BC CC B C 的中点.（1）求证:1A R //平面APQ ； （2）求证:平面APQ ⊥平面1AB C .17．(本小题满分14分)某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A 、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64100x <<），中间每个桥墩的平均造价为803x 万元，桥面每1米长的平均造价为(2)640x x +万元. （1）试将桥的总造价表示为x 的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A 、B 除外)应建多少个桥墩？18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为63，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB 的长为263. （1）求椭圆C 的方程；RQ PA 1C 1B 1BCA第16题第17题（2）若点E 的坐标为3(,0)2，点A 在第一象限且横坐标为3，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积； （3）是否存在点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()()(0)1m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x =处的切线互相垂直，求n 的值； （2）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围； （3）是否存在实数a ,使得2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++.（1）求2a （用,p q 表示）；yxBPAO E F 1F 2第18题（2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）在ABC ∆中，已知CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆的外接圆交BC 于点N .若2AB AC =，2AM =，求BN 的长.B.（选修4—2：矩阵与变换）若矩阵21ac⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M 的逆矩阵1-M .NMABCC ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.D ．(选修4-5：不等式选讲） 已知,,a b c 为正实数，求证：221188ab a b ++≥，并求等号成立的条件.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>. （1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值.23．（本小题满分10分）OABDCPM设123*12341()(1)(2,)n nn n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈.（1）若数列{}n a 的各项均为1，求证：()0F n =；（2）若对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，试证明数列{}n a 是等差数列.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}12. 2i -3. 154. 15. 36. 567. 6 8.3 9. 13-10. 33- 11. 充分不必要 12. 12- 13. 2314. 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由题意，得()3sin 2cos 22sin(2)6f x m n x x x π=⋅=-=-，当()f x 取最大值时，即sin(2)16x π-=，此时22()62x k k Z πππ-=+∈，所以x的取值集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.………………………………………………………………7分（2）因()2f C =，由（1）得sin(2)16C π-=，又0C π<<，即112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，解得3C π=，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，所以133s i n 24ABC S ab C ∆=≤，所以ABC ∆面积的的最大值为334.…14分 16. 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C 且11BC B C =，因点,P R 分别是棱11,BC B C 的中点，所以1//BP B R 且1BP B R =， 所以四边形1BPRB 是平行四边形，即1//PR BB 且1PR BB =，又11//AA BB 且11AA BB =，所以1//PR AA 且1PR AA =，即四边形1APRA 是平行四边形， 所以1//AP A R，又1A R ⊄平面APQ，所以1//A R 平面APQ .……………………………………………7分 （2）因1BB BC =，所以四边形11BCC B 是菱形，所以11B C BC ⊥，又点,P Q 分别是棱11,BC C C 的中点，即1//PQ BC ，所以1B C PQ ⊥. 因为AB AC =，点P 是棱BC 的中点，所以AP BC ⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -，知1BB ⊥底面ABC ，即1BB AP ⊥，所以AP ⊥平面11BCC B ，则1AP B C ⊥，所以1B C ⊥平面APQ ，又1B C ⊂平面1AB C ， 所以平面APQ ⊥平面1A B C …………………………………………………………………………………14分17．解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x 米，知中间共有640(1)x-个桥墩， 于是桥的总造价80640()640(2)(1)1006403x x f x x x=++-+， 即3112226408080()138033f x x x x -⨯=+-+ 3112225120080=138033x x x -+-+（64100x <<） (7)分（表达式写成5120080()=138033f x x x x x+-+同样给分） （2）由（1）可求13122236404040()233f x x x x --⨯'=--，整理得3221()(98064080)6f x x x x -'=--⨯，由()0f x '=，解得180x =，26409x =-（舍），又当(64,80)x ∈时，()0f x '<；当(80,100)x ∈ 时，()0f x '>，所以当80x =，桥的总造价最低，此时桥墩数为6401=780-…………………………14分 18．解：（1）由63c a =，设3(0)a k k =>，则6c k =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k +=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即6A B x x k ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是2623k =，即63k =， 所以椭圆C的方程为22162x y +=………………………………………………………………………5分 （2）将3x =代入22162x y +=，解得1y =±，因点A 在第一象限，从而(3,1)A ， 由点E 的坐标为3(,0)2，所以23AB k =，直线PA 的方程为23()23y x =-， 联立直线PA 与椭圆C 的方程，解得37(,)55B --， 又PA 过原点O ，于是(3,1)P --，4PA =，所以直线PA 的方程为30x y -=，所以点B到直线PA的距离373553325h -+==，133634255PAB S ∆=⋅⋅=………………10分 （3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x 轴重合时，有202222220001221111(6)(6)(6)x EA EB x x x ++=+=-+-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EBx +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得03x =±，20626x =-， 所以若存在点E，此时(3,0)E ±，2211EA EB +为定值2. …………………………………………12分根据对称性，只需考虑直线AB 过点(3,0)E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 又设直线AB 的方程为3x my =+，与椭圆C 联立方程组，化简得22(3)2330m y my ++-=，所以122233m y y m -+=+，12233y y m -=+， 又22222222111111111(1)(3)EA m y y m y x y ===++-+， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=. 综上所述，存在点(3,0)E ±，使得2211EA EB +为定值2…………………………………………16分 19．解：（1）当1m =时，21()(1)n g x x -'=+，∴()y g x =在1x =处的切线斜率14nk -=， 由1()f x x '=，∴()y f x =在1x =处的切线斜率1k =，∴1114n-⋅=-，∴5n =.……………4分（2）易知函数()()y f x g x =-的定义域为(0,)+∞，又[]222212(1)2(1)11(1)()()(1)(1)(1)x m n x m n x m n x y f x g x x x x x x +--++--+-'''=-=-==+++，由题意，得12(1)x m n x+--+的最小值为负，∴(1)4m n ->（注：结合函数[]22(1)1y x m n x =+--+图象同样可以得到），∴2((1))(1)44m n m n +-≥->，∴(1)4m n +->，∴3m n ->（注：结合消元利用基本不等式也可）.………………………….….…………….……………………………………………9分（3）令()x θ2=()()()ln 2ln ln ln 22ax a xf f e f ax a ax x x a x a⋅+=⋅-⋅+-，其中0,0x a >> 则()x θ'=1ln 2ln a a a x a x ⋅--+，设1()ln 2ln x a a a x a xδ=⋅--+2211()0a ax x x x xδ+'=--=-<∴()x δ在(0,)+∞单调递减，()0x δ=在区间(0,)+∞必存在实根，不妨设0()0x δ=即0001()ln 2ln 0x a a a x a x δ=⋅--+=，可得001ln ln 21x a ax =+-（*） ()x θ在区间0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，所以max 0()()x x θθ=， 0000()(1)ln 2(1)ln x ax a ax x θ=-⋅--⋅，代入（*）式得0001()2x ax ax θ=+- 根据题意0001()20x ax ax θ=+-≤恒成立. 又根据基本不等式,0012ax ax +≥,当且仅当001ax ax =时,等式成立 所以0012ax ax +=,01ax =01x a ∴=.代入（*）式得,1ln ln 2a a=,即12,a a=22a =………………16分 (以下解法供参考，请酌情给分)解法2：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 根据条件2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正数x 恒成立 即(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立∴10ln 2ln 00ax a x a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩且10ln 2ln 00ax a x a -≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩，解得12x a a ≤≤且12a x a ≤≤，即12x a a==时上述条件成立此时22a =. 解法3：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 要使得(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，等价于(1)(2)0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，即1()(2)0x x a a--≥对任意正数x 恒成立， 设函数1()()(2)x x x a aϕ=--，则()x ϕ的函数图像为开口向上，与x 正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x 轴有一个交点，即12a a=，所以22a =. 20．解:（1）由题意，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，显然2,x x 的系数为0，所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩，从而1a p =-，22a p q =- (4)分（2）由1,1p q =-=-，考虑(3)nx n ≥的系数，则有120n n n a pa qa --++=，得1212120(3)n n n a a a a a n --=⎧⎪=⎨⎪--=≥⎩，即21n n n a a a ++=+， 所以数列{}n a 单调递增，且22211n n n n n n n a a b a a a a +++-==-，所以132435211111111()()()()n n n S a a a a a a a a +=-+-+-++-， 当2n ≥时，12+1111122n n n n n S a a a a a a ++=+--=--<.…………………………………………10分 （3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，若0n a =，则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，则{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾，所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，由（1）知12a =，23a =，所以1n a n =+.……………16分（其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，3242a a a =+解方程组也可求得.）解法2：由（1）可知1a p =-，22a p q =-，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d221d a a p q p =-=-+，2322a p q p =-+，24332a p q p =-+.又由（2）120n n n a pa qa --++=，所以3210,a pa qa ++=得2(1)2(1)0p p q p +-+=，若10,p +=即1,p =-时，11a =，21a =，0d =与条件公差不为零相矛盾，因此1,p ≠-则(1)2p p q +=.由4320a pa qa ++=,可得 222332(22)()0p q p p p q p q p q -++-++-=,整理可得 22(23)()20p q p q p p ++-++=代入(1)2p p q +=,21(2)(1)04p p p ++=,0p =或2p =- 若0p =,则0p q ==，与220p q +≠矛盾， 若2p =-,则1q =,满足题意, 所以1n a n =+附加题答案21. A 、解：连,AN MN ，CM 是ACB ∠的平分线，即ACM NCM ∠=∠， 在圆内接四边形ACNM 中，ACM ANM ∠=∠，NCM NAM ∠=∠，所以ANM NAM ∠=∠，所以AM MN =，又由割线定理，有BM BA BN BC ⋅=⋅，即B M B NB C B A=，且B∠公共角，所以B M N∆∆∽，12BN BA MN AC ==，所以112222BN M NA M ===.…………10分B ．解：由题意，得2113111a c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . 设1xy zw -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则112102101x y zw -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， 解得1221,,,3333x yzw=-==，即112332133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦M .……………………………………………10分C ．解：将直线l 与曲线C 的方程化为普通方程，得直线l ：4310x y -+=，曲线C ：22220x y x y +--=，所以曲线C 是以(1,1)为圆心，半径为2的圆，所以圆心到直线l 的距离225d =<，因此，直线l 与曲线C 相交. …………………………10分 D ．证明：4222222111111884448ab ab ab ab a b a b a b++=++≥⋅⋅⋅=. 当且仅当22114ab a b ==时等号成立，此时22a b ==.…………………………………………………10分 22. 解：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O ABP -，则(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(4,0,0)C -，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，所以(4,0,4)PA =-，(0,6,0)DB =，(4,3,0)AB =-.当12λ=时，得48(,0,)33M -，所以48(,3,)33MB =-，设平面BDM 的法向量(,,)n x y z =，则60483033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得0y =，令2x =，则1z =，所以平面BDM 的一个法向量(2,0,1)n =， 所以410c o s ,10425PA n ==⋅，即直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值1010.………………5分 （2）易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =.设(,0,)M a b ，代入PM MC λ=，得(,0,4)(4,0,)a b a b λ-=---，解得4141a b λλλ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即44(,0,)11M λλλ-++，所以44(,3,)11MB λλλ-=++，设平面BDM 的法向量2(,,)n x y z =，则430443011x y x y z λλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩， 消去y ，得(21)x z λ+=，令1x =，则21z λ=+，43y =， 所以平面BDM 的一个法向量24(1,,21)3n λ=+，所以22212161(21)9λλ+=+++，解得13λ=或43-，因为0λ>，所以13λ=.………………………10分23. 证：（1）因数列{}n a 满足各项为1，即0123()(1)n nn n n n n F n C C C C C =-+-++-，由012233(1)n n n n n n n n x C C x C x C x C x +=+++++，令1x =-，则01230(1)n nn n n n nC C C C C =-+-++-，即(F n =..……………………………………………………3分（2）当2n =时，1212232(2)0F a a C a C =-+=，即2132a a a =+，所以数列{}n a 的前3项成等差数列.假设当n k =时，由1231234+1()(1)0k k k k k k k F k a a C a C a C a C =-+-++-=，可得数列{}n a 的前+1k 项成等差数列，……………………………………………………………………………………………………5分 因对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，所以(+1)0F k =成立，所以1231234+1123+1+112+13+14+12+1(1)0(1)0k kk k k k k k k k k k k k a a C a C a C a C a a C a C a C a C +⎧-+-++-=⎪⎨-+-++-=⎪⎩，两式相减得，1122+1+12+13+1+1+1+2+1()()(1)()(1)0k k k k k k k k k k k k k k a C C a C C a C C a C --+-++--+-=，因111m m mn n n C C C +++=+， 所以0121+1234+12(1)(1)0k k k k k k k k k k k a C a C a C a C a C -+-+-++-+-=，即01211234+12(1)(1)0k k k k k k k k k k k a C a C a C a C a C --+-+++-+-=，由假设可知234+12,,,,,k k a a a a a +也成等差数列，从而数列{}n a 的前2k +项成等差数列.综上所述，若()0F n =对任意3n ≥恒成立，则数列{}n a 是等差数列. ……………………………10分。