高中数学第一章等比数列1教案北师大版必修5
高中数学 第一章 数列教案 北师大版必修5
§1数列1．1 数列的概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系．2．过程与方法按照观察、猜想、发现、归纳和总结的学习过程，进行启发式教学，体会归纳思想．3．情感、态度与价值观通过本节课学习，体会数学源于生活，提高数学学习兴趣．●重点难点重点：了解数列的概念，了解数列是一种特殊函数．根据数列的前n项写出它的一个通项公式．难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系．(教师用书独具)●教学建议问题/情境设计意图师生活动同学们都知道大自然是美丽的，但如果我说，大自然还是懂数学的，你相信吗？下面，请看图片．师：多媒体课件展示生动丰富的大自然场景：花菜、向日葵、菠萝等，这些事物似乎都与这列数有关：1，1，2，3，5，8，13，21……生：观察图片，投入到教学活动中来．如果细心观察，就会发现自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念．●教学流程创设问题情境，提出3个问题⇒引导学生解答问题，引出数列的有关概念⇒通过例1及变式训练，使学生进一步认识数列的有关概念⇒通过例2及变式训练，使学生掌握数列的通项公式的求法⇒通过例3及互动探究，让学生掌握利用通项公式确定数列的项的问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第1页)课标解读1.了解数列、通项公式的概念．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数(难点)．3．能根据通项公式确定数列的某一项(重点)．4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(重点、难点).数列的有关概念及表示【问题导思】小山想利用电子邮箱发送一个E－mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3 4 5 6 7 8；(2)4 6 8 7 3 5；(3)7 6 5 3 8 4.1．这三组数字有什么异同之处？【提示】都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同．2．小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？【提示】 数字的排列顺序． 1．数列的有关概念数列 按一定次序排列的一列数叫作数列 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项首项 数列的第1项常称为首项 通项数列中的第n 项a n ，叫数列的通项2.数列的表示①一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…； ②字母表示：上面数列也记为{a n }．数列的分类【问题导思】当n 分别取1，2，3，4，…时，sin n π2的值排成一个数列：1，0，－1，0…；当n分别取1，2，3，4，5时，sinn π2的值排成一个数列：1，0，－1，0，1.这两个数列是同一数列吗？若不是同一数列，这两个数列有何区别与联系？【提示】 不是同一数列．第一个数列有无穷多项，第二个数列共有5项，这5项恰好是第一个数列的前5项．按数列的项数，数列分为有穷数列与无穷数列． (1)项数有限的数列叫作有穷数列； (2)项数无限的数列叫作无穷数列．数列的通项公式【问题导思】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．如图：图1－1－1上图表示的数可构成数列1，4，9，16，…，这个数列的第n 项a n 与n 之间能否用一个函数式表示？怎样表示？【提示】 可以．函数式可表示为a n ＝n 2.1．如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．2．数列可以看作定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．(对应学生用书第2页)数列的有关概念下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．(1){0，1，2，3，4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)同一个数在数列中可能重复出现； (4)数列1，2，3，4，…，2n 是无穷数列．【思路探究】 紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件． 【自主解答】 (1)错误．{0，1，2，3，4}是集合，不是数列． (2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． (3)正确．数列中的数可以重复出现．(4)错误．数列1，2，3，4，…，2n ，共有2n 项，是有穷数列．1．数列{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．2．从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．下列说法正确的是( )A ．数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列B ．数列2，3，4，4可以记为{2，3，4}C ．数列1，12，13，…，1n ，…可以记为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nD ．数列{2n ＋1}的第5项是10【解析】 数列是有序的，选项A 错；数列与数集是两个不同的概念，选项B 错；对于D ，当n ＝5时，a 5＝2×5＋1＝11，选项D 错，故选C.【答案】 C由数列的前n 项写出数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式． (1)1，－3，5，－7，9，…； (2)3，3，15，21，33，…； (3)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(4)0.9，0.99，0.999，0.9999，…； (5)32，1，710，917，…. 【思路探究】 分析各项a n 与对应序号n 之间的关系，从中发现规律，得到一个合适的函数解析式，再验证是否正确即可．【自主解答】 (1)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(2)数列可化为3，9，15，21，27，…， 即3×1， 3×3，3×5，3×7，3×9，…，每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝3（2n －1）＝6n －3.(3)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1.(4)原数列可变形为：1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故所给数列的一个通项为a n ＝1－110n . (5)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1；对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.1．本题通过观察各项与项数的关系，再进行比较，归纳出结论，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(－1)n或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子、分母分别找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)将数列的各项分解成若干个基本数列后再进行分析归纳．2．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可以用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)2，22，222，2 222，….【解】 (1)分子均为偶数，分母分别为1×3，3×5，5×7，7×9是相邻两个奇数的乘积，故a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(2)将分母统一成2，在数列12，42，92，162，252，…中分母为2，分子为n 2，故a n ＝n 22.(3)由9，99，999，9 999，…的通项公式a n ＝10n－1可知，2，22，222，2 222，…的通项公式为a n ＝29(10n－1)．利用通项公式确定数列的项已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 【思路探究】 (1)将n ＝4，6代入a n 即可．(2)若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n 与其对应，否则就不是数列中的项．【自主解答】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， 解得n ＝7，或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， 解得n ＝－2，或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．1．数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．2．判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程．若方程的解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．若本例的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项，若是，应是第几项？【解】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 3＝3×32－28×3＝－57，a 8＝3×82－28×8＝－32.(2)设3n 2－28n ＝20，解得n ＝10或n ＝－23(舍去)．∵n ∈N ＋，∴20是该数列的第10项．(对应学生用书第3页)归纳推理在求数列通项公式中的应用(12分)根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和点数，并写出由图中点数依次组成的数列的通项公式．(1) (3) (6) 图1－1－2【思路点拨】 观察图形的构成规律，寻找点数构成的数列中a 1与a 2，a 2与a 3的关系，便可发现a 4，a 5，…，a n 的取值规律及图形的构成特征．【规范解答】 观察前3个图形和点数，易知(10) (15)4分记图形中的点数构成的数列为{a n }．观察可知：a 1＝1＝22＝1×22， a 2＝3＝62＝2×32， a 3＝6＝122＝3×42， a 4＝10＝202＝4×52， a 5＝15＝302＝5×62.9分∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2.12分本题先观察数列前n 项的共同特点，再概括出数列的通项公式．这种推理就是归纳推理．归纳推理就是由个别事实概括出一般结论的推理，归纳推理是一种重要的推理方法，在数学领域有着广泛的应用．1．对通项公式的理解(1)数列的通项公式的表示形式不一定是唯一的，如数列：1，0，－1，0，1，0，－1，0，…，通项公式可以是a n ＝sinn π2，也可以是a n ＝cosn －12π(n ∈N ＋)．(2)并不是所有数列都能写出通项公式．如由π的精确度的数值排列：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就写不出通项公式．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想．3．数列是一类特殊函数，因此用函数观点解决数列问题是一种常用的方法，但要注意其定义域为正整数集或其有限子集．(对应学生用书第4页)1．下列说法中，正确的是( )A ．数列1，3，5，7可表示为{}1，3，5，7B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n }【解析】 由数列定义知A 错，B 中排列次序不同，D 中n ∈N . 【答案】 C2．(2013·宝鸡高二检测)数列13，24，35，46，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝1n －1B ．a n ＝n 2n －1C ．a n ＝n n ＋2 D ．a n ＝n2n ＋1【解析】 观察前4项的特点易知a n ＝nn ＋2.【答案】 C3．(原创题)在数列{n 2－1n }中，第7项是________．【解析】 令n ＝7，则n 2－1n ＝72－17＝487.【答案】4874．已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝1，求a 16. 【解】 由a 8＝1，得8k －5＝1，解得k ＝34，∴a n ＝34n －5，∴a 16＝34×16－5＝7.(对应学生用书第79页)一、选择题1．下列解析式中不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝(－1)nB ．a n ＝(－1)n ＋1C ．a n ＝(－1)n －1 D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n 为奇数，－1 n 为偶数.【解析】 A 中当n ＝1时，a 1＝－1，n ＝2时，a 2＝1，显然不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式．【答案】 A2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋2，则其第3、4项分别是( ) A ．11，3 B ．11，15 C ．11，18 D ．13，18【解析】 a 3＝32＋2＝11，a 4＝42＋2＝18. 【答案】 C3．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…则35是它的( ) A ．第22项 B ．第23项 C ．第24项 D ．第28项【解析】 令2n －1＝35，解得n ＝23. 【答案】 B4．下列四个数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是( ) A ．380 B ．39 C ．32 D ．23【解析】 分别令n (n ＋1)＝380，39，32，23解出n ∈N ＋即可，验证知n ＝19时，19×20＝380.【答案】 A5．(2013·德州高二检测)数列－13×5，25×7，－37×9，49×11，…的通项公式a n 为( )A ．(－1)n ＋11（2n ＋1）（2n ＋3）B ．(－1)n ＋1n（2n ＋1）（2n ＋3）C ．(－1)n1（2n ＋1）（2n ＋3）D ．(－1)nn（2n ＋1）（2n ＋3）【解析】 观察式子的分子为1，2，3，4，…，n ，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n ＋1)(2n ＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式a n ＝(－1)nn（2n ＋1）（2n ＋3）.【答案】 D 二、填空题6．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是________．【解析】 数列35，12，511，37，717，…即数列35，48，511，614，717，…，故a n ＝n ＋23n ＋2.【答案】 a n ＝n ＋23n ＋27．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋7n ＋9，则其第3、4项分别是________、________． 【解析】 a 3＝－32＋7×3＋9＝21，a 4＝－42＋7×4＋9＝21. 【答案】 21 218．已知曲线y ＝x 2＋1，点(n ，a n )(n ∈N ＋)位于该曲线上，则a 10＝________． 【解析】 ∵点(n ，a n )位于曲线y ＝x 2＋1上，∴a n ＝n 2＋1，故a 10＝102＋1＝101. 【答案】 101 三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… 【解】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6， 故通项公式为a n ＝(－1)n·(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )．(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32.原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是项数n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n ＝an ＋b .∴a 1＝a ＋b ＝2，①a 17＝17a ＋b ＝66.②②－①，得16a ＝64，∴a ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2(n ∈N ＋)．(2)令4n －2＝88⇒4n ＝90，n ＝452∉N ＋，∴88不是数列{a n }中的项．图1－1－311．如图1－1－3所示，有n (n ≥2)行n ＋1列的士兵方阵：(1)写出一个数列，用它表示当n 分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数．(2)说出(1)中数列的第5，6项，用a 5，a 6表示； (3)若把(1)中的数列记为{a n }，求该数列的通项公式a n ； (4)求a 10，并说明a 10所表示的实际意义．【解】 (1)当n ＝2时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当n ＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6，12，20，30，42，….(2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示7行8列，故a 5＝42，a 6＝56.(3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式． 前4项分别为：6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6 因此a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．(4)由(3)知a 10＝11×12＝132，a 10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．(教师用书独具)数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【思路探究】 若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n 与其对应，否则就不是数列中的项．【自主解答】 (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝0，∵n ∈N ＋，∴n ＝21.∴0是{a n }中的第21项． 若1是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝1，∴n 2－21n ＝2，即n 2－21n －2＝0. ∵方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， ∴1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，则解得m ＝10. ∴数列{a n }中存在连续的两项第10项与第11项相等．1．本题易忽视n ∈N ＋，导致解方程n 2－21n －2＝0出错．2．数列通项公式反映了一个项与项数的函数关系，通项公式的作用： (1)求数列中任意一项；(2)检验某数是否是该数列中的一项．在上述例题中，当n 为何值时，a n <0? 【解】 由a n <0，得0<n <21， 又∵n ∈N ＋，∴当n ＝1，2，3，…，20时，a n <0.1．2 数列的函数特性(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解递增数列、递减数列、常数列的概念．掌握判断数列增减性的方法．2．过程与方法通过画数列图像，观察图像的升降趋势的学习过程使学生体会数列的增减性，学习过程采用启发、引导式教学．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习培养学生数形结合思想，函数思想的应用．●重点难点判定数列的增减性．(教师用书独具)●教学建议针对判断数列的增减性问题可以从以下两种方法着手解决：(1)图像法：利用数列的图像的升、降趋势进行判断．(2)定义法：根据相邻两项a n与a n＋1的大小关系来判断．判断这两项的大小可采用作差或作商的方法．●教学流程根据本节知识，提出问题：从函数的单调性上观察数列特点⇒引导学生回答问题引出递增、递减、常数列，讲解各自特点⇒通过例1及变式训练，使学生掌握数列的图像及应用⇒通过例2及变式训练，让学生掌握数列增减性的判断⇒通过例3及变式训练，使学生会求数列的最大（小）项问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第4页)课标解读1.了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)(重点)．2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．3．掌握判断数列增减性的方法(难点).数列的表示法表示一个数列我们可以用图像、列表、通项公式．数列增减性【问题导思】观察以下几个数列：①1，2，3，4，…；②－2，－4，－6，－8，…；③1，1，1，1，….从函数的单调性上考查，以上三个数列有何特点？【提示】①是递增的数列②是递减的数列③是常数列名称定义表达式图像特点递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项a n＋1＞a n上升递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项a n＋1＜a n下降常数列各项都相等a n＋1＝a n不升不降(对应学生用书第5页)数列的图像及应用已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －9，画出它的图像，并判断增减性．【思路探究】 借助函数y ＝22x －9的图像作出数列{a n }的图像，然后根据图像的升降趋势判断单调性．【自主解答】 图像如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．1．解答本题的关键是借助函数y ＝1x －92的图像．2．若数列的通项公式a n ＝f (n )所对应的函数y ＝f (x )是基本初等函数，则可利用对应函数的图像及性质，研究数列的性质．把数列{n 2－9n }用列表法表示出来，在直角坐标系中画出它的图像，并根据图像指出它的增减性．【解】 列表法表示为： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 … 项－8－14－18－20－20－18－14－8…记a n ＝n 2－qn ，数列图像如图所示：由图像直观地看出它在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，7，8，…}上是递增的．数列增减性的判断已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋1，试判断该数列的增减性．【思路探究】 可用作差法或作商法判断数列的增减性．【自主解答】 a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋1－nn 2＋1＝1－n 2－n[（n ＋1）2＋1]（n 2＋1）. 因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n <0， 所以a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故该数列为递减数列．1．本题中1－n 2－n 的符号判断是关键，不要忽视n ∈N ＋这一条件．2．应用函数单调性的判断方法来判断数列的单调性，常用的方法有：作差法，将a n ＋1－a n 与0进行比较；作商法，将a n ＋1a n与1进行比较(在作商时，要注意a n <0还是 a n >0)．判断数列1，23，35，47，…，n2n －1，…的增减性．【解】 设a n ＝n2n －1. ∵a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n 2n －1＝－1（2n ＋1）（2n －1）＜0，∴a n ＋1＜a n ，∴{a n }是递减数列．求数列的最大(小)项已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．【思路探究】 假设存在最大项→作差a n ＋1－a n →讨论差式的符号→确定最大项 【自主解答】 法一 假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n ＝(1011)n ·9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119.法二 假设数列{a n }中有最大项，并设第k 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k≥2都成立．即⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）（1011）k≥k （1011）k －1，（k ＋1）（1011）k≥（k ＋2）（1011）k ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1011（k ＋1）≥k ，k ＋1≥1011（k ＋2），解得9≤k ≤10. 又k ∈N ＋，∴数列{a n }中存在的最大项是第9项和第10项， 且a 9＝a 10＝1010119.1．解答探索性题目的方法：首先假设存在，然后在此前提下，利用已知条件进行推理，若推出合理的结论，则说明存在；若推出矛盾的结论，则说明不存在．2．求数列的最大(小)项的两种方法：(1)利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项． (2)设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立，解不等式组即可．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －122n －7，求数列{a n }的最大项和最小项．【解】 ∵a n ＋1－a n ＝4n －82n －5－4n －122n －7＝（4n －8）（2n －7）－（4n －12）（2n －5）（2n －5）（2n －7）＝（8n 2－44n ＋56）－（8n 2－44n ＋60）（2n －5）（2n －7）＝－4（2n －5）（2n －7）＝－1（n －52）（n －72）当n ≤2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ； 当n ＝3时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ≥4时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 又当n ≤3时，a n <2；当n ≥4时，a n >2. ∴a 4>a 5>…>a n >…>2>a 1>a 2>a 3. 故a 3最小为0，a 4最大为4.(对应学生用书第6页)忽视n 的范围致误设数列{a n }的通项公式为：a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围 .【错解】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图像对称轴方程为n ＝－k2，又数列{a n }是单调递增数列， ∴－k2≤1，得k ≥－2.故实数k 的取值范围为[－2，＋∞)．【错因分析】 导致上述错解的原因是仅考虑了数列{a n }为单调递增数列时的一种情形，而没考虑到n ∈N ＋，n 的值是离散的．【防范措施】 数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N ＋(或它的有限子集)． 【正解】 法一 ∵数列{a n }是单调递增数列， ∴a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立． 又∵a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立． 即2n ＋1＋k >0.∴k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立．而n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)， ∴k >－3.即k 的取值范围为(－3，＋∞)．法二 结合二次函数y ＝x 2＋kx 的图像，要使{a n }是递增数列，只要a 1<a 2，即可， 即1＋k <4＋2k ，得k >－3， 所以k 的取值范围为(－3，＋∞)．1．数列的三种表示方法各有优缺点：(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图像能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．2．判断一个数列的增减性，可以借助于图像的升、降趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．(对应学生用书第7页)1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ＜0)，则该数列是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．以上都不是【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝ －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＞0，即a n ＋1＞a n ，∴该数列是递增数列．【答案】 B2．递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0]【解析】 a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ＜0. 【答案】 C3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝k3n (k >0，且k 为常数)，则该数列是________(填“递增”、“递减”)数列．【解析】 a n ＋1a n ＝k 3n ＋1·3n k ＝13<1.∵k >0，∴a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴{a n }是递减数列． 【答案】 递减4．写出数列1，24，37，410，513，…的通项公式，并判断其增减性．【解】 通项公式为a n ＝n 3n －2. ∵a n ＋1－a n ＝n ＋13（n ＋1）－2－n 3n －2＝－2（3n ＋1）（3n －2）<0，∴a n ＋1<a n ，∴{a n }是递减数列．(对应学生用书第81页)一、选择题1．已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都不对【解析】 ∵a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2＞0， ∴a n ＋1＞a n ，故数列{a n }为递增数列． 【答案】 A2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是( ) A ．a 1 B ．a 9 C ．a 10 D ．不存在 【解析】 ∵a 1>0且a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n >0，a n ＋1a n ＝nn ＋1<1， ∴a n ＋1<a n ，∴此数列为递减数列，故最大项为a 1. 【答案】 A3．(2013·西安高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2nn ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列【解析】 a n ＋1－a n ＝2（n ＋1）n ＋2－2n n ＋1＝2（n ＋1）2－2n 2－4n （n ＋1）（n ＋2）＝2（n ＋1）（n ＋2）＞0，∴{a n }是递增数列．【答案】 A4．已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3，则数列{a n }中的最大项为( ) A ．a 1＝10 B ．a 2＝13 C ．a 3＝12 D ．以上均不正确【解析】 a n ＝－2(n －94)2＋1058，由于n ∈N ＋，∴当n ＝2时，a 2＝13最大． 【答案】 B5．(2013·沈阳高二检测)函数y ＝f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像可能是( )【解析】 由a n ＋1＝f (a n )及a n ＋1＞a n 可知，f (a n )＞a n ，即图像上每一点的纵坐标大于其横坐标，∴函数y ＝f (x )的图像应在直线y ＝x 上方，故选A.【答案】 A 二、填空题6．(2013·黄冈高二检测)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N ＋)，则a 2 012＝________．【解析】 ∵a 1＝2由a n ＋1＝1＋a n 1－a n 得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴{a n }为周期为4的数列，∴a 2 012＝a 4×503＝a 4＝13.【答案】 137．已知数列{a n }，a n ＝2n 2－10n ＋3，它的最小项是________．【解析】 a n ＝2n 2－10n ＋3＝2(n －52)2－192.故当n ＝2或3时，a n 最小．【答案】 2或3项8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －102，则数列从第________项开始值大于零．【解析】 令4n －102＞0得n ＞2512，∴数列{a n }从第26项开始大于零． 【答案】 26 三、解答题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，试作出其图像，并判断数列的增减性．【解】 列表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … a n20273235363532272011…图像如图所示：由数列的图像知，当1≤n ≤5时数列递增；当n ≥5时数列递减． 10．已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋), (1)求证：a n <1；(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ 【解】 (1)证明 a n ＝f (n )＝n －1n ＝1－1n<1. (2)∵a n ＋1－a n ＝（n ＋1）－1n ＋1－n －1n ＝(1－1n ＋1)－(1－1n )＝1n （n ＋1）>0，∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列．11．(2013·广州高二检测)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2，3. ∴数列中有两项是负数．(2)法一 ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52.又因n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤（n ＋1）2－5（n ＋1）＋4，n 2－5n ＋4≤（n －1）2－5（n －1）＋4. 解这个不等式组得2≤n ≤3， ∴n ＝2，3，∴a 2＝a 3且最小，∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.(教师用书独具)已知函数f (x )＝2x －2－x，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明数列{a n }是递减数列．【思路探究】 首先建立关于a n 的一元二次方程求解，再证明a n >a n ＋1即可证明数列{a n }是递减数列．【自主解答】 (1)∵f (x )＝2x－2－x，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， ∴a n －1a n＝－2n ，∴a n 2＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)a n ＋1a n ＝（n ＋1）2＋1－（n ＋1）n 2＋1－n＝n 2＋1＋n（n ＋1）2＋1＋（n ＋1）<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴数列{a n }是递减数列．本题是函数、方程与数列的典型结合与运用，要比较a n 与a n ＋1的大小，可以用作差法或作商法，即若a n ＋1－a n >0，则a n ＋1>a n ，可以判断数列{a n }是递增数列；当a n >0时，若a n ＋1a n>1，则a n ＋1>a n ，也能判断数列{a n }是递增数列．对于递减数列，同理可以给出判断．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋13n (n ∈N ＋)，画出它在x 轴上方的图像，并根据图像求出a n 的最大值，并在同一坐标系中画出函数f (x )＝－2x 2＋13x 的图像，根据图像求出f (x )的最大值．若用函数来求a n ＝－2n 2＋13n 的最大值，应如何处理？【解】 由－2n 2＋13n >0，可得0<n <132.又因为n ∈N ＋，所以n ＝1，2，3，4，5，6，分别代入通项公式，可得a 1＝11，a 2＝18，a 3＝21，a 4＝20，a 5＝15，a 6＝6，图像如图所示，为6个点．最大值为21.函数f (x )＝－2x 2＋13x 的图像如图所示(图中曲线)．f (x )＝－2x 2＋13x ＝－2(x －134)2＋1698，所以当x ＝134时，f (x )max ＝1698. 用函数来求{a n }的最大值时， 因为3<134<4，且314离3较近，所以最大值为a 3＝21.§2等差数列2．1 等差数列 第1课时 等差数列(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能掌握等差数列通项公式及推导，掌握判断等差数列的方法． 2．过程与方法通过对等差数列图像的应用进一步渗透数形结合思想，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．3．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明白等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辨证唯物主义观点．●重点难点重点：等差数列的判定．难点：求等差数列的通项公式及其应用．(教师用书独具)●教学建议问题：数列：1，3，( )，7，9，…2，5，8，( )，14，…－2，3，8，( )，18，…师：先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点？生：后一项减前一项都等于常数．师：对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(a n＋1与a n)?生：a n＋1－a n＝d(d为常数)．师：这样的数列就是我们这节课要讲的等差数列．(板书课题)●教学流程创设情境，提出了2个问题⇒引导学生根据问题引入等差数列⇒通过例1及互动探究，使学生掌握等差数列的判定⇒通过例2及变式训练，使学生掌握如何求通项公式⇒通过例3及变式训练，使学生掌握等差数列通项公式的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第7页)课标解读1.理解等差数列的概念(重点)．2．掌握等差数列的判断方法(重点)．3．掌握等差数列的通项公式及其应用(重点、难点).等差数列的概念【问题导思】对于数列2，4，6，8，…该数列相邻两项的差(后项减去前项)有什么特点？怎样表示相邻两项间的关系？【提示】等于同一常数．a n＋1－a n＝2或a n－a n－1＝2(n≥2)．文字语言从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫做等差数列．称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2)，则数列{a n}为等差数列.等差数列的通项公式【问题导思】你能观察出数列2，4，6，8，…的通项公式吗？能否给予证明？【提示】a n＝2n，证明如下：由a n＋1－a n＝2，。
北师大版高中数学必修五—学同步教学案数列§ 等比数列
§3 等比数列 3.1 等比数列(一)课时目标 1.理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列.2.掌握等比数列的通项公式并能简单应用.3.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的______都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的______，通常用字母____表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式： __________________________________________________. 3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G ＝________.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．2433．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－22 4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－95．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A.53 B.43 C.32 D.126．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( )A.5－12B.5＋12C.12 D ．不确定二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．能力提升13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________. 14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1， (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求a n 的表达式．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N ＋)．2．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a n ，a 1，q ，n 四个量．已知其中三个量可求得第四个．§3 等比数列 3．1 等比数列(一)答案知识梳理1．2 比 公比 q 2.a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0) 3．等比中项 ±ab 作业设计1．B [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.]2．A [∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.]3．C [设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2－2q －1＝0， ∴q ＝1±2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.] 4．B [∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.] 5．A [设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )， 解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53.]6．A [a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍)∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q＝5－12.]7．4·(32)n －1解析 由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n －1.8．18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18.9．5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.10.5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.11．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n. 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.12．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．13．－9解析 由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.14．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. (2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列． 公比为2，首项a 1＋1＝2.∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n .∴a n ＝2n －1.3.1 等比数列(二)课时目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝________.2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N ＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为________数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b na n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－23．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋cn＝( )A ．4B ．3C ．2D ．14．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．425．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( ) A.43 B.34C ．2D ．3436．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．12．设{a n}、{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n＝a n＋b n，证明数列{c n}不是等比数列．能力提升13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于()A．4 B．2C．－2 D．－414．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使a2n0＋1≠an0·an0＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．3．1 等比数列(二)答案知识梳理 1．a m ·a n ＝a k ·a l a 2k 2.等比 作业设计1．C [在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.]2．B [∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.]3．C [设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c 2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q＋2q 1＋q ＝2.] 4．A [∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310. ∴a 25＝a 2a 8＝350＝1350，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝1650. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝1250＝5 2.]5．A [∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝133.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3433＝43.]6．D [设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32.] 7．4解析 由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4.8．－6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6. 9．8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8. 10.12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.11．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.12．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0， p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列， 只需证c 22≠c 1·c 3成立即可． 事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 13．D [依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，a 2＝2c ⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，∴a ＝－4.]14．解 设三个数为aq，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q ，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q ，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.3.2 等比数列的前n 项和(一)课时目标 1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法.2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1) (q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝____________.3．推导等比数列前n 项和的方法叫________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－112．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．333．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172 5．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．26．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510二、填空题7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 10．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.三、解答题11．在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.12．求和：S n＝x＋2x2＋3x3＋…＋nx n (x≠0)．能力提升13．已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为S n，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝S n(S2n＋S3n)．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n·log2a n，求数列{b n}的前n项和T n.1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，a n，n，q，S n，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．3．2 等比数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q na 1 2.a 1q －13.错位相减作业设计1．D [由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.]2．D [由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.] 3．C [方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152.]4．B [∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.]5．C [当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k )＝3n －3n －1＝2·3n －1. 由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1.] 6．D [由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.]7．－13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.8．3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 9．10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.10．2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N ＋.11．解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，① 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n－1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．解 分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n)1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).13．证明 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，则S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n)． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．14．解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N ＋.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.3.2 等比数列的前n 项和(二)课时目标 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝__________＝__________；当q ＝1时，S n ＝_______.2．等比数列前n 项和的性质：(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成______数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)(2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝______.3．解决等比数列的前n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.12(2n －1)2C ．4n －1 D.13(4n －1)2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1，…的前n 项和为( )A ．2n －1 B ．n ·2n －nC ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －23．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.1584．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米 5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．30 6．某市决定从2010年1月1日起到2015年1月1日五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2010年底更新现有总车辆数的(参考数据：1.14≈1.46,1.15≈1.61)( )A ．10%B ．16.4%7．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________. 8．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 10．在等比数列{a n }中，已知S 4＝48，S 8＝60，则S 12＝________. 三、解答题11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)能力提升13．有纯酒精a L(a >1)，从中取出1 L ，再用水加满，然后再取出1 L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a 1与项数n 的实际含义，同时要搞清是求a n 还是求S n 的问题．3．2 等比数列的前n 项和(二)答案知识梳理1.a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q na 12.(1)等比 (3)q作业设计1．D [易知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，∴{a 2n }也是等比数列，a 21＝1，公比为4.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝13(4n －1)．]2．D [1＋2＋4＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1，∴S n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.]3．C [若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1， 则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1.所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.]4．A [小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)．] 5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.]6．B [该市出租车总数记为1，设2010年底更新其中x 部分， 则x ＋1.1x ＋1.12x ＋1.13x ＋1.14x ＝1，∴x ＝(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)－1＝1－1.11－1.15≈16.4%.]7．1解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列． ∴a n 为定值．∴q ＝a n ＋1a n＝1.8．729解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3， ∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36＝729(只)． 9.13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13. 10．63解析 方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48， ①a 1(1－q2n)1－q＝60. ②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14. ③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.11．解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．12．解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)． (2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n >13，于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >65732.两边取常用对数，则n ·lg 1.5>lg 65732，即n >lg 657－5lg 2lg 3－lg 2≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.13.⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a 解析 用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1a，加水后浓度为⎝⎛⎭⎫1－1a ⎝⎛⎭⎫a －1a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，a 3＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2， 依次类推：a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8，a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 9. ∴⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a . 14．解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝10(1＋5.5)2＝32.50(万元)，而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为 32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．。
高中数学第一章数列3.1等比数列(一)学案北师大版必修5(2021学年)
２017-2018版高中数学第一章数列3.1 等比数列(一)学案北师大版必修５编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０17－2０18版高中数学第一章数列 3.1 等比数列(一)学案北师大版必修５)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为201７-2０18版高中数学第一章数列 3.1 等比数列（一)学案北师大版必修5的全部内容。
３．1 等比数列(一）学习目标1。
通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.２．掌握等比中项的概念并会应用。
３。
掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一等比数列的概念思考观察下列4个数列,归纳它们的共同特点．①１,2,4,8,１６，…;②1，错误!，错误!,错误!,错误!,…;③1，1，１,1,…;④-1,1,－1,１,…。
梳理等比数列的概念和特点．（1）如果一个数列从第_＿__项起,每一项与它的＿_＿_一项的__＿_都等于_＿_＿___＿常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的＿_____＿_，通常用字母q表示(ｑ≠０).(2）递推公式形式的定义＼f(a n,aｎ－１）＝q(n〉1）(或aｎ+1aｎ＝q，n∈N＋）．(3）等比数列各项均_＿___＿__为0.知识点二等比中项的概念思考在２,8之间插入一个数,使之成等比数列.这样的实数有几个? 梳理等差中项与等比中项的异同,对比如下表:对比项等差中项等比中项定义若ａ，A,b成等差数列，则A叫作ａ与b的等差中项若a，G,b成_＿＿_____数列,则G叫作ａ与b的等比中项定义式A－ａ＝b－Ａ错误!=错误!公式A=＼f(a+b,2)G=±＼ｒ（ab)个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有________个,且互为______＿＿备注任意两个数a与b都有等差中项只有当_＿__＿＿＿_时,a与b才有等比中项知识点三等比数列的通项公式思考等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a１，公比为q的等比数列的通项公式吗?梳理等差数列{a n}首项为a1,公比为q,则a n＝ａ１q n－1.类型一证明等比数列例1 根据下面的框图，写出数列的前5项,并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义,即错误!=q(与n无关的常数）．跟踪训练1 已知数列{aｎ｝的前n项和为S n，且Ｓn=＼f(1，3)(aｎ－1）(n∈N＋）.（1)求a１，a2；（２）证明：数列{a n｝是等比数列．类型二等比数列通项公式的应用命题角度１方程思想例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是１２与1８,求它的第１项与第２项.反思与感悟已知等比数列{a n}的某两项的值,求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和ｑ的两个方程，从而解出a1和q,再求其他项或通项．跟踪训练2 在等比数列{a n}中．（1)已知ａ1=３,q＝-2,求ａ６;（２）已知a3＝2０,ａ6=１60,求ａn。
北师大版高中数学必修5第一章数列第1课时等比数列学案含解析
北师大版高中数学必修5：§3 等比数列3.1 等比数列 第1课时 等比数列内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式，并会应用.3.能够应用定义判断一个数列是否为等比数列.增强数学抽象 形成逻辑推理 提升数学运算授课提示：对应学生用书第17页[基础认识]知识点一 等比数列的定义2123，思考并完成以下问题 观察下面几个数列 ①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，…③1，－1，1，－1，1，… ④12，－1，2，－4，8，… (1)上面几组数列是等差数列吗？为什么？提示：都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义．(2)如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？ 提示：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数． (1)文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)． (2)符号语言 a n ＋1a n＝q (q 为常数且q ≠0，n ∈N ＋)． 知识点二 等比数列的通项公式 1．你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？提示：能.a n ＋1a n ＝q 或a na n －1＝q (n ≥2)或a n ＋1＝qa n 或a n ＝q ·a n －1(n ≥2)．2．根据问题1中的式子，你能归纳出等比数列的通项公式吗？提示：能．由a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，…可猜测a n ＝a 1q n －1. 已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则(1)递推公式：a na n －1＝q (n ≥2)；(2)通项公式：a n ＝a 1q n －1．[自我检测]1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2，4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①② B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解析：由等比数列的定义知，①、②、④是等比数列，③中当x ＝0时，不是等比数列，故选C.答案：C2．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1.故选B.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a n ＝128，则n ＝________．解析：a n ＝2×2n －1＝2n ，由2n ＝128，解得n ＝7. 答案：7授课提示：对应学生用书第18页探究一 等比数列的判定[阅读教材P22例1及解答]以下数列中，哪些是等比数列？(1)1，－12，14，－18，116；(2)1，1，1，1， (1)(3)1，2，4，8，12，16，20； (4)a ，a 2，a 3，…，a n . 题型：等比数列的判定． 方法步骤：①明确定义． ②验证得结论．[例1] 数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n ＋6a n ＋6(n ∈N ＋)，设c n ＝log 5(a n ＋3)．求证：{c n }是等比数列．[解题指南] 利用定义得出a n ＋1a n＝q .q 是一个与n 无关的常数即可．[证明] 由a n ＋1＝a 2n ＋6a n ＋6， 得a n ＋1＋3＝(a n ＋3)2.∴log 5(a n ＋1＋3)＝log 5(a n ＋3)2＝2log 5(a n ＋3)， 即c n ＋1＝2c n ，又c 1＝log 55＝1≠0， ∴c n ＋1c n＝2，∴{c n }是等比数列． 方法技巧 判断一个数列{a n }是等比数列的方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列．(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列． (3)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可．拓展：若{a n }是等比数列，则{ka n }成等比数列，(其中k 为不为零的常数)；若{a n }、{b n }成等比数列，则{a n b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 成等比数列．跟踪探究 1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2.(2)求证：数列{a n }是等比数列．解析：(1)由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，所以a 1＝－12，又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)得a n a n －1＝－12，故{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．探究二 等比数列中基本量的计算[阅读教材P23例2及解答]一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值．题型：等比数列基本量的计算．方法步骤：①根据已知条件确定首项a 1和公比q . ②结合通项公式求出a 8. [例2] 在等比数列{a n }中，(1)若a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .[解题指南] (1)由a 2＝4，a 5＝－12能否建立a 1，q 的方程组求出a 1，q ？怎样写出通项公式a n?(2)由已知条件能否求a 1，q ？怎样求？怎样求n? [解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1q ＝4，a 5＝a 1q 4＝－12∴q ＝－12，a 1＝－8. ∴a n ＝a 1q n －1＝－8×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－2)4－n . (2)∵a 3＋a 6＝(a 2＋a 5)q ，即9＝18q ，∴q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1知n ＝6.方法技巧 1.求等比数列某项的方法先建立关于a 1和q 的两个方程，从而求出a 1和q ，再求其他项． 2．等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 跟踪探究 2.(2019·昌吉市模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4，则a 3＝( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D. 2解析：在等比数列中，由a 5＝4得a 5＝q 4＝4，得q 2＝2，则a 3＝a 1q 2＝2.故选A. 答案：A3．在等比数列{a n }中，a 1·a 9＝256，a 4＋a 6＝40，则公比q ＝________．解析：∵a 1a 9＝a 21q 8，a 4a 6＝a 1q 3·a 1q 5＝a 21q 8，∴a 1a 9＝a 4a 6，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 6＝40，a 4·a 6＝256.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝32，a 6＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝8，a 6＝32. ∴q 2＝a 6a 4＝832＝14或q 2＝328＝4.∴q ＝±12或q ＝±2.答案：－2或2或－12或12探究三 等比数列项的设法[例3] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．[解题指南] 可设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0，q ≠0)然后依据条件建立方程组求解．[解析] 设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0，q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq －a ＋aq ＝16.a q＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0，4，8，16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15，9，3，1.延伸探究 若将本例中的“和是16”改为“积是－128”，将“和是12”改为“积为16”，如何求解？解析：设所求四个数依次为2a q －aq ，aq，aq ，aq 3.则由已知⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫a q ·（aq ）＝16， ①⎝⎛⎭⎫2a q －aq ·（aq 3）＝－128. ②由①得a 2＝16，所以a ＝4或a ＝－4. 由②得2a 2q 2－a 2q 4＝－128. 将a 2＝16代入整理，得q 4－2q 2－8＝0，解得q 2＝4， 所以q ＝2或q ＝－2.所以所求的四个数分别为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32. 方法技巧 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq，a ，aq .推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，a q 2，aq，a ，aq ，aq 2，…(2)四个符号相同的数成等比数列设为： a q 3，aq，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，a q 5，a q 3，aq，aq ，aq 3，aq 5，….跟踪探究 4.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．解析：设这三个数依次为aq，a ，aq ，∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8， ∵⎝⎛⎭⎫a q －2＋(aq －2)＝2a ，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12.∴这三个数为4，8，16或16，8，4.授课提示：对应学生用书第19页[课后小结](1)等比数列的判断或证明①利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．②利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)．(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．(3)巧设等差数列、等比数列的方法：①若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.②若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，aq，aq ，aq 3.[素养培优]忽略数列首项致误已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式lg(S n ＋1)＝n (n ＝1，2，…)，试说明数列{a n }是等比数列．易错分析 判断数列为等比数列时，根据定义，是从第2项起，后一项与前一项的比是同一非零常数．故需讨论a n 与a n (n ≥2)的关系，即要验证n ＝1是否成立，否则就会使论证不够严密，甚至出现错误的结果．本题考查逻辑推理的学科素养． 自我纠正 由已知可知：S n ＝10n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n －1)－(10n －1－1)＝9×10n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝9也满足上述通项公式．∴数列{a n }的通项公式a n ＝9×10n －1.而当n ≥2时，a n a n －1＝9×10n －19×10n －2＝10为一常数．∴数列{a n }是等比数列.。
北师大版高中必修5《等比数列》教案
北师大版高中必修5《等比数列》教案《北师大版高中必修5《等比数列》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！3.4.1等比数列教案课题：3.4.1等比数列(一)教学目标教学知识点等比数列的定义.等比数列的通项公式.能力训练要求掌握等比数列的定义.理解等比数列的通项公式及推导.德育渗透目标培养学生的发现意识.提高学生的逻辑推理能力.增强学生的应用意识.教学重点等比数列的定义及通项公式.教学难点灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题.教学方法比较式教学法采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.教学过程Ⅰ 复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容1、等差数列定义：an-an-1=d(n≥2)(d为常数)a+b22、等差数列性质：①若a、A、b成等差数列，则A=②若m+n=p+q，则，am+ an= ap+ aq,③Sk ，S2k - S3k，S2k…成等差数列.3、等差数列的前n项和公式：Ⅱ 新课讲授下面我们来看这样几个数列，有何时共特点?1，2，4，8，16，…，263 ;①5，25，125，625，…; ②1418121，- ，，- ，…; ③仔细观察数列，寻其共同特点：数列①：;数列②:数列③:共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点)1、定义12等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即：an ：an-1= q(q≠0)数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。
总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意公差①“d”可为0，②公比“q”不可为0.2、等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得a2= a1qa3= a2q=( a1q)q= a1q2a4= a3q=( a2q)q=( (a1q)q)q= a1q3……an= an-1q= a1qn-1(a4，q≠0)，n=1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.解法二：由定义式可得：(n-1)个等式①②a2a1= qa3a2= qn-1n-1a na n-1……若将上述n-1个等式相乘，便可得：即: an = a1qn-1(n≥2)当n=1时，左=a1，右=a1，所以等式成立.∴等比数列通项公式为： an= a1qn-1(a1，q≠0)写出数列①②③的通公式.数列①: an=1×2n-1(a1，q≠0)数列②: an=5×5n-1=5n(a1，q≠0)数列③: an=与等差数列比较,两者均可用归纳法求得通项公式.或者, 等差数列是将由定义得到的n-1个式子相“加”，便可求得通项公式;而等比数列则需将由定义行到的n-1个式子相“乘”，方可求得通项公式.[例1]一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q，= q②÷①得：③③代入①得：∴∴答：这个数列的第1项与第2项分别是评析：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.Ⅳ课堂练习课本P128练习1、2，Ⅴ课时小结：本节为要学习了等比数列的定义，即：.等比数列的通项公式：an= a1qn-1(n≥2)及推导过程.Ⅵ课后作业(一)课本P129 习题3.9 1(二)1、预习内容：课本P127～P1282、预习提纲：⑴什么是等比中项?⑵等比数列有哪些性质?③怎样应用等比数列的定义式、通项公式以有重要性质解决一些相关问题.北师大版高中必修5《等比数列》教案这篇文章共5020字。
高中数学第一章数列1.3.1等比数列学案北师大版必修5(2021学年)
高中数学第一章数列1．3．１等比数列学案北师大版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章数列 1．3．1 等比数列学案北师大版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章数列 1.3．1 等比数列学案北师大版必修5的全部内容。
１。
3.1等比数列一:知识要点1.等比数列定义:一般地，如果一个数列从__＿________,每一项与它的前一项的＿_＿_等于____________,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的＿_____;公比通常用字母q 表示（q _____），即:1n a +∶(0)n a q q =≠ 注意问题：(1)等比数列的首项不为__＿__; (2) 等比数列的每一项都不为＿____； (３） 等比数列的公比不为_＿_＿_（4）_______＿___＿数列既是等比数列也是等差数列；２。
等比数列通项公式：11-⋅=n n q a a 二:例题例1. 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的8４% ,这种物质的半衰期为多长(精确到一年）?例2.已知数列{}n a 满足)1(21,111>==-n a a a n n ,求n a例３.一个等比数列的第3项与第４项分别是1２与18，求它的第1项与第２项.三:练习ﻩ1。
已知数列 ａ,a （１-ａ）, ａ(1- ａ ） 2 ,…是等比数列,则实数ａ 的取值范围是( ）。
A 。
a ≠1 B 。
a ≠０ 且 a ≠1 C 。
a ≠0 D 。
a ≠０ 或 a ≠1 ２. 等比数列{}n a 中,1a = 1２ ,2a = 24 ,则3a =( ).Ａ。
数学北师大版高中必修5必修5第一章第三节等比数列学案3-1(1)
█必修5高中数学（北师大版）讲练学案第一章数列§3.1 等比数列（第一课时）【学习目标】1．知识与技能（1）理解等比数列的定义并能判断一个数列是否为等比数列；（2）掌握等比数列的通项公式及其推导；（3）能利用等比数列的通项公式解决相关的简单问题. 2．过程与方法在等比数列的学习过程中，采用类比的方法，类比等差数列与等比数列的定义、通项公式和解题方法等方面的异同，发展学生类比思维的能力.3．情感，态度与价值观在利用类比方法研究等比数列的过程中，培养学生认识和体会类比思想在研究新事物性质中的作用，体会和认识数学知识间的普遍联系与辩证统一，激发学生学习兴趣.【重点与难点】1．重点等比数列的定义及其通项公式2．难点等比数列的通项公式推导及其应用【自学导引】问题1 回忆等差数列：1)等差数列的定义？2）等差数列的通项公式？问题2 1）印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得到一个数列：23631,2,2,2,,2；①2）数列：111--；②1,,,,2483,3,3,3,3,3；③试观察归纳数列①②③的共同特点。
等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列。
这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0q≠）。
问题3 在等比数列中，公比q为什么不能等于0？能否有某一项为0？问题4 前面的数列①②③是等比数列吗？如果是，它们的公比各是多少？问题5 如果已经知道了一个数列是等比数列，并且知道它的第一项a和公比q，怎样写出它的通项公式？1（ 提示：由等比数列的定义可知：3241231n n a a a a q a a a a -=====， 21a a q =，23211()a a q a q q a q ===，234311()a a q a q q a q ===）问题6 请分别写出数列①②③的通项公式。
【范例评析】例1 以下数列中，哪些是等比数列？（1）8,16,32,64,128,； （2）8,8,16,32,64,128,；（3）636261322,2,2,,2,2,2,1； （4）1,1,1,1,1,1,---； （5）0,2,4,6,8,10; （6）23,,,,()n a a a a n N +∈.解析：（1）是等比数列，公比2q =； （2）因为81688≠，所以该数列不是等比数列； （3）是等比数列，公比12q =； （4）是等比数列，公比1q =-；（5）因为10a =，所以该数列不是等比数列；（6）当0a ≠时，这个数列是公比为a 的等比数列； 当0a =时，它不是等比数列.例2，一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12.求它的第8项的值.解析：设等比数列的首项为1a ，公比为q ，则由已知，得 12112,12,a a q a q =+=（1）（2）｛将（1）式代入（2）式，得 260q q +-=.解得 32q q =-=或当3q =-时，77812(3)4374a a q =⨯-=-=，当2q =时，77882222256a q =⨯===.所以数列的第8项是-4374或256.【随堂巩固】1． 已知数列2,(1),(1),a a a a a --是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a ≠B. 01a a ≠≠或C. 0a ≠D. 01a a ≠≠且2． 已知n a ｛｝为等比数列，其中36471+=+=,.2a a a a a k =k 36，18，若求 【课后反思】1． 你还能用其它的方法推导等比数列的通项公式吗？2． 若n a ｛｝，n b ｛｝是等比数列，请问：2n a ｛｝，3n a ｛｝，n n a b ｛｝，n na b ｛｝是等比数列吗？3． 若n a ｛｝是等比数列，n N +∈，m n p q +=+，比较m n a a 和p qa a的关系. 【强化练习】1．。
高中数学 第一章《数列》等比数列的前n项和课件 北师大必修5
1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到
第10项的和为
S
S10S411221011224
或
Sa51q6 1q
24126 12
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 前n项和。
3、求和：(x1 y)(x2y 12) (xny 1n)
▪1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ▪2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ▪5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ▪6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 ▪7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 ▪8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 第第第第 第
一 二 三 四 ……64 格格格格 格
12 122 2 63
= 18446744073709551615(粒)
假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 粒的总质量超过了7000亿吨。
5 5 1 .1 5 1 .1 2 5 1 .1 n 1
解：由题意，从第1年起，每年的产量
高中数学 第一章 等比数列课件 北师大版必修5(1)
名 称
等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 如果一个数列从第2 项起，每一项与它 项起，每一项与前 前一项的 比 都等于 一项的差都等于同 一个常数，那么这 同一个非 0 常数 , 那 个数列叫做等差数 么这个数列叫做等 列.这个常数叫做等 比数列. 这个常数 差数列的公差，用d 叫做等比数列的公 比，用q表示. 表示
等比数列
1
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
7 8
情景展示（1）
左图为国际象棋的棋盘，棋 盘有8*8=64格
国际象棋起源于印度，关 于国际象棋有这样一个传说，国 王要奖励国际象棋的发明者，问 他有什么要求，发明者说：“请 在棋盘上的第一个格子上放1粒麦 子，第二个格子上放2粒麦子，第 三个格子上放4粒麦子，第四个格 子上放8粒麦子，依次类推，直到 第64个格子放满为止。” 国王慷 慨地答应了他。你认为国王有能
(4)1, 0, 1, 0 ……
是 不是
q =1
思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？ (3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明： (1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列； (3) a1 0 a1 0 或 {an }递增； q 1 0 q 1 a1 0 a1 0 或 {an }递减； 0 q 1 q 1 q=1，常数列； q<0，摆动数列；
庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也 取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：
高中数学北师大版必修5第一章《3.1等比数列》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学北师大版必修5第一章《3.1等比数列》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识,并熟练加以运用.
2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力.
3. 感受等比数列丰富的现实背景,进一步培养学生对数学学习的积极情感.
2学情分析
这节内容由于是在等差数列的基础上,运用同样的方法和步骤,研究类似的问题,学生接受起来较为容易,所以应多放手让学生思考,并注意运用类比思想,这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别,而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力.另外,与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多,如没有零项、q≠0等,在教学中应注意加以比较. 3重点难点
重点:1.等比数列的概念;2.等比数列的通项公式;3.等比数列的单调性。
难点:等比数列通项公式和单调性。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】等比数列的概念和通项公式
在前面我们学习了等差数列,在现实生活中,我们还会遇到下面的特殊数列:
在现实生活中,经常会遇到下面一类特殊数列.下图是某种细胞分裂的模型.
细胞分裂个数可以组成下面的数列:
1,2,4,8,…
问题:回忆等差数列的研究方法,我们对这个数列应作如何研究?
2【讲授】建立模型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、复习回顾
1.等差数列定义：a n －a n －1=d (n ≥2)(d 为常数)
2.等差数列性质：（1）若a ,A ,b 成等差数列，则A =2
b
a +,(2)若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q .(3)S k ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k …成等差数列.
3.等差数列的前n 项和公式：S n =2
)(1n a a n +=na 1+2)
1(-n n d
二、新课讲解
1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列：
63322,,2,2,2,1 (1)
2.数列： ,625,125
,25,5 (2) ,8
1
,41,21,1--
(3) 观察、归纳其共同特点：
1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且 3︒ q= 1时，{a n }为常数
1.定义：等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q (q ≠0) 表示，即a n ∶a n －1=q (q ≠0)
若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”. 2.等比数列的通项公式 解法一：由定义式可得：
a 2=a 1q ,a 3=a 2q =(a 1q )q =a 1q 2,a 4=a 3q =(a 1q 2)q =a 1q 3,…,a n =a n －1q =a 1q n －1(a 1,q ≠0),n =1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立.
解法二：由定义式得：(n －1)个等式
113134212312-=⇒⎪⎪
⎭⎪
⎪⎬⎫=====n n q a a q a q a a q a q a a q a a (n ≥2)
［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式。