2021年湖北省十堰市郧阳区中考数学适应性试卷(附答案详解)

2021年湖北省十堰市郧阳区中考数学适应性试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.5的绝对值是()B. −5C. 5D. ±5A. 152.如图，在▱ABCD，AE平分∠BAD交BC于E，若∠B=50°，则∠AEB=()A. 50°B. 60°C. 65°D. 70°3.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是()A.B.C.D.4.下列计算正确的是()A. 5ab−3a=2bB. (−3a2b)2=6a4b2C. (a−b)2=a2−b2D. 2a2b÷b=2a25.将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，那么下列结论成立的是()A. 平均数一定不变B. 方差一定不变C. 平均数和方差都不变D. 平均数和方差都改变6.随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为()A. 8x +15=82.5xB. 8x=82.5x+15 C. 8x+14=82.5xD. 8x=82.5x+147.如图，A，B两个物体分别在倾斜角为β，α的斜面上向上运动，物体A上升的高度比物体B上升的高度高()A. msinβ−ntanαB. msinβ−ntanαC. msinβ−ntanα D. msinβ−ntanα8.如图，⊙O的直径为10，弦AC=6，∠CAB与∠ACB的平分线交于点E，则CE=()A. 2√2B. 3√2C. 2√3D. 3√39.一串黑白珠子按图示规律排列如图，则木箱中看不见的珠子共有多少颗珠子()A. 69B. 70C. 71D. 7210.如图，y=12x与y=kx(k>0,x>0)交于点A，将y=12x向上平移4个单位长度后，与y轴交于C，与双曲线y=kx(k>0,x>0)交于B，若OA=3BC，S四边形OABC=()A. 6√2B. 92C. 4√5D. 8二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.根据国家卫健委最新数据，截至到2021年4月2日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133801000剂次，将133801000用科学记数法表示为______．12.△ABC中，D、E在BC上，且EA=EB，DA=DC，若∠EAD=30°，则∠BAC=______ ．13.若a2+2ab+b2−c2=10，a+b+c=5，则a+b−c的值是______ ．14.对于实数m，n，定义运算m⊗n=mn2−n.若2⊗a=1⊗(−2)，则a=______ ．15.如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，AB=6，CD=3，且B，C，D三点在同一条直线上，点C为AB⏜的圆心，则图中阴影部分的面积之和为______．16.如图，PA=2√2，PB=4√2，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）)−1⋅3tan60°+(1−√2)0+√12．17.计算：(−13四、解答题（本大题共8小题，共67.0分）18.化简：(12a+2−a+2)÷a+4a+2．19.在全校汉字听写大赛中，选择了50名学生参加区级决赛．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，结合图表完成下列问题：(1)求表中a的值；(2)补全频数分布直方图；(3)规定测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？(4)第5组10名同学中，有4名男同学(他们分别是A、B、C、D)，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求A与B能分在同一组的概率．20.关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的m的最小整数值，并求出此时方程的根．21.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，将△ADB沿直线AB翻折到△AEB．(1)试判断四边形ADBE的形状，并说明理由；(2)若BC=10，AC=8，求D、E两点之间的距离．22.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于D，DC交AB于E．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若tan∠ACD=2，BE=2，求AB的长．23.人民商场某区域业务经理王经理销售某种商品，该商品的进价为30元/件，在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．售价y(单位：元/件)与x之间的关系如图，每天的销售量为p(单位：件)与x之间满足p=−2x+200，每天的销售利润为w(单位：元)．(1)直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)求出w与x的函数关系式；并求出第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)商场统计发现，平均每个业务经理每天创造的利润为5658元，商场制定了如下奖励措施：如果一个业务经理每天创造的利润超过该平均值，则该经理当天可以获得100元的奖励，请计算王经理这90天共可获得多少元奖金？24.如图1，正方形ABCD的一边BC及一等腰直角三角板CEF斜边CF在同一条直线MN上，连接AF，点O为AF的中点，分别连接DO、EO．(1)则线段DO与EO的关系是______；(2)如图2，若将三角板CEF绕点C顺时针旋转α角，(0°<α<45°)，猜想线段DO与EO的关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，当α=15°，CD=2，CF=4√2时，请画出图形，并直接写出DO的长．25.如图，抛物线与x轴相交于点A(−3,0)、点B(1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛物线的顶点．(1)求这条抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图1，连接AC，点F是线段AC上的点，当△AOF与△ABC相似时，求点F的坐标；∠PBA=∠BDE，(3)如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，在抛物线上存在点P，使12求点P的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据正数的绝对值是它本身，得|5|=5．故选：C．根据绝对值的性质求解．此题主要考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠BAD=180°−∠B=130°.∠AEB=∠DAE，∵AE平分∠BAD∠BAD=65°．∴∠DAE=12∴∠AEB=∠DAE=65°，故选：C．根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义容易得出结果．此题主要考查平行四边形的性质和角平分线的定义、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．3.【答案】A【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，如图所示：．故选：A．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】D【解析】解：A.5ab与3a不是同类项，不能合并成一项，故本选项计算错误，不符合题意；B.(−3a2b)2=9a4b2，故本选项计算错误，不符合题意；C.(a−b)2=a2−2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；D.2a2b÷b=2a2，故本选项计算正确，符合题意；故选：D．根据合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式、单项式除以单项式的法则分别判断即可．本题考查了整式的混合运算，掌握公式与法则是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，这组数据的平均数也要减去这个数，所以A、B、C均错误，方差和标准差都不变，所以B正确．故选：B．将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，这组数据的波动大小不变，方差和标准差都不变．本题主要考查方差，解题的关键是掌握将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变．6.【答案】D【解析】解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：8 x =82.5x+14，故选：D．根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．7.【答案】A【解析】解：由正弦函数可知物体A上升的高度为msinβ，由正切函数可知物体B上升的高度为ntanα，则物体A上升的高度比物体B上升的高度高msinβ−ntanα．故选：A．根据正弦函数可求物体A上升的高度，根据正切函数可求物体B上升的高度，再求出它们的差即可求解．本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8.【答案】A【解析】解：过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，EH⊥BA于H，∴四边形CFEG是矩形，∵CE平分∠ACB，AE平分∠CAB，EF⊥AC，EG⊥BC，EH⊥AB，∴EF=EG=EH，∴四边形CFEG是正方形，∴CF=EG=EF=CG，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6，∴CB=√AB2−AC2=√102−62=8，∵S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅(AC+BC+AB)⋅EF，∴EF=2，∴CE=√2EF=2√2．故选：A．过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，EH⊥BA于H，证明四边形CFEG是正方形，推出CF= EG=EF=CG，利用面积法求解即可．本题考查圆周角定理，正方形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．9.【答案】B【解析】解：图中每两颗白色珠子之间的黑色珠子依次增加，木箱子盖住了第5组中的最后一个黑色珠子，一直到第12组中的倒数第二个珠子．因此其中看不见的白色珠子数为7个(第6组前的白珠子到第12组前的白珠子)，其中看不见的黑珠子数为：1+6+7+8+9+10+11+(12−1)=63(个)．故总共看不见的珠子数为70个．故选：B．观察图中，不难发现每组黑色珠子的数量依次增加，再确定木箱开始和结束的位置，进行计算即可．本题考查找规律(图形的变化类).解题的关键在于找到图中珠子的规律，并准确找到开始和结束的位置．10.【答案】D向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，【解析】解：∵将直线y=12x+4，∴平移后直线的解析式为y=12分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，BE交OA于点M，x)，设A(3x,32∵OA=3BC，BC//OA，CF//x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF=13OD，∵点B在直线y=12x+4上，∴B(x,12x+4)，M(x,12x)，∵点A、B在双曲线y=kx上，∴3x⋅32x=x⋅(12x+4)，解得x=1，∴S四边形OABC =S四边形BCOM+S△ABM=4×1+12×4×(3−1)=4+4=8，故选：D．先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A(3x,32x)，由于OA=3BC，故可得出B(x,12x+4)，再根据反比例函数中k=xy为定值求出x，即可得到k的值．本题考查的是反比例函数的图象与性质以及相似三角形的性质的运用，关键是求出点A 和点B的坐标．11.【答案】1.338×108【解析】解：133801000=1.338×108．故答案为：1.338×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．12.【答案】105°【解析】解：∵∠EAD=30°，∴∠AED+∠ADE=150°，∵EA=EB，DA=DC，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAD，∵∠AED+∠ADE=∠B+∠BAE+∠C+∠CAD，∴∠BAE+∠CAD=75°，∴∠BAC=105°．故答案为：105°．根据三角形内角和定理可求∠AED+∠ADE，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE+∠CAD，再根据角的和差关系即可求解．本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和和三角形外角的性质的相关知识，其中还有如何根据图形，确定各角之间的关系．13.【答案】2【解析】解：a2+2ab+b2−c2=10，(a+b)2−c2=10，(a+b+c)(a+b−c)=10，∵a+b+c=5，∴5(a+b−c)=10，∴a+b+c=2；故答案为：2．根据完全平方公式以及平方差公式将a2+2ab+b2−c2=10进行因式分解．本题考查了因式分解的应用，关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，注意整体思想的应用14.【答案】2或−32【解析】解：∵2⊗a=1⊗(−2)，∴2a2−a=1×(−2)2−(−2)，则2a2−a−6=0，．解得：a1=2，a2=−32．故答案为：2或−32直接利用运算公式将原式变形进而计算得出答案．此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．15.【答案】6π【解析】解：∵△ABC和△ECD为正三角形，∴AC=BC=AB=6，EC=DC=ED=3，∠ACB=∠ECD=∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACD=120°，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴∠EBC=∠DAC，又∵BC=AC，∠BCG=∠ACF=60°，∴△BCG≌△ACF(ASA)，∴CG=CF，连接FG，∵∠GCF=60°，∴△GCF为等边三角形，∴∠FGC=∠ACB=60°，∴FG//BC，∴S△BCF=S△BCG，∴S阴影=S扇形CAB=60360×62×π=6π，故答案为：6π．由正三角形的性质得到AC=BC、EC=DC，∠ACB=∠ECD=∠ACE=60°，进而得到∠BCE=∠ACD，得证△BCE≌△ACD，然后得到∠EBC=∠DAC，得证△BCG≌△ACF，即可得到CG=CF，连接FG，结合∠GCF=60°得到△GCF为等边三角形，从而得到∠FGC=∠ACB=60°，进而得到FG//BC，从而得到△BCF和△BCG的面积相等，即有阴影部分的面积即为扇形CAB的面积，最后由AB=6和扇形的面积公式求得阴影部分的面积．本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是通过证明△BCE≌△ACD、△BCG≌△ACF得到FG//BC．16.【答案】4+4√2【解析】解：过点A作AQ⊥AP，使AQ=AP=2√2，连接BQ，∴∠QAP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠QAP=∠BAD，∴∠QAP+∠PAB=∠BAD+∠PAB，即∠QAB=∠PAD，在△QAB和△PAD中，{AQ=AP∠QAB=∠PAD AB=AD，∴△QAB≌△PAD(SAS)，∴BQ=PD，∴PD最大值即为BQ最大值，∵BQ≤PQ+PB，∴当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，在Rt△AQP中，PQ=√AQ2+AP2=√(2√2)2+(2√2)2=4，∴PQ+PB最大值为4+4√2，∴PD最大值为4+4√2，故答案为：4+4√2．过点A作AQ⊥AP，使AQ=AP=2√2，连接BQ，先证明△QAB≌△PAD，得到BQ=PD，得到当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，根据勾股定理求出PQ，即可求出PD最大值．本题考查了正方形的性质，勾股定理、求线段的最大值等问题，根据题意添加辅助线，构造全等三角形进行线段转化是解决问题的关键．17.【答案】解：原式=−3×3√3+1+2√3=1−7√3．【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：(12a+2−a+2)÷a+4a+2=(12a+2−a2−4a+2)⋅a+2a+4=−(a2−16)a+2⋅a+2 a+4=−(a−4)(a+4)a+2⋅a+2 a+4=−(a−4)=−a+4．【解析】先进行通分，把除法转化为乘法，再进行约分即可．本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19.【答案】解：(1)a=50−4−8−16−10=12，(2)补全频数分布直方图如下：(3)本次测试的优秀率为：(12+10)÷50×100%=44%；(4)画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A与B能分在同一组的结果有4种(4名男同学每组分两人)，∴A与B能分在同一组的概率为：412=13．【解析】(1)由参加区级决赛的总人数减去其它4个组的人数即可；(2)补全频数分布直方图即可；(3)由本次测试的优秀的人数除以总人数即可；(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中A与B能分在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．此题考查了树状图法以及概率公式．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布表和频数分布直方图．20.【答案】解：(1)由题意得Δ=22+4m>0且m≠0，所以m>−1且m≠0；(2)∵方程的两个根都是有理数，∴√b2−4ac是有理数且不等于0，即√4m+4是有理数且不等于0，∴满足条件的m的最小整数值为3，当m=3时，方程为3x2+2x−1=0，(x+1)(3x−1)=0，∴x+1=0或3x−1=0，．解得x1=−1，x2=13【解析】(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ>0，两个不等式的公共解即为m的取值范围；(2)根据一元二次方程的解法求解即可．求出m的值，解方程即可解答．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．21.【答案】(1)解：四边形ADBE为菱形．理由：∵将△ADB沿直线AB翻折到△AEB，∴BD=BE，AD=AE，∵∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD=BD，∴AE=AD=BD=BE，∴四边形ADBE为菱形；(2)连接ED，∵四边形ADBE为菱形，∴ED⊥AB，∵BC=10，AC=8，∴AB=√BC2−AC2=√102−82=6，∴S△ABC=12AC⋅BC=12×6×8=24，∵D为BC的中点，∴S△ABD=12S△ABC=12，∴S菱形ABCD=24，∴12AB⋅DE=24，∴DE=8．【解析】(1)由折叠的性质得出BD=BE，AD=AE，由直角三角形的性质得出AD=BD，由菱形的判定可得出结论；(2)由勾股定理求出AB=6，由菱形的面积公式可求出答案．本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，证明四边形ADBE为菱形是解题的关键．22.【答案】(1)证明：连接OC，∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD//OC，∴∠OCE=∠D=90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵∠DAC+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴tan∠ACD=tan∠ABC=2，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADDC=2，∴设CD=2a，AD=4a，∴AC=√AD2+CD2=2√5a，在Rt△ACB中，tan∠ABC=ACBC=2，∴BC=√5a，∴AB=√AC2+BC2=5a，∴OC=OB=2.5a，∵∠D=∠OCE=90°，∠E=∠E，∴△ECO∽△EDA，∴OCAD =OEEA，∴2.5a4a =2.5a+22+5a，∴a=65，经检验，a=65是原方程的根，∴AB=5a=6，∴AB的长为：65．【解析】(1)连接OC ，利用角平分线和等腰三角形证明AD//OC 即可解答；(2)利用等角的余角相等证明∠ACD =∠ABC ，然后设CD =2a ，利用勾股定理求出AC ，从而求出AB ，最后利用A 字模型相似三角形证明△ECO∽△EDA ，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)当0≤x ≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y =kx +b ， ∵y =kx +b 经过点(0,40)、(50,90)，∴{b =4050k +b =90，解得：{k =1b =40， ∴售价y 与时间x 的函数关系式为y =x +40(1≤x <50)；当50<x ≤90时，y =90．∴售价y 与时间x 的函数关系式为y ={x +40(0≤x ≤50,且x 为整数)90(50<x ≤90,且x 为整数)． 由数据信息可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系，设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p =mx +n ，∵p =mx +n 过点(60,80)、(30,140)，∴{60m +n =8030m +n =140，解得：{m =−2n =200， ∴p =−2x +200(1≤x ≤90，且x 为整数)，当0≤x ≤50时，w =(y −30)⋅p =(x +40−30)(−2x +200)=−2x 2+180x +2000；当50<x ≤90时，w =(90−30)(−2x +200)=−120x +12000．综上所示，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是w ={−2x 2+180x +2000(0≤x ≤50,且x 为整数)−120x +12000(50<x ≤90,且x 为整数)． (2)当1≤x ≤50时，w =−2x 2+180x +2000=−2(x −45)2+6050，∵a =−2<0且0≤x ≤50，∴当x =45时，w 取最大值，最大值为6050元．当50<x ≤90时，w =−120x +12000，∵k =−120<0，w 随x 增大而减小，∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．∵6050>6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．(3)当1≤x≤50时，令w=−2x2+180x+2000=5658，整理得(x−59)(x+31)=0，解得：x=59(舍去)或x=31，由(2)知，当1≤x≤45时，w随x的增大而增大，当45<x≤50，w随x的增大而减小，当50<x≤90时，w=−120x+12000，w随x增大而减小，当x=50时，w取最大值，最大值为6000元，，令−120x+12000=5658，解得x=521720∴当1≤x≤50时，超过平均利润的天数有50−31=29(天)，当50<x≤90时，超过平均利润的天数有2天，∴王经理所得奖励为(29+3)×100=3200(元)．∴这90天共可获得3200元奖金．【解析】(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50≤x≤90时，y=90.再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；(2)根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50≤x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；(3)令w=5658，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x，再根据奖励规则进行奖励即可．本题考查了二次函数的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键：(1)根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；(2)利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；(3)得出所得奖励的天数．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据给定数量关系，找出函数关系式是关键．24.【答案】OE=OD，OD⊥OE【解析】解：(1)结论：OE=OE，OD⊥OE．理由：如图1中，延长DO交BF于点J，连接DE，EJ．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，AD//BF，∴∠DAO=∠JFO，∵AO=FO，∠AOD=∠FOJ，∴△ADO≌△FJO(ASA)，∴AD=FJ，∴CD=FJ，∵△ECF是等腰直角三角形，∴EC=EF，∠ECF=∠EFC=45°，∵∠BCD=∠DCF=90°，∴∠DCE=∠JFE，∴△ECD≌△EFJ(SAS)，∴ED=EJ，∠DEC=∠JEF，∴∠DEJ=∠CEF=90°，∴△DEJ是等腰直角三角形，∵OD=OJ，∴OE=OD，OE⊥OD．故答案为：OE=OD，OD⊥OE．(2)如图2中，作FJ//AD交DO的延长线于点J，连接DE，EJ，延长FJ交DC的延长线于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BC，AD=CD，∠DCB=∠BCQ=90°，∵FJ//AD，∴FJ//CB，∴∠Q=∠BCQ=90°，∵AO=FO，∠AOD=∠FOJ，∴△ADO≌△FJO(ASA)，∴AD=FJ，∴CD=FJ，∵△ECF是等腰直角三角形，∴EC=EF，∠CEF=90°，∵∠Q+∠CEF=180°，∴∠EFJ+∠ECQ=180°，∠DCE+∠ECQ=180°∴∠DCE=∠EFJ，∴△ECD≌△EFJ(SAS)，∴ED=EJ，∠DEC=∠JEF，∴∠DEJ=∠CEF=90°，∴△DEJ是等腰直角三角形，∵OD=OJ，∴OE=OD，OE⊥OD；(3)如图3中，取CE的中点R，连接DR．∵△CEF是等腰直角三角形，CF=4√2，∴CE=EF=4，∵CR=ER=2，CD=2，∴CD=CR，∵∠ECF=45°，α=15°，∴∠ECO=30°，∴∠DCR=60°，∴△DCR是等边三角形，∴DR=CR=ER，∴∠CDE=90°，∴DE=√CE2−CD2=√42−22=2√3，∵△DOE是等腰直角三角形，∴OD=OE=√6．(1)结论：OE=OE，OD⊥OE.如图1中，延长DO交BF于点J，连接DE，EJ.证明△ADO≌△FJO(ASA)，推出AD=FJ，再证明△ECD≌△EFJ(SAS)，推出ED=EJ，∠DEC=∠JEF，可得结论；(2)结论：OE=OD，OD⊥OE.如图2中，作FJ//AD交DO的延长线于点J，连接DE，EJ，延长FJ交DC的延长线于点Q.证明△DEJ是等腰直角三角形即可；(3)如图3中，取CE的中点R，连接DR.证明△CDE是直角三角形，可得结论．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．25.【答案】解：(1)设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，将点A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)分别代入得：{9a−3b+c=0 a−b+c=0c=3，解得：{a =−1b =−2c =3，故抛物线解析式为：y =−x 2−2x +3．由于y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，所以该抛物线的顶点坐标是(−1,4)；(2)∵A(−3,0)、点B(1,0)，C(0,3)，∴OA =3，AB =1−(−3)=4，AC =√32+32=3√2，设直线AC 的解析式为y =kx +b 1，∴{−3k +b 1=0b 1=3， 解得{k =1b 1=3， ∴直线AC 的解析式为y =x +3，设点F 的坐标为(n,n +3)(−3<n <0)，则AF =√(n +3)2+(n +3)2=√2n +3√2，当△AOF 与△ABC 相似时，分两种情况：①若△AOF∽△ABC ，则AF AC =OA AB ，即√2n+3√23√2=34， 解得n =−34，∴n +3=−34+3=94， ∴F(−34,94)； ②若△AOF∽△ACB ， 则AF AB =OA AC ，即√2n+3√24=3√2，解得n =−1，∴n +3=−1+3=2，∴F(−1,2)；综上所述，点F 的坐标为F(−34,94)或(−1,2)；(3)过点A 作AF ⊥BD 于点F ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，连接AD ，PB ，由抛物线的对称性质可得，AD =BD ，∵DE ⊥AB ，∴∠ADE =∠BDE =12∠ADB ， ∵A(−3,0)，B(1,0)，D(−1,4)，E(−1,0)，∴AD =BD =√22+42=2√5，AB =4，BE =2，DE =4，∴tan∠BDE =BE DE =12<1，∴∠BDE <45°，∴∠ADB <90°，∵S △ABD =12BD ⋅AF =12AB ⋅DE ，∴12×2√5×AF =12×4×4， 解得AF =8√55， ∴DF =√AD 2−AF 2=6√55， ∴tan∠ADB =AF DF =43， 设P(m,−m 2−2m +3)，则Q(m,0)，∴BQ =1−m ，PQ =|−m 2−2m +3|，当12∠PBA =∠BDE 时，∠PBA =2∠BDE =∠ADB ，则∠PBA <90°为锐角，且tan∠PBA =tan∠ADB =43，∴点P 在点B 左侧的抛物线上，即m <1，在Rt △BPQ 中，tan∠PBA =PQ BQ ，即|−m 2−2m+3|1−m =43， ∴m =−53或m =−133或m =1(舍去)，经检验，m =−53或m =−133列方程的解，且符合题意，当m=−53时，y=−m2−2m+3=329，即P(−53,329)，当m=−133时，y=−m2−2m+3=−649，即P(−133,−649).综上所述，点P的坐标为(−53,329)或(−133,−649).【解析】(1)利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；(2)求出直线AC的解析式为y=x+3，设点F的坐标为(n,n+3)(−3<n<0)，则AF=√(n+3)2+(n+3)2=√2n+3√2，当△AOF与△ABC相似时，分两种情况：①若△AOF∽△ABC，②若△AOF∽△ACB，由相似三角形的性质得出n的值，则可得出答案；(3)过点A作AF⊥BD于点F，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接AD，PB，设P(m,−m2−2m+ 3)，则Q(m,0)，BQ=1−m，PQ=|−m2−2m+3|，由直角三角形的性质得出|−m2−2m+3|1−m =43，解方程可得出答案．本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解题的关键．。