数学北师大版八年级下册北师大版数学八年级下册第四章第一节《因式分解》
北师大版数学教材八年级下册第四章《因式分解》
1．因式分解
陕西省南郑县濂水镇初级中学杜锐
总体说明
因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系。
通过对因式分的学习，不但可以培养学生的逆向思维能力，而且为后面学习分式的化简与运算、解一元二次方程奠定了重要基础。
学生已有的因数分解和整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础。
这节课是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。
一、教学任务
1.教学目标
（1）经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法。
（2）经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观。
（3）了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。
（4）感受因式分解在解决相关问题中的作用。
2.教学重点：因式分解的概念
3.教学难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
二、教学过程
第一环节复习回顾：
问题（1）24能被6整除吗？
问题（2）24还能被哪些正整数整除？
设计意图：回顾因数分解的方法，为后面向因式分解过渡做铺垫。
第二环节比较探究：
1、思考交流
问题（1）993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，除了直接计算外，你还有其他
方法吗？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)
∴993-99能被99整除
问题（2）993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）
= 99（99+1）（99-1）
= 99×98×100
所以993-99能被100整除
设计意图：从对数字的因数分解到把一个算式因数分解，问题设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义，有助于学生对因式分解概念的理解。
2.想一想
（1）993-99还能被哪些正整数整除？
（2）我们解决这一问题的关键是什么？
小结：关键是把993-99进行了分解因数变形，即化成了几个因数乘积的形式。
3.议一议
若a 表示一个大于1的整数，那么
（1）a 3-a 是整数吗？
（2）a 3-a 能被哪些数整除？
类比研究993-99的方法研究a 3-a
所以a 3-a 能被a 、（a+1）或（a-1）整除
设计意图：通过这个过程，让学生思维体验从特殊到一般，从个体到一般事物规律的认知，提升学生的思维能力，从因数分解到因式分解自然过渡。
4、做一做
)
()())(()(11111223+⨯⨯-=-+⨯=-⨯=-⨯=-a a a a a a a a a a a a a
经历图形面积验证因式分解的过程，加强学生的几何直观。
第三环节：引出概念：
1、因式分解概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式，也叫分解因式。
2、分析概念，强调：
（1）被分解的对象是一个多项式，而不是单项式或其他；
（2）分结的结果是乘积的形式，而且每个因式必须是整式。
第四环节：类比练习
活动内容：
计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b-1)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ；
（4）（y-3）2= ；
根据上面的算式填空：
（1）3x2-3x= ；
（2）ma+mb-m= ;
（3）m2-16= ；
（4）y 2-6y +9= ．
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明
结论：因式分解与整式乘法是互逆运算和恒等变形的关系
同时强调：因式分解的正确性可以用整式乘法来检验。
设计意图：体会因式分解和整式乘法之间的关系，发展学生的逆向思维能力，同时加深学生对分解因式的理解
第五环节 巩固练习
1.下列式子哪些是因式分解，哪些不是？说明理由。
（1） a(x+y)=ax+ay
（2） x 2+2xy+y 2-1=(x+y)2-1
（3） ax 2-4a=a(x+2)(x-2)
（4） 10ab 2=10a · b 2
（5） 2.下列因式分解正确的是（ ）
A 、3x 2-6xy-3x=3x(x-2y)
B 、3x 2-6xy-3x=3xy(x-2)-3
C 、a 2-4=(a+2)(a-2)
D 、a(x+y)=ax+ay
3.已知关于x 的二次三项式2x 2+kx+3因式分解的结果是(2x+1)(x+3)，求k 的值。
4.若mx+A 能分解成m(x-y+2),则A ＝
5、关于x 的多项式6x 2-11x+m 因式分解后有一个因式是2x-3,试求m 的值。
第六环节 ：小结 1.因式分解的概念。
2.因式分解的注意事项：
（1）因式分解的对象是一个 多项式，而不是单项式或其他；
（2）因式分解的结果是乘积的形式，而且是几个整式的乘积；
（3）因式分解和整式乘法是一种互逆运算和恒等变形；
（4）因式分解的正确性可以用整式乘法来检验；
2
22
a 1a a 12a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++
（5）因式分必须分解到每个因式不能继续分解为止。
北师大版八年级下册 第四章 因式分解 第一节 因式分解 课件 (共18张PPT)
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解（ factorization), 例 如 ： a3-a=a(a+1)(a-1) 、 am+bm+cm=m(a+b+c), 从 左 到 右 的 变 形 都 是 因式分解。因式分解也可称为分解因式。
一辨: 下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）24x2y=4x· 6xy (2)(a+3)(a-3)=a2-9 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r) 1 （5）x+1=x(1+ ) (6)m2-4=(m+2)(m-2)
式 分 解
拓展提升： 若关于x二次三项式x2+mx+n可分解为(x+1)2 ，则 m=___,n=___ 因式分解与整式乘法密切联系, 逆用整式乘法及乘法公式等可以帮助 我们解决有关因式分解的问题 三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,求ab-ac的值。 特殊问题背景下,因式分解 可以使运算更简便
193-19 = 19×192－19×1 = 19（192－1） = 19×360 = 19×18×20
类比、猜测
式
你能尝试把多项式a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3-a = a× a2 － a × 1 = a（ a2 － 1 ） 形 = a(a+1)(a-1)
我校第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传， 我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分 组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方 形，通过计算拼图前后的面积，写出相应的关系式。
整 式 乘 法
4.1因式分解(共15张PPT)北师大版初中数学八年级下册
布置作业
教科书第94页
习题4.1第1、2、3、4
结同
再
束学
见
们
4.1 因式分解
八年级下册
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
学
习
目
标
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
创设情境
问题导入
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
归纳
因式分解
探究新知
多项式
应用新知
整式乘法与因式分解是互为逆变形.
巩固新知
课堂小结
布置作业
整式乘法
整式乘积
创设情境
课堂练习
判断
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
否
. ( − ) = −
. 2 − 1 + 2 = ( − 1)( + 1) + 2
. 2 − 1 = ( − 1)( + 1) 是
. + + = ( + ) + 否
1
E. 2
x
−1
1
=(
x
−
11)(x+ 1)否否
创设情境
能力提升
思考
若多项式 2 + + 分解因式的结果为 ( − 2)( + 3) ，
探究新知
应用新知
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解1 因式分解
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义新版北师大版
因式分解因式分解在整个初中学习中占有很重要的地位，它是解方程与不等式的基础，更是许多综合题目的重点，因此，今日和大家共享如何啃下因式分解这个骨头。
【基础学问查漏补缺】首先我们关于因式分解的基础学问肯定要了然于胸，否则一切都是空谈。
基础学问有：1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式。
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形；因式分解的结果必需是几个整式乘积的形式。
2. 整式乘法的特点：单项式乘以多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc；多项式乘以多项式：（m+n）(a+b)=ma+mb+na+na，特别状况（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab 【因式分解的基础方法】1.提取公因式法顾名思义，就是将多项式中各项相同的因式（公因式）提取出来，例如（x+1）a+（x+1）b-（x+1）c=（x+1）（a+b-c）；判据（多项式具备什么特征选取这个方法）：多项式的每一项有相同的因式；2.公式法说白了，就是套公式；平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,主要就是这两个公判据：多项式的项数为2或3项3.十字相乘法就是类似形式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);判据：a）多项式的项数为3项；b）看常数项分解成两个数乘积后，这两个数相加是否等于x项前面的系数；举例如下图：4.分组分解法简而言之，就是将多项式分成二或三组，分别分解，在提取公因式，如xy-x-y+1=(xy-x)-(y-1)=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1);判据：多项式项数在4项或以上留意：肯定要理解并记住每一种方法的判据，它是我们确定解题方法的关键！【解题思路】当我们拿到一道因式分解题目的时候，有这么多方法，我们究竟选哪一种呢?留意，这里我们千万不能碰运气式的随机尝试方法，我们选取方法是有先后依次的，如下图：切记，解题时肯定要根据这个依次选取方法，尤其是对初学者而言，形成这样的解题思路特别重要，平常家长或老师可以赐予适当引导。
《因式分解》公开课教学PPT课件【北师大版八年级数学下册】
m2-16 =( m+4 )( m-4 )
y2-6y+9 =( y-3 )2
a3-a =( a )( a+Байду номын сангаас)( a-1 )
新课讲解
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到 a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形 式.
拓展应用
解：根据题意可得，
2 R 2 r 10
2 (R r) 10
R r 10
2
R–r
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为
10
2
米.
课堂小结
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫做把这个 多项式分解因式;
2. 分解因式与整式乘法是互逆过程; 3. 分解因式的结果要以积的形式表示； 4. 分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多项式的次
拓展应用
2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004
=2004(2004+1) =2004×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
拓展应用
假如用一根比地球赤道长10米的铁丝将 地球赤道围起来, 那么铁丝与赤道之间均 匀的间隙能有多大(赤道看成圆形，设地 球的半径为r，铁丝围成圆形的半径为R)?
数； 5. 必须分解到每个多项式不能再分解为止. 6. 分解因式在实际问题中的应用.
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.1《因式分解》课件
1 知识小结
1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形 叫做因式分解，也可称为分解因式．
2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，
即：几个整式相乘 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 一个多项式
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与 x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是 正确答案．
总结
知2－讲
四个选项都是乘积的形式，可以利用因式分解 和整式乘法的互逆关系检验所得结果的正确性．
知2－讲
例3 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
因此是因式分解，D正确．
知1－练
1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项 式化成几个整式的积
知1－导
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
A．9a2＋y2
八年级数学下册 4.1 因式分解课件 (新版)北师大版
能力提升 拓展应用
１当 a 3.14,b 2.386,c 1.386时， 求ab ac的值 .
解: ab-ac=a(b-c) 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
2. 20082+2009能被2008整除吗? 解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3 a a a2 a a (a 2 1) a (a 1)(a 1) (a 1) a (a 1)
上面式子化成了几个整式积的形式
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解定义
• 把一个多项式化成几__个__整__式__的__积__的 形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式，也叫因式分解。
探究993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除? 答： 98， 99
将99换成其他任意一个大于1 的整数,上述结论仍然成立吗?
第四1） 736×95+736×5 解 ：736×95+736×5=736×（95+5） =736×100=73600
-2.67× 132+25×2.67+7×2.67=
（2）-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 =2.67×（-132+25+7）=2.67×（-100）=-267
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
4-1 因式分解(课件)八年级数学下册(北师大版)
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式
北师大版八年级数学下册4.运用平方差公式因式分解精品课件
2 平方差公式与提公因式法综合运用
例3 计算下列各题：
(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
解：1012－992
解：53.52×4-46.52×4
＝(101＋99)(101－99) ＝400
＝4×(53.52－46.52) ＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n) ＝4(2m＋n)(m＋2n)．
若用平方差公式分解后的结果中有 公因式，一定要再用提公因式法继 续分解.
பைடு நூலகம்
课程讲授
2 平方差公式与提公因式法综合运用
(2)2x3-8x.
(2)原式＝2x(x2－4) ＝2x(x2－22) ＝2x(x＋2)(x－2)
示数、单项式、还是多项式， 只要被分解的多项式能转化成 平方差的情势，就能用平方差
公式因式分解.
课程讲授
2 平方差公式与提公因式法综合运用
例1 把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2;
(2)2x3-8x.
解：(1)原式＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝[3(m＋n)+(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
课堂小结
运用平方差公 式因式分解
根据
两个数的平方差，等于这两个数的和 与这两个数的差的乘积。
a2-b2=(a+b)(a-b)
与提公因式 法综合运用
①提取公因式；
②运用平方差公式；
③检查多项式的因式分解是否完全，有没
有分解到不能再分解为止.
＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1).