平行四边形的定义,性质与判定
平行四边形的概念性质和判定(基础内容)
平行四边形平行四边形是特殊的四边形,它具有许多特点,我们要认真研究。
因为矩形,菱形,正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的,所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键,也是学好全章的关键。
一.重点:平行四边形的概念,性质和判定是这部分的重点。
二.知识要点:(一)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(二)平行四边形的性质: 从它的边,角,对角线三个方面进行研究。
1.由定义知平行四边形的对边平行。
2.两组对边分别相等；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.平行四边形是中心对称图形。
(三)平行四边形的判定。
1.利用定义判定。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三.例题:(一)要熟练掌握平行四边形的性质及判定,就要学会多角度地思考问题,要学会认真审题,注意题设中的关键词语,如:"两组","互相","平行且相等"等等,并会举反例否定一个命题。
例1.判断正误(我们要判断一个命题是假命题,举一个反例即可)1.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。
()分析:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠C, ∵∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°, ∴∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)。
∴此命题正确。
2.一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形。
()分析: 此命题不正确。
反例：AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形。
3.一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形。
()分析: 是错误的。
反例：如图, AB∥CD,∠A+∠C=180°,但四边形ABCD不是平行四边形。
高中几何知识解析平行四边形的性质与判定
高中几何知识解析平行四边形的性质与判定在高中几何学中，平行四边形是一类重要的图形，具有特殊的性质和判定方法。
本文将对平行四边形的性质进行解析，并介绍如何准确地判定一个四边形是否为平行四边形。
一、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据这一定义，我们可以得出平行四边形的一些重要性质。
1. 对边性质：平行四边形的对边相等。
证明：设ABCD是一个平行四边形，AD和BC是平行四边形的两对对边。
根据平行线性质，我们可以得知∠DAB和∠CBA是对应角，由此可得∠DAB=∠CBA。
同理，∠ABC和∠BAD也是对应角，因此∠ABC=∠BAD。
根据等角的余角性质，我们可以得到∠BAC+∠CBA=180°和∠ABC+∠BAD=180°，进一步推导可得∠BAC=∠CBA=∠ABC=∠BAD=180°/4=45°。
由于三角形的内角和等于180°，所以三角形ABC和三角形ABD的第三个角∠ACB和∠ADB 也都是45°。
根据等腰三角形的性质，我们可以得知AD=BC，即平行四边形的对边相等。
2. 对角性质：平行四边形的对角互补，即两对对角的和为180°。
证明：设ABCD是一个平行四边形，对边AD和BC分别平行。
由于平行线的性质，我们可以得知∠BAC和∠CDA是对应角，对应角的性质告诉我们∠BAC=∠CDA。
同理，∠ABC=∠BDA。
根据等角的补角性质，我们可以得到∠BAC+∠BDA=180°和∠ABC+∠CDA=180°，进一步推导可得∠BAC+∠ABC+∠CDA+∠BDA=360°，也就是四个角的和为360°。
但是，平行四边形ABCD只有四个内角，因此这四个角的和应该是四个直角，即360°=4×90°=180°×2。
综上所述，平行四边形的对角互补，对角的和为180°。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定平行四边形是几何学中常见的一个概念，具有一些特殊的性质和判定条件。
本文将介绍平行四边形的性质，并通过实例展示如何判定一组线段或角度是否构成平行四边形。
一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据定义，我们可以得出平行四边形的性质和判定条件。
二、平行四边形的性质1. 相对边相等：平行四边形的对边长度相等。
即AB=CD，AD=BC。
2. 相对角相等：平行四边形的对角角度相等。
即∠A=∠C，∠B=∠D。
3. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
即AC平分BD，BD平分AC。
4. 对角线相等：平行四边形的对角线相等。
即AC=BD。
5. 内角和为360度：平行四边形的内角和等于360度。
三、判定平行四边形的条件要判定一组线段或角度构成平行四边形，需要满足以下条件之一。
1. 对边相等：如果四边形的对边长度相等，即AB=CD，AD=BC，则这个四边形是平行四边形。
2. 对角线互相平分：如果四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD平分AC，则这个四边形是平行四边形。
3. 相对角相等：如果四边形的相对角度相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，则这个四边形是平行四边形。
在实际问题中，我们可以通过测量边长、角度或线段平分关系来判定是否为平行四边形。
下面举例说明。
例题一：已知线段AB与线段CD互相平分，且∠A=∠C，∠B=∠D，判断ABCD是否为平行四边形。
解析：根据给定条件得知，线段AB与线段CD互相平分，且相对角度相等。
根据判定平行四边形的条件，我们可以得出这个四边形是平行四边形。
例题二：在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为A(2, 3)，B(7, 3)，C(9, -2)，D(4, -2)的四边形ABCD，判断是否为平行四边形。
解析：根据给定坐标可以计算出AB的斜率为0，CD的斜率也为0。
根据斜率的性质，我们可以得出AB与CD是平行的。
另外，根据对边长度可以计算出AB=CD，AD=BC。
平行四边形的定义,性质及判定方法
平行四边形的定义,性质及判定方法平行四边形是我们在数学学习中经常会遇到的一个重要几何图形。
它在实际生活和数学理论中都有着广泛的应用。
首先，咱们来聊聊平行四边形的定义。
简单来说，两组对边分别平行的四边形就叫做平行四边形。
这就好比两条平行线，它们永远不会相交，而平行四边形的两组对边就具有这样的特性。
接下来，咱们看看平行四边形都有哪些性质。
平行四边形的对边是相等的。
比如说，如果一个平行四边形的一条边是 5 厘米，那么与它相对的那条边的长度也一定是 5 厘米。
这是因为平行四边形的两组对边分别平行且相等，所以相对的两条边长度是一样的。
平行四边形的对角也是相等的。
假设其中一个角是 60 度，那么与它相对的那个角也必然是 60 度。
平行四边形的邻角是互补的。
什么叫互补呢？就是两个角加起来等于 180 度。
比如说，如果一个角是 70 度，那么与它相邻的角就是 110 度。
平行四边形的两条对角线还互相平分。
也就是说，如果有一条对角线把平行四边形分成了两个三角形，那么这条对角线被另一条对角线分成的两段长度是相等的。
再来说说平行四边形的面积。
平行四边形的面积可以用底边长度乘以这条底边对应的高来计算。
比如说，底边是 8 厘米，对应的高是 4 厘米，那么面积就是 8×4 ＝ 32 平方厘米。
下面咱们讲讲平行四边形的判定方法。
如果一个四边形的两组对边分别相等，那么它就是平行四边形。
比如说，一组对边都是 6 厘米，另一组对边都是 8 厘米，那这个四边形就是平行四边形。
要是一个四边形的一组对边平行且相等，那它也是平行四边形。
比如一条边是 5 厘米，并且与它相对的边和它平行，长度也为 5 厘米，那就可以判定这个四边形是平行四边形。
当一个四边形的两组对边分别平行时，它肯定是平行四边形。
这个就很好理解了，这正好符合平行四边形的定义嘛。
还有，如果四边形的两条对角线互相平分，那它也是平行四边形。
平行四边形在我们的生活中随处可见。
平行四边形性质和判定
平行四边形性质和判定
平行四边形性质：两组对边平行且相等；两组对角大小相等；相邻的两个角互补；对角线互相平分；对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。
平行四边形性质定理
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。
平行四边形判定定理
（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形恒等式
平行四边形恒等式是描述平行四边形的几何特性的一个恒等式。
它等价于三角形的中线定理。
在一般的赋范内积空间（也就是定义了长度和角度的空间）中，也有类似的结果。
这个等式的最简单的情形是在普通的平面上：一个平行四边形的两条对角线长度的平方和，等于它四边长度的平方和。
平行四边形的性质和判定
平行四边形的性质和判定知识点1 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记作“□ABCD ”。
知识点2 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等。
角：对角相等，邻角互补。
对角线：对角线互相平分。
知识点3 平行四边形的判定：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
、 知识点4 两条平行线的距离。
知识点5 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。
性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
例1、如图，E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF ．猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明。
【变式练习】已知，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF 交AB 于G ，BE 交CD 于H 。
求证：EH=FG 。
例2、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 交于F 。
求证：四边形AECF 是平行四边形。
例3、▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，线DC （1）求证：CE=CF ；C ABCDE F（2）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，求∠BDG ． 【变式练习】 1、如图,中，AE =CF ，M 、N 分别ED 、FB 的中点．求证：四边形ENFM 是平行四边形．2、在▱ABCD 中，∠ADC 的平分线交直线BC 于点E 、交AB 的延长线于点F ，连接AC ．（1）如图1，若∠ADC=90°，G 是EF 的中点，连接AG 、CG ． ①求证：BE=BF ．②请判断△AGC 的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F 顺时针旋转60°至FG ，连接AG 、CG ．那么△AGC 又是怎样的形状．例4、如图，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边中点，求证四边形EFGH 是平行四边形。
平行四边形的判定与性质
平行四边形的性质与判定一、平行四边形定义及其性质：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等。
定义的几何语言表述 ∵ AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 。
∵四边形ABCD 是平行四边形（或在 ABCD 中） ∴ AB=CD ，AD=BC 。
例题1、如图5，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE2、平行四边形除了对边平行且相等外，其对角也相等。
∵四边形ABCD 是平行四边形（或在ABCD 中） ∴ ∠A=∠C ，∠B=∠D 。
例题2、在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，求∠C 、∠D 的度数。
3、平行四边形的对角线互相平分。
例题3．已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，AC=24cm ，BD=38 cm ，AD= 28cm ，求三角形OBC 的周长。
5．如图，平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于O ，AE ⊥BD 于E ，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC 的周长。
例题4：已知平行四边形ABCD ，AB=8cm ，BC=10cm,∠B=30°, 求平行四边形平行四边形ABCD 的面积。
对边分别平行 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形角 对角相等 邻角互补图（5）DCB AA B C D二、平行四边形的判定 方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形的平边形。
几何语言表达定义法：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
∵OA=OC ， OB= OD ∴四边形ABCD 是平行四边形 方法四：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵ ∠A =∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 例1：已知：E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 求证：2∠1∠=三、三角形中位线：三角形两边的中点连线线段（即中位线）与三角形的第三边平行，并且等于第三边的一半。
平行四边形的定义,性质及判定方法
平行四边形的定义,性质及判定方法平行四边形的定义、性质及判定方法在我们的数学世界中，平行四边形是一种非常常见且重要的几何图形。
它不仅在数学理论中有着重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
接下来，就让我们一起深入了解平行四边形的定义、性质以及判定方法。
一、平行四边形的定义平行四边形是指在同一平面内，两组对边分别平行的四边形。
这是平行四边形最基本的特征，也是判断一个四边形是否为平行四边形的首要条件。
比如说，我们可以想象一个由四根木条组成的框架，如果相对的两根木条始终保持平行，那么这个框架所围成的四边形就是平行四边形。
二、平行四边形的性质1、对边平行且相等平行四边形的两组对边分别平行，这是定义所决定的。
同时，这两组对边的长度也是相等的。
例如，在平行四边形 ABCD 中，AB 平行且等于 CD，AD 平行且等于 BC。
2、对角相等平行四边形的两组对角分别相等。
也就是说，∠A ＝∠C，∠B ＝∠D。
3、邻角互补相邻的两个角之和为 180 度。
比如∠A 和∠B 是邻角，那么∠A ＋∠B ＝ 180°；同样，∠B 和∠C，∠C 和∠D，∠D 和∠A 也是如此。
4、对角线互相平分平行四边形的两条对角线相交于一点，并且这一点将每条对角线都平分成两段。
例如，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，那么 AO ＝ CO，BO ＝ DO。
5、平行四边形是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点。
将平行四边形绕着对角线的交点旋转 180 度后，能够与原来的图形重合。
这些性质在解决与平行四边形相关的问题时非常有用，我们可以通过已知条件灵活运用这些性质来得出所需的结论。
三、平行四边形的判定方法1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形这是根据平行四边形的定义直接得出的判定方法。
如果一个四边形的两组对边都相互平行，那么它一定是平行四边形。
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形例如，在四边形 ABCD 中，如果 AB ＝ CD，AD ＝ BC，那么四边形 ABCD 就是平行四边形。
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平行四边形的定义、性质及判定
一
1.两组对边平行的四边形是平行四边形.
2.性质：
(1)平行四边形的对边相等且平行；
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(3)平行四边形的对角线互相平分.
3.判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.对称性：平行四边形是中心对称图形.
二
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分 .
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三
1.平行四边形定义：在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。
2.平行四边形判定定理：两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。