高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1， 所以 y＝±1，把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，得 x＝± 215，又 x>0，所以 x＝ 215，
∴P 点坐标为
215，1或
215，－1.
1 23 45
解析答案
返回
题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 椭圆定义的应用
例1 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上
一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD
与OM交于点P，则点P的轨迹是( A )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
解析 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( A )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析 ∵△AF1B 的周长为 4 3，∴4a＝4 3，
∴a＝ ∴b＝
3a，2－∵c2离＝心2率，为∴3椭3，圆∴Cc的＝方1，程为x32＋y22＝1.
答案
(5)ay22＋bx22＝1 (a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) (6)ax22＋by22＝1 (a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
答案
2
考点自测
C
1 23 45
解析答案
B
1 23 45
解析答案
3.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过
故选A.
1 23 45
解析答案
4.若椭圆 C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)经过点(0， 3)，且椭圆的长轴长是焦距的两 倍，则 a＝____2____. 解析 ∵椭圆 C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)经过点 P(0， 3)，∴b＝ 3.又椭圆的长 轴长是焦距的两倍，即 2a＝2·2c，a＝2c，∴a2＝b2＋c2＝3＋14a2，∴a2＝4， a＝2.
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.
则36mm＋＋2nn＝＝11，，
① ②
①②两式联立，解得mn＝＝3119.， ∴所求椭圆方程为x92＋y32＝1.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，
答案
2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程
图形
范围 对称性
－a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴：坐标轴
－b≤x≤b －a≤y≤a 对称中心：原点
性
顶点
质
轴
焦距
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴A1A2的长为 2a ；短轴B1B2的长为 2b
解析答案
(3)(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的左，右焦点，过 点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为______________.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
解析答案
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点 P(3,0)，则椭圆的方程为__________________________________.
解析答案
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)， P2(－ 3，－ 2)，则椭圆的方程为___x9_2＋__y_32_＝__1______.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 的 点 的 轨 迹 是 椭 圆.( × ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为 椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( × ) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
第八章 平面解析几何
§8.5 椭 圆
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点的距离叫做椭圆的 焦距 . 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若 a>c ，则集合P为椭圆； (2)若 a＝c，则集合P为线段； (3)若 a<c，则集合P为空集.
1 23 45
解析答案
5.已知点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1,F2 为顶点 的三角形的面积等于 1,则点 P 的坐标为____2_1_5_，__1_或____21_5_，__－__1__.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
|F1F2|＝ 2c
离心率 a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
答案
点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ax202＋by202<1. (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ax202＋by202＝1. (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔ax202＋by202>1.
知识拓展
线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( B )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析 点P在线段AN的垂直平分线上，
故|PA|＝|PN|，
又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，
由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.
解析答案
(2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦点的椭圆的标准方程为 _______________.
∴P 点坐标为
215，1或
215，－1.
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题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 椭圆定义的应用
例1 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上
一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD
与OM交于点P，则点P的轨迹是( A )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
解析 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( A )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析 ∵△AF1B 的周长为 4 3，∴4a＝4 3，
∴a＝ ∴b＝
3a，2－∵c2离＝心2率，为∴3椭3，圆∴Cc的＝方1，程为x32＋y22＝1.
答案
(5)ay22＋bx22＝1 (a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) (6)ax22＋by22＝1 (a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
答案
2
考点自测
C
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解析答案
B
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解析答案
3.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过
故选A.
1 23 45
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4.若椭圆 C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)经过点(0， 3)，且椭圆的长轴长是焦距的两 倍，则 a＝____2____. 解析 ∵椭圆 C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)经过点 P(0， 3)，∴b＝ 3.又椭圆的长 轴长是焦距的两倍，即 2a＝2·2c，a＝2c，∴a2＝b2＋c2＝3＋14a2，∴a2＝4， a＝2.
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.
则36mm＋＋2nn＝＝11，，
① ②
①②两式联立，解得mn＝＝3119.， ∴所求椭圆方程为x92＋y32＝1.
思维升华
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跟踪训练1
(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，
答案
2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程
图形
范围 对称性
－a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴：坐标轴
－b≤x≤b －a≤y≤a 对称中心：原点
性
顶点
质
轴
焦距
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴A1A2的长为 2a ；短轴B1B2的长为 2b
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(3)(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的左，右焦点，过 点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为______________.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
解析答案
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点 P(3,0)，则椭圆的方程为__________________________________.
解析答案
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)， P2(－ 3，－ 2)，则椭圆的方程为___x9_2＋__y_32_＝__1______.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 的 点 的 轨 迹 是 椭 圆.( × ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为 椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( × ) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
第八章 平面解析几何
§8.5 椭 圆
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点的距离叫做椭圆的 焦距 . 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若 a>c ，则集合P为椭圆； (2)若 a＝c，则集合P为线段； (3)若 a<c，则集合P为空集.
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5.已知点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1,F2 为顶点 的三角形的面积等于 1,则点 P 的坐标为____2_1_5_，__1_或____21_5_，__－__1__.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
|F1F2|＝ 2c
离心率 a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
答案
点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ax202＋by202<1. (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ax202＋by202＝1. (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔ax202＋by202>1.
知识拓展
线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( B )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析 点P在线段AN的垂直平分线上，
故|PA|＝|PN|，
又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，
由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.
解析答案
(2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦点的椭圆的标准方程为 _______________.
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高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课件
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围 性 对称性 质
顶点
离心率 a，b，c 的关系
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：__坐_标__轴___；对称中心：_原_点___
A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
3．已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m＝(
)
A．2B．3Fra bibliotekC．4
D．9
B [由左焦点为 F1(－4,0)知 c＝4.又 a＝5，∴25－m2＝16，解得 m＝3 或－
3.又 m>0，故 m＝3.]
4．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短
轴长的14，则该椭圆的离心率为( )
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.4
B [如图，|OB|为椭圆中心到 l 的距离，则|OA|·|OF|
＝|AF|·|OB|，即 bc＝a·b2，所以 e＝ac＝12.]
5．椭圆x42＋y32＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A，B，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是__________. 【导学号：51062285】
∴x0＝－53c且 y0＝－b32， 代入椭圆 x2＋by22＝1，得 25c2＋b2＝9，① 又 c2＝1－b2，② 联立①②，得 b2＝23. 故椭圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1.]
[规律方法] 1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2a>|F1F2|这一 条件．
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越“圆”。( × ) 解析 错误。根据椭圆离心率的意义可知，椭圆的离心率e越大，椭圆 就越“扁”而非“圆”。 (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。( √ ) 解析 正确。根据椭圆的性质可知，椭圆既是轴对称图形，又是中心 对称图形。
[练一练]
1．设 P 是椭圆x42＋y92＝1 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|
解得－3<m<5 且 m≠1。 答案 C
3．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C
的方程是( ) A.x32＋y42＝1 C.x42＋y22＝1
B.x42＋
y2 ＝1 3
D.x42＋y32＝1
解析 由中心在原点的椭圆 C 的右焦点 F(1,0)知，c＝1。 则ca＝12，得 a＝2。所以 b2＝a2－c2＝3， 故椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1。 答案 D
知识梳理
1．椭圆的定义 (1)我们把平面内到两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆。这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1， F2间的距离叫作椭圆的 焦距 。 (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a， c为常数： ①若 a>c ，则集合P为椭圆； ②若 a＝c ，则集合P为线段； ③若 a<c ，则集合P为空集。
【解析】 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2。 ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2。 ∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2。 ∴|PF1|·|PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×2b2＝b2＝9。 ∴b＝3。
2024年高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节椭圆课件
第四节 椭圆
知识点99：椭圆的定义及标准方程
教材知识萃取
椭圆的定义和标准方程
（1）定义平面内与两个定点 , 的距离的和等于①______（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的②______，两焦点间的距离叫做椭圆的③______.集合语言： , ,其中 ，且 , 为常数.注意 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则动点的轨迹不存在．
教材素材变式
(2)易知椭圆+y2=1的焦点坐标为(±1,0),设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=1,因为椭圆过点(1,),所以2a=+=4,即a=2,所以b=,所以所求椭圆的标准方程为+=1.(3)设所求椭圆方程为+=1(m>0,n>0,m≠n).分别把A(2,-),B(-,-)的坐标代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为+y2=1.
教材素材变式
2. “1<m<5”是“曲线+=1表示椭圆”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
教材素材变式
3. 已知椭圆C:+=1(m>0)的一个焦点的坐标为(2,0),则m=A.1 B.2C.5 D.9
教材素材变式
【多维探究】若将本题中的条件“一个焦点的坐标为(2,0)”改为“焦距为4”,则m= .
几何性质
范围
对称性
对称轴：⑥___________.对称中心：⑦______.
轴、 轴
原点
知识点100：椭圆的几何性质
标准方程
几何性质
焦点
顶点
轴
焦距
离心率
续表
知识点100：椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度,当 越接近于1时， 越接近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁；当 越接近于0时， 越接近于0，从而 越大，因此椭圆越接近圆；当 时， , ，两焦点重合，图形就是圆.
知识点99：椭圆的定义及标准方程
教材知识萃取
椭圆的定义和标准方程
（1）定义平面内与两个定点 , 的距离的和等于①______（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的②______，两焦点间的距离叫做椭圆的③______.集合语言： , ,其中 ，且 , 为常数.注意 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则动点的轨迹不存在．
教材素材变式
(2)易知椭圆+y2=1的焦点坐标为(±1,0),设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=1,因为椭圆过点(1,),所以2a=+=4,即a=2,所以b=,所以所求椭圆的标准方程为+=1.(3)设所求椭圆方程为+=1(m>0,n>0,m≠n).分别把A(2,-),B(-,-)的坐标代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为+y2=1.
教材素材变式
2. “1<m<5”是“曲线+=1表示椭圆”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
教材素材变式
3. 已知椭圆C:+=1(m>0)的一个焦点的坐标为(2,0),则m=A.1 B.2C.5 D.9
教材素材变式
【多维探究】若将本题中的条件“一个焦点的坐标为(2,0)”改为“焦距为4”,则m= .
几何性质
范围
对称性
对称轴：⑥___________.对称中心：⑦______.
轴、 轴
原点
知识点100：椭圆的几何性质
标准方程
几何性质
焦点
顶点
轴
焦距
离心率
续表
知识点100：椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度,当 越接近于1时， 越接近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁；当 越接近于0时， 越接近于0，从而 越大，因此椭圆越接近圆；当 时， , ，两焦点重合，图形就是圆.
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_5椭圆课件文新人教A版
点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A.3x62 ＋1y62 ＝1 C.4x92 ＋2y42 ＝1
B.4x02 ＋1y52 ＝1 D.4x52 ＋2y02 ＝1
[解析]
(1)因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝
1 2
|PF2|，
中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.4
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆
x2 4
＋
y2 b2
＝1的离心率e＝
1 2
，F，A分别是椭圆的左焦点
和右顶点，P是椭圆上任意一点．则P→F·P→A的最大值为________．
[解析] (1)如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·b2， 所以e＝ac＝12.故选B.
②设直线 AM 的方程为 y＝k(x＋2)(k＞0)，
代入x2＋y2＝1 得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0. 43
由
x1·(－2)＝163k＋2－4k122得
x1＝
2(3 4k 2 ) 3 4k 2
，
故|AM|＝|x1＋2| 1＋k2＝123＋14＋k2k2.
由题设直线 AN 的方程为 y＝－1(x＋2)， k
点，则△AF1B的周长为________．
答案：20
考点一|椭圆的定义及方程 (易错突破)
【例 1】 (1)椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上异
于端点的任意一点，PF1，PF2 的中点分别为 M，N.O 为坐标原点，四边形 OMPN
高考数学(文)一轮复习 8-5椭圆
30
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练2】
(1)[2017·锦州模拟]设椭圆C：
ax22＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥ F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.
3 6
B.13
C.12
D.
3 3
解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝
＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，
|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角
三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
7
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点 的轨迹是椭圆．( × ) 2．椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
8
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
3．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为 2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦 距)．( √ )
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板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
3．[2017·贵阳监测]椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，短轴长为4，则椭圆的方程为___1x_62_＋__y4_2_＝__1_____．
(人教A版)高考数学复习：8.5《椭圆》ppt课件
栏目 导引
第八章 平面解析几何
[做一做] 3．若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为( C ) x2 2 A. ＋y ＝1 5 x2 y2 B. ＋ ＝1 4 5 x2 2 x2 y2 C. ＋y ＝1 或 ＋ ＝1 5 4 5 D．以上答案都不对
栏目 导引
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点 位置可写出椭圆方程． (2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方 程，结合已知条件求出 a、b；若焦点位置不明确，则需要 分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方 程为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
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第八章 平面解析几何
考点一
椭圆的定义及标准方程
考点二
考点三
椭圆的几何性质(高频考点)
直线与椭圆的位置关系
栏目 导引
第八章 平面解析几何
考点一 椭圆的定义及标准方程
(1)(2015· 洛阳市高三年级统考 ) 已知中心在原点的 椭圆 C 的右焦点为 F( 15，0)，直线 y＝x 与椭圆的一个交 点的横坐标为 2，则椭圆方程为( C ) x2 A. ＋y2＝1 16 x2 y2 C. ＋ ＝1 20 5
第八章 平面解析几何
第 5讲 椭
圆
第八章 平面解析几何
1．椭圆的概念 在平面内与两定点 F1、 F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 椭圆 的 点 的 轨 迹 叫 做 __________ ．这两个定点叫做椭圆的 焦点 焦距 ． __________ ，两焦点间的距离叫做椭圆的__________ 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c ＞0，且 a，c 为常数： a＞c (1)若__________ ，则集合 P 为椭圆； a＝c (2)若__________ ，则集合 P 为线段； a＜c ，则集合 P 为空集． (3)若_________
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第5节 椭 圆
则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.故选A.
角度二
椭圆的焦点三角形
[例2] (多选题)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆 C: + =1 的左、
右焦点分别是F1,F2, M( ,y0) 为椭圆C上一点,则下列结论正确的是
轴三等分,则此椭圆的方程是(
A.+=1
B.+ =1 源自 √C.+=1
D. +=1
)
解析:根据题意可设椭圆方程为 + =1,易知 2a=18,且 2c= ×2a,
解得a=9,c=3,
所以a2=81,b2=a2-c2=72,
所以 a=2 ,则离心率 e== .故选 C.
)
5.若方程
为
(0, )
+
=1 表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围
-
.
解析:由题可知,1-m>m>0,解得 0<m< ,所以实数m的取值范围为
(0,).
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
椭圆的定义及应用
角度一
根据定义判断曲线的形状
[例1] 一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,
那么动圆的圆心P的轨迹是(
√
A.椭圆
B.双曲线
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 85 椭圆课件
率)．
相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线
2．了解椭圆的简单应用．
与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，
3．理解数形结合的思想.
转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指
导作用，对运算能力的培养.
考点多维探究
考点 1 椭圆的定义与标准方程
回扣教材 1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的_和____等于_常 __数 ___ (大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做_焦__距__．_ (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝__2_a___，且 2a__>____|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常 数． 注意：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为( )
A.x82＋y22＝1
B.1x22 ＋y62＝1
解析 ∵椭圆的离心率为 23，
C.1x62 ＋y42＝1
D.2x02 ＋y52＝1
∴ca＝ a2a－b2＝ 23，∴a＝2b.∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线 x2－y2＝1 的渐近线方程为 x±y＝0，
解析 由 x2＋my2＝1⇒y12＋x12＝1. m
m1 ＝2 1得 m＝14.
典例1
(1)[2013·广东高考]已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C 的方程
是( )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件 文
【解析】 如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所
以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为
焦点的椭圆，a＝1，c＝12，b2＝34，所以动点P的轨迹方程为x2
＋43y2＝1. 【答案】
x2＋43y2＝1
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的 动点，A(1,1)是一定点．求|PA|＋|PF|的最大值和最小值 ________．
第八章
平面解析几何
第五节 椭圆
考纲下载 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质．
请注意 1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而 直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点． 2．定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的 形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不 等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中、高档题 目．
【答案】 12
在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注 意到常数2a>|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任 一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．
突破考点 02
求椭圆的标准方程
（重点得分型——师生共研）
标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
＋ x－ 52＋y2]， 故由椭圆定义可知|AN|＋|BN|＝2×6＝12.
方法2：根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为 P，F1、F2为椭圆C的焦点，连接PF1、PF2.显然PF1是△MAN 的中位线，PF2是△MBN的中位线，∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋ 2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×6＝12.
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件文
交椭圆 C 于 A，B 两点，且△ C 的方程为_1x_62＋__y8_2＝__1_或__x8_2＋__1y_62_＝_1．
在未明确焦点的具体位置时，应分情况
讨论．
解析 由椭圆的定义及△ABF2 的周长知 4a＝16，则 a
＝4，又ac＝ 22，所以 c＝ 22a＝2 2，所以 b2＝a2－c2＝16 －8＝8.当焦点在 x 轴上时，椭圆 C 的方程为1x62 ＋y82＝1；当 焦点在 y 轴上时，椭圆 C 的方程为1y62 ＋x82＝1.综上可知，椭 圆 C 的方程为1x62 ＋y82＝1 或x82＋1y62 ＝1.
典例2
(2017·江西模拟)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，F1，
F2 为椭圆的左、右焦点，且焦距为 2 3，O 为坐标原点，点
P 为椭圆上一点，|OP|＝ 42a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比
数列，求椭圆的方程．
用待定系数法，根据已知列出方程组．
解 设 P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝a82， 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋ |PF2|2＝4a2， 又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列， ∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2， |PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2， ∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得 x2＋y2＋ 5c2＝2a2，
(1)利用向量数量积得到目标函数，利用 二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．
解 (1)设 P(x，y)，∴F1(－ 3，0)，F2( 3，0)， 则P→F1·P→F2＝(－ 3－x，－y)·( 3－x，－y)＝x2＋y2－3 ＝34x2－2， ∵x2∈[0,4]，∴34x2－2∈[－2,1]． ∴P→F1·P→F2的最大值为 1，最小值为－2.