《导数各种题型及解法总结》---学生

at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs 《导数各种题型及解法总结》基础知识梳理1. 常见题型一、小题：1.函数的图象2.函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);3.分段函数求函数值；4.函数的定义域、值域（最值）；5.函数的零点；6.抽象函数；二、大题：1. 求曲线在某点处的切线的方程；()y f x =2. 求函数的解析式3. 讨论函数的单调性，求单调区间；4. 求函数的极值点和极值；5. 求函数的最值或值域；6. 求参数的取值范围7. 证明不等式； 8. 函数应用问题2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。

()y f x =0x x =0()f x '000()()()y f x x x f x '=-+(2)若可导函数在处取得极值，则。

反之，不成立。

()y f x =0x x =0()0f x '=(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。

()f x ()f x '0>0<（）()f x (4)函数在区间I 上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）.()f x x I ∀∈()f x '0≥(0)≤()f x '(5)函数（非常量函数）在区间I 上不单调等价于在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()f x ()f x 在区间I 上有实根且为非二重根。

（若为二次函数且I=R ，则有）。

()0f x '=()f x '0∆>(6) 在区间I 上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或()f x ()f x ()f x '0≥在I 上恒成立()f x '0≤(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则x I "Î()f x 0>min ()f x 0>x I ∀∈()f x 0<max ()f x 0<(8)若，使得，则；若，使得，则.0x I ∃∈0()f x 0>max ()f x 0>0x I ∃∈0()f x 0<min ()f x 0<(9)设与的定义域的交集为D ，若 D 恒成立，则有()f x ()g x x ∀∈()()f x g x >.[]min ()()0f x g x ->(10)若对、 ，恒成立，则.11x I ∀∈22x I ∈12()()f x g x >min max ()()f x g x >若对，，使得,则.11x I ∀∈22x I ∃∈12()()f x g x >min min ()()f x g x >若对，，使得，则.11x I ∀∈22x I ∃∈12()()f x g x <max max ()()f x g x <（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B ，()f x 1I ()g x 2I 若对,，使得=成立，则。

11x I ∀∈22x I ∃∈1()f x 2()g x A B ⊆(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.()0f x '=12x x 、(13)证题中常用的不等式:① ② ③ ln 1(0)x x x ≤->ln +1(1)x x x ≤>-（）1x e x≥+④ ⑤⑥ 1xex -≥-ln 1(1)12x x x x -<>+22ln 11(0)22x x x x <->3. 解题方法规律总结1. 关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。

要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。

2. 已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；0)('=x f 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数在区间D 上的导数为，在区间D 上的导数为，若在区间D 上，()y f x =()f x '()f x '()g x 恒成立，则称函数在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，()0g x <()y f x =4323()1262x mx x f x =--（1）若在区间上为“凸函数”，求m 的取值范围；()y f x =[]0,3（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.2m ≤m ()f x (),a b b a -例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a 的取值范围.],2,1[++∈a a x ()f x a '≤（二次函数区间最值的例子）点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型)()(x g x f >0)()()(>-=⇔x g x f x h 例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，32()f x x ax =+(1,)P b 3-326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，求的值域；,a b [1,4]x ∈-()f x （Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t 的取值范围。

[1,4]x ∈()()f x g x ≤二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型0)(0)(''≤≥x f x f 或解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；例4：已知，函数．R a ∈x a x a x x f )14(21121)(23++++=（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；)()(x f x g '=)(x f （Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．)(x f ),(∞+-∞a 例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求的单调区间； （II ）若在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。

子集思想()f x ()f x 三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数，，且在区间上为增函数．232)1(31)(x k x x f +-=kx x g -=31)()(x f ),2(+∞（1）求实数的取值范围；k （2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．)(x f )(x g k根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数321()22f x ax x x c =+-+（1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；（2）若21()2g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数0x 例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为32()f x ax bx cx =++0x '()0f x >x ，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取(1,3)()f x (1,)P m -()y f x =m 值范围．题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数()f x 解法：根分布或判别式法例8、例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令23213)(x x a x f +=)0,(≠∈a R a )(x f ＝x 4＋f （x ）（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围．()g x 14ei n g其它例题1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在R 32()2f x ax ax b =-+）（0>a 区间上的最大值是5，最小值是－11.[]2,1-（Ⅰ）求函数的解析式；()f x （Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.]1,1[-∈t 0(≤+'tx x f ）x 解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=- 令=0,得 '()f x []1240,2,13x x ==∉-因为，所以可得下表：0>a x [)2,0-0(]0,1'()f x +0-()f x ↗极大↘因此必为最大值,∴因此， ，)0(f 50=）（f 5=b (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>- 即，∴，∴11516)2(-=+-=-a f 1=a .52(23+-=x x x f ）（Ⅱ）∵，∴等价于，x x x f 43)(2-='0(≤+'tx x f ）0432≤+-tx x x 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，x x xt t g 43)(2-+=0)(g ≤t ]1,1[-∈t x 为此只需，即，⎩⎨⎧≤≤-0)10)1(（g g ⎩⎨⎧≤-≤-005322x x x x 解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].10≤≤x x 2、（根分布与线性规划例子）已知函数322()3f x x ax bx c =+++(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求()f x 1=x (0,1)30x y +=的解析式；)(x f (Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区()f x (0,1)x ∈(1,2)x ∈(2,1)M b a -+域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.解： (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 ,∴2()22f x x ax b '=++()f x 1=x 220a b ++=∵∴ 又∵ 在处的切线与直线平行,(0)1f =1c =()f x (0,1)30x y +=∴ 故∴ ………. 7分(0)3f b '==-12a =3221()3132f x x x x =+-+ (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值,2()22f x x ax b '=++()f x (0,1)x ∈(1,2)x ∈∴ 即 令, 则(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩(,)M x y 21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ ∴ 故点所在平面区域S 为如图△ABC, 12a y b x =-⎧⎨=+⎩20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>Mng sa 易得, , , , , (2,0)A -(2,1)B --(2,2)C -(0,1)D -3(0,2E -2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, ∴ 所求一条直线L 的方程为:13DEC ABED S S ∆=四边形0x =另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为,它与ykx =AC,BC 分别交于F 、G, 则 , 0k >1S =四边形D E G F由 得点F 的横坐标为: 220y kx y x =⎧⎨++=⎩221F x k =-+由 得点G 的横坐标为:460y kx y x =⎧⎨++=⎩641G x k =-+∴ 即 OGE OFD S S S ∆∆=-四边形D E G F 61311222214121k k =⨯⨯-⨯+⨯=+216250k k +-=解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:12k =58k =-12y x =综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分0x =12y x =(Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值,2()22f x x ax b '=++()f x (0,1)x ∈(1,2)x ∈∴ 即 令, 则(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩(,)M x y 21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ ∴ 故点所在平面区域S 为如图△ABC, 12a y b x =-⎧⎨=+⎩20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩M 易得, , , , , (2,0)A -(2,1)B --(2,2)C -(0,1)D -3(0,2E -2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, ∴所求一条直线L 的方程为:13DEC ABED S S ∆=四边形0x =另一种情况由于直线BO 方程为: , 设直线BO 与AC 交于H ,12y x =由 得直线L 与AC 交点为: 12220y xy x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩1(1,2H --∵ , ,2ABC S ∆=1112222DECS ∆=⨯⨯=11222211122H ABO AOH S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=A B ∴ 所求直线方程为: 或 0x =12y x =3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。