2019年河南省开封市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
23. 已知函数 f（x）＝|x-1|． （1）求函数 y＝f（x）-f（x＋1）的最大值； （2）若 f（|a-2|＋3）＞f（（a-2）2＋1），求实数 a 的取值范围．
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1.答案：C
-------- 答案与解析 --------
解析：【分析】本题考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算，集合元素的概念． 进行交集的运算即可求出 A∩B，从而得出 A∩B 中元素的个数． 【解答】：∵A={x|x=3n+2，n∈N}，B={x|2＜x＜14}； ∴A∩B={5，8，11}； ∴A∩B 中元素个数为 3． 故选：C．
A.
B.
C.
11. 已知等比数列{an}满足：a1=4，Sn=pan+1+m（p＞0），则
为（ ）
D.
取最小值时，数列{an}的通项公式
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A. an=4•3n-1
B. an=3•4n-1
C. an=2n+1
D. an=4n
12. 已知函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=- 为 f（x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对
的值． 本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分
8.答案：B
解析：解：∵函数 D（x）=
，
∴函数值域为{0，1}，故 A 不正确； 当 x 为有理数时，-x 必为有理数，此时 f（-x）=f（x）=1；当 x 为无理数时，-x 必为无理数，此时 f （-x）=f（x）=0．故 f（x）是偶函数，即 B 正确； 对于任意的有理数 T，当 x 为有理数时，x+T 必为有理数，此时 f（x+T）=f（x）=1； 当 x 为无理数时，x+T 必为无理数，此时 f（x+T）=f（x）=0； 即函数是周期为任意非 0 有理数的周期函数，故 C 不正确；
21. 已知函数 f（x）=ex-a，g（x）=a（x-1），（常数 a∈R）． （Ⅰ）当 g（x）与 f（x）的图象相切时，求 a 的值； （Ⅱ）设 φ（x）=f（x）-g（x2），讨论 φ（x）在（0，+∞）上零点的个数．
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22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
A. 2
B.
C.
6. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧
棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有
一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角
三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，
则该球的表面积为（ ）
A. π
B. 2π
C. 6π
D. D. 24π
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7. 如图程序框图是为了求出满足 1+ + +…+ ＜1000 的最大正整数 n 的值，那
（t 为参数），在以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=asinθ（a∈R 且 a≠0）． （Ⅰ）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知 A（ρ1，θ）是直线 l 上的一点，B（ρ2，θ+ ）是曲线 C 上的一点，ρ1∈R，ρ2∈R，若
B. 该地区在该月 24 日空气质量最差
C. 该地区从该月 7 日到 12 日 持续增大
D. 该地区的空气质量指数 与这段日期成负相关
4. “a＞b＞0”是“a+a2＞b+b2”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 1，a1，a2，3 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，则 的值为（）
18. 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF⊥平 面 EFDC，△ADF 是边长为 的正三角形，直线 AD 与平面 ABEF 所
成角为 ．
（Ⅰ）求证：EF⊥AD； （Ⅱ）若 EF=2CD=2，四边形 ABEF 为平行四边形，求平面 ADF 与平 面 BCE 所成锐二面角的余弦值．
令 y= (x>e)，y'=
<0,
所以 y 在（e，+ ）上单调递减，
所以
,
所以
,
故 c=
，
∴c＞a＞b， 故选：C． 利用对数的运算性质、对数函数的单调性即可得出． 本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.答案：A
解析：解：∵等比数列{an}满足：a1=4，Sn=pan+1+m=4p•qn+m（p＞0），
15. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金， 顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好 用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有______种．
16. 已知双曲线 C：
（a＞0，b＞0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，半焦距 c 为半径作圆 A，
么在
和
两个空白框中，可以分别填（ ）
A. “S＜1000”和“输出 i-1” B. “S＜1000”和“输出 i-2” C. “S≥1000”和“输出 i-1” D. “S≥1000”和“输出 i-2”
8. 设函数 D（x）=
则下列结论正确的是（ ）
A. D（x）的值域为[0，1] C. D（x）不是周期函数
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D（2）=1，D（3）=1，D（ ）=0，D（ ）=0．显然函数 D（x）不是单调函数，故 D 不正确； 故选：B． 根据已知函数 f（x）的解析式，结合函数单调性、奇偶性的定义，函数周期性的定义及函数值域， 分别判断四个答案的真假，即可得出结论． 本题考查的知识点是分段函数与应用，函数的值域及函数的性质，正确理解新定义是解答的关键．
7.答案：D
解析：解：由于程序框图是为了求出满足 1+ + +…+ ＜1000 的最大正整数 n 的值，
故退出循环的条件应为 S≥1000，
由于满足 1+ + +…+ ≥1000 后，（此时 i 值比程序要求的 i 值多一），又执行了一次 i=i+1，
故输出的应为 i-2 的值． 故选：D．
通过要求 S≥1000 时输出，由于满足 1+ + +…+ ≥1000 后，又执行了一次 i=i+1，故输出的应为 i-2
4.答案：A
解析：解：a＞b＞0⇒a2＞b2，可得 a+a2＞b+b2． 反之不一定成立，例如取 a=-3，b=-1 时． ∴“a＞b＞0”是“a+a2＞b+b2”的充分不必要条件． 故选：A． 由 a＞b＞0，利用不等式的基本性质可得 a+a2＞b+b2．反之不一定成立，例如取 a=-3，b=-1 时． 本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
故选：A．
6.答案：C
解析：解：如图所示，该几何体为四棱锥 P-ABCD．底面 ABCD 为矩形，
其中 PD⊥底面 ABCD．
AB=1，AD=2，PD=1．
则该阳马的外接球的直径为 PB=
．
∴该阳马的外接球的表面积为：
．
故选：C． 由题意，PB 为球的直径，求出 PB，可得球的半径，即可求出球的表面 积． 本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．
9.答案：B
解析：解：
=
=
．
．
由测度比是面积比可得，此点取自阴影部分的概率是 P=
．
故选：B． 求定积分可得阴影部分的面积，再求出四边形 ABCD 的面积，由测度比是面积比得答案． 本题考查几何概型，考查定积分的求法，是基础题．
10.答案：C
解析：解：∵a=2ln3=ln9， b=3ln2=ln8＜ln9=a，
20. 已知椭圆 C：
（a＞b＞0），四点 P1（0， ），P2（ ，1），P3（1， ），P4（1，- ）
中恰有三点在椭圆 C 上． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）过 C 的右焦点 F 作斜率为 k 的直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l：x=4 与 x 轴交于点 E， M 为线段 EF 的中点，过点 B 作直线 BN⊥l 于点 N．证明：A，M，N 三点共线．
2.答案：A
解析：解：由
，
得
，
则 z 的共轭复数为 i． 故选：A． 把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3.答案：D
解析：【分析】 本题考查了进行简单的合情推理，属中档题． 由折线图可以观察出结果． 【解答】 解：由折线图可知：该月 2 日指数 AQI 值最小，因此空气质量最好； 该月 24 日指数 AQI 值最大，因此空气质量最差； 该地区从该月 7 日到 12 日 AQI 值是持续增大； 该地区的空气质量指数 AQI 与这段日期成正相关； 故选：D．
称轴，且∀x∈（ ， ），|f（x）|＜1，则 ω 的最大值为（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 设向量 =（m，-1）， =（1，2），且| • |=| || |，则 m=______．
取值范围是______．
5.答案：A
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解析：【分析】 本题主要考查数列性质与思维的严谨性．是基本知识的考查． 利用等差数列以及等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可． 【解答】 解：1，a1，a2，3 成等差数列，可得 a1+a2=4，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，
河南省2019年高三(上)第三次质检数学试卷(理科)(解析版)
2019年河南省高三（上）第三次质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合M={y|y=﹣x2，x∈R}，N={x|x2+y2=2，x∈R}，则M∩N=（）A．{（﹣1，﹣1），（1，﹣1）}B．{﹣1}C．[﹣1，0]D．[﹣，0]2．命题p：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0+1≥0”，则命题￢p为（）A．∀x∈R，都有x2﹣3x+1≤0 B．∀x∈R，都有x2﹣3x+1＜0C．∃x0∈R，使得x02﹣3x0+1≤0 D．∃x0∈R，使得x02﹣3x0+1＜0 3．已知函数f（x）=e x+ln（x+1）的图象在（0，f（0））处的切线与直线x﹣ny+4=0垂直，则n的值为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．04．已知向量=（2，1），=（1，3），则向量2﹣与的夹角为（）A．45°B．105°C．40° D．35°5．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（）A．110尺 B．90尺C．60尺D．30尺6．已知命题p：“∀x∈（0，+∞），lnx+4x≥3”；命题q：“∃x0∈（0，+∞），8x0+≤4”．则下列命题为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．p∧q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）7．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．，B．1， C．1， D．，8．若等比数列{a n}的前项和为S n，且S2=3，S6=63，则S5=（）A．﹣33 B．15 C．31 D．﹣33或319．已知实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣32 B．﹣16 C．﹣10 D．﹣610．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．9（+1）π+8 B．9（+2）π+4﹣8 C．9（+2）π+4D．9（+1）π+8﹣811．定义在实数集R上的函数f（x），满足f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），当x∈[0，1]时，f（x）=x•2x．则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为（）A．99 B．100 C．198 D．20012．已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0．+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且∀x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．则下列说法一定正确的是（）A．﹣f（﹣）＞﹣f（﹣）B．﹣f（﹣）＞﹣f（﹣）C．﹣f（）＞﹣f（） D．﹣f（﹣）＞﹣f（）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f（x）dx=．14．如图，已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若，则m+n=．15．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=BD=，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．16．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）=|4x（1﹣x）|，若关于x 的方程f2（x）+（t﹣3）f（x）+t﹣2=0有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，D是△ABC内一点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足∠D=2∠B，cos∠D=﹣，AD=2，△ACD的面积是4．（1）求线段AC的长；（2）若BC=4，求线段AB的长．18．在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业．其用氧量包含一下三个方面：①下潜平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为x2升；②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；③返回水面时，平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为0.32升．潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）如果水底作业时间是10分钟，将y表示为x的函数；（2）若x∈[6，10]，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y的取值范围；（3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？19．已知函数f（x）=2cos2x﹣2sin（x+π）cos（x﹣）﹣．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求当x∈[0，]时，函数g（x）的值域．20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，n∈N+．（1）求证：数列{﹣2}是等比数列，并且求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．21．已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′如图所示，其中G是BC的中点，D，E 分别在线段AG，A′C上运动，使得DE∥平面BCC′B′，CC′=2BC=4．（1）求二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；（2）求线段DE的最小值．22．已知函数f（x）=x2﹣mlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若m≥1，试讨论关于x的方程f（x）=x2﹣（m+1）x的解的个数，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合M={y|y=﹣x2，x∈R}，N={x|x2+y2=2，x∈R}，则M∩N=（）A．{（﹣1，﹣1），（1，﹣1）}B．{﹣1}C．[﹣1，0]D．[﹣，0]【考点】交集及其运算．【分析】由二次函数的值域求出集合M，由条件和圆的性质求出集合N，由交集的运算求出M∩N．【解答】解：由y=﹣x2（x∈R）得y≤0，则集合M={y|y=﹣x2，x∈R}=（﹣∞，0]，由x2+y2=2（x∈R）得，则N={x|x2+y2=2，x∈R}=[，]，所以M∩N=[，0]，故选D．2．命题p：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0+1≥0”，则命题￢p为（）A．∀x∈R，都有x2﹣3x+1≤0 B．∀x∈R，都有x2﹣3x+1＜0C．∃x0∈R，使得x02﹣3x0+1≤0 D．∃x0∈R，使得x02﹣3x0+1＜0 【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解命题p：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0+1≥0”，则命题￢p为∀x∈R，都有x2﹣3x+1＜0故选：B3．已知函数f（x）=e x+ln（x+1）的图象在（0，f（0））处的切线与直线x﹣ny+4=0垂直，则n的值为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由求导公式和法则求出函数的导数，由直线垂直的条件求出切线的斜率，即可求出n的值．【解答】解：依题意得，f′（x）=e x+，所以f′（0）=2．显然n≠0，直线x﹣ny+4=0的斜率为，所以，解得n=﹣2，故答案为：﹣2．故选A．4．已知向量=（2，1），=（1，3），则向量2﹣与的夹角为（）A．45°B．105°C．40° D．35°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可．【解答】解：向量=（2，1），=（1，3），∴2﹣=（3，﹣1），∴（2﹣）=6﹣1=5，||=，|2﹣|=，设量2﹣与的夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°，故选：A．5．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（）A．110尺 B．90尺C．60尺D．30尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和求解．【解答】解：由题意知等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴=90（尺）．故选：B．6．已知命题p：“∀x∈（0，+∞），lnx+4x≥3”；命题q：“∃x0∈（0，+∞），8x0+≤4”．则下列命题为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．p∧q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：取x=，可知lnx+4x＜3，故命题p为假命题；当x0＞0时，8x0+≥2=4，当且仅当x0=时等号成立，故命题q为真命题；所以（￢p）∧q为真命题，p∧q、p∨（￢q）、（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：A．7．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．，B．1， C．1， D．，【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得结论．【解答】解：由函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象知，=+=π，∴ω=．再根据五点法作图可得•（﹣）+φ=0，∴φ=，故选：A．8．若等比数列{a n}的前项和为S n，且S2=3，S6=63，则S5=（）A．﹣33 B．15 C．31 D．﹣33或31【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S2=3，S6=63，∴a1（1+q）=3，=63，消去a1，化为q4+q2﹣20=0，解得q=±2．q=2时，a1=1；q=﹣2，a1=﹣3．则S5==31，或S5==﹣33．故选：D．9．已知实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣32 B．﹣16 C．﹣10 D．﹣6【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数判断最优解，代入求解即可．【解答】解：作出不等式组，所表示的平面区域如下图阴影部分所示，由解得C（7，14）观察可知，当直线z=2x﹣3y过点C（7，10）时，z有最小值，最小值为：﹣16．故选：B．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．9（+1）π+8 B．9（+2）π+4﹣8 C．9（+2）π+4D．9（+1）π+8﹣8【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故该几何体的表面积S=（2π×3）×3+π×32﹣（2）2+4（×8）=9（+1）π+8﹣8．故选：D．11．定义在实数集R上的函数f（x），满足f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），当x∈[0，1]时，f（x）=x•2x．则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为（）A．99 B．100 C．198 D．200【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断f（x）的对称性和周期，做出y=f（x）和y=|lgx|的函数图象，根据两图象的变化规律判断交点个数，从而得出结论．【解答】解：∵f（x）=f（x﹣2），∴f（x）是以2为周期的函数，又f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）是偶函数，∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称，令g（x）=0得f（x）=|lgx|，做出y=f（x）和y=|lgx|的函数图象如图所示：令lgx=2得x=100，由图象可得y=f（x）和y=|lgx|的函数图象在每个区间[n﹣1，n]上都有1个交点，n=1，2，3， (100)∴g（x）共有100个零点．故选B．12．已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0．+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且∀x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．则下列说法一定正确的是（）A．﹣f（﹣）＞﹣f（﹣）B．﹣f（﹣）＞﹣f（﹣）C．﹣f（）＞﹣f（） D．﹣f（﹣）＞﹣f（）【考点】导数的运算．【分析】令F（x）=sin2x﹣f（x），可得F′（x）=2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．可得F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又∀x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．可得f（﹣x）=sin2x﹣2sin2x+f（x）=﹣[sin2x﹣f（x）]，F（x）为奇函数．进而得出答案．【解答】解：令F（x）=sin2x﹣f（x），则F′（x）=2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又∀x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．∴f（﹣x）+f（x）=2sin2x，∴sin2（﹣x）﹣f（﹣x）=sin2x﹣2sin2x+f（x）=﹣[sin2x﹣f（x）]，故F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递增，∴＞F．即＞﹣F，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f（x）dx=6+．【考点】定积分．【分析】分部积分，第一部分公式法，第二部分几何意义．【解答】解：当x∈[﹣3，0]时，f（x）=﹣x2+3，则（﹣x2+3）dx=（﹣x3+3x）=|=0﹣（3﹣9）=6，当x∈[0，3]时，f（x）=，则dx表示以原点为圆心以3为半径的圆的面积的四分之一，故dx=π，故f（x）=6+故答案为：6+14．如图，已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若，则m+n=．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量加减法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，这样便可得出m+n 的值．【解答】解：根据条件，====；又；∴．故答案为：．15．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=BD=，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为77π．【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：2，，，体对角线的长为球的直径，d==，∴它的外接球半径是，外接球的表面积是77π，故答案为：77π．16．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）=|4x（1﹣x）|，若关于x 的方程f2（x）+（t﹣3）f（x）+t﹣2=0有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合是{2， } ．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】通过f（x）的图象，研究关于y的二次方程y2+（t﹣3）y+t ﹣2=0有且只有3个不同的实数根．设g（y）=y2+（t﹣3）y+t﹣2，通过对y的取值范围，去对t进行讨论，可得答案．【解答】解：作出f（x）图象，研究关于y的二次方程y2+（t﹣3）y+t﹣2=0根的分步．设g（y）=y2+（t﹣3）y+t﹣2，t=2时，y=0，y=1，由图象可知显然符合题意．t＜2时，一正一负根，即g（0）＜0，g（1）＜0，方程的根大于1，f2（x）+（t﹣3）f（x）+t﹣2=0只有1个根，t＞2时，两根同号，只能有一个正根在区间（0，1），而g（0）=t﹣2，g（1）=2t﹣4，其对称轴y=，1＜t＜3△=0，可得t=5∴．∴实数t的取值集合是{2， }故答案为：{2， }．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，D是△ABC内一点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足∠D=2∠B，cos∠D=﹣，AD=2，△ACD的面积是4．（1）求线段AC的长；（2）若BC=4，求线段AB的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由题意求出sin∠D，根据AD=2，△ACD的面积是4即可求出CD的长度．利用余弦定理可得AC（2）根据∠D=2∠B，利用二倍角公式求出sinB的值，由正弦定理可得AB．【解答】解：（1）由cos∠D=﹣，可得sin∠D=，，△ACD的面积是4=AD×CD×sin∠D解得：CD=6在△ACD中由余弦定理：AC2=AD2+CD2﹣2×AD×CD×cos∠D=48∴AC=4（2）由已知：∠D=2∠B，即cos∠D=cos2∠B=1﹣2sin2B=．∴sinB=在△ABC中，BC=4，AC=4即AC=BC，由正弦定理：即∴AB=8（也可以用等腰三角形求线AB的一半）．18．在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业．其用氧量包含一下三个方面：①下潜平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为x2升；②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；③返回水面时，平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为0.32升．潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）如果水底作业时间是10分钟，将y表示为x的函数；（2）若x∈[6，10]，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y的取值范围；（3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）依题意下潜时间分钟，返回时间分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x∈[6，10]可知y=++6在[6，8]上单调递减、在[8，10]上单调递增，比较当x=6、10时的取值情况即得结论；（3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为≈18.3分钟．【解答】解：（1）依题意下潜时间分钟，返回时间分钟，∴y=，整理得y=++3（x＞0）…（2）由（1）同理得y=++6≥14（x∈[6，10]）函数在x∈[6，8]是减函数，x∈[8，10]是增函数，∴x=8时，y min=14，x=6时，y=，x=10，y=＜，∴总用氧量y的取值范围是[14，]；（3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为≈18.3分钟，所以潜水员最多在水下18分钟．…19．已知函数f（x）=2cos2x﹣2sin（x+π）cos（x﹣）﹣．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求当x∈[0，]时，函数g（x）的值域．【考点】正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出函数f（x）；（2）根据函数图象平移法则，得出函数g（x）的解析式，求出x∈[0，]时函数g（x）的值域即可．【解答】解：（1）函数f（x）=2cos2x﹣2sin（x+π）cos（x﹣）﹣=2•+2cosx（cosxcos+sinxsin）﹣=1+cos2x+cos2x+sinxcosx﹣=1+cos2x++sin2x﹣=cos2x+sin2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）；令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间是[+kπ， +kπ]，k∈Z；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象；再向上平移个单位长度，得y=sin（2x﹣）+的图象；∴函数g（x）=sin（2x﹣）+；当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]；∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）+∈[，]，即函数g（x）的值域是[，]．20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，n∈N+．（1）求证：数列{﹣2}是等比数列，并且求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）对已知等式取倒数，再减2，结合等比数列的定义和通项公式即可得到结论；（2）求得=n•（）n+2n，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）证明：由a1=，a n+1=，n∈N+，取倒数，可得==+，即﹣2=（﹣2），所以数列{﹣2}是以为首项，为公比的等比数列，可得﹣2=•（）n﹣1=（）n；所以数列{a n}的通项公式为a n=，n∈N*；（2）=n•（）n+2n，设T n=1•（）+2•（）2+…+n•（）n，T n=1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，两式相减得T n=+（）2+…+（）n﹣n•（）n+1，=（1﹣）﹣n•（）n+1，所以T n=﹣，又2+4+6+…+2n=n2+n，所以前n项和S n=﹣+n2+n．21．已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′如图所示，其中G是BC的中点，D，E 分别在线段AG，A′C上运动，使得DE∥平面BCC′B′，CC′=2BC=4．（1）求二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；（2）求线段DE的最小值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）由题意画出图形，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面B′CC′与平面A′B′C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；（2）设D（0，0，t）（0≤t≤），E（x，y，z），由，结合DE∥平面BCC′B′把λ用含有t的代数式表示，然后求出的最小值得答案．【解答】解：（1）如图，∵ABC﹣A′B′C′为正三棱柱，G是BC的中点，∴AG⊥平面BCC′B′，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则G（0，0，0），A（0，0，），C（﹣1，0，0），B′（1，4，0），A′（0，4，），=（1，4，），，平面B′CC′的一个法向量为，设平面A′B′C的一个法向量为，由，取y=1，得x=﹣2，z=．∴，∴cos＜＞===．∴二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值为；（2）设D（0，0，t）（0≤t≤），E（x，y，z），则，∴（x+1，y，z）=（λ，4λ，），即x=λ﹣1，y=4λ，z=．∴E（λ﹣1，4λ，），=（λ﹣1，4λ，），由DE∥平面BCC′B′，得，得λ=．∴=，当t=时，有最小值，∴线段DE的最小值为．22．已知函数f（x）=x2﹣mlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若m≥1，试讨论关于x的方程f（x）=x2﹣（m+1）x的解的个数，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）令F（x）=f（x）﹣x2+（m+1）x=﹣x2+（m+1）x﹣mlnx，x＞0，问题等价于求F（x）函数的零点个数，通过讨论m的范围，判断即可．【解答】解：（1）依题意得，f′（x）=x﹣=，x∈（0，+∞），当m≤0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）无极值；当m＞0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，得0＜x＜，函数f（x）单调递减，令f′（x）＞0，得x＞，函数f（x）单调递增，故函数f（x）有极小值f（）=（1﹣lnm）；综上所述，当m≤0时，函数f（x）无极值；当m＞0时，函数f（x）有极小值（1﹣lnm），无极大值．（2）令F（x）=f（x）﹣x2+（m+1）x=﹣x2+（m+1）x﹣mlnx，x＞0，问题等价于求F（x）函数的零点个数，易得F′（x）=﹣x+m+1﹣=﹣，①若m=1，则F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，注意到F（1）=＞0，F（4）=﹣ln4＜0，所以F（x）有唯一零点；②若m＞1，则当0＜x＜1或x＞m时，F′（x）＜0，当1＜x＜m时，F′（x）＞0，所以函数F（x）（0，1）和（m，+∞）上单调递减，在（1，m）上单调递增，注意到F（1）=m+＞0，F（2m+2）=﹣mln（2m+2）＜0，所以F（x）有唯一零点；综上，若m≥1，函数F（x）有唯一零点，即方程f（x）=x2﹣（m+1）x有唯一解．。
河南省开封市2019届高三第三次模拟数学(文)试题
开封市2019届高三第三次模拟考试数学（文科）试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|32,}A x x n n N ==+∈，{2,8,10,12,14}B =，则集合A B 中元素的个数为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 22.设复数1z i =+，则zz=（ ） A. i -B. iC. 2i -D. 2i3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ）A. 该地区在该月2日空气质量最好B. 该地区在该月24日空气质量最差C. 该地区从该月7日到12日AQI 持续增大D. 该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成负相关 4.“0a b >>”是“22a a b b +>+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数，则(1)f =（ ） A 53-B. 13C. 23D.32.6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，510a =-，则1a =（ ） A. -3B. -2C. 2D. 37.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）B. 6πC. 9πD. 24π8.如图所示的程序框图是为了求出满足111110023n+++⋯+<的最大正整数n 的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A. “100?S <”和“输出1i -”B. “100?S <”和“输出2i -”C. “100?S …”和“输出1i -” D. “100?S …”和“输出2i -” 9.若实数x ，y 满足221x y +=，则x y +最大值是（ ）A. -4B. -2C. 2D. 410.如图，在正方形ABCD 中分别以A ，B 为圆心、正方形的边长为半径画BD 弧，AC 弧，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.26π-B.32π-C.412π-D.64π-11.已知2ln3a =，3ln 2b =，6c e=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >>D. c b a >>12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭…，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且1117,3636x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，|()|1f x <，则ω的最大值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题.13.设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且//a b ，则x =________.14.若实数x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y =+的取值范围是________. 15.已知ABC △中，5AB =，7AC =，23ABC π∠=，则该三角形的面积是________. 16.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右顶点为A ，以A 为圆心， b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若||MN b =，则C 的离心率为________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .18.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，D 在平面ABEF 上的射影为EF 的中点ADF的正三角形，直线AD 与平面ABEF 所成角为4π.（I ）求证：EF AD ⊥；（Ⅱ）若22EF CD AB ==，且//AB EF ，求该五面体的体积.19.为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65x =，标准差 2.2s =，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行判定（P 表示相应事件的概率）：①()0.6826P x s X x s -<+剠；②(22)0.9544P x s X x s -<+剠；③(33)0.9974P x s X x s -<+剠.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁.试判断设备M 的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在(2,2)E x s x s -+之外的零件认定为是“次品”，将直径尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件认定为“突变品”.从样本的“次品”中随意抽取两件，求至少有一件“突变品”的概率.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的等边三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过C 的右焦点F 作斜率为k 的直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线:4l x =与x 轴交于点E ，M 为线段EF 的中点，过点B 作直线BN l ⊥于点N .证明：A ，M ，N 三点共线. 21.已知函数()xf x e a =-，()(1)g x a x =-，（常数a R ∈且0a ≠） （Ⅰ）当()g x 与()f x 的图象相切时，求a 的值；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =⋅，若()h x 存在极值，求a 的取值范围. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为sin a ρθ=（a R ∈且0a ≠）. （I ）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知()1,A ρθ是直线l 上的一点，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线C 上的一点， 1R ρ∈，2R ρ∈，若||||OB OA 的最大值为2，求a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲的.已知函数()|1|f x x =-.（I ）求函数()(1)y f x f x =-+的最大值；（Ⅱ）若()2(|2|3)(2)1f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围.。
河南省开封市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题
河南省开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知函数若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意，对a分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a ＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】，，解得，，，所以与的夹角为 .15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n ﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【解析】【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知函数若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意，对a分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=此时0＜a＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】，，解得，，，所以与的夹角为 .15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB 所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.（ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)有(Ⅱ)分布列见解析，90【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数. 【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)极小值为，极大值为.(Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)1【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。
河南开封2019高三第二次质量检测-数学理
河南开封2019高三第二次质量检测-数学理数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,其中第Ⅱ卷第（22)-（24）题为选考题，其他题为必考题·考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效· 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回· 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己旳姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上旳姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡旳指定位置上·2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案旳标号，非选择题答案使用0．5毫米旳黑色中性(签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚· 3．请按照题号在各题旳答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写旳答案无效· 4．保持卷面清洁,不折叠，不破掼·5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应旳题号涂黑· 参考公式：样本数据nx x x ,,,21 旳标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数；柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高； 锥体体积公式：hS Sh V ,,31为底面面积其中=为高； 球旳表面积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球旳半径·第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目要求旳· 1．复数34a iz Ri+=∈+，则实数a 旳值是 A ．34-B ．34C ．43D ．—432．若集合A={0，1}，B= ｛—1，a 2），则“a=l ”是“A ∩B=｛1}”旳 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．若执行如图所示旳框图，输入1231,2,3,2x x x x ====，则输出旳数S 等于 A ．23B ．1C ．13D ．124．从10位同学中选6位参加一项活动，其中有2位同学不能同时参加，则选取旳方法种数有 A ．84 B ．98 C ．112 D ．140 5．已知等差数列{}n a 旳公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则a 2=A ． -4B ．-6C ．—8D ．—106．若某几何体旳三视图如图所示，则这个几何体旳体积是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．87．下列四个判断： ①2,10x R x x ∃∈-+≤;②已知随机变量X 服从正态分布N(3，）, P(X ≤6）=0．72，则P(X ≤0）=0．28； ③已知21()n x x+旳展开式旳各项系数和为32, 则展开式中x 项旳系数为20； ④12111ex dx dx x->⎰⎰其中正确旳个数有:A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．已知双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>旳焦距为2c ，若点（—1，0）与点(1，0）到直线1x ya b -=旳距离之和为S,且S ≥45c ，则离心率e 旳取值范围是 A ．[2,7]B ．5[,5]2C ．5[,7]2D ．[2,5]9．函数12,41()),3),7),2(2),4x x f x a f b f c f xf x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记则A ．a 〉b 〉cB ．b<a 〈cC ．a 〈c 〈bD ．a 〉c>b10．△ABC 中,∠A=60°，角A 旳平分线AD 将BC 分成BD 、DC 两段,若向量1()3AD AB AC R λλ=+∈,则角C= A ．6πB ．4πC ．2πD ．3π11．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为0旳球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°,三棱锥O-ABC,则球O 旳表面积是 A ．64B ．16C ．323D ．54412．定义在R 上旳函数()f x 满足f(1）=1，且对任意x ∈R 都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>旳解集为A ．（1，2)B ．（0,1）C ．（1,+∞)D ．（-1,1）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答,第（22）题～第（24)题为选考题，考生根据要求做答· 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分． 13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>旳离心率e =其中一个顶点坐标为（0，2）,则椭圆旳方程为·14．已知函数2()log (2)f x x =-，若实数m,n 满足()(2)3,f m f n m n +=+则旳最小值是____．15．若不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩表示平面三角形区域，则实数k 旳取值范围是·16．若二次函数()y f x =旳图象经过点（0,10），导函数()25,f x x '=-当*(,1](),()x n n n N f x ∈+∈时是整数旳个数记为,则n a =三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．(本小题满分12分） 已知函数21()cos 3sin cos (0)2f x x x x ωωωω=+->旳最小正周期为 (I ）求值及f(x ）旳单调递增区间;（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b,c 分别是角A ，B ，C 旳对边,已知31,2,()22A a b f ===，求角C 旳大小．18．(本小题满分12分）如图,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB=BC=1，CC 1=2，AC 1与平面BCC 1B 1所成角为30°，AB ⊥平面BB 1C 1C · （I)求证：BC ⊥AC 1；（Ⅱ）求二面角C —AC 1—B 1旳余弦值．19．某苗木公司要为一小区种植三棵景观树,有甲、乙两种方案．甲方案:若第一年种植后全部成活，小区全额付款8千元；若第一年成活率不足12,终止合作，小区不付任何款项；若成活率超过12，但没有全成活,第二年公司将对没有成活旳树补种,若补种旳树全部成活，小区付款8千元，否则终止合作,小区付给公司2千元．乙方案：只种树不保证成活，每棵树小区付给公司1．3千元．苗木公司种植每棵树旳成本为1千元，这种树旳成活率为23．(I ）若实行甲方案，求小区给苗木公司付款旳概率; （Ⅱ）公司从获得更大利润考虑，应选择那种方案·20．（本小题满分12分）已知点112212(,),(,)(0)A x y B x y x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上旳两个动点，O 是坐标原点,0.OA OB ⋅=(I ）试判断直线AB 是否过定点？若过，求定点旳坐标；（Ⅱ）当弦AB 旳中点到直线20x y -=时,求抛物线方程．21．（本小题满分12分）已知函数2()(22)ln (1).m f x m x mx m x+=-++-≥- （I ）讨论f(x ）旳单调性; (II)设225(1)(),2113(1)22x x x x g x m x ⎧--≥⎪==⎨-<⎪⎩当时，若对任意1(0,2)x ∈,存在212[,1](),()()x k k k N f x g x ∈+∈<使,求实数k 旳最小值·22．（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图，在△ABC 中，∠C 为钝角，点E 、H 是边AB 上旳点，点K 、M 分别是边AC 和BC 上旳点,且AH =AC ，EB=BC,AE=AK,BH=BM ． （I ）求证：E 、H 、M 、K 四点共圆；（Ⅱ)若KE - EH ，CE=3，求线段KM 旳长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极点与坐标原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，两个坐标系单位长度相同，己知直线l ：1cos (1sin x t t y t αα=-+⎧⎨=+⎩为参数），曲线C 旳极坐标方程:4cos ρθ=．（I)若直线l 旳斜率为—1，求直线l 与曲线C 交点旳极坐标； （Ⅱ)设曲线C 与直线l 相交于A 、B 两点，且||23AB =，求直线l 旳参数方程．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()||2||(0).f x x x a a =+-> （I ）当a=l 时，解不等式()4f x ≤；(Ⅱ）若不等式f （x ）≥4对一切x ∈R 恒成立,求实数a 旳取值范围。
河南省开封市外国语中学2019年高三数学理联考试题含解析
河南省开封市外国语中学2019年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且，，则的最大值为（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2参考答案：C【分析】先根据已知分析出，再分析出,检验即得解.【详解】因为为的零点，所以,因为为图象的对称轴，所以（1）+（2）得，因为.(2)-(1)得,当时，如果，令，当k=2时，x=,与已知不符.如果，令，当k=1时，x=,与已知不符.如果如果，令，当k=1时，x=,与已知不符.如果，令，与已知相符.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 设P(x，y)是曲线上的任意一点，，则的值(A)小于8 (B)大于8 (C)不小于8 (D)不大于8参考答案：D3. 根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程＝0.7x+0.35，则实数m，n应满足（）A. n﹣0.7m＝1.7B. n﹣0.7m＝1.5C. n+0.7m＝1.7D. n+0.7m＝1.5参考答案：A【分析】分别求出x，y的平均数，代入回归方程，求出n﹣0.7m的值即可．【详解】解：由题意：＝（3+m+5+6）＝（14+m），＝（2.5+3+4+n）＝（9.5+n），故（9.5+n）＝0.7×（14+m）+0.35，解得：n﹣0.7m＝1.7，故选：A．【点睛】本题考查了回归方程，其中样本点的中心在直线上是解题的关键．4. 已知，，，则（）A．B．C．D ．参考答案：D,故答案为：D.5. 设f（x）=lnx，a＞b＞0，M=f（），N=f（），R=[f（a）+f（b）]，则下列关系式中正确的是( )A．N=R＜M B．N=R＞M C．M=R＜N D．M=R＞N参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数的运算性质、指数函数的单调性、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵f（x）=lnx，a＞b＞0，∴M=f（）=（lna+lnb），N=f（）=ln＞=M，R=[f（a）+f（b）]===M，∴N＞M=R．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 若为等差数列,是其前项和,且S15 =,则tan的值为( )A．B．C．D．参考答案：B略7. 已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为A.B. 2C.D.参考答案：D8. 设，满足约束条件，则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝x-y，再利用z的几何意义求最值，从而得到z的取值范围．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线过点时，取得最大值3，故.故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解，属中档题．9. 是偶函数，且在上是增函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D10. 定义在R上的函数是增函数，且对任意的恒有，若实数满足不等式组，则的范围为（）A. B . C . D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在边长为1的正三角形ABC中，，，若，则λ的值为．参考答案：3【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】由确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用、表示出和，由条件和数量积的运算化简=，即可求出λ的值．【解答】解：由题意画出图象如右图：∵，∴D为BC的中点，则=（+），∵，∴==﹣，∴=﹣=﹣﹣=（1﹣）﹣，∵=，∴（+）[（1﹣）﹣]=﹣，∴（1﹣）﹣+（1﹣）﹣=﹣，∴（﹣）﹣+（1﹣）=，∴（﹣）×1×1×﹣1+（1﹣）=，解得λ=3，故答案为：3．【点评】本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题．12. 当时，不等式恒成立，则实数a的最大值为________.参考答案：2【分析】根据均值不等式得到，再计算得到答案.【详解】，当且时等号成立，即时等号成立.，实数的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生对于不等式的应用能力.13. 的展开式中，常数项是______________.参考答案：1514. 已知实数x，y满足不等式组，则z=的最大值是．参考答案：2【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图则z=的几何意义为动点P到定点Q（﹣1，﹣1）的斜率，由图象可知当P位于A（0，1）时，直线AQ的斜率最大，此时z==2，故答案为：2．15. 已知实数x，y满足，则z=x﹣2y﹣1的最大值为．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：由z=x﹣2y﹣1得y=+，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=+，由图象可知当直线y=+过点A时，直线y=+的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（1，0），代入目标函数z=x﹣2y﹣1，得z=1﹣1=0∴目标函数z=x﹣2y﹣1的最大值是0．故答案为：0点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16. 为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三分别有学生800名、600名、500名．若2015届高三学生共抽取25名，则2014-2015学年高一学生共抽取名．参考答案：40考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．解答：解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴2014-2015学年高一应抽取的学生数为800×=40．故答案为：40．点评：本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键．17. 直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m= ．参考答案：或【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C（1，0）、半径r=，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列式，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵将圆x2+y2﹣2x﹣2=0化成标准方程，得（x﹣1）2+y2=3，∴圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C（1，0），半径r=．∵直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，∴点C到直线的距离等于半径，即=，解之得m=或．故答案为：或【点评】本题给出含有参数m的直线与已知圆相切，求参数m之值．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河南省开封市2019届高三数学第三次模拟试题理(含解析)
开封市2019届高三第三次模拟考试数学（理科）试题第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】利用交集的性质得出，从而得到集合元素个数。
【详解】即集合中共有3个元素。
故选C。
【点睛】解决本题的关键是找出集合A与集合B共有的元素，即可得到中的元素。
2.设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对进行化简得，根据共轭复数性质得到。
【详解】故选D【点睛】对型的复数化简时要分子分母同乘分母的共轭复数，使分母“实数化”。
3.空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（）A. 该地区在该月2日空气质量最好B. 该地区在该月24日空气质量最差C. 该地区从该月7日到12日持续增大D. 该地区的空气质量指数与这段日期成负相关【答案】D【解析】【分析】利用折线图对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A, 由于2日的空气质量指数最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确；对于选项B, 由于24日的空气质量指数最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确；对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日持续增大，所以该选项正确；对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数与这段日期成正相关，所以该选项错误. 故选：D【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解. 【详解】先考虑充分性.,=， 因为，所以， 所以“”是“”的充分条件.再考虑必要性.,=，不能推出. 如：a=-3,b=-1. 所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知差数列1，，，3成等差数列，1，, 4成等比数列，则的值为（ ）A. 2B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可．【详解】因为1，a 1，a 2，3成等差数列，得a 1+a 2＝4，又因为1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列， 可得b 22＝4，且1，b 2，4同号，所以b 2＝2，∴ ，故选：A ．【点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质与思维的严谨性，属于基础题．6.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，为球的直径，求出，可得球的半径，即可求出球的表面积．【详解】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．，，．则该阳马的外接球的直径为．该阳马的外接球的表面积为：．故选：．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.如图所示的程序框图是为了求出满足的最大正整数的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A. “”和“输出”B. “”和“输出”C. “”和“输出”D. “”和“输出”【答案】D【解析】【分析】通过要求时输出，由于满足后，又执行了一次，故输出的应为的值．【详解】由于程序框图是为了求出满足的最大正整数的值，故退出循环的条件应为，由于满足后，（此时值比程序要求的值多1），又执行了一次，故输出的应为的值．故选：．【点睛】本题考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.设函数，则下列结论正确的是（）A. 的值域为B. 是偶函数C. 不是周期函数D. 是单调函数【答案】B【解析】【分析】根据已知函数的解析式，结合函数的奇偶性、函数周期性及函数值的确定方法，分别判断四个答案的真假可得答案。
河南省开封市2019届高三年级定位考试——数学(理)
开封市2019届高三定位考试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）－（23）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后．再选涂其他答案的标号．非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整．笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁。
不折叠，不破损。
5．做选考题时．考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x ｜｜x －1｜≤1}，则A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝MD ．M ∪N ＝M2．若z ＝122i i－1＋，则｜z ｜＝ A ．35 B ．1 C ．75 D ．5 3．若命题p ：x ∀∈R ，x －lnx ＞0，则p ⌝为A ．0x ∃∈R ，x 0－lnx 0≤0B ．0x ∃∈R ，x 0－lnx 0＞0C ．x ∀∈R ，x －lnx ≤0D ．x ∀∈R ，x －lnx ＜04．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若a 2＋S 3＝0，则公比q ＝A ．－1B ．1C ．－2D ．25．某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布N （10，σ2），根据检测结果可知P （9．9≤ζ≤10．1）＝0．96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9．9kg 以下的职工数大约为A ．10B ．20C ．30D ．406．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x 为A ．－1B ．0C ．－1或1D ．－1或07．已知x ，y 满足约束条件40220x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥≤＋－≥，则z ＝x ＋3y 的最小值为A ．0B ．2C ．6D ．88．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．13B ．12C ．23D ．19．已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则A ．e π＜3eB ．23e －π＜32e π－C ．log e π＞3log eD ．π3log e ＞3log e π10．已知空间四边形ABCD ，∠BAC ＝23π，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为A ．60πB ．36πC ．24πD ．12π11．将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m （m ＞0）个单位以后得到的图象与函数y ＝ksinxcosx （k ＞0）的图象关于（3π，0）对称，则k ＋m 的最小正值是 A ．2＋4π B ．2＋34π C ．2＋512π D ．2＋712π 12．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞）B ．（165，＋∞）C ．[85，＋∞）D ．[165，＋∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答。
[精品]2019届高三数学下学期测试(三模)试题 理(含解析)
2019高三年级测试（三模）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简集合M和N,再求.详解：由题得所以.由题得所以.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求，由于集合中含有k,所以要给k赋值，再求.2. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)复数的共轭复数3. 设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题.对于选项B, 若，则或a与相交.所以选项B是假命题.对于选项C, 若，则或与相交.所以选项C是假命题.对于选项D, 若，则,是真命题.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接证明法.4. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. 给出下列命题：①已知，“且”是“”的充分不必要条件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；③已知，“”是“”的充分不必要条件；④命题“，使且”的否定为“，都有使且”，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项①，由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则||=1，因此||＞1不成立．反之取，=，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1“是“||＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利用举例法和直接法,要灵活选择.7. 已知，，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.详解：由题得所以，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.8. 已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立得B(1，m-1).=表示动点（x,y）和点D（-1,0）的斜率，可行域中点B和D的斜率最大，所以故选B.9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点与直线的位置关系是（）A. B.C. D. 与的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．详解：由题意，（15+16+18+19+22）=18，（102+98+115+115+120）=110，，5=9900，=1650，n=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.10. 在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].11. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.12. 已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.详解:因为函数,所以,当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图像与直线以及轴所围成的图形的面积为，则的展开式中的常数项为______________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：求定积分可得a值，然后求出二项式的通项，得到的展开式中含x及的项，分别与中的项相乘求得答案．详解：由题意，a=∴=（x﹣）（2x﹣）5．展开式的常数项由（2x﹣）5 中含x的项乘以﹣再加上含的项乘以x得到的．∵（2x﹣）5 展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r．令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣）5 的展开式中x的系数为（﹣1）2•23•=80．令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣）5 的展开式中的系数为（﹣1）3则的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200．故答案为：﹣200．..............................14. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_______________．【答案】【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为，则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球半径为，球心为，且球心到上底面的距离为，则球心到下底面的距离为．在如图所示的和中，由勾股定理可得及，解得．所以三棱锥的外接球的表面积为．答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．15. 已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则________________．【答案】6【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（﹣1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，中点M（1+，），可得，解得k2=2，则x1+x2=2+=4，由抛物线的定义可得=x1+x2+2=6，故答案为：6点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是利用求出k的值.16. 为等腰直角三角形，是内的一点，且满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C,设M(x,y)，因为，所以，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，且在△ABC内部，所以|MB|的最小值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点M的轨迹方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，，且满足．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列的通项.(2)利用错位相减法求数列的前项和为.详解：（1），，，即；当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.（2）当时，，当时，，，点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望．【答案】（1），；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求,最后求的数学期望．详解：（1）根据题意，计算平均数为；（2）依题意，；因为所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出.19. 如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后记为，重合后记为.（1）求证：面面；（2）求面与面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取中点，连，取中点,连，再证明面，再证明面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用向量法求得面与面所成二面角的余弦值为.详解：取中点，连，则.再取中点,连，则，易得，于是，四边形为平行四边形，得,从而，那么面，又面，故面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则,, 设面的法向量,由，得：，取，得，所以面的法向量.同理可得：面的法向量，则，所以面与面所成二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形），方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20. 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点．（1）若，问：是否存在恒与直线相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先求出原点到的距离，再证明存在圆与直线恒相切.（2）先求出点C的坐标，再代入得，最后计算的面积.详解：（1）设直线，代入得：设，则；由得：因为,所以化简得：，于是原点到的距离特别地，当轴时，也符合，故存在圆与直线恒相切.（2）设，则代入得，，于是所以.点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据得到，其二是化简.21. 已知函数.（1）若，求函数的最大值；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】分析：（1）利用导数先求函数的单调性，再求函数的最大值.(2)先转化为在恒成立，再构造函数求，再化简=1，即得解.详解:（1）在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，令令所以在单调递增，，，所以存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增..，即构造函数，易证在单调递增，所以，则，将这两个式子代入，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是化简.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线的倾斜角（）（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】分析：（1）利用消参求曲线的普通方程，利用极坐标公式求直线的直角坐标方程.(2)利用参数方程参数的几何意义和韦达定理求的值.详解：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.23. 已知函数，其中为正实数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值为，问是否存在正实数，使得不等式能成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求解.详解：（1）不等式等价于或或解得：，所以不等式的解集是.（2）存在正实数.上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，所以存在，使得不等式成立.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 求绝对值的最值直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.。
2019年河南省开封市县第一高级中学高三数学理联考试题含解析
2019年河南省开封市县第一高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向参考答案：D【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量关系，判断即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向．故选：D．2. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为A.B. C.D.参考答案：D3. 给出下列命题：（1）等比数列的公比为，则“”是“”的既不充分也不必要条件；（2）“”是“”的必要不充分条件；（3）函数的的值域为R，则实数；（4）“”是“函数的最小正周期为”的充要条件。
其中真命题的个数是A．1 B．2C．3 D．4参考答案：B4. （5分）（2015?枣庄校级模拟）以双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定参考答案：C【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：确定圆F的方程，双曲线的渐近线方程，求出圆心到直线的距离，即可得到结论．解：由题意，圆F的方程为：（x+c）2+y2=b2，双曲线的渐近线方程为：bx±ay=0∴F到渐近线的距离为d==b∴圆F与双曲线的渐近线相切故选C．【点评】：本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．5. 已知函数及其导数，若存在，使得=，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（）①，②，③，④，⑤A.2B. 3C. 4D. 5参考答案：B略6. 若复数z满足，则（）A．－3+i B．3－2i C．3+i D．1+i参考答案：C7. 设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=log0.80.9∈（0，1），b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴c＞a＞b．故选：A．8. 若，则方程有实根的概率为A． B．C． D．参考答案：D9. 在的展开式中常数项为A．28 B．－28 C．－56D．56参考答案：A因为，故，又的展开式中的系数为，故选A.10. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝_______ _.参考答案：略12. 在直角坐标系x Oy中，直线过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方，若直线的倾斜角为60°则△OAF的面积为。