刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
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定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
Iz
( 1 ml 2 12
mr 2 )
代入得 mgr cos 2mr dr
dt
v
dr dt
g cos 2
g
2
cos
t
7 lg 24v 0
cos(12v 7l
0t
)
L 0 J 常量
即：合外力为对转轴的力矩为零时，刚体的角动量守恒
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小, J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对
转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角
动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
例12、如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒 能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
5-3刚体的角动量
碰撞过程中系统对o 点 的合力矩为 M 0 即，
L1 L2
1 m0l Ml 2 ml 2 3
0 m
所以，系统对o点的角动量守恒。
1
19
过程2 质点、细棒上摆 系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设末态为势能零点
11 2 2 2 Ml ml 23 1 Mgl1 cos mgl 1 cos 2
J
M dt
F dt
F dt p p
0
M dt L L
0
1 2 1 2 F d x 2 mv 2 mv0
1 2 1 2 M d J J 0 2 2
9
例题1: 一匀质细棒长为l，质量为m，可绕通过其 端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置 自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体 相撞。该物体的质量也为m，它与地面的摩擦因数 为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相 撞后棒的质心C离地面的最大高度h，并说明棒在 碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解：这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能
例3. 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点， 杆与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将 单摆摆锤拉到高度 h ，令它自静止状态下摆，于垂直
0
位置和直杆作弹性碰撞. 求 碰后直杆下端达到的高度 h . 解：此问题分为 三个阶段
l
m h0
l m
c
l
m
v0
h
1） 单摆自由下 摆（机械能守恒）， 与杆碰前速度
L1 L2
1 m0l Ml 2 ml 2 3
0 m
所以，系统对o点的角动量守恒。
1
19
过程2 质点、细棒上摆 系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设末态为势能零点
11 2 2 2 Ml ml 23 1 Mgl1 cos mgl 1 cos 2
J
M dt
F dt
F dt p p
0
M dt L L
0
1 2 1 2 F d x 2 mv 2 mv0
1 2 1 2 M d J J 0 2 2
9
例题1: 一匀质细棒长为l，质量为m，可绕通过其 端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置 自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体 相撞。该物体的质量也为m，它与地面的摩擦因数 为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相 撞后棒的质心C离地面的最大高度h，并说明棒在 碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解：这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能
例3. 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点， 杆与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将 单摆摆锤拉到高度 h ，令它自静止状态下摆，于垂直
0
位置和直杆作弹性碰撞. 求 碰后直杆下端达到的高度 h . 解：此问题分为 三个阶段
l
m h0
l m
c
l
m
v0
h
1） 单摆自由下 摆（机械能守恒）， 与杆碰前速度
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
P
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
刚体力学第2讲——定轴转动中的功能关系、刚体的角动量定理和角动量守恒定律
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大， 物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体 相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所 以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞 后的速度，则
1 1 2 2 ml mvl ml 3 3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 ‘取正值， 表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运 动，加速度由牛顿第二定律求得为
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
（3）
0 v 2as
2
亦即
v 2 2gs
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
R R/2
v
解：取人和盘为系统，
M外 0
R/2 R
系统的角动量守恒.
(1)开始系统的角动量为
2
o
v
1 1 R 2 m 0 M R 0 2 2
1 2 1 m R mE M R2 ME 后来： 4 2
mE ME mM
刚体力学第2讲——定轴转动中 的功能关系、刚体的角动量定理 和角动量守恒定律
主要内容
一、刚体转动动能定理 二、刚体的角动量守恒
一、转动动能定理
（一）力矩的功
W
2 1
M d
（二）转动动能定理
W Ek 2 Ek1
1 Ek J 2 2
（三）刚体的重力势能
（三） 刚体的重力势能
例2：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2， 角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共 同的角速度 。啮合过程机械能损失。
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
典型例子
[例题]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中
左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴
7 9
2 处，闸 R 3
门及钢架对质点的总转动惯量为 I mR 2 ,可用钢丝 绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架 部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为 重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
图(a)
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]
需拉力是多少？
FT
W
图(b)
[解]（1）以弧形闸门及钢架 为隔离体，受力如图(a)所示. 建立直角坐标系Oxy， 根据质心运动定理 FT FN W mac 向x及y轴投影得
考虑到
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解： 系统对转轴 角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
2
人— ，盘— （对地的角位移） d d m 1 2 dt dt
I1d I 2 d
1 2 0
2
1 M 2
I d I d
0
2m 2 2m M
例：
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2, 转轴光滑,人的质量m,开始时， 两者静止．求：人在盘上沿边 缘走过一周时，盘对地面转过 的角度．
in ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
为零,角动量守恒
v0
v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有
t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。
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dt 2
式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时，
刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。
注：对轴外所有各质点在同一时间间隔 t 内走过的弧长虽不
同，但角位移 ，角速度 、角加速度 （角量）都相同，
但各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同。由转动平 面图很容易得到线量与角量的关系。
S r v r a r, an 2r
可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
三、角速度矢量
对于刚体定轴转动， 只有“正”“反”两种转动方向，通
过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴
的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转
轴的方位，可以统一地用角速度矢ω量 来描ω述。 的大小d
7.3.6
7.3.8 7.4.2 7.5.1 7.5.4 7.5.6 7.6.1
§1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运 动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
一、刚体的平动
如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保
持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞
研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
的夹角θ就能完全确定在空 间的位置， θ称为角坐标， 规定逆时针方向转动的θ为 正，顺时针方向为负。 θ = θ （t）——刚体绕定轴转 动的运动学方程。
都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对 象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体 动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动） →刚体静力学 （对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不 使刚体的状态产生变化的条件） →刚体三维运动。研究刚体力
学时，设想将它分割成许多部分，每一部分都小到可看作质点， 叫作刚体的“质元”，对于刚体，它的任意两质元之间的距离 保持不变，因此，刚体就像是一个冻结的质点系，由于每个质 元服从质点力学规律，由此出发，就能推演出刚体的运动规律。
是，
dt
ω 的方向则由右手螺旋法则确定。角速度矢量的概念不仅适用
于刚体转动，也适用于质点的运动。在定轴转动下，可利用 ω
将刚体上任一质点 P 的速度 v 表示为 v ω r 。
ω
ω
v
v
r
r
圆周运动中 ω与 的v 关系
原点不在圆心的情况
作为角速度对时间的变化率，角加速度也是矢量：
β dω dt
第七章 刚体力学
（Chapter 7 Mechanics of a rigid body）
前言 刚体运动的描述 刚体的动量和质心运动定理 刚体定轴转动的角动量 • 转动惯量 刚体定轴转动的动能定理 刚体平面运动的动力学 刚体的平衡 自转与旋进
前言
一、本章的基本内容及研究思路
前面几章讨论了质点和质点系的运动规律，本章将讨论具 有一定形状和大小的物体的运动。具有形状和大小的实际物体 的运动一般是较复杂的，它可以平移、转动，还可能发生形变。 为了使问题简化，一般假定物体无论受多大外力或转动得多快
z
转轴
P rθ O 转动平面
x
参考方向
不同位置质元在 t 时间内的角位移 都相同，可见， 描lim d
t0 t dt
式中 称为刚体转动角速度。面对 z 轴观察， 0 ，刚体逆
时针转动； 0 ，刚体顺时针转动。
lim
t 0
t
d
dt
d 2
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转动。 例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上有一 点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定点转 动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动。
轴（即 z 轴）上的投影。今后为明确起见，凡涉及角速度投影，
均附以角标。
四、刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面 平行，称作刚体作平面运动，其特点是，刚体内垂直于固定平
面的直线上的各点，运动状况都相同。根据此特点，可利用与
固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形。此平面图形的
位置一经确定，刚体的位置便确定了。今后说到“刚体”的时 候，其实指的就是剖面。在平面平行运动中，刚体内各点的位
移、速度和加速度是各不相同的，因此根本谈不上什么刚体的 位移、速度和加速度。应当将“刚体的运动”与“刚体内各点 的运动”区分开来。
建立坐标系 O-xyz，使平面图形在Oxy 面内，如图所示，z 轴与纸面垂直，在
的往返等都是平动。
rj
ri
rij
drj dt
dri dt
(为什么?)
d 2rj dt 2
d 2ri dt 2
即 v j vi , a j ai
O
j
rj
rij
ri
i
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
这是刚体力学研究的基本方法。
二、本章的基本要求
1. 理解描写刚体定轴转动的物理量（角坐标、角位移、角速 度和角加速度）并掌握角量与线量的关系；
2. 理解转动惯量的概念并会计算一些刚体的转动惯量； 3. 掌握刚体定轴转动的动力学规律； 4. 了解刚体平面平行运动的特点。
三、本章的思考题及练习题
1. 思考题：教材251--252 2. 练习题：7.1.4 7.2.2 7.3.1 7.3.3 7.3.5
角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为
ω xi z j yk, β xi y j zk
其中
x
d x
dt
,
y
d y
dt
,
dz
dt
刚体作定轴转动时，可令 z 轴与转轴重合，则 x y 0 ，
故ω
这里的
zzk与,β
z
zk 。前文定轴转动中讲到的 ω 和 正是
，它们分别是角速度矢量和角加速度矢量在转
式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时，
刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。
注：对轴外所有各质点在同一时间间隔 t 内走过的弧长虽不
同，但角位移 ，角速度 、角加速度 （角量）都相同，
但各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同。由转动平 面图很容易得到线量与角量的关系。
S r v r a r, an 2r
可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
三、角速度矢量
对于刚体定轴转动， 只有“正”“反”两种转动方向，通
过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴
的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转
轴的方位，可以统一地用角速度矢ω量 来描ω述。 的大小d
7.3.6
7.3.8 7.4.2 7.5.1 7.5.4 7.5.6 7.6.1
§1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运 动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
一、刚体的平动
如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保
持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞
研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
的夹角θ就能完全确定在空 间的位置， θ称为角坐标， 规定逆时针方向转动的θ为 正，顺时针方向为负。 θ = θ （t）——刚体绕定轴转 动的运动学方程。
都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对 象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体 动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动） →刚体静力学 （对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不 使刚体的状态产生变化的条件） →刚体三维运动。研究刚体力
学时，设想将它分割成许多部分，每一部分都小到可看作质点， 叫作刚体的“质元”，对于刚体，它的任意两质元之间的距离 保持不变，因此，刚体就像是一个冻结的质点系，由于每个质 元服从质点力学规律，由此出发，就能推演出刚体的运动规律。
是，
dt
ω 的方向则由右手螺旋法则确定。角速度矢量的概念不仅适用
于刚体转动，也适用于质点的运动。在定轴转动下，可利用 ω
将刚体上任一质点 P 的速度 v 表示为 v ω r 。
ω
ω
v
v
r
r
圆周运动中 ω与 的v 关系
原点不在圆心的情况
作为角速度对时间的变化率，角加速度也是矢量：
β dω dt
第七章 刚体力学
（Chapter 7 Mechanics of a rigid body）
前言 刚体运动的描述 刚体的动量和质心运动定理 刚体定轴转动的角动量 • 转动惯量 刚体定轴转动的动能定理 刚体平面运动的动力学 刚体的平衡 自转与旋进
前言
一、本章的基本内容及研究思路
前面几章讨论了质点和质点系的运动规律，本章将讨论具 有一定形状和大小的物体的运动。具有形状和大小的实际物体 的运动一般是较复杂的，它可以平移、转动，还可能发生形变。 为了使问题简化，一般假定物体无论受多大外力或转动得多快
z
转轴
P rθ O 转动平面
x
参考方向
不同位置质元在 t 时间内的角位移 都相同，可见， 描lim d
t0 t dt
式中 称为刚体转动角速度。面对 z 轴观察， 0 ，刚体逆
时针转动； 0 ，刚体顺时针转动。
lim
t 0
t
d
dt
d 2
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转动。 例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上有一 点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定点转 动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动。
轴（即 z 轴）上的投影。今后为明确起见，凡涉及角速度投影，
均附以角标。
四、刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面 平行，称作刚体作平面运动，其特点是，刚体内垂直于固定平
面的直线上的各点，运动状况都相同。根据此特点，可利用与
固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形。此平面图形的
位置一经确定，刚体的位置便确定了。今后说到“刚体”的时 候，其实指的就是剖面。在平面平行运动中，刚体内各点的位
移、速度和加速度是各不相同的，因此根本谈不上什么刚体的 位移、速度和加速度。应当将“刚体的运动”与“刚体内各点 的运动”区分开来。
建立坐标系 O-xyz，使平面图形在Oxy 面内，如图所示，z 轴与纸面垂直，在
的往返等都是平动。
rj
ri
rij
drj dt
dri dt
(为什么?)
d 2rj dt 2
d 2ri dt 2
即 v j vi , a j ai
O
j
rj
rij
ri
i
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
这是刚体力学研究的基本方法。
二、本章的基本要求
1. 理解描写刚体定轴转动的物理量（角坐标、角位移、角速 度和角加速度）并掌握角量与线量的关系；
2. 理解转动惯量的概念并会计算一些刚体的转动惯量； 3. 掌握刚体定轴转动的动力学规律； 4. 了解刚体平面平行运动的特点。
三、本章的思考题及练习题
1. 思考题：教材251--252 2. 练习题：7.1.4 7.2.2 7.3.1 7.3.3 7.3.5
角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为
ω xi z j yk, β xi y j zk
其中
x
d x
dt
,
y
d y
dt
,
dz
dt
刚体作定轴转动时，可令 z 轴与转轴重合，则 x y 0 ，
故ω
这里的
zzk与,β
z
zk 。前文定轴转动中讲到的 ω 和 正是
，它们分别是角速度矢量和角加速度矢量在转