2014新人教版_九年级数学上册_22.3.实际问题_与二次函数_
已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映： 如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出 10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价 为多少元？ 若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表 示为（x-40） 元，每周的销售量可表示 为 [300-10(x-60) ]件，一周的利润可表示 为 (x-40)[300-10(x-60)] 元，要想获得6090元 利润可列方程 (x-40)[300-10(x-60)]=6090 .
分析 调整价格包括涨价和降价两种情况 : 先来看涨价的情况：⑴设每件涨价 x元，则每星期售出商品
的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨 价x元,则每星期少卖 10x 件，实际卖出 (300-10x) 件, (60+x-40) 每件利润为 元，因此，所得利润 为 （60+x-40）(300-10x) 元.
1 0.5( x 2 )2 2
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车 欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽 车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能, 请简要说明理由.
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax2 4.4
4 a 4.4 0 a 1 .1
∵抛物线过A(-2,0)
y=(60+x-40)(30010x) 即y=-10（x-5）2+6250 (0≤x≤30)
怎样确 定x的 取值范 围
∴当x=5时，y最大值=6250
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250.
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中 的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
a 0.5
y \元
6250 6000
0
5
30
x\元
可以看出，这个函数的图 像是一条抛物线的一部分， 这条抛物线的顶点是函数 图像的最高点，也就是说 当x取顶点坐标的横坐标时， 这个函数有最大值.由公式 可以求出顶点的横坐标.
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量 的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或 通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
由(2)(3)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
也可以这样求极值
b x 5时，y最大值 10 52 100 5 6000 6250 2a
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
分析：没调价之前商场一周的利润为 6000 元； 设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润 可表示为 元，每周的销售量可表示为 （20+x） （300-10x）件，一周的利润可表示为 (20+x)( 300-10x)元，要想获得6090元利润可 列方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。
探究3
图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2m， 水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？ 解一
解二 解三
继续
解一 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴，建立平 面直角坐标系，如图所示. ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax
2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即抛物线过点(2,-2)
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1 x 2 2 4.4 2.816 2.7
∴汽车能顺利经过大门.
请同学们画出此函数的图象
s
可以看出，这个函数的图 象是一条抛物线的一部分， 这条抛物线的顶点是函数 图象的最高点，也就是说， 当l取顶点的横坐标时，这 个函数有最大值.
200
100
O
5 10 15 20 25 30
l
b 30 因此，当l 15时 2a 2 (1)
4ac b 2 302 S有最大值 225. 4a 4 (1)
y ax2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
0 a 22 2
a 0.5
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5 x 2 2 x 6 这时水面宽度为 2 6m
0 a ( 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5( x 2 )2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6 m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
即l是15m时，场地的面 积S最大.（S=225㎡)
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是 最低（高）点，所以当 x b 时，二次函
2a
数y=ax2+bx+c有最小（大）值
4ac b 2 4a
.
探究2
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调 整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获 得6090元的利润，该商品应定价为多少元？
22.3 实际问题与二次函数
探究1
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的 面积S最大？ 分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值
.
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为
( 60 l) m，场地的面积: 2
S=l(30-l) 即S=-l2+30l. (0<l<30)
问题2.已知某商品的进价为每件40元，售
价是每件60元，每星期可卖出300件。市 场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元， 每星期要少卖出10件。该商品应定价为多 少元时，商场能获得最大利润？
问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如调整价格 ，每降价一元， 每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润 最大？
定价:60+5=65（元）
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x =(20-x)(300+20x) 的取值范围 =-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20） 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
a 0.5
2 a 2 2
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
这时水面宽度为 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
3 0.5 x 2 x 6
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在 的售价是每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元， 每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期 可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
请同学们带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些 量随之发生了变化？
人教版初中数学22.3 实际问题与二次函数(第2课时) 课件
22.3 实际问题与二次函数/
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
导入新知
22.3 实际问题与二次函数/
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际 问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商 场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
素养考点 2 限定取值范围中如何确定最大利润
例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段
时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销
售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每 月的总利润最多是多少元？
即定价65元时，最大利润是6250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250.
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(几何面积最值问题)课件
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并 求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形 面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究 利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面 积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场 地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解： 矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(3)1优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们建立完整的知识体系；
2.学生通过总结归纳，巩固所学知识，提高他们的自我认知能力；
3.教师对学生的总结归纳进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
4.引导学生发现二次函数在实际问题中的应用规律，培养他们的实践能力。
（三）学生小组讨论
1.教师提出具有挑战性和开放性的课题，让学生在小组内进行讨论和合作交流；
2.引导学生运用所学知识，分析问题、解决问题，提高他们的实践能力和团队协作精神；
3.鼓励学生分享自己的观点和思考，培养他们的表达能力和批判性思维；
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1为例，旨在通过实际问题引导学生理解和掌握二次函数的性质和应用。在教学过程中，我以生活实际为载体，设计了一系列具有代表性的例题和练习，让学生在解决实际问题的过程中，深化对二次函数的理解，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
在案例背景中，我充分考虑了学生的年龄特点和知识水平，以符合九年级学生的认知发展需求。在教学设计上，我注重启发式教学，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索二次函数的性质和实际应用。同时，我还关注学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在数学学习中找到适合自己的路径，从而提高他们的自信心和积极性。
4.教师对小组合作过程进行指导和评价，确保学生能够从合作中获得充分的提升。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和方法，提高他们的自我认知能力；
数学人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数 PPT课件
时, 二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
3．类比引入, 探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地, 矩形面积 S
随矩形一边长ห้องสมุดไป่ตู้l 的变化而变化．当 l 是多少米时, 场地
的面积 S 最大?
解:
S
（60 2
l）l
,
整理后得 S l2 30l（0＜l＜30）．
2．探究二次函数利润问题
问题4 在降价情况下, 最大利润是多少? 请你参考上述的讨 论, 自己得出答案．
由上面的讨论及现在的销售情况, 你知道应如何定价 能使利润最大了吗?
三．探究3“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥, 当拱顶离水面 2 m时, 水面宽 4 m . 水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
（1） 题目中有几种调整价格的方法? （2） 当每件涨 1 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润呢? （3） 最多能涨多少钱呢? （4） 当每件涨 x 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润 y 呢?
2．探究二次函数利润问题
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数
一．探究一 1.创设情境, 引出问题
从地面竖直向上抛出一小球, 小球的高度 h（单位: m）与小球的运动时间 t（单位: s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时, 小
球最高? 小球运动中的最大高度是多少?
t
b 2a
y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）．
新人教版九年级数学上册《 22.3 实际问题与二次函数 推测滑行距离与滑行时间的关系》精品课教案_23
22.3《实际问题与二次函数---阅读与思考》教学设计一、内容和内容解析1．内容应用二次函数的图象和性质解决实际问题．2．内容解析二次函数是反映变化规律的数学工具，是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题．本节课是在学生学习二次函数的概念、图象和性质，二次函数与一元二次方程的联系，实际问题与二次函数的基础上，安排了一个实验与探究“推测滑行距离与滑行时间的关系”．通过探究滑行距离与滑行时间两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，进一步体验建立函数模型的过程和方法。
根据实际问题得到有关数据，数形结合地求出表示变量间关系的函数，这属于模拟函数描述实际问题．解决问题的过程中体现了数形结合的思想方法．基于以上分析，确定本节课教学的重点是：根据实际问题中的数据，通过画图、求解析式等方式，构建函数模型把实际问题转化为二次函数问题．二、目标和目标解析1．目标(1)能够从实际问题中抽象出二次函数，求二次函数解析式．(2)运用二次函数的图象、性质解决实际问题．2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助于实际问题所得有关数据画出图象，根据图象的特点构建数学模型，求出二次函数解析式，进而求出二次函数的相关结论．达成目标(2)的标志是：学生通过经历探究具体问题中所得到有关数据的数量关系和变化规律的过程，数形结合地求出表示变量间关系的函数，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的相关结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习二次函数的定义、图像和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但要求学生运用实际问题所得有关数据，选取适当的方法用来描述变量之间关系，如何从实际问题中抽象出二次函数模型分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这个过程有一定难度．基于以上分析，本节的难点是：根据实际问题抽象得到二次函数模型，将实际问题转化成二次函数问题．四、教学支持条件分析利用多媒体：微视频、几何画板、PPT、动画、视频等提供丰富的学习内容．本节课难点是利用已有的数据，建立坐标系，描点连线，得出图象，因此借助于多媒体操作让学生直观感受图象是必要的．同时，实际问题与二次函数有着密切的联系，但由于学生的生活经验不足，借助于多媒体视频也能对这一点不足有所补充．五、教学过程设计活动1 创设情境引入新课请同学们欣赏滑雪视频．在滑行的过程中，有许多变量：高度、距离、速度、时间等．生活中的实际问题充满了变量，但从函数的角度研究必须从中抽取两个变量．问题：如果我们抽取滑行距离与滑行时间两个变量，那么它们之间存在着怎样的变化关系呢？引出课题：今天我们就来学习推测滑行距离与滑行时间的关系．设计意图选取学生熟悉和喜爱的高山滑雪作为问题背景，使学生在学习中感到亲切，容易产生兴趣，更加乐意去解决问题．活动2 合作探究形成策略请同学们观看视频．问题：滑行距离与滑行时间是否存在对应关系？师生活动：教师播放视频，学生感受滑行距离与滑行时间的对应关系．为了研究滑行距离与滑行时间的关系，做了一个实验．播放微视频，阅读并思考．一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：S）之间的关系式，测得一些数据（如下表）思考问题：滑行10秒滑行的距离是多少？探究结合这些数据，你能设计出解决问题的方案吗？哪个方案是最优方案？师生活动：学生先独立思考，再组内交流，设计出解决问题的方案．每个小组派一名代表全班交流所设计的方案，小组间互评设计的方案是否可行，并从可行方案中选出最优设计方案．活动3 根据策略落实过程问题：根据刚才研究得到的策略，如何来设计解题步骤？师生活动：学生们先通过交流得出解题步骤，然后具体操作解决问题．学生先独立画图，之后同学们交流所画的图象．老师利用几何画板展示图象，再次确认学生画图的准确性和思路的正确性，学生根据曲线的形状建立数学模型，解决数学问题．设计意图：活动2、3是教学的难点，通过学生自主发现，小组合作交流，生生互动补充，师生互动点评等方式分散难点．引导学生进行自主学习，给学生提供了充分展示和交流的机会，体现了学生的学习主体地位，激发学生主动思考和探索，有效地提高了学生学习的兴趣和积极性，通过问题的解决，使学生进一步认识到二次函数是解决实际问题的一种重要数学模型．并从中体验到数学学习的快乐．活动4 题后反思总结经验问题：同学们对本题还有没有疑问？师生活动：师生共同解决同学提出的问题．问题：可不可以设解析式为s=at2 ？为什么？师生活动：学生先发表自己的观点，教师演示几何画板，关注图象顶点的位置，使学生明确，当不知道图象的顶点是不是坐标原点时，不能设解析式为s=at2 ，但我们知道图象经过原点所以可以设解析式为s=at2+bt．问题：为什么必须画图？师生活动：学生先发表自己的观点，使学生体会到本题根据图象，才能建立函数模型．问题：你在做这道题时有什么体会？师生活动：学生分享自己的解题经验．设计意图：借助追问，使不同水平的学生有不同层次的发现和收获，加深对本题更深层次的理解和认识．问题：在研究这个问题时，我们都经历了哪些过程？师生活动：教师引导学生及时整理解决问题的思路，分析出利用二次函数解决这类实际问题的一般方法．师生共同归纳：实际问题数据——建立二次函数模型——利用二次函数图象性质求解——实际问题答案设计意图：对解决问题的基本策略进行反思，通过同学间的合作与交流，让学生积累和总结经验，培养学生归纳概括的能力，养成良好的思维习惯．活动5 运用新知拓展训练问题：运用刚才解决问题获得的经验，你能解决下面问题吗？试试看．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发出的乒乓球的运动路线是固定不变的，在乒乓球运行时，设乒乓球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：（1）乒乓球经发球机发出后，最高点离地面多少米？（2）当球拍触球时，球离地面的高度为85米． ①此时发球机与球的水平距离；②现将发球机向后平移了0.4米，为确保球拍在原位置接到，发球机需调高多少米？ 师生活动：巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决此问题．学生先独立解决，遇到问题再小组合作交流，全班交流思想达成共识． 老师运用几何画板演示（2） ②中图象平移过程．设计意图：及时巩固这类实际问题的解题策略，进一步体会函数模型在解决实际问题中的作用．教师借助于几何画板使学生更加直观的感受图象平移过程，加深对题意的理解，感受图象是解决问题的关键．活动6 归纳总结 能力提升问题：本节课你有什么收获与同伴们分享一下？师生活动：学生畅所欲言，总结所学知识，分享自己的收获和经验．最后教师播放微视频，展示本节课的小结，与同学们分享．设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯，是本节课的升华．活动7 延续思考 布置作业1、某校课间操出操时楼梯口常出现拥挤现象，为详细了解情况，九（1）班数学课题学习小组在楼梯口对前10分钟出入人数进行了观察记录，并根据得到的数据绘制成下面两幅图：（1）在2至5分钟时，每分钟出楼梯口的人数p （人）与时间t （分）的关系可以看作一次函数，请你求出它的表达式．（2）若把每分钟到达楼梯口的人数y （人）与时间t （分）（2≤t ≤8）的关系近似的看作二次函数y=-t 2+12t+49，问第几分钟时到达楼梯口的人数最多？最多人数是多少？（3）调查发现，当楼梯口每分钟增加的滞留人数达到24人时，就会出现安全隐患．请你根据以上有关部门信息分析是否存在安全隐患．若存在，求出存在隐患的时间段．若不存在，请说明理由．（每分钟增加的滞留人数=每分钟到达楼梯口的人数-每分钟出楼梯楼的人数）（4）根据你分析的结果，对学校提一个合理化建议．（字数在40个以内）2、某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x （米），距桌面的高度为y （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据：（1）当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？（3）（选做）乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为0．14米，球桌长（1．4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值．六、目标检测设计为了研究飞机着陆后滑行的距离s （ 单位:m ）关于滑行时间t （单位:s ）之间的关系，在滑行过程中，测得一些数据．飞机着陆后滑行多远才能停下来？设计意图：考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握程度.（秒） 00．16 0．2 0．4 0．6 0．64 0． 8 … （米） 00．4 0．5 1 1．5 1．6 2 … （米） 0．25 0．378 0．4 0．45 0．4 0．378 0．25 …。
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
新人教版九年级上《22.3实际问题与二次函数》教案
22.3 实际问题与二次函数教学目标1. 会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．教学重点1. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．2. 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题课时安排3课时.第1页共11页教案A第1课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（1）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．二、新课教学问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）．然后让学生计算当t ＝1、t ＝2、t ＝3、t ＝4、t ＝5、t ＝6时，h 的值是多少？再让学生根据算出的数据，画出函数h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．当t ＝－ab 2＝－)5(230-⨯＝3时，h 有最大值a b ac 442-＝)5(4302-⨯-＝45． 答：小球运动的时间是3s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m ．问题2 如何求出二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值？学生根据问题1归纳总结：当a ＞0（a ＜0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低第3页 共11页（高）点，也就是说，当x ＝－ab 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值a b ac 442-． 三、巩固练习探究1 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l 的函数解析式，最后求出使S 最大的l 值．解：矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，所以另一边长（260－l ） m ．场地的面积S ＝l (30－l )，即S ＝－l 2＋30l （0＜l ＜30）． 因此，当l ＝－a b 2＝－)1(230-⨯＝15时，S 有最大值a b ac 442-＝)1(4302-⨯-＝225．也就是说，当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．四、课堂小结利用二次函数解决实际问题的过程是什么？找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．五、布置作业习题22.3 第1、4题．第2课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．二、新课教学探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况．（1）我们先看涨价的情况．设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300－l0x)件，销售额为(60 + x) (300－l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即y＝－l0x2+100x+6 000．列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x的取值范围呢？由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30．根据上面的函数，可知：当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．（2）我们再看降价的情况．设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x) (300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即y＝－20x2＋100x＋6 000．怎样确定x的取值范围呢？由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20．当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元．由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大．三、巩固练习1．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数，则y与x之间的关系式是，销售所获得的利润为w（元）与价格x（元/件）的关系式是．2．某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.设每件商品降价x元，总利润为y元，请你写出y与x的函数关系式，并分析，当销售单价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？参考答案：1．y＝－30x＋96 0，w＝(x－16)(－30x＋960)2．y＝(13.5－x－2.5)(500＋200x)＝－200x2＋1 700x＋550 0，顶点坐标为（4.25，9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5－4.25＝9.25时，可取得最大利润9112.5元．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第8题．第3课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．第5页共11页如上图，设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a ×22， a ＝－21． 这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21 x 2． 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为－3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为6，－6，据此可求出这时的水面宽度是26．答：水面下降1m ，水面宽度增加26－4m ．三、巩固练习某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示．根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45． （1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教师让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题（1）就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题（2）就是求右图B 点的横坐标． 学生独立解答，教师巡视指导，最后让一两位同学板演，教师讲评．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．第7页 共11页教案B第1课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（1）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究．二、新课教学问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）．然后画出函数h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，可以观察到当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s 时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m ．一般地，当a ＞0（a ＜0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当x ＝－ab 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值a b ac 442 ． 探究1 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l 的函数解析式，最后求出使S 最大的l 值．具体步骤可见教材第50页．三、巩固练习1．已知一个矩形的周长是100 cm ，设它的一边长为x cm ，则它的另一边长为______cm ，若设面积为s cm 2，则s 与x 的函数关系式是__________，自变量x 的取值范围是________．当x 等于_____cm 时，s 最大，为_______ cm 2.2．已知：正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上任意一点，且AE =AF ，若EC =x ，请写出△AEF 的面积y 与x 之间的函数关系式，并求出x 为何值时y 最大．参考答案：1．50－x ，s=x (50－x )，0<x <50，25，6252．y ＝－21x 2＋4x ，当x ＝4时，y 有最大值8． 四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题22.3 第1、4题．第2课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．二、新课教学1．探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式．具体步骤见教材第50页．2．巩固练习第9页 共11页重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P ＝－150(x －30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q ＝－4950(50－x )2＋1945(50－x )＋308万元． （1）若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?（2）若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?（3）根据（1）（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．教师引导学生先自主分析，小组进行讨论．在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题．解：（1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由P ＝－150(x －30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M 1＝10×10＝100万元．（2）若对该产品开发，在前5年中，当x ＝25时，每年最大利润是：P ＝－150(25－30)2＋10＝9.5（万元）． 则前5年的最大利润为M 2＝9.5×5＝47.5万元．设后5年中x 万元就是用于本地销售的投资，则由Q ＝－4950 (50－x )＋1945(50－x )＋308知，将余下的(50－x )万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润．则后5年的利润是M 3＝[－150(x －30)2＋10]×5＋(－4950x 2＋1945x ＋308)×5 ＝－5(x －20)2＋3500．故当x ＝20时，M 3取得最大值为3500万元．∴10年的最大利润为M ＝M 2＋M 3＝3547.5万元．（3）因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．三、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？四、布置作业习题22.3 第8题．第3课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y ＝ax 2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21x 2． 当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．三、巩固练习一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？第11页 共11页 分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 (a ＜0) ①因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2＝0.8（m ），又OC ＝2.4 m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a ×0.82 所以a ＝－154因此，函数关系式是y ＝－154x 2 ② ∵OC ＝2.4 m ，FC ＝1.5 m ，∴OF ＝2.4―1.5＝0.9（m ）．将y ＝－0.9代入②式得－0.9＝－154x 2 解得 x 1＝56，x 2＝―56． 涵洞宽ED ＝256≈0.98＜1． 四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．。
22.3 实际问题与二次函数第2课时 二次函数与商品利润PPT课件(人教版)
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可 获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李 明想要每月获得利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总 差价最少为多少元？
时，y有最大值2500，∴将售价定为125元，销售利润最大，最
大销售利润是2500元
8．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租 出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚 收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方 法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( 46 )
解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝300，∴政府这个月为他承 担的总差价为300×(12－10)＝600(元)
(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10(x－30)2＋4000. ∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定 为30元时，每月可获得最大利润4000元 (3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000，解得x1＝20，x2＝40， 结合图象可知，当20≤x≤40时，w≥3000，又∵x≤25，∴当20≤x≤25 时 ， w≥3000. 设 政 府 每 个 月 为 他 承 担 的 总 差 价 为 P 元 ， ∴ P ＝ (12 － 10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，P随着x的增大而减小， ∴当x＝25时，P有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月 为他承担的总差价最少为500元
11．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的 时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)， y值越大，表示接受能力越强．