河南省焦作市普通高中2019-2020学年上高一年级期中考试数学试题含解析(扫描版)
河南省焦作市普通高中2024届高三上学期期中考试数学试题
河南省焦作市普通高中2024届高三上学期期中考试数学试题1.已知集合，，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（）A．B．C．D．2.复数满足，则（）A．B．C．D．3.已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（）A．3B．6C．4或5D．6或74.在中，，点是的中点，记，，则（）A．B．C．D．5.在边长为1的小正方形组成的网格中，如图所示，则（）A．B．1C．D．6.已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（）A．B．C．D．7.、为两条直线，为两个平面，满足：与的夹角为与之间的距离为2．以为轴将旋转一周，并用截取得到两个同顶点(点在平面与之间)的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为，则的最小值为（）A．B．C．D．8.设表示不超过的最大整数（例如：，），则（）A ．B ．C ．D ．9.有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（）A ．设，则样本数据，，…，的平均数为B ．设，，则样本数据，，…，的标准差为C ．样本数据，，…，的平均数为D ．10.已知，且，则下列结论中正确的是（）A ．B ．C ．D ．11.（多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P 向椭圆作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则（）A ．恒为锐角B ．当垂直于x 轴时，直线的斜率为C ．的最小值为4D ．存在点P ，使得12.已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（）A ．当时，B ．V 存在最大值C ．当r 在区间内变化时，V 逐渐减小D ．当r 在区间内变化时，V 先增大后减小13.某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若.写出一个符合条件的的值为__________.14.已知圆，与圆总相切的圆的方程是_________．15.组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________．16.机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________．17.已知数列为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接着复制该项粘贴在后面作为，并添加后继数2作为；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为，，，并添加后继数3作为，…依次继续下去.记表示数列中首次出现时对应的项数.(1)求数列的通项公式；(2)求.18.在中，角所对的边分别为，满足，.(1)证明：外接圆的半径为；(2)若恒成立，求实数的取值范围.19.为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号i 12345678910成绩（分）38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，．(1)求；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X ，求X 的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y ，求Y 的数学期望．附：若，则，，．20.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．21.我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数（离心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线.(1)求双曲线的准线；(2)设双曲线的右焦点为，右准线为.椭圆以和为其对应的焦点及准线过点作一条平行于的直线交椭圆于点和.已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围.22.已知函数．(1)当，求曲线在点处的切线方程．(2)若在上单调递增，求a的取值范围；(3)若的最小值为1，求a．。
2019-2020学年河南省焦作市高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年河南省焦作市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{|02}A x x x =<>或，{|B x x =<<，则（ ）A ．AB =∅ B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =R【答案】D【解析】利用所给集合，直接可得结论． 【详解】{|02}A x x x =<>或，{|B x x =<<∴(A B ⋂=⋃，A B =R ． 故选：D 【点睛】本题考查集合的包含关系与运算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2．函数2()25f x x mx =-+在区间[3,)-+∞上是增函数，在区间(,3]-∞-上是减函数，则(1)f 等于（ ） A ．-7 B ．8C ．19D ．22【答案】C【解析】由题意可知二次函数的对称轴为3x =-，求出m 的值，得到函数()f x 的解析式，代入求函数值即可。
【详解】由题意可知二次函数()f x 的对称轴34mx ==-，解得12=-m ，所以2()2125f x x x =++，则(1)212519f =++=．故选：C 【点睛】本题考查二次函数的单调性，当二次函数开口向上时在对称轴左边单调递减，对称轴右边单调递增，属于基础题。
3．已知0a >，1a ≠，函数x y a -=，log ay x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】对a 分类讨论，结合指对函数的单调性判断。
【详解】解：当01a <<时，11a ->，()1xx y a a --==单调递增，且图像过点(0,1)，log ay x=单调递减，图象过(1,0)，B 项符合．当1a >时，x y a -=单调递减，且图象过点(0,1)，log a y x =单调递增，图像过点(1,0)，没有符合条件的选项．故选：B 【点睛】本题考查对数函数和指数函数的图象和性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细观察，注意数形结合思想的合理运用．4．设32()(2)4f x m x mx m =-++-为偶函数；则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．4C ．2D ．0【答案】C【解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=得到方程，即可求得m 的值。
2019-2020学年河南省焦作市山阳区第一中学高一数学理联考试卷含解析
2019-2020学年河南省焦作市山阳区第一中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M={x∈N|x2-1=0}，则有（）A. B.C. D. 0，参考答案：D【分析】求出集合M，由此能求出结果．【详解】解：由集合，知：在A中，，故A错误；在B中，，故B错误；在C中，，故C错误；在D中，，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 已知数列，它的第5项的值为（）A. B. C. D.参考答案：D3. 正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )A.[3,+∞)B. (－∞,3]C. (－∞,6]D. [6,+∞)参考答案：D【分析】先用基本不等式求的最小值，再根据配方法求二次函数的最大值.【详解】，当且仅当，即时，“=”成立，若不等式对任意实数恒成立，则，即对任意实数恒成立，实数的取值范围是.故选D.【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立.4. 在△ABC中，，，M是BC的中点，，则BC等于（）A. B. C. D.参考答案：B设，则选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.5. 设等差数列的前项和为且满足，，则中最大参考答案：略6. 若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）．A．[1,+∞)B．[-1,-) C． (,1] D．(-∞,-1]参考答案：B略7. 若0<x<y<1，则()A．3y<3x B．log x3<log y3 C．log4x<log4y D.x<y参考答案：C8. 设>1，则图像大致为（）参考答案：B略9. 设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)参考答案：A略10. 函数的零点所在的区间是（）A．（e﹣4，e﹣2）B．（e﹣2，1）C．（1，e2）D．（e2，e4）参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断f（e﹣4），f（e﹣2），f（1），f（e2），f（e4）的符号，再根据函数零点的判定定理，即可求得结论．【解答】解：∵f（e﹣4）=﹣4+＜0，f（e﹣2）=﹣2+＜0，f（1）=＞0，f（e2）=2+＞0，f（e4）=4+＞0，∴f（e﹣2）?f（1）＜0，且函数在区间（e﹣2，1）上是连续的，故函数的零点所在的区间为（e﹣2，1），故选：B．【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.参考答案：【分析】根据三角函数的图象，求出函数的周期，进而求出和即可得到结论．【详解】由图象得，，则周期，则，则，当时，，则，即即，即，，，当时，，则函数的解析式为，故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象求出，和的值是解决本题的关键．12. 若函数f(x)＝|x－2|(x－4)在区间(5a,4a＋1)上单调递减，则实数a的取值范围是____．参考答案：试题分析：将函数化成分段函数的形式，不难得到它的减区间为（2，3）．结合题意得：（5a，4a+1）?（2，3），由此建立不等关系，解之即可得到实数a的取值范围．解：函数f（x）=|x-2|（x-4）="(x-2)(x-4)" (x≥2)(2-x)(x-4) (x＜2)∴函数的增区间为（-∞，2）和（3，+∞），减区间是（2，3）．∵在区间（5a，4a+1）上单调递减，∴（5a，4a+1）?（2，3），得2≤5a, 4a+1≤3，解之得≤a≤故答案为：点评：本题给出含有绝对值的函数，在已知减区间的情况下求参数a的取值范围，着重考查了函数的单调性和单调区间求法等知识，属于中档题13. （5分）将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可售出100个，若这种商品的销售价每个涨价1元，则日销售量就减少10个，为获取最大利润，此商品的当日销售价应定为每个元．参考答案：14考点：函数的最值及其几何意义．分析：根据已知的数量关系，合理列出方程，借助二次函数的性质进行求解．解答：设此商品的当日售价应定为每个x元，则利润y=（x﹣8）?[100﹣（x﹣10）×10]=﹣10（x﹣14）2+360，∴x=14时最大利润y=360．即为获取最大利润，此商品的当日销售价应定为每个14元．故答案为：14．点评：建立二次函数求解是解决这类问题的有效途径．14. ，是四面体中任意两条棱所在的直线，则，是共面直线的概率为 .参考答案：0.8略15. 已知，向量与垂直，则实数的值为参考答案：向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，16. 若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是．参考答案：（0，4）【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数的性质可知：△＜0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m的取值范围．【解答】解：由方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则△＜0，∴m2﹣4m＜0，解得：0＜m＜4，∴实数m的取值范围（0，4），故答案为：（0，4）．17. 实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则c的值为.参考答案：99三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河南省焦作市普通高中高一数学上学期期中试题
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。河南省焦作市普通高中2019-2020学年高一数学上学期期中试题（扫描版，无答案）
河南省焦作市2019学年高一上学期期中考试数学试卷(扫描版)
高一数学参考答案与评分参考(请评卷老师根据实际情况酌情调整评分标准)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.7 14. 1 15. -4 16. 8三、解答题：本大题共70分.17.(本小题满分10分)(1) 1 5分(2) 2 5分18.（本小题满分12分）（1）[]0,2T =当3a =时，()0,3S = 3分[0,3)S T =，(0,2]S T =6分（2）因为0a >，所以(){}{}|0|0S x x x a x x a =-<=<<8分则()0,[0,2]a ⊆，所以2a ≤. 又0a >，所以02a <≤12分19.(本小题满分12分）解：（1）符合条件的是()f x ax b =+， -----------------------------1分若模型为()2x f x a =+，则由1(1)24f a =+=，得2a =，即()22x f x =+，此时(2)6f =,(3)10f =,(4)18f =，与已知相差太大，不符合. -----------3分若模型为12()log f x x a =+，则()f x 是减函数，与已知不符合. -----------4分由已知得437a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得3252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以35()22f x x =+，x ∈N .-------------------8分（2）2019年预计年产量为35(7)71322f =⨯+=,，---------------9分2019年实际年产量为13(130%)9.1⨯-=，-----------------11分.答：最适合的模型解析式为35()22f x x =+，x ∈N .2019年的实际产量为9.1万件。
--12分.20.(本小题满分12分）解：（1）令1t x =-，则1x t =+ 所以()11()lg lg 211t t f t t t ++==-+- 2分 12,01x t <<∴<<1()lg(01)1x f x x x+∴=<<- 5分 ),10(12111<<-+-=-+=x x x x s 8分所以函数S 在区间(0,1)上单调递增， 1.1()lg 0.1s x f x x∴>+∴=>- 所以函数的值域为(0,)+∞.12分21 (本小题满分12分）6分12分 22.(本小题满分12分）.解：（1）设()x g x a =，则31(3)8g a--== 解得：2a =，所以()2x g x =1分所以2()12x x c f x -=+，令(0)0f =得102c -=，所以1c =3分经检验，当1c =时，12()12xxf x -=+为奇函数，符合题意4分 所以12()12xx f x -=+ （2）()f x 在R 上单调递减5分 证明如下：任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()()()()12211212121212121212121212121212x x x x x x x x x x f x f x -+--+---=-=++++ ()()()()1212211212122212221212x x x x x x x x x x ++-+---+-=++()()()()2112112122(22)22(21)12121212x x x x x x x x x --⋅-==++++7分 因为1220,20x x >>，所以()()1212120x x ++>而12x x <，所以210x x ->，2121x x ->，21210x x -->所以()()1211222(21)01212x x x x x -⋅->++，即()()120f x f x ->，12()()f x f x > 所以()f x 在R 上单调递减9分（3）由（2）知()f x 在[]1,1-上单调递减，所以)1()()1(-≤≤f x f f 即()f x 在[]1,1-上的值域为11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 要使得关于x 的方程()f x m =在[]1,1x ∈-上有解，则 实数m 的取值范围为11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12分。
2019-2020学年河南省焦作市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
（2）若将函数 的图象向左平移1个单位长度后得到函数 的图象，关于 的不等式 在 上有解，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）易知： 的最大值为1，最小值为-1.根据相邻的两个最值点的距离为 ，由 ，求得 ，进而得到 ，然后由 的图象经过点 ，求得 ，得到函数 的解析式.
【详解】
设 ，由 得 ①
因为点 在 的平分线上，所以
所以 ，所以 ，即 ②
联立方程①②可解得 或 （舍）
故 的坐标为
故答案为：
【点睛】
本题考查的是平面向量数量积的应用，属于基础题.
16．已知函数 在 处取得最小值，则 ______.
【答案】
【解析】首先分 和 两种情况讨论，得出当函数 取得最小值时， ，然后即可得出答案.
（1）求 ， 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ， ，（2） .
【解析】（1）联立方程 和 求解即可.
（2）首先利用三角函数的诱导公式化简，然后再利用其和差公式求解即可.
【详解】
（1）由条件可得 ，
又因为 ，
联立得 .
解得 或 ，
又因为 ，
所以 .
又因为 ，所以 .
（2）由（1）知 .
【点睛】
本题考查的是同角三角函数的基本关系以及利用诱导公式和和差公式求值，属于基础题.
8．若函数 ，则 是（）
A．最小正周期为 的偶函数B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的偶函数D．最小正周期为 的奇函数
【答案】D
【解析】利用二倍角公式将函数 化为 ，利用三角函数的周期公式求出最小正周期．
【详解】
解：
所以最小正周期为 且为奇函数，
【40套试卷合集】河南省焦作市2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
河南省焦作市2019-2020学年高一上学期期中数学试卷(II)卷
河南省焦作市2019-2020学年高一上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·大连期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）若关于x的方程2x3﹣3x2+a=0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A . （﹣4，0]∪[1，28）B . [﹣4，28]C . [﹣4，0）∪（1，28]D . （﹣4，28）3. （2分）如图所示，图中有5组数据（用字母代表），现准备去掉其中一组，使剩下的4组数据的线性相关性最高，那么应该去掉的一组是（）A . EB . FC . GD . H4. （2分）设集合A={y|y=x2－2x}，B={x|y=log2(3－x)}，则A∩B=（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·长春月考) 设是定义在上的奇函数，当时，，则（）A .B .C . 0D . 16. （2分）已知是直线，是平面，且，则“”是“”的（）A . 必要不充条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2019高三上·上海月考) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A . 1010.1B . 10.1C . lg10.1D . 10–10.18. （2分） (2017高一上·石嘴山期末) 设，则f[f（5）]=（）A . 0B . 1C . ﹣1D . 29. （2分） (2017高一上·武汉期末) 方程x﹣sinx=0的根的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2017高二下·河口期末) 已知是定义在上的偶函数，且，若在上单调递减，则在上是（）A . 增函数B . 减函数C . 先增后减的函数D . 先减后增的函数11. （2分）(2017·南昌模拟) 已知x1 ， x2是方程e﹣x+2=|lnx|的两个解，则（）A . 0＜x1x2＜B . ＜x1x2＜1C . 1＜x1x2＜eD . x1x2＞e12. （2分） (2016高一上·广东期中) 函数y=ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为（）A . {1，9}B . {0，1，9}C . {0}D . {0，2，4}二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·江苏月考) 已知，则这样的集合有________个．14. （1分） (2017高二下·芮城期末) 函数的单调递增区间是________．15. （1分）已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是________16. （1分） (2017高二下·乾安期末) 以下4个命题中，正确命题的序号为________．①“两个分类变量的独立性检验”是指利用随机变量来确定是否能以给定的把握认为“两个分类变量有关系”的统计方法；②将参数方程（是参数，）化为普通方程，即为；③极坐标系中，与的距离是；④推理：“因为所有边长相等的凸多边形都是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形”，推理错误在于“大前提”错误.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2015高一下·仁怀开学考) 设集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或x≥3}，分别求满足下列条件的实数m的取值范围．（1）A∩B=∅；（2）A∪B=B．18. （10分） (2019高一上·吐鲁番月考) 计算下列各式的值（1）；（2）19. （10分） (2016高一上·吉林期中) 已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁RB）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．20. （10分） (2016高二上·宁阳期中) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k的值及f（x）的表达式．（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．21. （15分）设函数y=f（x）定义在R上，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意m，n，有f（m+n）=f（m）•f （n），当m≠n时，f（m）≠f（n）；（1）证明：f（0）=1；（2）证明：f（x）在R上是增函数；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（ax+by+c）=1，a，b，c∈R，a≠0}，若A∩B=∅，求a，b，c满足的条件．22. （5分） (2019高一上·河南期中) 已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a ， b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0恒成立，求k的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。
河南省焦作市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
焦作市普通高中2019—2020学年（下）高一年级期中考试数学一、选择题1.sin315︒的值是（ ）A. 2-B. 12-C.2D.【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式将角度转换成锐角再计算即可【详解】()()sin 315sin 36045sin 45sin 452︒=︒-︒=-︒=-︒=-. 故选：A【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用.属于基础题.2.已知集合{}2,xA y y x ==∈R ，{2B x x =<-或}3x >，则()A B ⋃=R ð（ ）A. ()2,0-B. []2,0-C. (),3-∞D. (],3-∞【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，再根据并集和补集的定义求解即可．【详解】解：∵{}()2,0,xA y y x ==∈=+∞R ，{2B x x =<-或}3x >，∴()(),20,A B =-∞-+∞U U ， ∴()[]2,0A B ⋃=-R ð， 故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的并集和补集运算，考查指数函数的值域，属于基础题． 3.已知扇形的圆心角为4π,面积为2π,则该扇形的弧长为（ ） .A. 12πB. 6πC. πD.2π 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形的半径为R ,再根据扇形的面积公式以及弧长公式求解即可. 【详解】设扇形半径为R ,则21224S R ππ=⨯⨯=,所以4R =,所以弧长4=4l ππ=⨯. 故选：C【点睛】本题考查任意角的弧度制以及扇形弧长和面积公式.属于基础题. 4.已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限横纵坐标的正负值判断得sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩再判断角β的象限即可.【详解】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C【点睛】本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题.5.已知O 是ABC V 所在平面内一点，P 为线段AB 的中点，且30OA BO OC -+=u u u r u u u ru u u r，那么（ ）A. 2=3CO OP u u u r u u u rB. 1=3CO OP u u u r u u u rC. 3=2CO OP u u u r u u u rD. 1=2CO OP u u u r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】所给等式可整理为3OA OB CO +=u u u r u u u r u u u r ，再由P 为AB 的中点得2OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，推出32CO OP =u u u r u u u r ，得解.【详解】因为30OA BO OC -+=u u u r u u u r u u u r r ，所以3OA OB CO +=u u u r u u u r u u u r，的因为P 为AB 的中点，所以2OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，则32CO OP =⇒u u u r u u u r23CO OP =u u u r u u u r .故选: A【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题. 6.已知函数()f x 满足()()0f x f x π--=,且在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则()f x 的解析式可能是（ ） A. ()sin f x x = B. ()sin 2f x x =C. ()cos f x x =D. ()cos2f x x =【答案】D 【解析】 【分析】 根据()()f x fx π=-可得直线2x π=是()f x 图象的对称轴,再根据()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减对各选项进行排除即可. 【详解】由题意()()f x fx π=-,所以直线2x π=是()f x 图象的对称轴,可以排除选项B ,C.又因为()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,排除A . 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质判定,属于基础题.7.边长为6的等边ABC V 中,D 是线段BC 上的点,4BD =,则·=AB AD u u u r u u u r（ ） A. 12 B. 24C. 30D. 48【答案】B 【解析】 【分析】利用基底向量的方法,将AD u u u r 用,AB BC u u ur u u u r 表达,再根据数量积的运算公式求解即可.【详解】因为6AB = ,4BD =,所以23BD BC =u u u r u u u r,所以23AD AB BC =+u u u r u u u r u u u r ,所以222221666243332AB AD AB AB BC AB AB BC ⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .【点睛】本题考查向量线性运算以及数量积.属于基础题.8.若函数()()22cos sin 22sin cos f x x x x x x =⋅-∈R ，则()f x 是（ ）A. 最小正周期为π的偶函数B. 最小正周期为π的奇函数C. 最小正周期为2π的偶函数D. 最小正周期为2π的奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数()22cos sin 22sin cos f x x x x x =⋅-化为1sin 42x ，利用三角函数的周期公式求出最小正周期．【详解】解：()22cos sin 22sin cos f x x x x x =⋅-22cos sin 2sin 2x x x =⋅-()22cos 1sin 2x x =-sin 2cos2x x = 1sin 42x = 所以最小正周期为242T ππ==且为奇函数， 故选：D ．【点睛】本题考查二倍角公式、三角函数周期性的求法，求最小周期公式2T πω=是解题关键，属于基础题．9.已知非零向量,a b r r ，满足=r a b ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）A. 6πB.4πC.34π D.56π 【答案】B 【解析】根据向量垂直的公式与数量积公式求解即可.【详解】设a r 与b r 的夹角为θ,因为()a b b -⊥r r r ,所以2()0a b b a b b -⋅=⇒⋅=r r r r r r ,即2cos a b b θ⋅=r r r .又=r a b ,2cos cos 2b b θθ⋅=⇒=r r .故4πθ=. 故选：B【点睛】本题主要考查了垂直的数量积表示以及数量积的公式等.属于基础题.10.如图为一直径为6m 的水轮,水轮圆心O 距水面2m ,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P 到水面的距离y （m ）与时间x （s ）满足关系sin()2,0,0,0y A x A y ωϕω=++>><是表示P 表示在水面下,则有（ ）A. ,315A πω== B. 2,315A πω== C. ,615A πω==D. 2,615A πω== 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得出A 的值,以及该函数的最小正周期,利用周期公式可求得ω的值,进而得出结论. 【详解】由题意可知A 为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为()60302T s ==,所以215T ππω==. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数解析式中参数的计算,考查计算能力,属于基础题. 11.设函数()9sin 20,48f x x x π⎛π⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭,若函数()()y f x a a R =-∈恰有三个零点1x ,2x ,3x （123x x x <<）,则()1232x x x a ++⋅的取值范围是（ ）A. 3,42π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 3,42π⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 30,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】画出()9sin 20,48f x x x π⎛π⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像,再根据函数的对称轴可求得1223,x x x x ++的值,再根据函数()()y f x a a R =-∈恰有三个零点得出12a ≤<,进而求得()1232x x x a ++⋅的范围即可. 【详解】函数()9sin 20,48f x x x π⎛π⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭,其图象如下图所示,由此可知12284x x ππ=⨯+= ,2355284x x ππ+=⨯=1a ≤<. 所以()()1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=,所以()12332,42x x x a π⎡⎫++⋅∈⎪⎢⎪⎣⎭.故选：B【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,包括对称性的运用以及数形结合根据函数零点的个数求解参数范围的问题.属于中档题.12.已知ABC V 内接于圆O ，且线段AB 的延长线与线段OC 的延长线相交.设OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范为是（ ）A. ()1,1-B. ()1,0-C. ()0,1D. 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设线段AB 的延长线与线段OC 的延长线的交点为D ，因为A ，B ，D 共线，所以()1OD mOA m OB =+-u u u r u u u r u u u r，然后设()1OD nOC n =>u u u r u u u r ，从而可得1m m OC OA OB n n -=+u u u r u u u r u u u r ，然后得出()10,1nλμ+=∈即可. 【详解】设线段AB 的延长线与线段OC 的延长线的交点为D .因为A ，B ，D 共线，所以()1OD mOA m OB =+-u u u r u u u r u u u r.因为点D 在线段OC 的延长线上，所以()1OD nOC n =>u u u r u u u r .所以()1nOC mOA m OB =+-u u u r u u u r u u u r ，所以1m m OC OA OB n n-=+u u u r u u u r u u u r， 对比条件可得mn λ=，1m n μ-=，()10,1nλμ+=∈. 故选：C【点睛】,,A B C 三点共线，若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则1λμ+=.二、填空题13.已知a m =r ，e r 为单位向量，a r 与e r 的夹角为34π，且a e ⋅=-r r ，则m =______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义直接算出即可.【详解】由题意得1e =r ，3cos 42a e m m π⋅==-=-r r 6m =.故答案为：6【点睛】本题考查平面向量的数量积，较简单.14.已知直线l ：230ax y a --+=与圆C ：()()22124x y -+-=相交于P ，Q 两点，则PQ 的最小值为______.【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线所过定点M 的坐标，当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小，再根据弦长公式计算可得； 【详解】解：因为230ax y a --+=，所以()()230x a y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩，故直线恒过定点()2,3M ，又因为()()22213224-+-=<，故点()2,3M 在圆内，当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小，因为MC ==所以minPQ ===故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式、两点间的距离公式的应用，关键是掌握直线与圆的位置关系以及应用，属于中档题．15.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且OC =u u u r则OC u u u r的坐标为______. 【答案】()1,2 【解析】 【分析】设(),C x y ，由OC =u u u v 225x y +=，由点C 在AOB ∠的平分线上可得AOC BOC ∠=∠，然后可得OC OA OC OB OC OA OC OB⋅⋅=⋅⋅u u u u vu u u v u u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，从而得到2y x =，然后解出即可. 【详解】设(),(0,0)C x y x y >>，由OC =u u u v225x y +=①因为点C 在AOB ∠的平分线上，所以AOC BOC ∠=∠所以OC OA OC OBOC OA OC OB ⋅⋅=⋅⋅u u u u vu u u v u u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以345x y x -+=，即2y x =② 联立方程①②可解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩（舍）故OC u u u r的坐标为()1,2 故答案为：()1,2【点睛】本题考查的是平面向量数量积的应用，属于基础题.16.已知函数()()3sin 4cos cos f x x x x =-在0x x =处取得最小值，则0sin 2x =______. 【答案】3-5【解析】 【分析】首先分cos 0x ≥和cos 0x <两种情况讨论，得出当函数()f x 取得最小值时，022x k ϕπ+=，然后即可得出答案.【详解】当cos 0x ≥时，()()2353sin cos 4cos sin 22cos 22cos 2222f x x x x x x x ϕ=-=--=-+-， 其中4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=.所以()min 59222f x =--=-.当cos 0x <时，()()2353sin cos 4cos sin 22cos 22cos 2222f x x x x x x x ϕ=-+=-++=++， 其中4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=.所以()min 5192222f x =-+=->-，所以当函数()f x 取得最小值时，022x k ϕπ+=，k Z ∈，所以022,x k k Z πϕ=-∈， 所以()03sin 2sin 2sin 5x k πϕϕ=-=-=-. 【点睛】本题考查三角函数的性质以及倍角公式，解决本类问题时首先要将三角函数化成基本型.三、解答题17.已知向量()3,2a =-r ，()1,b m =r ，且b a -r r与()2,1c =r 共线.（1）求m 的值；（2）若a b λ-r r 与2a b -r r垂直，求实数λ的值. 【答案】（1）4m =，（2）3λ=-. 【解析】 分析】（1）()4,2b a m -=-r r ，然后利用b a -r r 与c r共线求出答案即可（2）利用数量积的相关知识直接计算即可.【详解】（1）()4,2b a m -=-r r因为b a -r r与c r共线，所以()41220m ⨯--=，解得4m =.（2）由（1）知()1,4b =r，所以31245a b a b ==⋅=-⨯+⨯=u u r r r r 由a b λ-r r与2a b -r r 垂直，得()()()2222120a b a b a a b b λλλ-⋅-=-+⋅+=r r r r r r r r ，所以()26512170λλ-++=， 解得3λ=-.【点睛】本题考查共线向量、向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题. 18.已知sin 3cos 3θθ+=，且()0,θπ∈. （1）求sin θ，cos θ的值； （2）求2011sin cos sin 362πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）3sin 5θ=，4cos 5θ=，（2）75-. 【解析】 【分析】（1）联立方程sin 3cos 3θθ+=和22sin cos 1θθ+=求解即可.（2）首先利用三角函数的诱导公式化简，然后再利用其和差公式求解即可. 【详解】（1）由条件可得sin 33cos θθ=-，【又因为22sin cos 1θθ+=，联立得25cos 9cos 40θθ-+=. 解得4cos 5θ=或cos 1θ=， 又因为()0θπ∈，， 所以4cos 5θ=. 又因为sin 3cos 3θθ+=，所以3sin 5θ=. （2）由（1）知20112sin cos sin sin 6cos 2cos 36236πππππθθθπθπθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+=-+-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin cos cos 3636πππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---++-=-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭117sin cos cos sin cos sin cos 22225θθθθθθθ=--+--=--=-. 【点睛】本题考查的是同角三角函数的基本关系以及利用诱导公式和和差公式求值，属于基础题. 19.已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数()()sin 0,0,22g x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的图象. （1）求ω和ϕ的值；（2）求函数()g x 在区间[]0,π上的单调递减区间.【答案】（1）2ω=，6πϕ=-（2）5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先将()f x 化简转化为：()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.根据三角函数的图象的伸缩变换得到()=2sin 26g x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到ω，ϕ.（2）根据正弦函数的单调性，令()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，化简求解，然后与[]0,π取交集.【详解】（1）因为()12sin cos 2cos 22⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭f x x x x ，cos x x =-，2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 将函数()f x 得图象得横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象， 则()=2sin 26g x x π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以2ω=，6πϕ=-. （2）由()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 得()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 又因为()[]55,0,,3636k k k Z πππππππ⎡⎤⎡⎤++∈⋂=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()g x 在区间[]0,π上的单调递减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数得图象与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图所示在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，AC 与BD 交于点O ，点Q 在棱PC 上.（1）证明：平面BDQ ⊥平面PAC ；（2）若//PA 平面BDQ ，求三棱锥P BDQ-体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】【分析】 （1）根据PA ⊥平面ABCD ，得到PA BD ⊥，易得AC BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面PAC ，然后利用面面垂直的判定定理证明.（2）连接OQ ，根据//PA 平面BDQ ，由线面平行的性质定理得到//PA OQ ，则OQ ⊥平面ABCD ，OQ 即为三棱锥Q -BCD 的高，再利用----=--P BDQ P ABCD P ABD Q BCD V V V V 求解.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥.又因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC .因为BD ⊂平面BDQ ，所以平面BDQ ⊥平面PAC .（2）如图，连接OQ ，则OQ 是平面BDQ 与平面PAC 的交线.的因为//PA 平面BDQ ，所以//PA OQ ，所以OQ ⊥平面ABCD .又O 是AC 的中点， 所以12OQ PA =. 所以11824333P ABCD ABCD V PA S -=⨯⨯=⨯⨯=， 11422333P ABD ABD V PA S -∆=⨯⨯=⨯⨯=， 11212333Q BCD BCD V OQ S -=⨯⨯=⨯⨯=V ， 所以84223333P BDQ V -=--=. 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间几何体的体积计算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.如图所示，在ABC V 中，点D 为AB 边的中点，点E 为BC 上靠近点B 的三等分点，线段AE 与CD 交于点P .（1）设+AP mAB nAC =u u u r u u u r u u u r，求m n -的值；（2）若3AB =，2AC =，2=3BAC π∠，求CP u u u r . 【答案】（1）15（2）5【解析】【分析】（1）过点D 作//DF BC ，交AE 于点F ，根据DF 是ABE △的中位线，得到1,2AF FE DF BE ==，再由2CE BE =，由比例性质得到14FP EP =，从而得到::5:1:4AF FP PF =，然后再利用平面向量的基本定理求解.（2）根据（1）得到14DP PC =，从而()4424==+=5555CP CD CA AD AB AC -u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，然后利用向量的数量积运算求解.【详解】（1）如图所示：过点D 作//DF BC ，交AE 于点F ，则DF 是ABE △的中位线，所以1,2AF FE DF BE ==. 又因为2CE BE =， 所以14DF CE =，所以14FP EP =， 所以::5:1:4AF FP PF =.所以()3355AP AE AB BE ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ()31315555AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2155AB AC =+u u u r u u u r 所以21=55m n =，， 所以1=5m n -. （2）由（1）可知，14DP PC =， 所以()444224==++=555555CP CD CA AD CA AB AB AC =-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 所以22222441616==+55252525CP AB AC AB AB AC AC --⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 416116148=932+4=252522525⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭.所以=5CP u u u r . 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，关于x 的不等式()22g x a a ≤-在[]0,3x ∈上有解，求a 的取值范围.【答案】（1）()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）-11++22⎛⎡⎫∞-⋃∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭， 【解析】【分析】（1）易知：()f x 的最大值为1，最小值为-1. =求得T ，进而得到ω，然后由()f x 的图象经过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得ϕ，得到函数()f x 的解析式.（2）利用三角函数图象的平移变换得到()sin 36g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求得其值域，然后根据关于x 的不等式()22g x a a ≤-在[]0,3x ∈上有解，则由()2min 2a a g x -≥求解.【详解】（1）依题意得()f x 的最大值为1，最小值为-1.设()f x 的最小正周期为T = 解得6T =. 又2T πω=，所以3πω=.所以()sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为()f x 的图象经过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以()10sin 2f ϕ==-， 又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以函数()f x 的解析式为()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为将函数()f x 的图象向左平移1个单位后得到函数()g x 的图象，所以()()sin 1sin 3636g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 当[0,3]x ∈时，7,3666x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,1362x ππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 因为关于 x 的不等式()22g x a a ≤-在[]0,3x ∈上有解， 所以2122a a -≥-，解得12a ≤-或12a ≥+. 综上可得a的取值范围是-1+⎛⎡⎫∞⋃∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭，. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题..。
河南省焦作市博爱县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)
焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试数 学考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数过定点M ，点M 在直线上且，则的最小值为（ ）A. B. C. D.2.设，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D.3.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知点，若P ，Q 的余弦距离为（ ）A. B.C. D.4.若复数且，则满足的个数为（ ）A.0B.2C.1D.45.已知在中，.若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）A. B.6.已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（ ）B.C.D.3()1x f x a -=1mx ny +=,0m n >12m n+3+4+34128a =3log 2b =2log 3c =a b c a b c<<b a c<<b c a<<c a b<<()()1122,,,,A x y B x y O cos(,)A B =cos ,OA OB 〈〉1cos(,)A B -(sin ,cos ),(1,0)P Q ααcos 2=α15-1535-35()i ,z x y x y =+∈R 5i z -+=21x y --=z ABC V cos cos sin a B b A c C +=BAC ∠ABC ∠I ABC V 1ABI △1+11-1P 22:143x y C +=1212,,F F F PF ∠x M 1F PM ,H O 12OH =12F PF 327.假设甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球,则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）A.37150B.975C.1837D.128.已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前9项和为（ ）A.0B. C.D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ）A.当时，的最小值为B.若的图象关于直线对称，则C.“”是“为等边三角形”的充要条件D.“”是“为等边三角形”的必要不充分条件10.已知函数，下列结论正确的是（ ）A.的最小正周期为B.若直线是图象的对称轴，则C.在上的值域为D.若，且，则11.如图，正方体的棱长为4，点E 、F 、G 分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）{}n b *211,n n n n b b b b n +++-=-∈N 5π2b =()2cos sin cos 2xg x x x =+()n n a gb ={}n a 92-12921x 2x L n x {}12max ,,,n x x x {}12min ,,,n x x x (){}min ,f x x x t =+max ,,min ,,a b c a b c k b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭a b c ABC V A B C a b c ≤≤1t =-()f x 12()f x 12x =-1t =1k =ABC V 1k =ABC V ()sin 2cos f x x x =+()f x 2π0x x =()f x 0sin x =()f x []0,π⎡-⎣(],,0,2παβαβ≠∈()()2f f αβ==-()3cos 5αβ+=1111ABCD A B C D -11D A 11D C 1A A 11111114D E D F D A D C ==11(0)A GA Aλλ=>EFG 11A B CD lA.存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形B.当时，三棱锥体积为C.当时，三棱锥的外接球表面积为D.当时，直线与平面所成的角的正弦值为三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则 .13.已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l 的倾斜角，则的所有可能取值区间为 .14.已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数 f (x )=a ⋅3x +13x−1是定义域为 R 的偶函数.（1）求 a 的值；（2）若 g (x )=9x +9−x +mf (x )+m 2−1，求函数g (x ) 的最小值.16.（15分）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.(0,1)λ∈EFG 34λ=B EFG -3234λ=1A EFG -34π12λ=l ABCD 141312m n A =log 0m n <()P A =()21tan 32f x x x θ=++2πθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦θθ43()()ln f x a x x x x =--()0f x <a 1000(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.17.（15分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.(1)求A 取值的范围；(2)若，求周长的最大值；(3)若，求的面积.a 1000(]14,16(]16,18553(]14,16X X 8()8P k 8k (]8,10()8P k k ABC V ()()sin sin sin sin C A B B C A -=-2a =ABC V 2,2b A B ==ABC V18.（17分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.(1)求证：；(2)若底面，且，直线与平面所成角为.（i ）确定点的位置，并说明理由；（ii ）求线段的长.19.（17分）已知数列的前n 项和.若，且数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求证：数列的前n 项和；(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试数学 参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个AMDE B C AM MD P ABCDE -F PE ABF PD PC G H AB FG ∥PA ⊥ABCDE PA AE =BC ABF π6F PH {}n a ()()113n n S a n *=-∈N 1423log n n b a +={}n c n n n c a b =⋅{}n b {}n c 23n T <()2114n c t t ≤+-n *∈N t选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】BD 10.【答案】ACD 11.【答案】BD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】，14.【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）由偶函数定义知 f (−x )=f (x ) ，即 a ⋅3−x +13−x−1=a ⋅3−x +3⋅3x=a ⋅3x +3⋅3−x ，所以 (a−3)(3x −3−x )=0，对 ∀x ∈R 成立，所以a =3.（2）由题意知 g (x )=9x +9−x +mf (x )+m 2−1=32x +3−2x +m (3⋅3x+13x−1)+m 2−1，令 u =3x +3−x ,u⩾2，所以 u 2=(3x +3−x )2=32x +3−2x +2，所以 32x +3−2x =u 2−2，所以 y =g (x )=u 2−2+3mu +m 2−1=u 2+3mu +m 2−3,u⩾2.当 −3m 2⩽2 ，即 m⩾−43时，y =u 2+3mu +m 2−3 在 [2,+∞) 上单调递增，所以 y min =22+3m ×2+m 2−3=m 2+6m +1 ，即 g (x )min =m 2+6m +1；15283ππ,π[46⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭π2ln 3ln 2[,184当 −3m 2>2 ，即 m <−43时，y =u 2+3mu +m 2−3 在 (2,−3m 2) 上单调递减，在(−3m 2,+∞) 上单调递增，所以 g (x )min =−54m 2−3 .综上， g (x )min ={−54m 2−3,m <−43,m 2+6m +1,m⩾−43.16.（15分）（1）由已知，解得，所以平均数为.（2）这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生分别有人，和人；所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，所以随机变量的可能取值有，，所以，，则分布列为期望；（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，则，若为最大值，则，即，即，解得，又，且，则.17.（15分）【答案】(1)；(2)6；(3).()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=0.1a =10.0430.0650.170.190.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.2130.1150.081706290.1.+++⨯=⨯+⨯⨯1000(]14,16(]16,1810000.0880⨯=10000.0220⨯=5(]14,1680548020⨯=+(]16,18541-=X 23()2435C 32C 5P X ===()3435C 23C 5P X ===()321223555E X =⨯+⨯=(]8,1030.1520.310⨯==()888883337C 1C 10101010kkkkk k P k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()8P k ()()()()888811P k P k P k P k ⎧≥+⎪⎨≥-⎪⎩8171888191883737C C 101010103737C C 10101010k k k kk k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩1713810110131710910k k k k ⎧⋅≥⋅⎪⎪-+⎨⎪⋅≥⋅⎪-⎩ 1.7 2.7k ≤≤N k ∈08k ≤≤2k =π(0,]3A ∈218.（1）在正方形中，，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，则；（2）（i ）当为中点时，有直线与平面所成角为，证明如下：由平面，可得建立空间直角坐标系，如图所示：则，又为中点，则，设平面的一个法向量为n =(x,y,z )，则有，即，令，则，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.（ii ）设点的坐标为，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为是平面的法向量，所以，即，解得，故，则，所以.19.（17分）（1）证明：由题意知，当时，，所以.当时，，所以，AMDE //AB DE AB ⊄,PDE DE ⊂PDE //AB PDE AB ⊂ABFG ABFG ⋂PDE FG =AB FG ∥F PE BC ABF π6PA ⊥ABCDE ,,PA AB PA AE ⊥⊥A xyz -()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P F PE ()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF ===ABF 00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y z =⎧⎨+=⎩1z =1y =-ABF ()0,1,1n =-BC ABF α||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>==F PE BC ABF π6H (),,u v w H PC ()01PH PC λλ=<<()(),,22,1,2u v w λ-=-2,,22u v w λλλ===-()0,1,1n =-ABFGH 0n AH ⋅=()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=23λ=422,,333H ⎛⎫⎪⎝⎭424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2PH ==1133n n S a =-2n ≥111133n n n n n a S S a a --=-=-114n n a a -=1n =1111133S a a =-=114a =所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.因为，所以，所以，令，可得，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）证明：由（1）知，所以，所以，两式相减，可得，所以，所以.（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于.因为，所以，所以数列的最大项为和，且.所以，即，解得或，即实数的取值范围是.{}n a 1414()14nn a n *⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N 1423log n n b a +=114413log 23log 2324nn n b a n ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭11b =()11n b b n d =+-3d ={}n b ()1324nn n n c a b n ⎛⎫=⋅=⨯- ⎪⎝⎭()()211211111435324444n nn n T c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2311111114353244444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231311111133332444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()21111114411113233214424414n n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-⨯-=-- ⎪⎝⎭-2321334nn n T +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭23n T <()2114n c t t ≤+-n *∈N n c ()2114t t +-()()111119931320444n nn n n nc c n n +++-⎛⎫⎛⎫-=+⨯--⨯=≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1234c c c c =>>> {}n c 1c 2c 1214c c ==()211144t t ≤+-220t t +-≥1t ≥2t ≤-t (][),21,-∞-+∞。