全等三角形及其性质
三角形全等的性质
三角形全等的性质
三角形全等是几何学中最基本的性质之一，它
指的是任意三角形中三边相等，且三顶点不共线。
基于它，我们可以在任何三角形中推断出其它特
定性质。
三角形全等的解释是：在直角坐标系中存在三
条不同封闭路径，它们的距离都相等，如同边的
长度一样，称为三角形全等。
如果满足所有三条
路径都相等，则三角形也称为全等三角形。
又称
三角形等边，是一种特殊类型的三角形，它是等
边三角形的一种。
通常，三角形全等的情况是由等边三角形和等
腰三角形共同构成的。
等边三角形的三条边的长
度相等，而等腰三角形的两个相邻边的长度相等，并且与对角线的长度不相等。
三角形全等也是常用的几何图形中最重要的性
质之一，几何图形中存在着许多与三角形全等有
关的重要定理，比如勾股定理。
简言之，三角形
全等的特性是极其重要的，而几何性质有助于增
强我们对数学方面的理解能力。
因此，在基础教育中，我们更应该重视三角形
全等，以增强对几何学思想的理解。
只有当学生
掌握了围绕三角形全等的这些基础知识之后，才
能进一步深入地学习三角形的各种类别及其特性，探究各种三角形间的关系，从而更好地理解数学
概念。
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
三角形全等的判定+性质+辅助线技巧
三角形全等的判定+性质+辅助线技巧都在这里了，请收好！在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。
有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。
王老师这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
三、找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。
有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。
王老师这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
全等三角形的判定与性质
全等三角形的判定与性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅是解决几何问题的基础，也是培养我们逻辑思维和空间想象能力的重要工具。
今天，咱们就来好好聊聊全等三角形的判定与性质。
首先，咱们得明白啥是全等三角形。
简单来说，两个三角形的形状和大小完全相同，就叫做全等三角形。
全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
这就好比两个一模一样的积木块，它们的边的长度和角的大小都是完全一样的。
那怎么判定两个三角形全等呢？这就有好几种方法啦。
第一种方法是“边边边”（SSS）。
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形就全等。
比如说，有两个三角形，一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，另一个三角形的三条边也分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，那这两个三角形就是全等的。
第二种方法是“边角边”（SAS）。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形也全等。
打个比方，一个三角形的两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，它们的夹角是 60 度；另一个三角形也有两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，夹角同样是 60 度，那这两个三角形就全等。
第三种方法是“角边角”（ASA）。
当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
比如，一个三角形的两个角分别是 45 度和 60 度，它们的夹边是 7 厘米；另一个三角形的两个角也是 45 度和 60 度，夹边也是 7 厘米，那么这两个三角形就全等。
还有一种方法是“角角边”（AAS）。
如果两个三角形的两个角分别对应相等，其中一条对应角的对边也相等，那么这两个三角形全等。
举个例子，一个三角形有两个角分别是 30 度和 50 度，30 度角所对的边是 9 厘米；另一个三角形也有两个角是 30 度和 50 度，30 度角所对的边也是 9 厘米，这两个三角形就全等。
最后一种特殊的判定方法是“斜边、直角边”（HL）。
这个只适用于直角三角形，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
三角形全等证明的解题思路
三角形全等证明的解题思路关键信息项1、三角形全等的定义及性质定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2、三角形全等的判定方法SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
RHS（直角、斜边、边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等的两个三角形全等。
3、常见的辅助线添加方法连接两点构造全等三角形。
作平行线构造全等三角形。
延长某边构造全等三角形。
作垂线构造全等三角形。
11 三角形全等的定义和性质的深入理解三角形全等是指两个三角形的形状和大小完全相同，这意味着它们的所有对应边长度相等，所有对应角的度数相等。
这是判断两个三角形是否全等的根本依据，也是在证明过程中需要最终证明的结论。
111 对应边和对应角的准确识别在给定的两个三角形中，正确找出对应边和对应角是至关重要的。
通常可以通过图形的位置关系、已知条件中的描述或者通过已经证明的相等关系来确定。
112 性质在解题中的应用一旦证明了两个三角形全等，就可以利用其对应边相等和对应角相等的性质来解决相关的问题，如求边长、角度大小、证明线段或角的相等关系等。
12 三角形全等的判定方法详解121 SSS（边边边）判定法当两个三角形的三条边分别对应相等时，可以判定这两个三角形全等。
在实际解题中，需要准确测量或通过已知条件推导出三边的长度，并进行比较。
122 SAS（边角边）判定法如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
这里的夹角必须是两条已知相等边的夹角。
123 ASA（角边角）判定法两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
需要注意的是，这里的夹边是两角之间的边。
124 AAS（角角边）判定法两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。
中考数学专题复习 第4章 三角形 第13讲(全等)三角形及其性质
第13讲（全等）三角形及其性质☞【基础知识归纳】☜☞归纳1. 三角形中的三条主要线段⑴三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做角平分线⑵在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做中线⑶从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（简称高）☞归纳2.三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．☞归纳3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．☞归纳4.三角形的内角和定理及推论⑴三角形内角和：三角形三内角之和等于 180°．⑵三角形外角的性质：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和．☞归纳5.三角形的分类①按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形②按角分：三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 .☞归纳6.全等三角形⑴能够完全重合的两个图形就是全等图形；能够完全重合的两个三角形就是全等三角形⑵全等三角形的对应边相等，对应角相等．⑶全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线)相等⑷全等三角形的周长相等，面积相等☞归纳7.三角形全等的判定定理：①边边边定理：（可简写成 SSS ）②边角边定理：（可简写成 SAS ）③角边角定理：（可简写成 ASA ）④角角边定理：（可简写成 AAS ）⑤直角三角形全等的判定：（斜边、直角边定理）（可简写成 HL ）☞【常考题型剖析】☜☺题型一、三角形的边和角【例1】（2016岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A. 2cm，3cm，5cmB. 7cm，4cm，2cmC. 3cm，4cm，8cmD. 3cm，3cm，4cm【答案】D【分析】选项A，因为2+3=5，所以不能构成三角形，错误；选项B，因为2+4＜6，所以不能构成三角形，错误；选项C，因为3+4＜8，所以不能构成三角形，错误；选项D，因为3+3＞4，所以能构成三角形，正确．【例2】(2015滨州) 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3: 4: 5，则∠C等于（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°【答案】C【分析】三角形的内角和是180°，因为∠A:∠B:∠C=3: 4: 5，所以∠C=180°512= 75°【举一反三】1. ( 2016河池) 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A. 5，5，10B. 4，5，6C. 4，4，4D. 3，4，5 【答案】A【分析】选项A，因为5+5=10，所以不能构成三角形，错误；选项B，因为4+5>6，所以能构成三角形，正确；选项C，因为4+4>4，所以能构成三角形，正确；选项D，因为3+4＞5，所以能构成三角形，正确．2. ( 2016邵阳) 如图，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A. AC＞BCB. AC=BCC. ∠A＞∠ABCD. ∠A=∠ABC 【答案】A【分析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．3. (2015柳州) 如图，图中∠1的大小等于（）A. 40° B . 50° C . 60° D . 70° 【答案】D【分析】三角形的一个外角 等于 与它不相邻的两内角之和．所以∠1=130°-60°=70°4. (2016盐城) 若a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足40a -=， 则c 的值可以为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】A【分析】∵40a -=，∴a ﹣4=0，a =4；b ﹣2=0，b =2；则4﹣2＜c ＜4+2，2＜c ＜6，只有A 选项5符合条件；5. (2016白银) 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程213400x x -+=的根， 则该三角形的周长为 ． 【答案】12【分析】解方程213400x x -+=的根分别是125,8x x ==，因为三角形的两边长分别是3和4，根据三角形三边关系：任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边．所以三角形的第三边为5，所以三角形的周长=3+4+5=126. (2015盐城) 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、DF ， 若△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长为 .【答案】20☺题型二、全等三角形的性质和判定【例3】(2016永州) 如图1，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）图1 图2A. ∠B=∠CB. AD=AEC. BD=CED. BE=CD【答案】D【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【例4】(2016成都) 如图2，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=．【答案】120°【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°，【举一反三】7. (2016新疆) 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF ，AB=DE ，添加下列一个条件后， 仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A. ∠A=∠DB. BC=EFC. ∠ACB=∠FD. AC=DF 【答案】D【分析】解：∵∠B=∠DEF ，AB=DEA 、如果添加∠A=∠D ，利用ASA 即可证明△ABC ≌△DEF ；B 、如果添加BC=EF ，利用SAS 即可证明△ABC ≌△DEF ； C 、如果添加∠ACB=∠F ，利用AAS 即可证明△ABC ≌△DEF ；D 、如添AC=DF ，因为SSA ，不能证明△ABC ≌△DEF ，所以此选项不能作为添加的条件．8. (2016昆明) 如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC∥AB 求证：AE=CE ．【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF ，∠ADE=∠CFE ，再根据全等三角形的判定定理AAS, 得出△ADE ≌△CFE ，证明：∵FC ∥AB ，∴∠A=∠ECF ，∠ADE=∠CFE ， 在△ADE 和△CFE 中，DAE FCE ADE CFE DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CFE （AAS ）， ∴AE=CE ．9. (2016重庆) 如图，在△ABC 和△CED 中，AB∥CD，AB=CE ，AC=CD ．求证：∠B=∠E．【分析】根据两直线平行，内错角相等,可得∠BAC=∠ECD ，再利用“边角边”证明△ABC 和△CED 全等.证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BAC=∠ECD ， 在△ABC 和△CED 中，AB CE BAC ECD AC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△CED （SAS ）， ∴∠B=∠E ．☞【巩固提升自我】☜1.（2016湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm ，另一边长为5cm ，那么这个等腰三角形的周长是（ ）A. 13cmB. 14cmC. 13cm 或14cmD. 以上都不对 【答案】C2.（2016河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE 垂直平分AC 交AB于点E ，则DE 的长为（ ） A. 6B. 5C. 4D. 3图2 图3【答案】D3.（2016济宁）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于 点H ，请你添加一个适当的条件：____________________，使△AEH ≌△CEB ． 【答案】AH=CB 或EH=EB 或AE=CE4.（2015广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A. 10B. 14C. 10或14D. 8或10【答案】B5.（2015佛山）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD=（）A. 80°B. 75°C. 70°D. 65°【答案】B解：∵EF∥AC，∴∠EFB=∠C=60°，∵DF∥AB，∴∠DFC=∠B=45°，∴∠EFD=180°﹣60°﹣45°=75°6.（2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A. 17B. 15C. 13D. 13或17【答案】A解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．7.（2016武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．证明：因为BE＝CF所以BC＝EF，又因为AB＝DE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE。
全等三角形的性质
全等三角形的性质三角形是几何学中的基本图形之一，而全等三角形则是其中一个特殊的类型。
全等三角形是指具有相等边长和相等角度的两个三角形。
在几何学中，全等三角形有一些特殊的性质，对于解决几何问题和推导几何定理非常重要。
本文将探讨全等三角形的性质及其应用。
一、全等三角形的定义和判定方法全等三角形可以通过边边边、边角边、角边角三种判定方法来判断。
边边边（SSS）判定法要求两个三角形的对应边长相等；边角边（SAS）判定法要求两个三角形的一对对应边长相等，以及夹角也相等；角边角（ASA）判定法要求两个三角形的一对对应角度相等，以及两对对应边长相等。
如果满足以上判定方法之一，那么可以确定两个三角形是全等的。
二、全等三角形的性质1. 对应边和对应角的性质在全等三角形中，对应边和对应角具有相等的性质。
例如，若三角形ABC和三角形DEF是全等三角形，那么对应的边AB和DE、BC和EF、AC和DF对应相等。
同样，对于对应的角度∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F也相等。
2. 全等三角形的相等性质全等三角形不仅有对应边和对应角相等的性质，还有其他一些相等性质。
这些性质在求解几何问题时非常有用。
以下是常见的全等三角形性质：a. 全等三角形的周长相等：周长是三角形边长之和，如果两个三角形是全等的，则它们的周长也相等。
b. 全等三角形的面积相等：三角形的面积是通过底边和高的乘积计算得到的，如果两个三角形的高都相等且底边也相等，那么它们的面积也相等。
c. 全等三角形的高相等：如果两个全等三角形的某一边为底边，而另一边为高，那么它们的高相等。
d. 全等三角形的角平分线相等：在全等三角形中，对应角的平分线相等。
e. 全等三角形的中位线相等：在全等三角形中，对应边的中位线相等。
三、全等三角形的应用全等三角形在几何学中应用广泛，具有许多实际应用。
以下是几个典型的应用：1. 测量无法直接测量的距离：通过构建两个全等的三角形，并利用已知的边长和角度，可以测量无法直接测量的距离。
全等三角形及其性质
【要点分析】一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若A C AB ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.5、如图，已知△ABE ≌△ACD,AB=AC ，BE=CD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC=（ ）A 120°B 60°C 50°D 70°6、 △''OA B 是由△OAB 绕点O 逆时针旋转60°得到的，那么△''OA B 与△OAB 是什么关系？若∠AOB=40°，∠B=30°，则∠'A 与'AOB 是多少度？【巩固提升】1.如图，△ABN ≌△ACM ，∠B 和∠C 是对应角，AB 与AC 是对应边，写出其他对应边和对应角．EDCBA A 'B 'BAO2.如图：△ABF≌△DCE，写出相等的线段．3.如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．（1）写出相等的线段与角．（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度．4.如图，△ABC≌△DEF，BF=3，EF=2．求FC的长5.已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC= ．6.如图，△ABC≌△ADE中，BA⊥AE，∠BAC=30°，AD=5，求BD的长．7.如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长是40cm，AB=10cm，BC=16cm，求△DEF中，边DF的长度．8.如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高线，BE，CF相交于O，连接AO交BC 于D，且△BCF≌△CBE，∠ABC=70°，求∠1和∠2的度数．9.如图，已知△ABC≌△EFC，且CF=5，AC=12，∠EFC=50°，求∠E的度数和AB的长9.10.如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？11.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．12.已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P= 度，DE= cm．13.如图，A、E、F、C在一条直线上，△AED≌△CFB，你能得出哪些结论？（答出5个即可，不需证明）14.如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．15.如图△ABC≌△DBC，∠A=110°，则∠D= ．16..如图，△AOC≌△BOD，试证明AC∥BD．17.如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．18.如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，AB=8cm，BC=6cm，将△ABC沿射线DE的方向以2cm/秒的速度平移，在平移过程中，是否存在某个时刻t，使△AEF成为等腰三角形，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．一、选择题1. 如图，△ABC≌△ECD，AB和EC是对应边，C和D是对应顶点，则下列结论中错误的是（）A. AB＝CEB. ∠A＝∠EC. AC＝DED. ∠B＝∠D2. 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则AD的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上C——都不对3. 下列说法中正确的有（）①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP，△ABC≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. 如图,△ABE≌△ACD,∠B＝50°,∠AEC＝120°,则∠DAC的度数等于()A.120°B.70°C.60°D.50°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7. 如图，在△ABC中，AC＞BC＞AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，______＜______＜_______(填边).FE DCBA8. 如图，△ABC ≌△AED ，AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2＝___________.9. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A ＝46°，则∠D ＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14.已知：如图，△ABC ≌△DEF ，且B ，E ，C ，F 四点在一条直线上，∠A ＝85°,∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2. （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE.15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.（） （2分钟）一. 选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. 全等三角形是指形状相同的三角形B. 全等三角形是指面积相等的三角形C. 全等三角形的周长和面积都相等T ——回顾小结D. 所有的等边三角形都全等2. 如图所示，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）AB C D EF30°50°第2题A. 30°B. 50°C. 60°D. 100°3. （2006年黑龙江）如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°4. 已知△ABC ≌△A ´B ´C ´，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A ´C ´等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 85. 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ）12ABCD第5题A. ∠1＝∠2B. AC ＝CAC. ∠B ＝∠DD. AC ＝BC6. 如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在点C ´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ）ABCD C'第6题A. △ADCB. △BDC ´C. △ADC ´D. 不存在7. 下图中，全等的图形有（ ）第7题A BCD E 第3题A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组 8. △ABC 与△DFE 是全等三角形，A 与D 对应，B 与F 对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（ ）第8题A BCDE FA. 1组B. 2组C. 3组D. 4组二. 填空题9. 已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，则AC 的对应边是__________，∠ACB 的对应角是__________.10. 如图所示，把△ABC 沿直线BC 翻折180°到△DBC ，那么△ABC 和△DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC 的面积为2，那么△BDC 的面积为__________.A BCD第10题 11. 如图所示，△ABE ≌△ACD ，∠B ＝70°，∠AEB ＝75°，则∠CAE ＝__________°.ABC DE 第11题 12. 如图所示，△AOB ≌△COD ，∠AOB ＝∠COD ，∠A ＝∠C ，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________.AB CDO第12题13. 如图所示，△APB 与△CPD 全等.A B C D P 第13题（1）相等的边是：AB ＝CD ，__________，__________； （2）相等的角是：∠A ＝∠C ，__________，__________； （3）△APB 如何变换得到△CPD ？________________________________________. 14. 下图是由全等的图形组成的，其中AB ＝3cm ，CD ＝2AB ，则AF ＝__________.A BCD EF三. 解答题15. 如图所示，已知△ABD ≌△ACE ，∠B ＝∠C ，试指出这两个三角形的对应边和对应角.ABCDEO16. 如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么AB 与EF 平行吗？为什么？AB CD EF17. 如图所示，△ABC ≌△AEC ，B 和E 是对应顶点，∠B ＝30°，∠ACB ＝85°，求△AEC 各内角的度数.ABCE18. （实际应用题）如图所示，用同样粗细，同种材料的金属构制两个全等三角形，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC的质量为25克，EF的质量为30克，求金属丝AB的质量的取值范围.AB CDE F19. （探究题）如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B 和A在同一直线上？（原△ABC是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上？A BC B'C'20. （阅读与探究）如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.ABC DE（1）AB CD（2）AB CD E（3）AB C（4）DE F。
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2.5.1全等三角形及其性质学习目标：1. 记住全等图形和全等三角形的定义；2. 掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质自主学习3. 一个图形经过平移,轴反射,旋转后,位置变化了，但___________ 和 ______ 都没有改变,即平移,轴反射,旋转前后的图形能够完全___________ ，能够完全重合的两个图形叫做.4. 观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流如果两个图形全等，那么它们的 ______ 和5. __________________________________ 能够完全重合的两个三角形叫做记作：？ABC也？DEF读作：？ABC全等于？DEF全等三角形中，互相重合的顶点叫________ 相重合的角叫6. 全等三角形的性质：全等三角形的 ________ 相等，全等三角形的 _______ 相等：（注意：我们在表示两个三角形全等时，通常扌把表示对应顶点的字母写在对应.. 位置上）1.观察下列三组图案，指出这些图案中形状与大小完全相同的图形2.试着给这些形状大小完全相同的图形一个定义;互相重合的边叫 __________ ；互1. ____________________________________________ 若已知?ABC^?DEF则对应顶点是：点A对应点_________________________________ ，点B对应点 ______ ，点C对应点_____ .对应边：A吐______ ，CB= ____ ，AO ____ ;对应角：/ ABC=/ _____ ，/ Ad ___________ ，/ BAC=Z ___ .2.已知如图：△ ABE^A DCE试根据全等的表示方法写出对应顶点，对应相等的边，对应相等的角：请写出相等的边与相等的角:如A吐DC,拓展延伸1. 如图△ OAB是由△ OAB绕点O逆时针旋转60°得到的，那么△ OAB与厶OAB 是什么关系？写出对应边及对应角，若/ AOB=40 , / B=30°，则/ A'与/ AOB' 是多少度？名称顶点边角△ ABE A B E AB AE BE△DCE/当堂检测】已知：如图：△ ACE^A DBE AC=6, CE=3 DE=4 / A=20°/ AEC=120 .求：(1)找出它们的所有对应边和对应角;(2)求厶ACE的周长及/ D的度数.课后反思:I2.5.2三角形全等的判定学习目标:1•掌握“边角边”定理的推理过程；2•能运用“边角边”定理判定两个三角形全等自主学习1. 已知△ ABC是一个任意的三角形，在草稿纸画△ A'B'C'，使A'B'=AB,/ A =Z A,A C =AC然后把△ A'B'C'裁下来，将△ A'B'C放在△ ABC上，使相等的边重合起来，观察并回答下列问题：①通过比较、观察，可发现厶A'B'C'和A ABC有什么关系?②能否用一句话把这一事实表述出来? 分别 _________ ■勺两个三角形全等2. 边角边定理: 两边及其①（简写成：“边角边”，或②定理中边与角的关系是“ 如图在△ABC^n^ DEF中AB=DE ，/ A=Z D△ ABC^A ________ (SAS/基础演练根据以上探究过程，请你与小组成员一起交流，解决下列问题:1. 写出图中的全等三角形，并说明理由•2. 如图，这两个三角形全等吗？你能得出什么结论?3. 女口图在厶 ABC ffiA DBC 中,AB=DB, / 1=7 2, 求证：△ABC^A DBC/拓展延伸4. ___________________________________________________ 已知，如图，AD// BC,AD=BC 还需添加条件 _____________________ , 根据“边角边定理”可得△ ADF^A CBE.当堂检测1. 如图，AB// CD,AB=CD,求证：△ ABC^A CDA.2. 如图，BC=DE,AC=AE 7 C=7 E. AB 与AD 相等吗？请说明理由ACDBC2.5.3三角形全等的判定二学习目标：1. 记住“角边角”定理；2. 能熟练地运用“角边角”定理判定三角形全等.自主学习1. 如图，在△ABC ffiA A'B'C, / B=Z B, BC=EC, / C=Z C'.我们能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ ABC的像与△ A'BC _________则厶ABC^ ABC _________ .2. 由上我们可得“角边角”定理：两角及其____ 分别相等的两个三角形全等.①定理简写成“ _____ 或____________ \②定理中边与角的关系是“ _______________ :.3. 在厶ABO^P^NMO中，/ A=Z N, AO=NO,你能说明图中的两个三角形全等吗?基础演练1. 根据以上探究过程，请你与小组成员一起交流，解决下列问题：如图,已知△ ABC^A A'B'C' , CF, C ' F'分别是/ACB和/A'C'B'的角平分线求证：△ AFC^A A'F'C'CF与C 'F'相等吗？课后反思:2. 小强做了一个如图所示的风筝，其中量就能知道AC=CD马？为什么？CB分别平分/ ACD和/ABD小强不用测./拓展延伸1. 女口图，CD=CA,Z A=Z D ©△ ACM^ DCN马？②CN=C吗？2. 女口图，AB// DE, / A=Z D, AB=DE,请说明AC// DF匕/当堂检测1. 在厶ABC和厶NOP中，已知/ A=36°,Z B=44° , / P=100° , / N=36 ,且AB=NO 试说明△ ABC^A NOP.B2. △ABC ffiA EDC中，/ BCA M DCE, BC=DC①若加条件_____________ ，则可得厶ABC^A EDC(SAS②若加条件_____________ ，则可得厶ABC^A EDC(ASA课后反思：2.5.4三角形全等的判定三学习目标：1.“角角边”定理的推导过程；2. 能熟练地运用“角角边”定理判定三角形全等/课前小测1. 判定两个三角形全等我们学过了哪些方法？它们有几个条件？它们之间有什么限制？2. 如下图，试填空：/自主学习阅读教材81页-82页，并合作完成以下填空1•“角角边”定理: _______________________________________________ 的两个三角形全等.(简称_______ 或________ ).2.定理的理解：如下图DAECBC F()-() / A - / EAB - ED()-()•••△ ABC^A EDF(AAS•••△ ABC^A EDF(AAS基础演练1.如图，已知 BE// DF, / B =Z D, AE = CF,试证明：△ ADF^A CBE（提示：已知有一组角相等，并有线段相等，我们观察能否得到边相等；给出了 平行，我们能联想到角的关系•）2.已知：如图，/ BAD-/CAD / B =Z C,求证：（1）A ADB^A AD （2） AD£BC （提示：（1）有两组条件，缺少一个条件，并且一定是边的条件, 你能从图中有所发现吗？ （ 2）可证明/ AD A/AD （-900））A/拓展延伸1.已知：如图△ ABC ^A ABC ,AD , AD 分别是△ ABC ^P A ABC 的高.求证：AD =AD（分析：证线段的相等的方法之一，可以通过证明三角形全等来解决， 我们找到 AD 与 AD 所在的三角形看是否能证明全等）总结：全等三角形的 ________________________ 相等\ /C当堂检测已知：如图，AB// DE / A- / D, AC- DF,求证：BE= CF（分析：证BE- CF,必须证BC=EF可找到它们所在的三角形，证明三角形全等, 再找三角形中的边与角关系.）A ID课后反思:2.5.5三角形全等的判定四学习目标：1. 记住“边边边”定理；2. 能熟练地运用“边边边”定理判定三角形全等./课前小测判定两个三角形全等，我们目前学过的方法有 _______ , ______ 和 _____ ，根据 所学方法试着完成以下填空:•••△ ABC^AEDF( SAS /自主学习（阅读教材83页-84页，并合作完成以下填空）1. 边边边”定理： ______________________________________ （简称 _____ 或 _______ ）.2. 结合图形理解定理：如下图(1)、在厶 EDF中:() 二()/ =Z (2).在厶EDF 中： / Ad EFD ()二()/ ABC=Z EDF •••△ ABC^A(3.在厶 ABC 与△ EDF 中：/ Ad EFD / ABC=Z EDF ()二()•••△ ABC^A在厶ABC^ EDF 中 AB=ED AC=EF BC=DF•••△ ABC^A EDF( SSS定理有三个条件，其中有 组边的关系.由上述定理可知，当三角形的三边固定时，它的形状和大小就不能改变了， 三角 形的这个性质叫作 ________________________________ ，在日常生活中，说说它的应用：■ /基础演练1.已知，如图：AB=CD AD=CB 求证：/ B =Z D.（提示：证/ B =Z D 可考虑它们所在的三角形，再证三角形全等.找到△ ABC 与 △ CDA 再寻找条件：A 吐CD AD= CB 只有两组边，那么还缺少一个条件，怎 么找？）I -------------------------------2.如图，已知AD= BE, AE= BD, AE BD 交于点O,试证明: （提示：可考虑它们所在的三角形，再证三角形全等）/当堂检测1.已知：如图，A 吐AD BO DC 试证明：/ B =Z D.（提示：可考虑它们所在的三角形， 再证三角形全等，没有三角形的，可添加辅 助线，构造三角形） BDBA=Z EABB2.已知，如下图：AB=CD AD=BC求证：AB// CD（提示：证明平行，可考虑证角相等，转化到证三角形全等，构造三角形.）课后反思:2.5.6三角形全等强化训练1 •全等三角形的定义：能够完全_________ 的两个三角形.全等三角形的性质： _________________________ ；_________________ 全等三角形的判定：① _______ 定理（SAS ②______________ 定理（ASA③_______ 定理（AAS ④___________ 定理（SSS 2•如图，已知，在△ABC ffiA DCB中, AC=DB若不增加任何字母与辅助线，要使△ ABC^A DCB则还需增加一个条件是_3. 如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（）去配.A.①B②C③D.①和②4. 如果两个三角形全等，则不正确的是（）A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等5. 下列条件中，不能判定三角形全等的是（）A.三条边对应相等B. 两边和一角对应相等C.两角的其中一角的对边对应相等D.两角和它们的夹边对应相等6. 下列说法中不正确的是（）A.全等三角形的对应边上的高相等B.全等三角形的面积相等C.全等三角形的周长相等D. 周长相等的两个三角形全等7. 如图，AB// CD A吐CD.点B E、F、D在一条直线上，BF=DE求证：AE= CF.8. 已知：AC, BD相交于0点，且AC =BD,求证：/ B=Z C.9. 已知：如图，BE =CE , / 3=Z 4 , 求证⑴△ DEB^A DEC ,(2) / 仁/ 210.如图，已知：AB = CDAD = CB A0= OC, EF过点0 求证：0E = OF .11.已知：在AABC 中，M在BC±,D在AM上，AB = AC,DB = DC，求证：MB = MC课后反思:。