天津市和平区2020-2021学年度第一学期九年级期中考试数学试卷及答案
2020-2021天津市九年级数学上期中试题(及答案)
2020-2021天津市九年级数学上期中试题(及答案)一、选择题1．如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是()A．①③B．②③C．②④D．②③④4．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）5．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是 180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上6．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（）A ．310B ．925C ．425D ．110 7．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 8．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( ) A ．(3，4) B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 9．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．10．设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．202011．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．14．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=15．如图，Rt ABC ∆中，已知90C =o ∠，55B ∠=o ，点D 在边BC 上，2BD CD =．把线段BD 绕着点D 逆时针旋转α（0180α<<o o ）度后，如果点B 恰好落在Rt ABC ∆的边上，那么α=__________．16．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．19．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．20．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．三、解答题21．2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（ 必考）， 物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分， 假设小丽在选择科目时不考虑主观性． （1）小丽选到物理的概率为 ；（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、 地理、 化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率．22．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．（1）求证：△AEC ≌△ADB ；（2）若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．23．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．24．已知二次函数243y x x =-+.（1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若1122(,),(,)A x y B x y 是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y 、的大小关系（直接写出结果）.25．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．B解析：B【解析】连接OC ，∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC ，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．4．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。
2020-2021学年天津市和平区九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年天津市和平区九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. 正三角形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 菱形2.已知点P1(a,5)和P2(2,b)关于x轴对称，则a+b的值为()A. 0B. −1C. 1D. −33.下列说法：①b=a+c时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有实数根；②b2−7ac>0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实数根；④关于x的方程(a2−8a+20)x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个x2的图象上，则() 4.已知a>1，点A(a−1,y1)，B(a,y2)，C(a+1,y3)都在二次函数y=−12A. y1>y2>y3B. y3>y2>y1C. y2>y3>y1D. y1>y3>y25.已知△ABC≌△DEF，且AB=4，BC=5，AC=6，则DE的长为()A. 4B. 5C. 6D. 不能确定6.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(0,3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是()A. (0,0)B. (1,1)C. (0,1)D. (1、0)7.把二次函数y=x2的图象向上平移1个单位长度，所得图象相应的函数表达式为()A. y=x2+1B. y=(x+1)2C. y=x2−1D. y=(x−1)28.青山村种的水稻2013年平均每公顷产量为7200kg，2015年平均每公顷产量为8450kg，若设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为()．A. B.C. D.9.二次函数y=kx2+2x+1(k<0)的图象可能是()A. B.C. D.10.古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是(如图)：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b，再在斜边AB上截取2.则该方程的一个正根是()BD=a2A. CD的长B. AC的长C. AD的长D. BC的长11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=2.则S阴影=()A. πB. 2πC.D. π12.函数y=x2−2|x|−1的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x<−1时，y随x的增大而减小；④当−2<a <−1时，关于x 的方程x 2−2|x|−1=a 有4个实数根．其中正确的结论个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 已知关于x 的方程(2k +1)x 2−kx +3=0，当k ______ 时，方程为一元二次方程；当k ______时，方程为一元一次方程，其根为______ ．14. 若抛物线y =ax 2+k 与y =3x 2的形状相同，且其顶点坐标是(0,1)，则其表达式为______．15. 如图，∠A 是⊙O 的圆周角且∠A =40°，则∠BOC 的度数是______ ．16. 已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 点左侧)，若点A(−2,0)，线段AB的长为8，则抛物线的对称轴为直线______．17. 直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长的平方为______ ．18. 一组正方形按如图所示放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3…在x 轴上．已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O =60°，B 1C 1//B 2C 2//B 3C 3，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19. 解下列方程：(1){2x +3y =53x −y =2(用代入法); (2){3x +4y =104x +y =9(用加减法)．四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）20.如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB=4，OC=1，求⊙O的半径．21.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若OB=3，OD=5，求PB和AB的长．22.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？23.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,)，铅球路线的最高处B点的坐标为(4,3)(单位：米)(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远？24. (1)观察推理：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l的同侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为C、D.求证：△AEC≌△CDB；(2)类比探究：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接CB′，求△ACB′的面积；(3)拓展提升：如图3，在△EBC中，∠E=∠ECB=60°，EC=6，点O在BC上，且OC=4，动点P从点E出发，沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°，得到线段OF，要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间t．25. 抛物线y=ax2+bx+c中，b，c是非零常数，无论a为何值(0除外)，其顶点M一定在直线l：y=kx−1上，直线l和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE．(1)直线l的解析式为：______；(2)求证：这条抛物线经过点A；(3)经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx−1交于点D，探索CD和BC的数量关系．。
天津市2020版九年级上学期期中数学试卷A卷
天津市2020版九年级上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）A . -3B . -1C . 1D . 32. （2分） (2018七下·大庆开学考) 下列事件是不可能事件的是（）A . 买一张电影票，座位号是奇数B . 从一个只装有红球的袋子里摸出白球C . 三角形两边之和大于第三边D . 明天会下雨3. （2分）下列说法正确的是（）A . 弦是直径B . 平分弦的直径垂直弦C . 过三点A,B,C的圆有且只有一个D . 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点4. （2分）若函数，则当函数值y=8时，自变量的值是（）A . ±B . 4C . ±或4D . 4或－5. （2分）把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（）A . y=2x2+5B . y=2x2-5C . y=2（x+5）2D . y=2（x-5）26. （2分） (2015高二上·昌平期末) 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90° ，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A . 90°B . 135°C . 270°D . 315°7. （2分）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数y=的图象上，点N在一次函数 y=x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=abx2+(a+b)x（）A . 有最小值，且最小值是-B . 有最大值，且最大值是-C . 有最大值，且最大值是D . 有最小值，且最小值是8. （2分）等腰三角形的底角为15°，腰长为a，则此三角形的面积是（）A . a2B . a2C . a2D . 2a29. （2分）如图，弧AB=弧AC ，且∠A=60°，半径OB=2，则下列结论不正确的是（）A . ∠B=60°B . ∠BOC=120°C . 弧ABC的度数为240°D . 弦BC=10. （2分）二次函数的图象如图所示，则m的值是A . －8B . 8C . ±8D . 6二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2017·青岛模拟) 已知二次函数y=mx2+2mx+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是________．12. （1分）多边形是由一些________组成的封闭图形．13. （1分）(2018·射阳模拟) 从﹣，，0，π，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是________．14. （1分）(2017·大石桥模拟) 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列由5个结论：①abc ＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确的结论有________．15. （1分） (2017九上·下城期中) 如图，在⊙ 中，，，则________．16. （1分） (2020九上·德城期末) 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8，OE=3，则⊙O的半径为________．三、解答题 (共7题；共68分)17. （6分）(2019·合肥模拟) 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求点C划过的路径长度（结果保留π）．18. （10分）(2018·嘉兴模拟) 某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到________元购物券，至多可得到________元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．19. （2分）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， = ，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．20. （10分） (2016九上·东莞期中) 用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的高度为x米，窗的透光面积（铝合金所占面积忽略不计）为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（结果要化成一般形式）；（2）能否使窗的透光面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由；（3）窗的高度为多少时，能使透光面积最大？最大面积是多少？21. （10分） (2016九上·顺义期末) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．22. （15分）(2017·兴化模拟) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y 轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．（1）求证△BCD是直角三角形；（2）点P为线段BD上一点，若∠PCO+∠CDB=180°，求点P的坐标；（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．23. （15分）(2017·资中模拟) 如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2、答案：略3、答案：略4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共68分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
九年级第一学期阶段性测评数学试卷及答案 初三数学期中试题与解析
2020-2021 学年第一学期九年级阶段性测评一、选择题（每小题2 分，共20 分）数学试卷1. 若a=c= 2(b +d≠0) ，则a +c是（）b d b +dA. 1B. 2C.12D. 4 【考点】比例的性质【难度星级】★【答案】B【解析】a = 2b, c = 2d ,∴a +c=2b + 2d= 2 .b +d b +d2.将方程(x +1)(2x - 3) = 1 化成“ax2 +bx +c = 0 ”的形式，当a=2 时，则b，c 的值分别为（）A. b =-1，c =-3 C. b =-1，c =-4B. b =-5，c =-3 D. b = 5，c =-4【考点】一元二次方程的一般式【难度星级】★【答案】C【解析】化为一般式得2x2 -x - 4 = 0 ，所以b =-1, c =-4 .3.矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（）A.对角线相等B. 对角线相互平分C. 对角线相互垂直D. 对角线互相垂直平分【考点】特殊平行四边形对角线性质【难度星级】★【答案】B【解析】矩形，菱形，正方形均为平行四边形，所以对角线互相平分.4.如图，一组互相平行的直线a、b、c 分别与直线l1，l2 交于A、B、C、D、E、F，直线l1，l2 交于点O，则下列各式不正确的是（）A.AB=DEBC EFB.AB=DEAC DFC.EF=DEBC ABD.OE=EBEF FC【考点】平行线分线段成比例定理【难度星级】★★【答案】D【解析】D 选项中OE=EB. OF FC5.一元二次方程x2 + 6x + 9 = 0 的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【考点】根的判别式【难度星级】★【答案】A【解析】∆= 62 - 4 ⨯1⨯ 9 = 0 ，所以有两个相等实根.6.小明要用如图两个转盘做“配紫色”游戏，每个转盘均被等分成若干个扇形，他同时转动两个转盘，停止时所指的颜色恰好配成紫色的概率为（）A.1 6B.1 4C.1 3D.1 2【考点】概率统计【难度星级】★★【答案】C【解析】由列表或树状图可知，总共有6 种等可能的情况，其中能配成紫色（即一蓝一红）的情况有2种，所以P =2=1.6 37.配方法解方程x2 - 8x + 5 = 0 ，将其化为(x +a)2 =b 的形式，正确的是（）A. (x + 4)2 = 11B. (x + 4)2 = 21C. (x - 8)2 =11D. (x - 4)2 = 11【考点】配方法【难度星级】★【答案】D【解析】x2- 8x + 5 = 0 ⇒x2- 8x +16 = 11 ⇒(x - 4)2= 11.8.如图，△ABC，点P 是AB 边上的一点，过P 作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC、BC 于D、E，连接CP，若四边形CDPE 是菱形，则线段CP 应满足的条件是（）A.CP 平分∠ACBB.CP⊥ABC.CP 是AB 边上的中线D.CP=AP【考点】菱形的判定【难度星级】★★【答案】A【解析】由题意知，四边形CDPE 为平行四边形；当CP 平分∠ACB 时，∠DCP =∠ECP =∠DPC ，所以DC =DP ；所以四边形CDPE 为菱形.9.为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2 米，宽为1 米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x 米，则根据题意可列出方程（）A. 90% ⨯ (2 +x)(1 +x) = 2 ⨯1 C. 90% ⨯ (2 - 2x)(1 - 2x) = 2 ⨯1 【考点】一元二次方程的面积问题【难度星级】★★【答案】B B. 90% ⨯ (2 + 2x)(1 + 2x) = 2 ⨯1 D. (2 + 2x)(1 + 2x) = 2 ⨯1⨯90%【解析】读懂题意，图案加上四周的白边才构成了宣传版面.10.如图，在矩形ABCD 内有一点F，FB 与FC 分别平分∠ABC 和∠BCD，点E 为矩形ABCD 外一点，连接BE、CE，现添加以下条件：①BE∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BC=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF。
2020-2021学年天津市和平区耀华中学九年级(上)期中数学试卷-解析版
2020-2021学年天津市和平区耀华中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列计算错误的是()A. √32÷√118=3√3 B. (√8+√3)×√6=4√3+3√2C. (4√2−3√6)÷2√2=4−3√3D. (√5+√3)(√5−√3)=22.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(−1,0)，(3,0)，则这条抛物线的对称轴是直线()A. x=1B. x=−1C. x=0D. x=23.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m+n的值为()A. −1B. 0C. 1D. 1或−14.已知一元二次方程x2+x−1=0，下列判断正确的是()A. 该方程有两个相等的实数根B. 该方程有两个不相等的实数根C. 该方程无实数根D. 该方程根的情况不确定5.用配方法解方程3x2−6x+1=0，则方程可变形为()A. (x−3)2=13B. 3(x−1)2=13C. (3x−1)2=1D. (x−1)2=236.函数y=ax2+ax+a(a≠0)的图象可能是下列图象中的()A. B.C. D.7.二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是()A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是()A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 不能确定9.下列说法错误的是()A. 二次函数y=3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大B. 二次函数y=−6x2中，当x=0时，y有最大值0C. 抛物线y=ax2(a≠0)中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D. 不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点10.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≤3B. m≥3C. m≤−3D. m≥−311.已知二次函数y=1−(x−a)(x−b)，其中a<b，m，n(m<n)是方程1−(x−a)(x−b)=0的两个根，则实数a、b、m、n的大小关系是()A. a<m<n<bB. m<a<b<nC. a<m<b<nD. m<a<n<b12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1，该抛物线与x轴的一个交点为(x1,0)，且0<x1<1，有下列结论：①abc>0；②9a−3b+c>0；③b<a；④3a+c>0.其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是1，则另一个根是______．14.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有______个队参加比赛．15.抛物线y=x2−8x+17的顶点坐标是______，此顶点关于y轴对称的点的坐标是______，此抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式是______．16.设a、b是方程x2+x−2020=0的两个实数根，则b2+2b+a的值为______．17.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y=60x−1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 ________m才能停下来．18.已知函数y1=x，y2=x2+bx+c，α，β为方程y1−y2=0的两个根，若α=13，β=12，则(1)函数y2的解析式为______；(2)若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，点M(t,T)在函数y2的图象上且13<t<12，则△ABM的面积S与t之间的函数关系为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.解方程：(1)x2−2x=2x+1；(2)(x−3)2+4x(x−3)=0．20.已知关于x的一元二次方程x2−(a+2)x+2a=0(1)若a≠2，判断此方程的根的情况；(2)若此方程的两个实数根分别是3、b，求a+b的值．21.已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对照值如下表：x…−101234…y…1052125…(1)求该二次函数的解析式；(2)当x=______时，y有最______值，这个值是______；当x______2时，y随x的增大而减小；(3)若A(m,y1)，B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．22.要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的1，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．423.某商店经营一种小商品，进价是2.5元，据市场调查，销售价是13.5元时，平均每天销售是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．(I)假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式；(II)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？24.已知二次函数y=(ab−2b)x2+2(b−a)x+2a−ab．(1)求自变量x=1时的函数值；(2)若a=7，b=1，求该二次函数的图象与x轴公共点的坐标；(3)若该二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，求1a +1b的值．25.抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3,0)，B(−1,0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，设抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M，直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移后抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的取值范围；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+3平移，平移后抛物线与x轴交于点E、F，与y轴交于点N，当E(−1,0)、F(5,0)时，在抛物线上是否存在点G，使△GFN中FN 边上的高为7√2？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C×18=3√3，所以A计算正确，不符合题意；【解析】解：A、原式=√32B、原式=√8×6+√3×6=4√3+3√2，所以B计算正确，不符合题意；C、原式=4√2÷2√2−3√6÷2√2=2−3√3，所以C计算错误，符合题意；2D、原式=5−3=2，所以D计算正确，不符合题意．故选C．根据二次根式的除法法则对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据平方差公式对D进行判断．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的混合运算，然后合并同类二次根式．解题的关键是根据二次根式的性质进行化简后再运用运算法则进行运算．2.【答案】A【解析】解：∵抛物线与x轴的交点为(−1,0)，(3,0)，∴两交点关于抛物线的对称轴对称，=1．则此抛物线的对称轴是直线x=−1+32故选：A．因为点(−1,0)与(3,0)的纵坐标都为0，所以可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐求解即可．标代入公式x=x1+x22本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用求解，即抛物线y=公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=x1+x22ax2+bx+c与x轴的交点是(x1,0)，(x2,0)，则抛物线的对称轴为直线x=x1+x2．23.【答案】A【解析】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴x=1满足一元二次方程x2+mx+n=0，∴1+m+n=0，∴m+n=−1；根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0，即可求得m+n的值．本题考查了一元二次方程的解．正确理解方程的解的含义是解答此类题目的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ= b2−4ac的值的符号就可以了．总结：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．【解答】解：∵a=1，b=1，c=−1，∴Δ=b2−4ac=12−4×1×(−1)=5>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查分配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：原方程为3x2−6x+1=0，二次项系数化为1，得x2−2x=−13，即x2−2x+1=−13+1，所以(x−1)2=23．6.【答案】C【解析】解：在函数y=ax2+ax+a(a≠0)中，当a<0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a>0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．根据函数y=ax2+ax+a(a≠0)，对a的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题．本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．7.【答案】B【解析】解：根据题意y=x2+4x+3=(x+2)2−1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．故选B．把二次函数y=x2+4x+3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y=x2的图象平移而得到．此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．8.【答案】C【解析】解：由图可知，x>−3时，y随x的增大而减小，∵1<2，∴y1>y2．根据函数图象判断出x>−3时，y随x的增大而减小解答．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确观察图形利用二次函数的增减性求解更简便．9.【答案】C【解析】解：A、二次函数y=3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；B、二次函数y=−6x2中，当x=0时，y有最大值0，说法正确，不符合题意；C、抛物线y=ax2(a≠0)中，|a|越大图象开口越小，|a|越小图象开口越大，说法错误，符合题意；D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点，说法正确，不符合题意．故选：C．根据抛物线的性质即可进行判断．本题考查了二次函数y=ax2(a≠0)的性质，是基础知识，需熟练掌握．10.【答案】A【解析】解：方法一：由图可知：y≥−3，即ax2+bx≥−3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=−m，∴当−m≥−3时，方程有实数根，即m≤3．=−3，且a>0，方法二：由图象可知，抛物线顶点纵坐标y=−b24a∴b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴Δ=b2−4am=12a−4am≥0，即m≤3，故答案为A．结合图象可得y≥−3，即ax2+bx≥−3，由ax2+bx+m=0可得ax2+bx=−m，则有−m≥−3，即可解决问题，也可以利用一元二次方程根的判别式求解．本题主要考查抛物线与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．11.【答案】B【解析】解：二次函数y=1−(x−a)(x−b)相当于y=−(x−a)(x−b)向上平移一个单位，又∵二次项系数为−1，开口向下，如图所示：∴由图可得：m<a<b<n．故选：B．函数y=−(x−a)(x−b)与x轴的交点坐标的横坐标为a与b，二次函数y=1−(x−a)(x−b)相当于y=−(x−a)(x−b)向上平移一个单位，可以画函数，由函数图象即可求得答案．此题考查了二次函数与x轴的交点坐标问题与函数的平移的性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．12.【答案】B【解析】解：①∵由函数图象开口向上可得a>0；顶点在y轴左侧可得a、b符号相同，故b>0；函数图象与y轴交于负半轴，可知c<0．∴abc<0，故①错误；②∵0<x1<1，∴点(1,a+b+c)在第一象限，又∵对称轴为直线x=−1，∴(−3,9a−3b+c)在第二象限，故9a−3b+c>0，故②正确；③∵−b=−1，∴b=2a，2a∴b−a=2a−a=a>0，又0<x1<1，抛物线开口向上，∴抛物线与y轴交于负半轴，c<0，∴b>a>c，故③错误；④把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0，故④正确；故选：B．①根据函数图象可得a、b、c的符号从而可以判断①是否正确；②由对称轴为直线x=−1，可知点(1,a+b+c)，(−3,9a−3b+c)是抛物线是两个对称点，根据0<x1<1，a>0，判断点(1,a+b+c)，所在的象限，可知点(−3,9a−3b+c)所在的象限，从而判断9a−3b+c的符号；=−1，即b=2a>0，而0<x1<1，抛物线开口向上，可③由对称轴公式可知，−ba知抛物线与y轴交于负半轴，c<0，可判断b、c的大小关系；④由②③可知，把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0．本题考查二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是可以看懂二次函数的图象，根据图象可以判断a、b、c的符号，灵活变化，能够找出所求各结论需要的条件．13.【答案】−2【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是1，∴1+k+3+k=0，解得：k=−2，则关于x的一元二次方程为：x2+x−2=0，解得：x1=1，x2=−2，故答案为：−2．首先利用方程解得意义得出k的值，进而解方程得出即可．此题主要考查了一元二次方程的解，正确得出k的值是解题关键．14.【答案】6【解析】解：设有x队参加比赛．x(x−1)=30，(x−6)(x+5)=0，解得x=6，x=−5(不合题意，舍去)．故答案为：6．每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×(队的个数−1)=56，把相关数值代入计算即可．本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．15.【答案】(4,1)(−4,1)y=(x+4)2+1【解析】解：∵y=x2−8x+17=(x−4)2+1，∴其顶点坐标是(4,1)，∴关于y轴对称的点的坐标是(−4,1)，∴抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式是y=(x+4)2+1．故答案为：(4,1)，(−4,1)，y=(x+4)2+1．先求出抛物线的顶点坐标，再求出关于y轴对称的点的坐标，然后根据顶点式即可求得关于y轴对称的抛物线的解析式．本题考查的是二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标是解答此题的关键．16.【答案】2019【解析】解：∵b是方程x2+x−2020=0的根，∴b2+b−2020=0，即b2+b=2020，∴b2+2b+a=b2+b+(a+b)，∵a、b是方程x2+x−2020=0的两个实数根，∴a+b=−1，∴b2+2b+a=b2+b+(a+b)=2020−1=2019．故答案是：2019．先根据一元二次方程的解的定义得到b2+b−2020=0，即b2+b=2020，则b2+2b+ a变形为b2+b+(a+b)，再根据根与系数的关系得到a+b=−1，然后利用整体代入的方法计算．此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．17.【答案】600【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．【解答】解：∵a=−1.5<0，∴函数有最大值．∴y最大值=4ac−b24a=−60 24×(−1.5)=600，即飞机着陆后滑行600米才能停止．故答案为：600．18.【答案】y 2=x 2+16x +16 S =−112t 2+572t −172(13<t <12) 【解析】解：(1)∵y 1−y 2=0， ∴x −(x 2+bx +c)=0，即x 2+(b −1)x +c =0∵α，β为方程y 1−y 2=0的两个根，且α=13，β=12，∴{13+12=1−b 13×12=c ，解得：b =16，c =16∴函数y 2的解析式为y 2=x 2+16x +16，故答案为y 2=x 2+16x +16；(2)由A(12,12) B(13,13)得：AB =√(12−13)2+(12−13)2=√26， 过M 作MF ⊥AB 于F ，过M 作ME ⊥y 轴于E ，作MD ⊥x 轴交y 1=x 于D ，过D 作DC ⊥x 轴于D ，设△ABM 的高为h ，则△MDF 是等腰直角三角形，MF =ℎ，∵CD =EM =DN ，∴MD =t −T ，∴ℎ=√22DM =√22(t −T)，∵点M(t,T)在函数y 2的图象上，∴T =t 2+16t +16，∴t −T =−t 2+56t −16， ∴S △ABM =12AB ⋅ℎ=12×√26×√22(−t 2+56t −16)=−112t 2+572t −172(13<t <12)， 故答案为S =−112t 2+572t −172(13<t <12).(1)利用根与系数的关系列方程组，或直接把α=13，β=12分别代入y 1−y 2=0，确定b ，c 的值而求得函数y 2的解析式；(2)过M 作MF ⊥AB 于F ，过M 作ME ⊥y 轴于E ，作MD ⊥x 轴交y 1=x 于D ，过D 作DC ⊥x 轴于D ，设△ABM 的高为h ，则△MDF 是等腰直角三角形，MF =ℎ，求得AB ，然后明确ℎ=√22DM=√22(t−T)，然后根据三角形面积公式即可求得．本题综合考查一次函数及二次函数的相关知识，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，解直角三角形等，数形结合是解题的关键．19.【答案】解：(1)方程整理，得：x2−4x−1=0，∵a=1，b=−4，c=−1，∴△=(−4)2−4×1×(−1)=20>0，则x=−b±√b2−4ac2a =4±2√52=2±√5，即x1=2+√5，x2=2−√5；(2)∵(x−3)2+4x(x−3)=0，∴(x−3)(5x−3)=0，则x−3=0或5x−3=0，解得x1=3，x2=0.6．【解析】(1)整理为一般式，再利用公式法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵△=[−(a+2)]2−4×1×2a=a2+4a+4−8a=(a−2)2，又∵a≠2，∴，(a−2)2>0，即△>0，∴方程有两个不相等的实数根；(2)∵方程两实数根分别为3，b，∴3+b=a+2，3b=2a，解得a=3，b=2，∴a+b=3+2=5．【解析】(1)计算一元二次方程的根的判别式△的值的符号后，再根据根的判别式与根的关系求解；(2)根据根与系数的关系得到3+b =a +2，3b =2a ，通过解该方程组可以求得a 、b 的值，进而求解即可．本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系，需同学们熟练掌握．21.【答案】2 小 1 <【解析】解：那(0,5)，(1,2)代入y =x 2+bx +c 得{c =51+b +c =2，解得{b =−4c =5， ∴抛物线的解析式为y =x 2−4x +5；(2)∵y =(x −2)2+1，∴当x =2时，y 有最小值，这个值是1；当x <2时，y 随x 的增大而减小；故答案为2；小；1；<；(3)当m ≥2时，y 1<y 2；当m +1≤2，即m ≤1时，y 1>y 2；当m <2<m +1，即1<m <2时，若m +1−2>2−m ，y 1<y 2，此时m 的范围为32<m <2；若m =32时，y 1=y 2；若1<m <32，y 1>y 2， 综上所述，当m >32时，y 1<y 2；当m =32时，y 1=y 2；当m <32，y 1>y 2，(1)把表中两对对应值代入y =x 2+bx +c 中得到b 、c 的方程组，然后解方程组即可；(2)把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；(3)讨论A 、B 点在对称轴的同侧或两组，利用二次函数的性质，通过比较函数值的大小得到对应的m 的范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，也考查了二次函数的性质． 22.【答案】解：设P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为x 米，根据题意，得(60−3x)×(40−2x)=60×40×14解之得x 1=10，x 2=30经检验，x 2=30不符合题意，舍去．答：两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．【解析】可把P ，Q 通过平移看做一个矩形，设P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为x 米，用含x 的代数式分别表示出绿地的长为60−3x ，宽为40−2x ，利用“两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14”作为相等关系列方程求解即可．解题的关键是通过平移的方法，把分开的两块绿地合成一块长方形的绿地，利用其面积是矩形ABCD面积的14作为相等关系列方程．23.【答案】解：(I)设降价x元时利润为y元，依题意：y=(13.5−x−2.5)(500+100x)=−100x2+600x+5500；(II)∵y=−100x2+600x+5500=−100(x−3)2+6400(0≤x≤11)；∵a=−100<0，∴当x=3时y取最大值，最大值是6400，即降价3元时利润最大，∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元．答：销售单价为10.5元时利润最大，最大利润为6400元．【解析】(I)根据总利润=(实际售价−进价)×销售量，即可得函数解析式；(II)将(I)中函数解析式配方结合x的取值范围即可得最值情况．本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式是解题的关键．24.【答案】解：(1)x=1时，y=ab−2b+2b−2a+2a−ab=0；(2)当a=7，b=1时，抛物线的解析式时y=5x2−12x+7，令y=0，得到5x2−12x+7=0，解得x=1或75，∴该二次函数的图象与x轴公共点的坐标为(1,0)，(75,0)；(3)∵顶点在x轴上，∴△=0，∴4(b−a)2−4(ab−2b)(2a−ab)=0，整理得：(a+b)2−2ab(a+b)+(ab)2=0，∴(a+b−ab)2=0，∴a+b=ab，∴1a +1b=a+bab=1．【解析】(1)把x=1代入抛物线的解析式求值即可解决问题；(2)求出抛物线的解析式，令y=0，解方程即可解决问题；(3)根据顶点在x轴上，推出△=0，由此即可解决问题．本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，第三个问题的因式分解是难点．25.【答案】解：(1)抛物线解析式y =ax 2+bx +3经过A(−3,0)，B(−1,0)两点， ∴{9a −3b +3=0a −b +3=0， 解得{a =1b =4， ∴抛物线的解析式为y =x 2+4x +3．(2)由(1)配方得y =(x +2)2−1，∴抛物线的顶点坐标为M(−2,−1)，∴直线OD 的解析式为y =12x ，于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为(ℎ,12ℎ)，∴平移后的抛物线的解析式为y =(x −ℎ)2+12ℎ，当抛物线经过点C 时，∵C(0,9)，∴ℎ2+12ℎ=9．解得ℎ=−1±√1454， ∴当−1−√1454≤ℎ<−1+√1454时，平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点； 当抛物线与直线CD 只有一个公共点时，由方程组{y =(x −ℎ)2+12ℎy =−2x +9， 得x 2+(−2ℎ+2)x +ℎ2+12ℎ−9=0，∴△=(−2ℎ+2)2−4(ℎ2+12ℎ−9)=0，解得ℎ=4，此时抛物线y =(x −4)2+2与直线CD 唯一的公共点为(3,3)，点(3,3)在射线CD 上，符合题意．∴平移后抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是−1−√1454≤ℎ<−1+√1454或ℎ=4．(3)平移后，当E(−1,0)、F(5,0)时，抛物线的解析式为：y =(x +1)(x −5)，即y =x 2−4x −5．当x =0时，y =−5．∴N(0,−5)．∴OF =ON =5，假设存在点G ，使△GFN 中FN 边上的高为7√2，∴G 点应在与直线FN 平行，且相距7√2的两条平行线l 1(如图所示)和l 2(在直线FN 下方且平行于直线FN)上．由平行的性质可以知道l 1和l 2与y 轴的交点到直线FN 的距离也为7√2，如图，设l 1与y 轴交于点P ，过点P 作PQ ⊥FN ，垂足为Q ，∵OF =ON ，∴∠ONF =∠OFN =45°．在Rt △PQN 中，PQ =7√2，∠PNQ =∠ONF =45°，由勾股定理，得PN =√2PQ =14．∴直线l 1与y 轴的交点坐标为P(0,9)．同理可得：直线l 2与y 轴的交点坐标为R(0,−19)．∵OF =ON =5，∴F(5,0)，N(0,−5)，∴容易求得直线FN 的解析式为：y =x −5．∴直线l 1、l 2的解析式分别为l 1：y =x +9；l 2：y =x −19．根据题意，列方程组：①{y =x 2−4x −5y =x +9，②{y =x 2−4x −5y =x −19， 由①，得x 2−5x −14=0，解得x 1=7，x 2=−2∴{x 1=7y 1=16，{x 2=−2y 2=7． ∴G 1(7,16)，G 2(−2,7)．由②，得x 2−5x +14=0．∵△=(−5)2−4×1×14<0，此方程无实数根．∴在抛物线上存在点G ，使△GFN 中FN 边上的高为7√2.点G 的坐标为：G 1(7,16)，G 2(−2,7)．【解析】(1)直接用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；(2)由(1)的解析式求出抛物线的顶点坐标，根据抛物线的顶点坐标求出直线OD的解析式，设平移后的抛物线的顶点坐标为(ℎ,12ℎ)，就可以表示出平移后的解析式，当抛物线经过点C时就可以求出h值，抛物线与直线CD只有一个公共点时可以得出{y=(x−ℎ)2+12ℎy=−2x+9，得x2+(−2ℎ+2)x+ℎ2+12ℎ−9=0，从而得出△=(−2ℎ+2)2−4(ℎ2+12ℎ−9)=0求出ℎ=4，从而得出结论；(3)根据条件平移后求出抛物线的解析，求出直线FN的解析式，从而求出l1，l2的解析式，利用直线的解析式与抛物线的解析式构建方程组就可以求出其交点坐标就实G点的坐标．本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象与几何变换，勾股定理的运用及方程组与交点坐标的运用．。
天津市和平区2022年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案
天津市和平区2022年九年级上学期《数学》期中考试卷与参考答案一、选择题1. 下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【详解】A ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；B ．当时，，故点在函数图象上，不符合题意；C ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；D ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；故选：B ．2. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）A. （1）（2）B. （1）（3）C. （1）（4）D. （2）（3）【答案】B 【详解】（1）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（2）既不是轴对称又不是中心对称图形；23y x =(1,3)-(2,12)()2,6-(3,3)1x =23133y =⨯=≠-(1,3)-2x =23212y =⨯=(2,12)2x =-23(2)126y =⨯-=≠()2,6-3x =233183y =⨯=≠(3,3)（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（4）是轴对称图形，不是中心对称图形故选：B ．3. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x ，根据题意列出的方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【详解】依题意得：两次降价后售价为，故选：C ．4. 用配方法解方程，则方程可变形为（）A. B. C. D. 【答案】D【详解】，，，，故选D.的()2250013200x +=()2250013200x -=()2320012500x -=()2320012500x +=()2320012500x -=23610x x -+=21(3)3x -=21(1)33x -=2(31)1x -=22(1)3x -=23610x x -+=2123x x -=-22213x x -+=()2213x -=5. 在半径为50的中，弦的长为50，则点O 到的距离为（ ）A. 50B.C.D. 25【答案】B【详解】如图，作于C ，根据题意：，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，即点O 到的距离为，故选：B ．6. 将抛物线y=x 2先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为（ ）A. y=（x+1）2+3B. y=（x﹣1）2+3C. y=（x﹣1）2﹣3D. y=（x+1）2﹣3【答案】D【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），O e ABABOC AB ⊥50OA OB AB ===OAB V 60AOB ∠=︒OC AB ⊥30AOC ∠=︒cos30OC OA =⋅︒=AB向下平移3个单位，再向左平移1个单位后的图象的顶点坐标为（-1，-3），所以，所得图象的解析式为 y=（x+1）2﹣3，故选D ．7. 如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：C ．8. 将二次函数配方为的形式为（ ）A. B. C.D. ABCD O BC CD =35DAC ∠=︒45ACD ∠=︒ADB ∠55︒60︒65︒70︒35DAC ∠=︒35DBC ∠=︒BC CD =35CDB ∠=︒45ACD ∠=︒100ADC ∠=︒65ADB ADC CDB ∠=∠-∠=︒2=2+3y x x -()2y x h k =-+()211y x =-+()212y x =-+()223y x =--()221y x =--【答案】B【详解】，故选：B ．9. 如图，圆内接四边形的对角线，把它的四个内角分成八个角，那么以下结论不一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】A 、∵所对的弧都是弧∴，选项正确，不符合题意；B 、∵所对的弧都是弧∴，选项正确，不符合题意；C 、∵不一定是直径∴不一定是直角∴不一定等于，符合题意；D 、∵ ∴ ，选项正确，不符合题意；故选C．()2221212y x x x =-++=-+ABCD AC BD 27∠=∠58∠=∠6190∠+∠=︒4256180∠+∠+∠+∠=︒2,7∠∠BC27∠=∠5,8∠∠DC58∠=∠BD BAD ∠61∠+∠90︒7654180∠+∠+∠+∠=︒2654180∠+∠+∠+∠=︒10. 和是等边三角形，且在一条直线上，连接交于点，则下列结论中错误的是（ ）A.B C. 可以看作是平移而成的D. 可以看作是绕点顺时针旋转而成的【答案】C【详解】A 、∵和是等边三角形，∴，∴，选项正确，不符合题意；B 、∵和是等边三角形，∴，∴，即，∴（SAS ），∴，∴，.ABC V BDE △,,A B D ,AE CD P AC BE P 60APC ∠=︒BDE △ABC V CBD △ABE V B 60︒ABC V BDE △60CAB DBE ∠=∠=︒AC BE P ABC V BDE △,,60AB BC BE BD ABC DBE ==∠=∠=︒ABC CBE DBE CBE ∠+∠=∠+∠ABE CBD ∠=∠ABE CBD V V ≌BDC AEB ∠=∠60APC EAB BDC EAB AEB EBD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒选项正确，不符合题意；C 、∵和是等边三角形，但边长不一定相等，选项错误，符合题意；D 、∵，且，∴可以看作是绕点顺时针旋转而成，选项正确，不符合题意；故选C ．11. 在等边中，D 是边上一点，连接，将绕点B 逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【详解】∵为等边三角形，∴，，∵绕点B 逆时针旋转，得到，∴，，ABC V BDE △ABE CBD V V ≌60EBD ∠=︒CBD △ABE V B 60︒ABC V AC BD BCD △60︒BAE V ED 5BC =4BD =AE BC ∥ADE BDC ∠=∠BDE V ADE △ABC V 60ABC C ∠=∠=︒5AC BC ==BCD △60︒BAE V 60BAE C ∠=∠=︒AE CD =∴，∴，①正确；∵绕点B 逆时针旋转，得到，∴，，∴为等边三角形，③正确，∴，，∵，∴，即，∴，②错误；∵，，∴的周长，④正确．故选：C ．12. 已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x 的方程ax 2+bx+c+1=0无实数根；④≥2．其中，正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个BAE ABC ∠=∠AE BC ∥BCD △60︒BAE V 60DBE ∠=︒4BD BE ==BDE V 60BDE ∠=︒4DE DB ==BC BD >BDC C ∠>∠60BDC ∠>︒60ADE ∠<︒AE CD =4DE DB ==ADE △549AD AE DE AD CD DE AC DE =++=++=+=+=a b c b++【详解】①∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，∴抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵0＜2a≤b，∴＞1，∴﹣＜﹣1，∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；③由题意可知：对于任意的x ，都有y=ax 2+bx+c≥0，∴ax 2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；④∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，∴当x=﹣1时，y ＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+b+c≥2b，∵b＞0，∴≥2，故④正确，综上所述，正确的结论有3个，故选C ．2b a2b aa b c b++13. 点关于原点O 的对称点为______．【答案】【详解】点关于原点O 的对称点为．故答案为：．14. 抛物线不经过第________象限．【答案】四【详解】抛物线 画出该抛物线图象如图所示：观察函数图象可知：抛物线不经过第四象限.故答案为四.15. 已知函数的图象与轴只有一个交点，则的值为_______．【答案】4【详解】∵函数y=x 2-4x+m 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2-4ac=（-4）2-4×1×m=0，解得：m=4，故答案为4()3,4()3,4--()3,4()3,4--()3,4--2y x 3x 2=++223132(,24y x x x =++=+-2y x 3x 2=++24y x x m =-+x m16. 如图，点D为AC上一点，点O为边AB上一点，AD＝DO．以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF．若∠BAC＝22°，则∠EFG＝_ ．【答案】33°【详解】∵AD=DO，∴∠DOA=∠BAC=22°，∴∠AEF=0.5∠DOA=11°，∵∠EFG=∠BAC+∠AEF，∴∠EFG=33°.故答案为33.17. 如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为__．【答案】20【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE 的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．【详解】延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=0.5OD=2；∴BE=10；∴BC=2BE=20；故答案为：20．18. 已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0），（1）求抛物线的解析式_____．（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在第二象限内，P′A2取得最小值时，求m的值_____．【答案】①. y＝x2﹣2x﹣3②.【分析】（1）首先把A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx﹣3，得出b ＝﹣2，即抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x﹣3；（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，即可判定﹣m＜0，﹣t＞0，即m ＞0，t ＜0，因为抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），可得出﹣4≤t＜0，又根据P 在抛物线上，可得出t ＝m 2﹣2m﹣3，进而得出m 2﹣2m＝t+3，根据两点坐标A （﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），即可求出P′A 2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m 2﹣2m+1+t 2＝t 2+t+4＝（t+）2+；可判定当t ＝﹣时，P′A 2有最小值，即可求出m【详解】（1）把A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx﹣3得：0＝1﹣b﹣3，解得：b ＝﹣2，即抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x﹣3，故答案为y ＝x 2﹣2x﹣3；（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m ＞0，t ＜0，∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∴﹣4≤t＜0，∵P 在抛物线上，∴t＝m 2﹣2m﹣3，∴m 2﹣2m＝t+3，∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），1215412∴P′A 2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m 2﹣2m+1+t 2＝t 2+t+4＝（t+）2+；∴当t ＝﹣时，P′A 2有最小值，∴﹣＝m 2﹣2m﹣3，解得mm，∵m＞0，不合题意，舍去，∴m三、解答题19. 解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）（2），【小问1详解】解：，，，，，，1215412122 1.53x x +=-3(1)2(1)x x x -=-1x =2x =11x =223x =2 1.53x x +=- 23 1.50x x \++=1a ∴=3b = 1.5c =2341 1.530\D =-´´=＞则即所以，原方程的解为【小问2详解】解：，，则或，解得，，所以，原方程的解为，．20. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表：x …1…y …0…（1）直接写出此二次函数图象的对称轴与顶点坐标．（2）求该二次函数的解析式．【答案】（1）对称轴为直线；顶点坐标为：（2）x ==1x =2x =1x =2x =31()210()x x x ---= 1320()()x x \--=10x -=320x -=11x =223x =11x =223x =32-1-12-123254-2-94-2-54-7412x =-19(,)24--22y x x =+-解（1）由表格中的值可知：和的函数值相等，关于对称轴对称，∴图象的对称轴为直线，∴顶点坐标为：；【小问2详解】设，将代入可得：，解得： ，∴二次函数的解析式为：，故二次函数的解析式为：．21. 已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD 的长．【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD ＝CD ＝；（Ⅱ）BD ＝5=1x -0x =12x =-19(,)24--219()24y a x =+-()0,2-19244a -=-1a =2219()224y x x x =+-=+-22y x x =+-【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB 和△DCB 是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC 的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD ＝CD ＝；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD 是等边三角形，则BD ＝OB ＝OD ＝5．【详解】（Ⅰ）如图①，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB 中，BC ＝10，AB ＝6，∴由勾股定理得到：AC ∵AD 平分∠CAB，∴ ，∴CD＝BD ．在直角△BDC 中，BC ＝10，CD 2+BD 2＝BC 2，∴易求BD ＝CD ＝；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，8==»»CDBD =12∴BD＝OB ＝OD ．∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5，∴BD＝5．22. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解决方案：设应邀请x 个队参赛、（1）每个队要与其他______个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共______场；（2）根据题意，列出相应方程为______；（3）解这个方程，得______；（4）检验：______；（5）答：比赛组织者应邀请______个队参赛．【答案】（1）；（2）（3）（不符合题意，舍去），（4）将代入原方程，左边＝右边（5）8()1x -()112x x -()11247x x -⨯＝17x =-28x =8x =()881284271⨯⨯⨯-===【小问1详解】解：设应邀请x 个队参赛、每个队要与其他个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场；故答案为：；；【小问2详解】根据题意，列出相应方程为；故答案为：；【小问3详解】解这个方程，得x 1＝﹣7（不符合题意，舍去），x 2＝8；故答案为：（不符合题意，舍去），；【小问4详解】检验：将代入原方程，左边＝右边；故答案为：将代入原方程，左边＝右边；【小问5详解】答：比赛组织者应邀请8个队参赛．故答案为：8．23. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每()1x -()112x x -()1x -()112x x -()11247x x -⨯＝()11247x x -⨯＝17x =-28x =8x =()881284271⨯⨯⨯-===8x =()881284271⨯⨯⨯-===涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每星期的利润最大？最大利润是多少？设每件商品涨价x 元，每星期的利润为y 元（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表．原价每件涨价1元每件涨价2元…每件涨价x元每件利润（元）202122…______每星期销量（件）300290280…______（2）由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解．【答案】（1） （2）当定价为每件65使每星期的利润最大，最大利润是6250元【分析】（1）根据原价时，每件利润为20元，上涨x 元，则每件利润为元，再利用每涨价1元，每星期要少卖出10件，即可表示出实际销量；（2）利用每件利润每周销量=总利润进而得出答案．【小问1详解】分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表．原价每件涨价1元每件涨价2元…每件涨价x元每件利润（元）202122…20+x 每星期销量（件）300290280…300-10x 20300-10x x +，()20x +⨯故答案为：【小问2详解】由题意可得： ，则每件售价为：65元，答：当定价为每件65使每星期的利润最大，最大利润是6250元．24. 问题：（1）如图①，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；探索：（2）如图②，在Rt△ABC 与Rt△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：（3）如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．【答案】（1）BC ＝DC ＋EC ；（2）BD 2＋CD 2＝2AD 2；（3）AD ＝6.【分析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC ＝DC ＋EC（2）连接CE ，易证△BAD≌△CAE，再得到ED ＝AD ，然后在Rt△ECD中利用勾股定20300-10x x +，()()2030010y x x +=﹣2101006000x x ++-=()2=1056250x --+理即可求得其关系；（3）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BE ，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED 中，由勾股定理，得DE 2＝BD 2－BE 2，故2AD 2＝BD 2－CD 2，再解出AD 的长即可.【详解】(1)BC ＝DC ＋EC ．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ，∴BC＝BD ＋CD ＝EC ＋CD ．(2)BD 2＋CD 2＝2AD 2.证明如下：连接CE ，如解图1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE ＝AD ，AD ．在Rt△ECD 中，由勾股定理，得ED 2＝CE 2＋CD 2，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2.(3)将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BE ，如解图2所示，则AE ＝AD ，∠EAD＝90°，∴△EAD 是等腰直角三角形，AD ，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC ＝45°，AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠BAC＝90°，AB ＝AC ．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD，∴BE＝CD ，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED 中，由勾股定理，得DE 2＝BD 2－BE 2，∴2AD 2＝BD 2－CD 2.∵BD＝9，CD ＝3，∴2AD 2＝92－32＝72，∴AD＝6(负值已舍去)．25. 如图，抛物线与x 轴交于，两点，与y 轴交于点C ．直线l与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为．（1）求抛物线的解析式与直线l 的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q 是y 轴上的点，且，求点Q的坐标．2y ax bx c =++()2,0A -()6,0B ()4,3PAD V 45ADQ ∠=︒【答案】（1），； （2）△PAD 的面积最大值为，P （1，）； （3）（0，）或（0，-9）【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式；（2）过点P 作PE y 轴交AD 于E ，设P （n ，），则E （n ，），根据，得到PE 的值最大时，△PAD 的面积最大，求出PE 的最大值即可；（3）如图2，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于Q ，则∠ADQ=45°，作点T 关于AD 的对称点（1，-6），设D 交y 轴于点，则∠AD =45°，分别求出直线DT ，直线D 的解析式即可解决问题．【小问1详解】解：将点A 、B 、D 的坐标代入，，得，解得，∴抛物线的解析式为；∵直线l 经过点A ，D ，∴设直线l 的解析式y=kx+m ，2134y x x =-++112y x =+274154133∥2134n n -++112n +()132PAD D A S x x PE PE =⋅-⋅=V T 'Q 'Q 'Q 'T '2y ax bx c =++42036601643a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1413a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2134y x x =-++，得，∴直线l 的解析式为；【小问2详解】如图1，过点P 作PE y 轴交AD 于E ，设P （n ，），则E （n ，），∵，∴PE 的值最大时，△PAD 的面积最大，∵=，∴当n=1时，PE 的值最大，最大值为，此时△PAD 的面积最大值为，P （1，）；2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩121k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩112y x =+∥2134n n -++112n +()132PAD D A S x x PE PE =⋅-⋅=V 2113142PE n n n ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()219144n --+94274154【小问3详解】如图2，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于Q ，则∠ADQ=45°，∵D（4，3），∴直线DT 的解析式为，∴Q（0，）， 作点T 关于AD 的对称点（1，-6），则直线D 的解析式为y=3x-9，设D 交y 轴于点，则∠AD =45°，∴（0，-9），综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（0，）或（0，-9）。
2020-2021学年天津市九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在平面直角坐标系中，点P(4,−2)关于原点对称的点的坐标是()A. (−4,2)B. (4,2)C. (−2,4)D. (−4,−2)2.已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为()A. a>0，b>0B. a<0，b>0C. a>0，b<0D. a<0，b<03.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D.4.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B的度数是()A. 15°B. 40°C. 75°D. 35°5.在抛物线y=2x2−3x+1上的点是()A. (0,−1)B. (0,1)C. (−1,5)D. (3,4)6.二次函数y=2(x−1)(x−2)的图象与y轴的交点坐标是()A. (0,1)B. (0,2)C. (0,4)D. (0,−4)7.一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长是()A. 10mB. 12mC. 13mD. 14m8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BOD的度数为()A. 70°B. 90°C. 110°D. 140°9.抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.等边△ABC如图放置，A(1,1)，B(3,1)，等边三角形的中心是点D，若将点D绕点A旋转90°后得到点D′，则D′的坐标()A. (1+√33,0)B. (1−√33,0)或(1+√33,2)C. (1+√33,0)或(1−√33,2)D. (2+√33,0)或(2−√33,0)11.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是()A. AC=ADB. AB⊥EBC. BC=DED. ∠A=∠EBC12.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标为(1,n)，与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间(包含端点)，下列结论：①当x>3时，y<0；②−1≤a≤−2；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其3中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.方程x2−1=0的根为______ ．14.周长为10cm的长方形的一边长为xcm，其面积y(cm2)与x(cm)之间的关系式为______．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC=_________．16.已知圆O的半径长为6，若弦AB=6√3，则弦AB所对的圆心角等于______ ．17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△ADE可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，点D与点B是对应点，点E与点C是对应点)，连接CE，则∠CED的度数是______．18.如图，线段AB的长为6，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作两个等边三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE的最小值是_____________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.已知二次函数y=x2+bx−3(b是常数)(1)若抛物线经过点A(−1,0)，求该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)P(m,n)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在该抛物线上时，求m的值；(3)在−1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是−6，求b的值．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20.在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象，并标出对称轴和顶点坐标(1)y=12(x+2)2−2(2)y=12(x−1)2+221.在方格纸中画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°后的△A′BC′．22.如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF，求证：(1)△OEF是等腰三角形．(2)AC⏜=BD⏜．23.某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出的小分支是多少？24.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
2020-2021学年天津市和平区汉阳道中学九年级(上)月考数学试卷(一)(附答案详解)
2020-2021学年天津市和平区汉阳道中学九年级（上）月考数学试卷（一）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. 1x2+1x=2C. x2+2x=x2−1D. 3(x+1)2=2(x+1)2.方程3x2−2=1−4x的两个根的和为( )A. 43B. 13C. −23D. −433.下列关于x的方程有实数根的是( )A. x2−x+1=0B. x2+x+1=0C. (x−1)(x+2)=0D. (x−1)2+1=04.一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根中较大的根是( )A. 1+√5B. 1+√52C. 1−√52D. −1+√525.用配方法解方程3x2−6x+1=0，则方程可变形为( )A. (x−3)2=13B. 3(x−1)2=13C. (3x−1)2=1D. (x−1)2=236.函数y=ax2+ax+a(a≠0)的图象可能是下列图象中的( )A. B.C. D.7.把抛物线y=x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为( )A. y=(x+3)2+1B. y=(x+3)2−1C. y=(x−1)2+3D. y=(x+1)2+38.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( )A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 不能确定9.下列说法错误的是( )A. 二次函数y=3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大B. 二次函数y=−6x2中，当x=0时，y有最大值0C. 抛物线y=ax2(a≠0)中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D. 不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点10.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是( )A. m≤3B. m≥3C. m≤−3D. m≥−311.已知二次函数y=1−(x−a)(x−b)，其中a<b，m，n(m<n)是方程1−(x−a)(x−b)=0的两个根，则实数a、b、m、n的大小关系是( )A. a<m<n<bB. m<a<b<nC. a<m<b<nD. m<a<n<b12.已知抛物线y=x2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1，该抛物线与x轴的一个交点为(x1,0)，且0<x1<1，有下列结论：①abc>0；②9a−3b+c>0；③b<a④3a+c>0.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 413.方程x2=2x的解是______.14.若方程x2−4x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是______ .15.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有______个队参加比赛．16.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式为______.17.已知抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______.18.已知函数y1=x，y2=x2+bx+c，α，β为方程y1−y2=0的两个根，若α=13，β=12，则(1)函数y2的解析式为______；(2)若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，点M(t,T)在函数y2的图象上且13<t<12，则△ABM的面积S与t之间的函数关系为______.19.解方程(1)x2−16=0(2)x2−6x+10=020.(1)x2−2x−3=0(2)7x2−√6x−4=021.解方程：(1)3x(x+1)=3(x+3)；(2)x(2x−4)=5−8x.22.已知关于x的方程x2+ax+a−2=0，(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23.如图，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙长25米)，另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为40米，若要围成的养鸡场的面积为180平方米，求养鸡场的长与宽各为多少米．设与墙平行的一边长为x米．(1)填空：(用含的代数式表示)另一边长为______米；(2)列出方程，并求出问题的解．24.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．(1)根据题意，填空：①顶点C的坐标为______ ；②B点的坐标为______ ；(2)求抛物线的解析式；(3)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离ℎ(单位：米)随时间t(单(t−19)2+8(0≤t≤40)，且当点C到水面位：时)的变化满足函数关系ℎ=−1128的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？25.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0).(1)当b=2，c=−3时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；(2)二次函数的图象经过点B(m,e)，C(3−m,e).①求该二次函数图象的对称轴；②若对任意实数x，函数值y都不小于14a −12，求此时二次函数的解析式．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；B、1x2+1x=2不是整式方程，故B错误；C、x2+2x=x2−1是一元一次方程，故C错误；D、3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故D正确；故选：D.根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.2.【答案】D【解析】解：3x2+4x−3=0，所以方程的两个根之和为−43.故选D.先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.3.【答案】C【解析】解：A、△=(−1)2−4×1×1=−3<0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=12−4×1×1=−3<0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、x−1=0或x+2=0，则x1=1，x2=−2，所以C选项正确；D、(x−1)2=−1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误．故选：C.分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．【解析】解：∵一元二次方程x 2−x −1=0中，a =1，b =−1，c =−1， ∴△=b 2−4ac =1+4=5>0， ∴x =−b±√b 2−4ac2a =1±√52， x 1=1−√52，x 2=1+√52∴一元二次方程x 2−x −1=0的两个实数根中较大的根是1+√52.故选B. 利用公式x =−b±√b 2−4ac2a求得方程的两个根，然后找出较大的根即可．本题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式即可解答该题．5.【答案】D【解析】 【分析】本题考查分配方法解一元二次方程． 配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【解答】解：原方程为3x 2−6x +1=0，二次项系数化为1，得x 2−2x =−13， 即x 2−2x +1=−13+1，所以(x −1)2=23. 故选D.6.【答案】C【解析】解：在函数y =ax 2+ax +a(a ≠0)中，当a <0时，则该函数开口向下，顶点在y 轴左侧，抛物线与y 轴的负半轴相交，故选项D 错误；当a >0时，则该函数开口向上，顶点在y 轴左侧，抛物线与y 轴的正半轴相交，故选项A 、B 错误；故选项C 正确； 故选：C.根据函数y =ax 2+ax +a(a ≠0)，对a 的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题．本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．【解析】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=x2+3；由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=x2+3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=(x−1)2+3.故选C.直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．8.【答案】C【解析】解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x=−3，a<0，又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，则y1>y2.故选C.利用二次函数的性质即可解答．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，学会比较图象上点的坐标的大小．9.【答案】C【解析】解：A、二次函数y=3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；B、二次函数y=−6x2中，当x=0时，y有最大值0，说法正确，不符合题意；C、抛物线y=ax2(a≠0)中，|a|越大图象开口越小，|a|越小图象开口越大，说法错误，符合题意；D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点，说法正确，不符合题意．故选：C.根据抛物线的性质即可进行判断．本题考查了二次函数y=ax2(a≠0)的性质，是基础知识，需熟练掌握．10.【答案】A【解析】解：方法一：由图可知：y≥−3，即ax2+bx≥−3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=−m，∴当−m≥−3时，方程有实数根，即m≤3.方法二：由图象可知，抛物线顶点纵坐标y=−b 24a=−3，且a>0，∴b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴Δ=b2−4am=12a−4am≥0，即m≤3，故答案为A.结合图象可得y≥−3，即ax2+bx≥−3，由ax2+bx+m=0可得ax2+bx=−m，则有−m≥−3，即可解决问题，也可以利用一元二次方程根的判别式求解．本题主要考查抛物线与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．11.【答案】B【解析】解：二次函数y=1−(x−a)(x−b)相当于y=−(x−a)(x−b)向上平移一个单位，又∵二次项系数为−1，开口向下，如图所示：∴由图可得：m<a<b<n.故选：B.函数y=−(x−a)(x−b)与x轴的交点坐标的横坐标为a与b，二次函数y=1−(x−a)(x−b)相当于y=−(x−a)(x−b)向上平移一个单位，可以画函数，由函数图象即可求得答案．此题考查了二次函数与x轴的交点坐标问题与函数的平移的性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．12.【答案】B【解析】解：①∵a>0，对称轴为直线x=−1，可得a、b符号相同，故b>0；由抛物线与x轴的一个交点为(x1,0)，且0<x1<1，函数图象与y轴交于负半轴，可知c<0.∴abc<0，故①错误；②∵0<x1<1，∴点(1,a+b+c)在第一象限，又∵对称轴为直线x=−1，∴(−3,9a−3b+c)在第二象限，故9a−3b+c>0，故②正确；=−1，∴b=2a，③∵−b2a∴b−a=2a−a=a>0，∴b>a>c，故③错误；④把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0，故④正确；故选：B.①根据已知可得a、b、c的符号从而可以判断①是否正确；②由对称轴为直线x=−1，可知点(1,a+b+c)，(−3,9a−3b+c)是抛物线是两个对称点，根据0<x1<1，a>0，判断点(1,a+b+c)，所在的象限，可知点(−3,9a−3b+ c)所在的象限，从而判断9a−3b+c的符号；=−1，即b=2a>0，而0<x1<1，抛物线开口向上，可③由对称轴公式可知，−b2a知抛物线与y轴交于负半轴，c<0，可判断b、c的大小关系；④由②③可知，把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0.本题考查二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是可以看懂二次函数的图象，根据图象可以判断a、b、c的符号，灵活变化，能够找出所求各结论需要的条件．13.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：∵x2=2x∴x2−2x=0，∴x(x−2)=0，∴x=0或x−2=0，∴x1=0，x2=2.故答案为x1=0，x2=2.先移项得到x2−2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x(x−2)=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x−2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=2.本题考查了解一元二次方程-因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．14.【答案】m≤4【解析】解：∵方程x2−4x+m=0有两个实数根，∴△=b2−4ac=16−4m≥0，∴m≤4.故填空答案：m≤4.由于方程x2−4x+m=0有两个实数根，那么其判别式是非负数，由此得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．15.【答案】6【解析】解：设有x队参加比赛．x(x−1)=30，(x−6)(x+5)=0，解得x=6，x=−5(不合题意，舍去).故答案为6.本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×(队的个数−1)=56，把相关数值代入计算即可．16.【答案】y=x2−4x+3(不唯一)【解析】【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．根据题意确定出满足题意抛物线解析式即可．【解答】解：根据题意得：y=(x−2)2−1，整理得：y=x2−4x+3(不唯一)，故答案为：y=x2−4x+3(不唯一)17.【答案】4或−8或−2【解析】【分析】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．【解答】解：当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=[−(k+2)]2−4×9=0，解得k=4或k=−8；当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在y轴上时，x=−b2a =k+22=0，解得k=−2.故答案为4或−8或−2.18.【答案】y 2=x 2+16x +16 S =−112t 2+572t −172(13<t <12) 【解析】解：(1)∵y 1−y 2=0， ∴x −(x 2+bx +c)=0，即x 2+(b −1)x +c =0∵α，β为方程y 1−y 2=0的两个根，且α=13，β=12，∴{13+12=1−b 13×12=c ，解得：b =16，c =16∴函数y 2的解析式为y 2=x 2+16x +16， 故答案为y 2=x 2+16x +16；(2)由A(12,12)B(13,13)得：AB =√(12−13)2+(12−13)2=√26， 过M 作MF ⊥AB 于F ，过M 作ME ⊥y 轴于E ，作MD ⊥x 轴交y 1=x 于D ，过D 作DC ⊥x 轴于D ，设△ABM 的高为h ，则△MDF 是等腰直角三角形，MF =ℎ， ∵CD =EM =DN ， ∴MD =t −T ， ∴ℎ=√22DM =√22(t −T)，∵点M(t,T)在函数y 2的图象上， ∴T =t 2+16t +16， ∴t −T =−t 2+56t −16，∴S △ABM =12AB ⋅ℎ=12×√26×√22(−t 2+56t −16)=−112t 2+572t −172(13<t <12)，故答案为S =−112t 2+572t −172(13<t <12).(1)利用根与系数的关系列方程组，或直接把α=13，β=12分别代入y 1−y 2=0，确定b ，c 的值而求得函数y 2的解析式；(2)过M 作MF ⊥AB 于F ，过M 作ME ⊥y 轴于E ，作MD ⊥x 轴交y 1=x 于D ，过D 作DC ⊥x 轴于D ，设△ABM 的高为h ，则△MDF 是等腰直角三角形，MF =ℎ，求得AB ，然后明确ℎ=√22DM =√22(t −T)，然后根据三角形面积公式即可求得．本题综合考查一次函数及二次函数的相关知识，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，解直角三角形等，数形结合是解题的关键．19.【答案】解：(1)x 2−16=0，x 2=16， x =±4，所以x 1=4，x 2=−4； (2)x 2−6x +10=0， x 2−6x =−10， x 2−6x +9=−1， (x −3)2=−1， 因为负数没有平方根， 所以原方程没有实数解．【解析】(1)先移项得到x 2=16，然后利用直接开平方法解方程；(2)利用配方法得到(x −3)2=−1，然后根据负数没有平方根可判断原方程没有实数解． 本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法解一元二次方程．20.【答案】解：(1)x 2−2x −3=0，(x −3)(x +1)=0， x −3=0或x +1=0， 所以x 1=3，x 2=−1； (2)7x 2−√6x −4=0， a =7，b =−√6，c =−4，Δ=(−√6)2−4×7×(−4)=4×37>0， x =−b±√b 2−4ac2a=√6±2√372×7， 所以x 1=√6+2√3714，x 2=√6−2√3714. 【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x −3=0或x +1=0，然后解两个一次方程即可；(2)先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．21.【答案】解：(1)3x(x +1)=3(x +3)，3x 2+3x =3x +9， 3x 2=9， x 2=3， x =±√3，即x 1=√3，x 2=−√3；(2)x(2x −4)=5−8x ， 整理得：2x 2+4x −5=0，Δ=b 2−4ac =42−4×2×(−5)=16+40=56>0， 所以x =−b±√b 2−4ac2a =−4±√562×2， 解得：x 1=−2+√142，x 2=−2−√142.【解析】(1)去括号，移项后得出3x 2=9，求出x 2=3，再开方即可； (2)整理后求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能正确适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．22.【答案】解：(1)将x =1代入方程x 2+ax +a −2=0，可得1+a +a −2=0，解得：a =12； ∴方程为x 2+12x −32=0， 设另一根为x 1，则1⋅x 1=−32， ∴x 1=−32；(2)∵△=a 2−4×(a −2)=a 2−4a +8=(a −2)2+4>0， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解析】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0,a,b,c 为常数)的根的判别式△=b 2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义及韦达定理． (1)将x =1代入方程x 2+ax +a −2=0得到a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根即可；(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答即可．23.【答案】40−x 2【解析】解：(1)设与墙平行的一边长为x 米，另一边长为40−x 2米，故答案是：40−x 2；(2)设平行于墙的一边为x 米，则另一边长为40−x 2米，根据题意得：x ⋅40−x 2=180，整理得出：x 2−40x +360=0，解得：x 1=20+2√10，x 2=20−2√10， 由于墙长25米，而20+2√10>25， ∴x 1=20+2√10，不合题意舍去，∵0<20−2√10<25，∴x2=20−2√10，符合题意，=10+√10，此时40−x2答：此时鸡场靠墙的一边长(20−2√10)米，宽是(10+√10)米．(1)首先设平行于墙的一边为x米，则另一边长为40−x米；2(2)然后根据矩形的面积=长×宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为180m2，可得方程，解方程即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．24.【答案】(1)(0,11)，(8,8)；(2)∵点C到ED的距离是11米，∴OC=11，设抛物线的解析式为y=ax2+11，由题意得B(8,8)，∴64a+11=8，解得a=−3，64x2+11；∴y=−364(3)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为11−5=6(米)，(t−19)2+8，∴6=−1128∴(t−19)2=256，∴t−19=±16，解得t1=35，t2=3，∴35−3=32(小时).答：需32小时禁止船只通行．【解析】解：(1)由题意OC=11，OD=8，BD=AE=8，∴C(0,11)，B(8,8)，故答案为(0,11)和(8,8).(2)见答案；(3)见答案.【分析】(1)求出OC、OD、BD的长即可解决问题．(2)根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；(3)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．25.【答案】解：(1)将b=2，c=−3代入得：y=ax2+2x−3.将x=1，y=0代入，a+2−3=0，∴a=1.∴y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴当x=−1时，y最小值为−4.(2)①由题意可知：对称轴x=m+3−m2=32.②∵−b2a =32，∴b=−3a，又∵a+b+c=0，∴c=2a，∴y=ax2−3ax+2a顶点纵坐标为4ac−b 24a =−a24a，∵函数值不小于14a −12，∴a>0，且−a24a ≥14a−12，∴a2−2a+1≤0，∴(a−1)2≤0，∵(a−1)2≥0，∴a−1=0，∴a=1.【解析】(1)利用待定系数法以及配方法即可解决问题．(2)①根据对称性B、C关于对称轴对称，即可解决问题．②首先求出b、c(用a表示)，想办法列出不等式即可解决问题．本题考查待定系数法、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．。
人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案(含2套题)
密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ． cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 的值全变 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．64B ．16C ．24D ．32封线内不得10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（﹣4），求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根（1）求x1+x2，x1x2的值；（2）求2x12+6x2﹣2015的值．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题20．如图所示，△ABC 与点O 在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M 能盖住△ABC ，则⊙M 的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为E ，点D 在CA 的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°（1）求∠AOB 的度数； （2）若AE=1，求BC 的长．22．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是：S=60t ﹣1.5t 2（1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t 的取值范围；（3）画出函数S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停来？23．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：密封 线 内 不 得①求∠AFC 的度数； ②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B ． 2．A ． 3． B ．4.C ．5.D ．6.D ．7.B ．8.D ． 9. D ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为 0 ．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离 7cn 或17cm ．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为 ﹣2 ．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 x ＞3或x ＜﹣1 ．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 （2﹣3）a ≤DE ≤a ． ．三、解答题（共8小题，共72分）17． 解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0，题解得：x 1=1，x 2=﹣2．18.解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19.解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20.解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作； （2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21.解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2， 解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．23.解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ，密 封 内∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，则有FG=AF=x ，BG=CF=y ． 在Rt △BHG 中，BH=BG •sin ∠BGH=BG •sin60°=y ，GH=BG •cos ∠BGH=BG •cos60°=y ， ∴FH=FG ﹣GH=x ﹣y ． 在Rt △BHF 中，BF 2=BH 2+FH 2 =（y ）2+（x ﹣y ）2=x 2﹣xy+y 2．∴==1；（2）过点E 作EN ⊥AB 于N ，连接MC ，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t ，CE=2（t ﹣3）=2t ﹣∴BE=6﹣（2t ﹣6）=12﹣2t ，BN=BE •cosB=BE=6﹣t ， ∴DN=t ﹣（6﹣t ）=2t ﹣6， ∴DN=EC ．∵△DEM 是等边三角形， ∴DE=EM ，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC ． 在△DNE 和△ECM 中，，∴△DNE ≌△ECM ， ∴∠DNE=∠ECM=90°，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴M 点运动的路径为过点C 垂直于BC 的一条线段．当t=3时，E 在点B ，D 在AB 的中点， 此时CM=EN=CD=BC •sinB=6×=3；当t=6时，E 在点C ，D 在点A ， 此时点M 在点C ．∴当3≤t ≤6时，M 点所经历的路径长为3．24.解：（1）设抛物线上有一点（x ，y ）， 由定义知：x 2+（y ﹣）2=|y+|2，解得y=ax 2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x 2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x 2﹣n 2由y=x 2向下平移n 2个单位所得， ∴其焦点为A （0，﹣n 2），准线为y=﹣﹣n 2， 由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ， ∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2， ∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2），设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 线 得 人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ）A ．y=2（x+1）2+3B ．y=2（x ﹣1）2﹣3C ．y=2（x+1）2﹣3D ．y=2（x ﹣1）2+3 10．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y51﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x= 13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解方程：x 2﹣4x+2=0．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时， y= ；（2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．21．已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，总面积为5万平方米，费用的5%开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，定位每平方米3000100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2发商不再出售，准备作为商业用房对外出租）每平方米多少元？23．正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EGEG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．B ．2. C ．3. B ．4. C ．5．B ．6．A ．7．A ．8．D ．9．A ． 10.B ．11.B ．12.D ．13.A ．14.D ．15.C ．二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解：x 2﹣4x=﹣2 x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或 ∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4， ∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形．答 题∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19.解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元；20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求；（2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求；（3）x 的值为6或7．21.解：（1）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2， 原方程为x 2﹣5x+6=0⇒x 1=2，x 2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2． 则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x 2﹣4x+4=0⇒x 1=x 2=2 即，等腰三角形的三边为2，2，3． 则周长为7，面积为22.解：（1）15×100=1500万， 1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万， 1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万． 答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x 个100元，依题意有 （5﹣0.1x ）=8660+7300， 解得x 1=12，x 2=8，又因为当x 1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，所以舍去；当x 2=8时，卖房时间为20个月； 则房价为3000+8×100=3800元． 答：房价应定为每平方米3800元．23.解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ． ∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ， ∴∠BAE=∠DAF ． 在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ） ∴AE=AF ；（2）如图②，连接AG ， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．密 封 题∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ， ∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ， ∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ，∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24.解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0．∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 的坐标为（3，1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0① 由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。