线性代数作业第六章

第六章 二次型

1. 用矩阵记号表示下列二次型．

1) 32212322

21321643),,(x x x x x x x x x x f -++-=

2) 322322

213214332),,(x x x x x x x x f +++=

3) 43423241212423

214321462242),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x f +--++++=

2. 已知二次型312322

21321)2(22),,(x x b bx x bx x x x f -+++=的秩为2． 1) 求参数b ；

2) 用正交变换将),,(321x x x f 化为标准型；(要求写出正交变换的矩阵)

3) 求方程0),,(321=x x x f 的全体解向量．

3. 已知二次型Ax x T 321),,(=x x x f 在正交变换Qy x =下的标准型为2221y y +，且

Q 的第3列为T

22,0,22⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛． 1) 求矩阵A ；

2) 证明E A +为正定矩阵．

4. 判别下列二次型的正定性．

1) 3231212322

213211022203),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=

2) 32212322

213214252),,(x x x x x x x x x x f +----=

5. 若n 维非零列向量m x x x ,,,21 满足条件)(0T j i i ≠=Ax x ，其中A 是n 阶正定

矩阵．证明向量组m x x x ,,,21 线性无关．

6. 已知U U A T =，其中U 是可逆的实矩阵，证明A 是正定矩阵．

7. 填空、选择题．

1) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=000010001B ，则A 与B (a) 合同，且相似； (b) 合同，但不相似； (c) 不合同，但相似； (d) 既不合同，也不相似．

2) 设A 是n m ⨯实矩阵，且A A T 为对称正定矩阵，则=A rank

3) 当t 满足 时，二次型31212322

212)1(22x x x x t tx x x f +-+++=是正定的．

4) 若方阵A 是正定矩阵，则下列不一定成立的结论是

(a) *A 是正定矩阵； (b) 1-A 是正定矩阵； (c) A k 是正定矩阵(其中k 为实数)； (d) A 的特征值都大于零；

5) 若方阵A 是正交矩阵，则下列不一定成立的结论是

(a) *A 是正交矩阵； (b) 1-A 是正交矩阵； (c) A k 是正交矩阵(其中k 为实数)； (d) 1)(det 2=A ；

6) 若A ，B 是n 阶方阵，则下列不成立的结论是

(a) A ，B 是可逆矩阵，则B A +必是可逆矩阵； (b) A ，B 是对称矩阵，则B A +必是对称矩阵； (c) A ，B 是正交矩阵，则B A 1-必是正交矩阵； (d) A ，B 是正定矩阵，则B A +必是正定矩阵．