北航《线性代数》在线作业一二三答案
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
北航《高等数学(上)》在线作业一
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
29. y=tan2x既是偶函数也是周期函数
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
30.。
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
31.
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
32.题目如图所示：
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
21.
题目如图所示：
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
22.如图。
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
23.。
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
24.一般情况下，对于可导函数y=f(x),dy=f′(x)dx。
A.错误
B.正确
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
9.函数可积与函数可导之间既非充分也非必要条件
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
10.可导的偶函数的导数为非奇非偶函数.
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
11.连续函数y=cosx在闭区间[0,5]上存在最大最小值
A.错误
B.正确
C.
D.
正确答案：C满分：2分得分：2
10.如图。
A. 0.5
B. -0.5
C. -0.25
D. 0.25
正确答案：B满分：2分得分：2
11.
题目如图所示：
[宝典]简明线性代数课后答案1-3
![[宝典]简明线性代数课后答案1-3](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/1f18412066ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb0b.webp)
习 题 1.31．已知100210101⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭A ,112012001-⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭B ,求1|()|-BA .解: 1|()|-BA 11||(||||)1--==⋅=BA B A .2．已知A 是三阶方阵,且||2=A ,求1|3|-A ,*||A 和1*1|(3)|2--A A .解: 1|3|-A 112727||27||2--===A A ,*||A 2||4==A ,1*1|(3)|2--A A 1*11||32-=-A A **11||62=-A A*1||3=-A *14||2727=-=-A .3．求线性变换11232123312322,35,323x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩的逆变换.解: 线性变换的系数矩阵221315323⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,其伴随矩阵为*749637324-⎛⎫⎪=-- ⎪--⎝⎭A .将||A 按第1行展开,得||272(6)1(3)1=⨯+⨯-+⨯-=-A ,因此A 可逆,且有1*7491637||324---⎛⎫ ⎪==- ⎪-⎝⎭A A A .所求逆变换为1123212331232,64,53.x y y y x y y y x y y y =-++⎧⎪=-++⎨⎪=--⎩4．利用逆矩阵求以下方程的解:（1）110200212020321002-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭X;解: 记矩阵110212321-⎛⎫⎪=- ⎪-⎝⎭A ,其伴随矩阵*312412111-⎛⎫⎪=- ⎪--⎝⎭A .将||A 按第1行展开,得||13(1)40(1)1=⨯+-⨯+⨯-=-A ,因此A 可逆,且有1*3121412||111---⎛⎫⎪==-- ⎪-⎝⎭A A A .所求解为312200624412020824111002222----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭X .（2）211113210432111-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭X .解: 记矩阵211210111-⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭A ,其伴随矩阵*101232330⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭A .将||A 按第1行展开,得||211(2)(1)(3)3=⨯+⨯-+-⨯-=A ,因此A 可逆,且有1*10111232||3330-⎛⎫ ⎪==--⎪-⎝⎭A A A .所求解为1012211131232824325333033-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅--= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭-⎝⎭⎝⎭X .5．设101020001⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,求12(3)(9)-+-A I A I .解: 121(3)(9)(3)(3)(3)--+-=++-A I A I A I A I A I(3)=-A I 201010002-⎛⎫⎪=- ⎪-⎝⎭.6．已知101020101⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭A ,且2+=+AB I A B ,求B .解: 由2+=+AB I A B ,得 2-=-AB B A I ,()()()-=-+A I B A I A I .因001||0101100-==-A I ,所以1()--A I 存在,于是=+B A I 201030102⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭.7．设1111121113-⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解: *11*521()()220101----⎛⎫⎪==- ⎪-⎝⎭A A .8．设=AP PB ,其中1411--⎛⎫= ⎪⎝⎭P ,1002-⎛⎫= ⎪⎝⎭B ,求11A .解: 容易求得1114113-⎛⎫= ⎪--⎝⎭P .于是由=AP PB 得1-=A PBP ,21121()---==A PBP PBP PB P ,…,11111-=A PB P 1111410141102113---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1110114141111023---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭13111121411123⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 131311111124212423⎛⎫++= ⎪----⎝⎭27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭.9．设301110014⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,且2=+AB A B ,求B .解: 由2=+AB A B ,得(2)-=A I B A .1012110012⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎝⎭A I ,*211(2)221111-⎛⎫⎪-=- ⎪--⎝⎭A I ,|2|1(2)0(2)111-=⨯-+⨯-+⨯=-A I ,因此2-A I 可逆,且有1*1(2)(2)|2|--=--A I A I A I 211221111--⎛⎫⎪=-- ⎪-⎝⎭.由(2)-=A I B A ,得1(2)-=-B A I A 211221111--⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭301110014⎛⎫⎪⎪⎝⎭522432223--⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭.10．设n =A O ,证明121()n ---=++++I A I A A A .证明: 由n=A O ,得21()()n n --++++=-= I A I A A A I A I ,因此121()n ---=++++I A I A A A .11．设方阵A 满足方程224--=A A I O ,证明3-A I 可逆,并求其逆矩阵.证明: 由224--=A A I O ,得2(3)()23-+=--=A I A I A A I I , 因此3-A I 可逆,且有1(3)--=+A I A I .12．设B 为可逆矩阵,A 与B 同阶,且满足22++=A AB B O ,证明A和+A B 均为可逆矩阵.证明: 因B 为可逆矩阵,所以||0≠B .由22++=A AB B O ,得2()+=-A A B B ,两边取行列式,得22||||||(1)||0n ⋅+=-=-≠A A B B B ,(n 为A 与B 的阶数).于是||0≠A ,||0+≠A B ,所以A 和+A B 均为可逆矩阵.。
2021北航矩阵理论论课后参考答案
−1 1 λ − 2
1 λ − λ(λ −1) − (λ −1) ≅ 0 − λ(λ −1) − (λ −1) c2↔c3→
0 λ −1
λ −1 0 λ −1
λ −1
1 0
0
1 0
0
0 0
− (λ −1)
λ −1
−
λ(λ
λ−
− 1
1)
r3+r 2→0 0
− (λ −1)
0
阵较为好求，故我们将式 5 转化一下变为 C-1 = C2−1C1 ，
1 3 2 1 0 0 r2+(2)r1 1 3 2 1 0 0
[C2 I ] = − 2 -1 1 0 1 0 r3+(−1)r1→0 5 5 2 1 0
1 2 2 0 0 1
0 -1 0 -1 0 1
1r2
5 (−1)r 3
− −
λ(λ(λ−−1)12)
≅
1 0
0
00
− (λ −1)
0
−
0
(λ −
1)2
故其初等因子为 (λ −1),(λ −1)2 ，所以
1 0 0 J = 0 1 1
0 0 1
令 P = [X1, X 2, X3],则有 AP = PJ ,即
1 0 0 A( X1, X 2, X3) = ( X1, X 2, X3)0 1 1
根，则最小多项式为
mA(λ) =λk (λ − tr(A)), k ≥ 1
因为
P−1[ A( A − tr( A)I )]P = 0
故 n 阶矩阵 A 的最小多项式为 λ2 − tr(A)λ 。
18 证明：
不妨引入辅助矩阵，则有下式成立
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
北航线性代数答案1
北航《线性代数》在线作业一一、单选题：1. 设方阵A与B等价，则() （满分：7）A. A与B的对称矩阵合同B. A与B相似C. r(A)=r(B)D. |A|=|B|正确答案:C2. 设A 为mxn 矩阵，非线性方程组Ax=b , r(A)=r则( ) （满分：7）A. r<m 时，方程组有无穷多解B. r=n时，方程组有唯一解C. r=m 时，方程组有解D. m=n时，方程组有唯一解正确答案:B3. n元齐次线性方程组AX=0存在非零解的充要条件是( ) （满分：7）A. A的列线性无关B. A的行线性无关C. A的行线性相关D. A的列线性相关正确答案:D4. A、B均为n阶方阵，则必有（满分：7）A. det(A)det(B)=det(B)det(A)B. det(A+B)=det(A)+det(B)C. (A+B)的转置=A+BD. (AB)的转置＝A的转置乘与B的转置正确答案:A5. 题见图片（满分：7）A. AB. BC. CD. D正确答案:B6. 设A为实对称矩阵，且A的平方等于0矩阵。
那么（满分：7）A. AAA=0B. AE=EC. EA=ED. AEA=E正确答案:A7. A为n阶实对称矩阵，那么（满分：7）A. A的特征值是实数。
B. A有n个线性无关的特征向量。
C. A可能有n+1个线性无关的特征向量。
D. A最多有n个线性无关的特征向量。
正确答案:B8. 题见图片（满分：7）A. AB. BC. CD. D正确答案:D9. 题面见图片（满分：7）A.B.C.D.正确答案:D10. 题面见图片（满分：7）A.B.C.D.正确答案:A二、多选题：1. 题面见图片（满分：6）A. 错误B. 正确正确答案:B2. 若向量组是线性相关的，则必任一向量可由其余向量线性表出（满分：6）A. 错误B. 正确正确答案:A3. 若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零则A的秩必然大于等于r （满分：6）A. 错误B. 正确正确答案:B4. 齐次线性方程组任意两个解之和任然是原方程组的解（满分：6）A. 错误B. 正确正确答案:B5. 正交矩阵的乘积也是正交矩阵（满分：6）A. 错误B. 正确正确答案:B。
北航线代期末考试模拟题3(含答案)
线性代数期末考试模拟试题三一、是非、选择题（每小题3分，共15分）1.设A与B均是n阶方阵，则下列结论中_______成立(A).若|AB|=0，则A=O或B=O(B).若|AB|=0，则|A|=0 或|B|=0(C).若AB=O，则A=O或B=O(D).若AB≠O，则|A|≠0 或|B|≠02.α1=(1,1,0,0),α2=(0,0,1,1),α3=(1,0,1,0),α4=(1,1,1,1),则它们的极大无关组为______(A).α1,α2；(B).α1,α2,α3；(C).α1,α2,α4；(D).α1,α2,α3,α4；3.若n阶实对称矩阵A满足A2=O，则A=O ( )4.若齐次线性方程组Ax=0只有零解,则A的列向量组线性无关（）5.若n阶实对称矩阵A=(a ij)n×n正定，a ij>0 (i=1,2,…n) ( )二、填空题（每小题3分，共12分）1.二次型f()=的秩为______2.设A为n阶方阵，且|A|=2，则的值为________3.已知矩阵A= 与B=相似，则x=________,y=___________.4.当t取值为________时，二次型为负定的。
三．(10分)已知向量与,求矩阵的所有特征值四．(10分)求解矩阵方程X=五、（15分）λ取何实值时，线性方程组有唯一解，无穷多解，无解？在有无穷多解的情况下求通解。
六、１.（5分）设A为正交矩阵且|A|=-1,证明-E-A 不可逆２.（5分）设n阶可逆矩阵A中每行元素之和为常数a,证明:(1)常数a≠0;(2)的每行元素之和为;七、（6分）设求八、（12分）用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换九、（10分）已知四维向量空间R4的两个基：(Ⅰ)(Ⅱ)且向量α在基(Ⅰ)下的坐标为(0,-3,-1,1),求：(1)由基(Ⅱ)到基(Ⅰ)的过渡矩阵；(2)向量α在基(Ⅱ)下的坐标模拟试题三参考答案一．1.（B）2.（B）3.（对）4.（对）5.（对）二．1．2 ；2.3.x =0,y =-2 ；4.|t|<三．.四．X =五．(1).当λ≠±1时，有唯一解；(2).当λ=1时，R(A|B)=4, R(A)=3，无解；(3). 当λ=-1时，R(A|B)=R(A)=3，有无求多解，通解为，k为任意常数六．(略).七．八、正交变换化二次型为九．(1) 由基(Ⅱ)到基(Ⅰ)的过渡矩阵为=(2).向量α在基(Ⅱ)下的坐标为(6,-6,6,-6).。
线性代数课后习题答案全）习题详解
线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。
北航线性代数答案3
北航《线性代数》在线作业三一、单选题：1. 题见图片（满分：7）A. AB. BC. CD. D正确答案:B2. 设有向量组A=(1,2,-1);B=(0,2,5);C=(0,1,3);D=(7,8,9)则（满分：7）A. D不能由A,B,C线性表出B. D可以由A,B,C线性表出，但表示法不唯一C. D可以由A,B,C线性表出，表示法唯一D. 向量组A,B,C,D线性无关正确答案:B3. 题面见图片（满分：7）A.B.C.D.正确答案:C4. 题见下图（满分：7）A. AB. BC. CD. D正确答案:D5. 题见图片（满分：7）A. AB. BC. CD. D正确答案:C6. 题面见图片（满分：7）A.B.C.D.正确答案:B7. 设A为mxn 矩阵，若任何n 维列向量都是方程组AX=0的解，那么必有( ) （满分：7）A. 0<r(A)<nB. A=0C. r(A)=nD. r(A)=m正确答案:B8. 题面见图片（满分：7）A.B.C.D.正确答案:A9. 设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有( ) （满分：7）A. k<3B. k≤3C. k=3D. k>3正确答案:B10. b取什么值的时候(3,10,b,4)能由(1,4,0,2),(2,7,1,3),(0,1,-1,a)线性表示。
（满分：7）A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案:B二、多选题：1. 若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零，且存在一个r+1阶子式为零，则A的秩为r （满分：6）A. 错误B. 正确正确答案:A2. 题面见图片（满分：6）A. 错误B. 正确正确答案:B3. 正交矩阵的伴随矩阵也是正交矩阵（满分：6）A. 错误B. 正确正确答案:B4. 二次型为正定的等价条件是对应的矩阵为正定矩阵（满分：6）A. 错误B. 正确正确答案:B5. 线性方程组进行初等变换后与原方程组同解。