微分方程3种解法——含冲激函数匹配法
微分方程的解法
微分方程的解法微分方程是数学中的重要概念，被广泛应用于各个领域。
解微分方程是找到满足给定条件的函数表达式或数值解的过程。
在本文中，我将介绍微分方程的几种解法，并说明其具体应用。
一、一阶微分方程的解法一阶微分方程是最基础的微分方程类型，通常形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。
下面介绍两种常见的一阶微分方程的解法：1. 分离变量法：分离变量法适用于可以将微分方程中的变量分开的情况。
具体步骤如下：(1) 将方程变形，将含有dy和dx的项分别放在等式两边；(2) 将等式两边分别关于y和x进行积分；(3) 解得y的表达式，得到方程的通解。
2. 齐次微分方程的解法：齐次微分方程是形如dy/dx=f(y/x)的微分方程。
具体步骤如下：(1) 令v=y/x，将原微分方程化为关于v的方程；(2) 求得关于v的方程的通解；(3) 代入v=y/x，得到原微分方程的通解。
二、二阶微分方程的解法二阶微分方程是更加复杂的微分方程类型，形如d²y/dx²=f(x,y,dy/dx)。
下面介绍两种常见的二阶微分方程的解法：1. 特征方程法：特征方程法适用于二阶常系数线性齐次微分方程。
具体步骤如下：(1) 假设原方程的解为y=e^(rx)，代入原方程，求得r的值；(2) 根据r的不同情况分别求得通解。
2. 变量替换法：变量替换法适用于二阶非齐次微分方程，通过适当的变量替换将原方程化简为一阶方程。
具体步骤如下：(1) 假设y=v/u，将原方程变形；(2) 求出v和u的关系式，将原方程转化为v和u的一阶方程组；(3) 解一阶方程组，得到u的表达式；(4) 代入y=v/u，得到原方程的通解。
三、应用案例微分方程作为数学工具，在物理学、生物学、工程学等领域有广泛的应用。
以下是一些实际应用案例：1. 弹簧振动方程：假设弹簧的振动满足y''+k/m*y=0，其中k是弹簧的劲度系数，m是弹簧的质量。
冲击函数匹配法
由初始条件确定常数A1,A2.
r
r(0) (0)
A1 A1
A2
1 6
2 A2
2 3
1
2
得
A1
A
2
11
3 5
2
所以,系统响应为
r (t ) 11 e t 5 e 2t 1 e 4t t0
3
2
6
完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称 为系统的强迫响应.特征方程根i(i=1,2,…,n)称为系 统的‘固有频率’(或‘自由频率’)
例2-3:电路见图(1).t<0开关S处于1的位置且已经达
到稳态;t=0时,
S由1转向2,求
i(0 )和
d dt
i(0 )
解: 换路前
i(0)
iL(0)
R1
2 R2
4 5
A
d dti(0)
0
2 1 i(t)
C
uC(0)
iL(0)R2
43 52
6V 5
图(1)
换路后,作出0+时刻等效电路,见图(2).
解:将e(t)=u(t)代入方程式(1),求得t=0时微分方程表示为
d2 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
2 r (t )
(t)
3 u (t )
(2)
Δu(t)为0-到0+相对单位跳变函数,方程(2)右端自由项中含有(t),故
从0-到0+状态发生跳变.
方程(2)右端的冲激函数项最高阶次是(t),因而可以设
r (k) (0 )
[r (0 ),
d dt
r
(0
),
,
微分方程组求解方法
微分方程组求解方法微分方程组是描述自然现象的一种重要数学模型，可以用于解决许多实际问题。
解微分方程组有许多不同的方法，常见的有直接法、变量分离法、常数变易法、齐次方程法、二阶线性常系数齐次微分方程法等等。
接下来，我将详细介绍这些常见的微分方程组求解方法。
1.直接法：如果能直接从方程组中解出一个或多个未知函数，则可以直接得到微分方程组的解。
但是这种方法只适用于少数情况，大多数微分方程组需要使用其他方法求解。
2. 变量分离法：对于一个可分离变量的微分方程组，可以通过将方程两边变量分离，然后分别对两边进行积分的方式得到解。
例如，对于方程组dy/dx = f(x)g(y)，可以将方程两边同时除以g(y)，然后将变量分离即可得到解。
3. 常数变易法：对于一般的非齐次微分方程组，可以通过令未知函数的系数为常数来转化为齐次微分方程组来求解。
例如，对于方程组dy/dx = f(x) + g(x)y，可以令g(x)为常数，然后将方程组转化为齐次微分方程组dy/dx = f(x) + gy，再使用其他方法求解。
4. 齐次方程法：对于齐次微分方程组，可以使用变量代换的方式将其转化为一阶线性常系数齐次微分方程组求解。
例如，对于方程组dy/dx = f(x)/g(x)，可以令y = ux，然后将方程组转化为一阶线性常系数齐次微分方程组du/dx + (u - f(x)/g(x))/x = 0，再使用其他方法求解。
5. 二阶线性常系数齐次微分方程法：对于二阶线性常系数齐次微分方程组，可以使用特征方程法求解。
首先，假设方程组的解为y =e^(mx)，然后将其代入方程组中得到特征方程，求解特征方程的根，然后根据根的类型（不同、相等、复数根）确定方程组的通解。
在实际问题中，常常需要将微分方程组转化为矩阵形式进行求解。
例如，对于二阶线性常系数齐次微分方程组，可以将其转化为矩阵方程Dy=Ay，其中D是微分算子，A是常数矩阵，y是未知函数向量。
微分方程解析解方法总结
微分方程解析解方法总结微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界中各种变化的规律。
解析解是指能够用一种或多种函数表示出的微分方程的解。
本文将总结一些常见的微分方程解析解方法。
一、变量分离法变量分离法适用于可将微分方程中的变量分离的情况。
具体步骤如下：1. 将微分方程移项，将所有含有未知函数的项放在方程的一边，将不含未知函数的项放在另一边。
2. 对方程两边同时积分，得到两个不定积分。
3. 对两个不定积分进行求解，得到解析解。
二、常数变易法常数变易法适用于形如齐次线性微分方程的情况。
具体步骤如下：1. 假设微分方程的解为y=C(x)f(x)，其中C(x)为待定常数函数，f(x)为未知函数。
2. 将假设的解代入微分方程，得到一个关于C(x)和f(x)的方程。
3. 通过求解该方程，得到C(x)和f(x)的表达式。
4. 将C(x)f(x)作为微分方程的解析解。
三、齐次方程法齐次方程法适用于形如齐次线性微分方程的情况。
具体步骤如下：1. 将微分方程改写为dy/dx=g(y/x)，其中g为一元函数。
2. 令y=ux，将微分方程转化为关于u和x的方程。
3. 对关于u和x的方程进行求解，得到u的表达式。
4. 将u=x/y代入y=ux，得到微分方程的解析解。
四、特征方程法特征方程法适用于形如二阶常系数线性齐次微分方程的情况。
具体步骤如下：1. 将二阶微分方程写成特征方程r^2+pr+q=0的形式。
2. 求解特征方程，得到两个根r1和r2。
3. 根据根的情况，可得到微分方程的解析解的形式。
五、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法适用于解决常系数线性微分方程的情况。
具体步骤如下：1. 对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换。
2. 根据拉普拉斯变换的性质，将微分方程转化为代数方程。
3. 求解代数方程，得到解析解的拉普拉斯反变换。
通过以上总结，我们可以看到不同类型的微分方程可以采用不同的解析解方法来求解。
在实际应用中，选择合适的方法能够提高解题的效率和准确性。
冲激响应和阶跃响应
2e(t)
解： 将 e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d2 h(t ) dt2
4
d h(t) dt
3h(t )
d (t) dt
2
(t)
求特征根 2 4 3 0 1 1, 2 3
n 2, m 1, n m
ht 中不包含冲激项
冲激响应
h(t ) ( A1et A2e3t )u带(t )u(t)
1 2
hˆ(t ) 1 et e3t u(t )
2
则由系统的线性时不变特性
h(t) dhˆ(t) 2hˆ(t) dt
ht 1 et 3 e3t u(t ) 1 et 1 e3t (t ) et e3t u(t )
2
2
2
2
1 et e3t u(t) 2
系统框图
e RC u t
方法 2：奇异函数项相平衡原理
已知方程
RC
d
vC (t) dt
vC
(t)
(t)
冲激响应
t
vC (t) Ae RC u(t)
求导
d vC (t) A (t)
A
1t
e RC u(t )
dt
RC
注意其中 (t) 项！
RC
1
t
Ae RC
u(t )
RCA
(t)
t
Ae RC
u(t )
(t)
奇异函数项相平衡原理已知方程冲激响应求导注意其中rcrcrcrcrc整理方程左右奇异函数项系数相平衡波形注意其中时有一冲激这就是电容电压突变的原因3n阶系统的冲激响应1冲激响应的数学模型对于线性时不变系统可以用一高阶微分方程表示响应及其各阶导数最高阶为n2ht解答的形式由于时都为零因而方程式右端的自由项恒等于零这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同
信号时域分析的冲激函数匹配法新解析
* 基金项目院陕西省重点教改项目野测控专业实践教学改革研究冶渊编号院15BZ29冤曰西安理工大学教学研究项目野面向新工科教育的耶信号与分 析系统爷实验平台设计冶渊编号院102-251041710冤曰西安理工大学教学研究项目野耶信号分析与系统爷精品课程项目冶渊编号院102-251031804冤 作者简介：于殿泓（1964-），男，汉族，辽宁清原人，博士，教授，研究方向：信号与信息处理方面的教学与研究；李琳（1966-），女，汉族，河南武陟 人，本科，工程师，研究方向：信号与信息处理方面的教学实验与研究。
2020 年 7 期
高教学刊 Journal of Higher Education
博士论坛
信号时域分析的冲激函数匹配法新解析 *
于殿泓，李 琳
（西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，陕西 西安 710048）
摘 要：目前各种版本的“信号与系统”教材中，对用冲激函数匹配法求解连续系统的时域响应介绍的过于笼统，为使该教学知识
点便于教学组织，对冲激函数匹配法进行了详细的数学解析，使其更易于教学理解；同时总结了简洁的应用操作流程，并结合具体实例
加以解释说明。用所研究的方法可以更好地组织信号与系统时域分析的教学内容。
关键词：时域分析；冲激函数匹配法；数学解析；操作流程
中图分类号院G642
文献标志码院A
文章编号院2096-000X渊2020冤07-0085-03
r(n) (t) an1r(n1) (t) an2r(n2) (t) L a1r(1)
bm1e(m)
(t)
b e(m1) m1
(t)
b e(m2) m2
(t
)
L
(t) a0r(0) (t) b1e(1) (t) b0e(0) (t
【信号与系统】复习总结笔记
【信号与系统】复习总结笔记学习笔记（信号与系统）来源：⽹络第⼀章信号和系统信号的概念、描述和分类信号的基本运算典型信号系统的概念和分类1、常常把来⾃外界的各种报道统称为消息；信息是消息中有意义的内容；信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进⾏加⼯、变换以实现通信的对象。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容；信号是信息的载体，通过信号传递信息。
2、系统(system)：是指若⼲相互关联的事物组合⽽成具有特定功能的整体。
3、信号的描述——数学描述，波形描述。
信号的分类：1）确定信号（规则信号）和随机信号确定信号或规则信号 ——可以⽤确定时间函数表⽰的信号；随机信号——若信号不能⽤确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。
2）连续信号和离散信号连续时间信号——在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号，实际中也常称为模拟信号；离散时间信号——仅在⼀些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号，实际中也常称为数字信号。
3）周期信号和⾮周期信号周期信号——是指⼀个每隔⼀定时间T，按相同规律重复变化的信号；⾮周期信号——不具有周期性的信号称为⾮周期信号。
4）能量信号与功率信号能量信号——信号总能量为有限值⽽信号平均功率为零；功率信号——平均功率为有限值⽽信号总能量为⽆限⼤。
5）⼀维信号与多维信号信号可以表⽰为⼀个或多个变量的函数，称为⼀维或多维函数。
6）因果信号若当t<0时f(t)=0,当t>0时f(t)≠0的信号,称为因果信号；⾮因果信号指的是在时间零点之前有⾮零值。
4、信号的基本运算：信号的＋、－、×运算:两信号f1(·)和f2(·)的相＋、－、×指同⼀时刻两信号之值对应相加减乘。
平移:将f(t)→f(t + t0)称为对信号f(·)的平移或移位,若t0< 0，则将f(·)右移,否则左移。
2.2 冲激响应和阶跃响应
■
第5页
冲激响应求解举例1
例1 描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应h(t)。
解 根据h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3， h’(0+) =12
▲
■
第7页
对t>0时，有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0
h0 1 , h' 0 2
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t) 1 (et e3t ) (t)
2
▲
■
第 12 页
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t) C1et C2e3t (t)
h (t) C1et C2e3t (t) C1et 3C2e3t (t) C1 C2 (t) C1et 3C2e3t (t)
hn(t) an1hn1(t) a1h1(t) a0h(t)
bm m(t) bm1 m1(t) b1 1(t) b0 (t)
▲
■
第3页
• h(t)解答的形式
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端
的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关
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P58页，理解问题核心，读一下
零输入响应
r(t) rzi (t) rzs (t)
零状态响应
齐次解 自由响应
n
n
A eakt zik
A eakt zsk
B(t)
k 1
k 1
求和
n
Akeakt B(t) k 1
特解 强迫响应
1
例题1：线性、时移性质
2
例题1：线性、时移性质
3
例题2：经典法
，
，
求完全响应。
例题2：经典法
解： ①由特征根写出齐次解形式 i)特征方程：
特征根：
ii)齐次解形式：
②求特解
i) t>0时自由项=16
ii)0不是特征根，设特解为：
iii)代入方程左边解得：B=8/5
5
例题2：经典法
③求完全解中的齐次解待定系数 i)写出完全解形式：
ii)冲激函数匹配法求跳变值：根据t=0时刻微分方程左右
两端的 及其各阶导数应该平衡相等 系统用微分方程表示时，系统地0-状态到0+状 态有无跳变决定于微分方程的右端自由项是否
包含 及其(t)高阶导数。有则跳变。
6
例题2：经典法
在
考虑换路时情况，即t=0时刻e(t)有2 u(t) 变化，得
< u(t的) 含义? >
设
表示0-到0+相对跳变函数
代入方程左端，令左右两 端的奇异函数平衡，得
7
例题2：经典法
iii)计算初始条件
iv)初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数 故：
(t>0)
8
例题3：零输入、零状态解法
描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t), 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的全响应，零输 入响应和零状态响应。 解：（1.1）求零状态响应的起始点跳变
瞬态分量 稳态分量
11
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t) 利用系数匹配法分析列式得： y’’(t)=aδ(t) +b Δu(t)
y’(t)=aΔu(t) y(t)=0 代入原方程得 : a = 2，b = 0 可得
9
例题3：零输入、零状态解法
（1.2）求零状态响应yzs(t) 对t>0时，有 yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 6 先求特征根，后求齐次解形式的零状态响应为
再求特解为常数 3 ，于是有
因为
可得
所以
10
例题3：零输入、零状态解法
（2）零输入响应yzi (t), 激励为0 ， yzi(0+)= yzi (0-)= y(0-)=2 yzi’(0+)= yzi’(0-)= y’(0-)=0
求特征根求，得齐次解的零输入响应： 代入，解得系数为：
所以： （3）全解为 零输入 + 零状态