道经典例题冲激函数匹配法
冲击函数匹配法
由初始条件确定常数A1,A2.
r
r(0) (0)
A1 A1
A2
1 6
2 A2
2 3
1
2
得
A1
A
2
11
3 5
2
所以,系统响应为
r (t ) 11 e t 5 e 2t 1 e 4t t0
3
2
6
完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称 为系统的强迫响应.特征方程根i(i=1,2,…,n)称为系 统的‘固有频率’(或‘自由频率’)
例2-3:电路见图(1).t<0开关S处于1的位置且已经达
到稳态;t=0时,
S由1转向2,求
i(0 )和
d dt
i(0 )
解: 换路前
i(0)
iL(0)
R1
2 R2
4 5
A
d dti(0)
0
2 1 i(t)
C
uC(0)
iL(0)R2
43 52
6V 5
图(1)
换路后,作出0+时刻等效电路,见图(2).
解:将e(t)=u(t)代入方程式(1),求得t=0时微分方程表示为
d2 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
2 r (t )
(t)
3 u (t )
(2)
Δu(t)为0-到0+相对单位跳变函数,方程(2)右端自由项中含有(t),故
从0-到0+状态发生跳变.
方程(2)右端的冲激函数项最高阶次是(t),因而可以设
r (k) (0 )
[r (0 ),
d dt
r
(0
),
,
冲激函数的性质练习题
冲激函数的性质练习题
1. 冲激函数的定义是什么？它在什么情况下的值是非零的？
2. 冲激函数具有什么样的奇偶性？为什么？
3. 冲激函数在什么情况下是一个偶函数？为什么？
4. 冲激函数的积分是什么？它是什么意义？
5. 冲激函数的导数是什么？它在什么情况下存在？
6. 冲激函数与卷积运算有什么关系？
7. 冲激函数在信号处理中的作用是什么？举例说明。
8. 什么是单位冲激响应？它与系统的什么性质有关？
9. 怎样利用冲激函数求解微分方程？举例说明。
10. 冲激函数在频域中的表示是什么？它有什么应用？
- 1 -。
冲激函数和冲激响应.
我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、 通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道 电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反 映出电路的特性，而且在知道线性时不变电路的冲激响应 后，可以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的 零状态响应，从而求出电路的全响应。
* §6－6 冲激函数和冲激响应
一、 冲激函数
图6-38
在介绍冲激函数之前，先看图6-38(a)所示电路，开关
原来倒向a点，由2V电压源对电容C1充电，使其电压达到 2V，电容上有2库仑电荷。开关在t=0时刻倒向b点后，将有
1库仑电荷从电容C1上移动到电容C2上，使电容上的电压逐 渐达到uC1()=uC2()=1V。
lim
0
P
(t
)
δ(t)
(6 34)
注意到响应波形的峰值h△(△)将随△减小而增加，我们
用罗比塔法则求h△(△)在△→0时的极限
lim
0
h
()
lim 0
f '() g ' ()
lim 0
(1/
τ)e 1
τ
1 τ
(6 35)
因此，图6－42(f)的波形趋于指数波形
h(t
)
1
e
t
0
t0 t0
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽度 趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限的
波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t)
信号与系统习题
因为方程（1）在t>0时，可写为
d2 r(t ) + 3 d r(t ) + 2r(t ) = 6u(t )
dt2
dt
（2）
显然，方程（1）的特解可设为常数D，把D代入方程 （2）求得
D=3
所以方程（1）的解为
( ) r t = A1 e−t + A2 e−2t + 3
（3）式的特征根为 α1 = −1，α2 = −2
方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为
( ) rzi t = B1 e−t + B2 e−2t
第 22页
（3）
X
11
第 23页
( ) rzi t = B1 e−t + B2 e−2t
( ) ( ) 由rzi 0+ = 2，rzi′ 0+ = 0，代入(4)式解得
下面由冲激函数匹配法定初始条件。
X
第
由冲激函数匹配法定初始条件
20页
据方程（1）可设
d2 r(t
dt2
)
=
aδ
(t
)
+
bΔu(t
)
d r(t ) = aΔu(t )
dt
r(t )无跳变
代入方程（1），得
aδ (t)+ bΔu(t) + 3aΔu(t) + 2r(t) = 2δ (t) + 6u(t) 匹配方程两端的 δ (t ) ，及其各阶导数项，得
(t
)
+
6u(t
)
方法一：利用r′(0 + ), r(0 + )先来求完全响应，再求零输入
冲激函数匹配法在信号与系统教学中的应用研究
ｆ ｒ （ １ ） ＝ ａ ８ （ ｔ ） ＋ ｂ △ｕ （ Ｉ ） ｛ ｒ 霜 ） ＝ ａ △ｕ （ ｔ ） （ ９ ） 【 ｒ 珥 （ Ｉ １ 在零 时刻连续 将（ ９ ） 式代人 （ ７ ） 式 比较 系数得 ａ ＝ ｌ ， 因此 ｒ （ ０ ＋ ） ＝ ｒ 矗 ， （ ０ ． ） ＋ ａ ＝ ｌ 。 ＋ ） ＝ ０ ＿ ） ＋ ０ － ＝ ０将此条件代入 （ ８ ） 式得 ， 其零状态 响应 ： ｒ 墨 （ 【 ） ＝ ０ ． ５ ｅ － ２ ＇ ｕ （ ｔ ） （ １ ０ ） 求全 响应 时。微 分方程 的形 式（ ８ ） 式 完全相同 ， 因此其 通解 的形式如（ ８ ） 式相 同 ， 全响应初始条件是在 ｒ （ Ｏ ＿ ） ＝ １ ； ｒ （ ０ ＿ ） ０的基础上跳 变 ， 因此 ， ｒ （ Ｏ Ｏ ＝ ｒ （ Ｏ － ） ＋ ０ ＝ １ ； ｒ （ ０ ＋ ） ＝ ｒ （ ０ － ） ＋ ａ ＝ １ 将该 条件代入 （ ８ ） 式得 ＝ ［ ２ ｅ － ￣ － Ｉ ． ５ ｅ － ａ ＋ Ｏ ． ５ ］ ｕ ｔ （ ｔ ） （ １ １ ）
＝
５ ． 总 结
经典法是分析 系统 响应 的基 本方法 ，也是学 习其他方 法 的基础 。本文运用 冲击函数匹配法 的原理介绍和数学分 析 ，解释 了系统 响应在 ０ 时刻发 生跳变的本质和跳变 的基 础， 解决 了求 不同响应所代初始条件 不同的问题。该研究对 于深入认识系统响应 的起 因及其分类具有重要 的意义。 【 参考文献】 ． 【 １ 】 郑君 里 ， 应启珩 ， 杨为理 ． 信号与 系统． 北京： 高等教 育
（ ｏ － ） ＝ ０ 。将该初始条件代入（ ５ ） 式可求得 （ １ ） ＝ 【 ２ ｅ ． Ｌ － ｅ ｕ （ ０ （ ６ ） 再求零状态响应。此时系统状态 － ） ＝ ｒ （ ０ － ） ＝ ０将激励 ｅ （ ｔ ） ＝ ｕ （ ｔ ） 代入 （ ４ ） 式得 （ ｔ ） ＋ ３ Ｉ （ ｔ ） ＋ ２ ｔ ） ＝ ｕ （ ｔ ） ＋ ２ ８ （ ｔ ） （ ７ ） ｔ ＞ ０时， 上述方程 的通解为 ： ｒ ＝ ＝ ［ Ｃ ｅ － ＇ ＋ Ｄ ｅ ＋ ０ ． ５ ］ ｕ （ ｔ ） （ ８ ）
信号与系统单位冲激函数有关例题
信号与系统单位冲激函数有关例题【信号与系统】单位冲激函数有关例题导读：本文将深入探讨信号与系统领域中与单位冲激函数有关的例题。
我们将简要介绍单位冲激函数的概念和特性，然后通过具体的例题来展示如何应用单位冲激函数进行信号分析和系统建模。
我们将回顾这些例题并总结一些实际应用中的思考点和技巧。
1. 单位冲激函数的定义和特性单位冲激函数（也称为Dirac函数）是信号与系统领域中的基础概念之一。
它在数学上被定义为一个面积为1，宽度趋近于无穷小的脉冲信号。
单位冲激函数可以用符号δ(t)表示，其中t为时间变量。
单位冲激函数具有以下重要特性：1.1 零相位特性单位冲激函数在时间域中的相位为零，这意味着它不会引起信号的时间延迟。
在系统分析中，这个特性非常有用，因为它可以简化计算和推导。
1.2 区间积分性质单位冲激函数在任意有限时间区间上的积分等于该时间区间内的长度。
即对于任意时刻t0和有限时间区间[a, b]，有∫[a,b] δ(t-t0) dt= b - a。
1.3 线性组合性质符合线性性质的信号对单位冲激函数的线性组合仍然是一个有效的线性信号。
这个性质对于系统建模和分析非常重要。
2. 例题分析接下来，我们将通过几个具体的例题来演示如何应用单位冲激函数进行信号与系统的分析。
2.1 离散时间系统考虑一个离散时间系统，其输入信号x[n]和输出信号y[n]之间的关系满足差分方程y[n] = x[n] + 2x[n-1]。
为了进行系统分析，我们可以将该差分方程转化为差分方程的单位冲激响应表示。
我们将系统的输入信号设置为单位冲激函数，即x[n] = δ[n]，其中δ[n]代表离散时间单位冲激函数。
代入差分方程得到y[n] = δ[n] +2δ[n-1]。
通过这个输出信号，我们可以看出系统对单位冲激信号的响应。
进一步，我们可以通过计算差分方程的响应来得到系统的单位冲激响应h[n]。
在这个例子中，单位冲激响应是由δ[n]和2δ[n-1]线性叠加而成的。
信号与系统冲激响应和阶跃响应
r t
t2
t
t
a t a t
b
bu
t t
c
u
t
rt aut
h 0 1 ,h '0 2
代入h(t),得
hh'00A A113AA2212
h(t)1ete3t u(t)
A A121212
2
X
12
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数 页
h ( t ) A 1 e t A 2 e 3 tu ( t )
RC (t)A (t)
1 RCA1 A
RC
X
波形
htvC(t)R 1C eR 1C tu(t)
vC (t) h(t) 1 RC
iC(t)
CdvC(t) dt
O
注意！
iC (t)
R12CeR1Ctu(t)
1 (t)
R
1
O R
电容器的电流在
t =0时有一冲激， 这就是电容电压突
1 R 2C
变的原因 。
•当nm时 ， ht中 应 包 t含 ；
•当nm时 ， ht应 包含 t及 其 各 阶 导 数 。 X
10
第
例2-5-2 页
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d d e 激(tt响) 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
CtR1CeR1Ctut
X
6
方法2：奇异函数项相平衡原理
第 页
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
RC dvdCt(t)vC(t)(t) t vC(t)Ae RCu(t)
微分方程3种解法含冲激函数匹配法
例题3：零输入、零状态解法
（1.2）求零状态响应yzs(t) 对t>0时，有 yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 6
先求特征根，后求齐次解形式的零状态响应为
yzs(tk )C 1 e 2tC 2e t
再求特解为常数 3 ，于是有 yz(st)C 1 e 2 t C 2 e t 3
解：（1.1）求零状态响应的起始点跳变
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t)
利用系数匹配法分析列式得： y’’(t)=aδ(t) +b Δu(t)
y’(t)=aΔu(t)
y(t)=0
代入原方程得 : a = 2，b = 0 可得
y'(0)y'(0)22 y (0)y (0)02
< u ( t的) 含义? >
表示0-到0+相对跳变函数
i"(t) a(t)b(t)cu(t) 设 i'(t)a(t)bu(t)
i(t) au(t)
代入方程左端，令左右两 端的奇异函数平衡，得
a2,b 2,c2
7
例题2：经典法
iii)计算初始条件
ii((0 0 )) ii(0 (0 )) ab 22 ii((0 0 )) 2 2i (0 i ()0 )1 5 4 2
因为 y'zs(0)y'zs(0)22 可得 C 1 1
yzs(0)yzs(0)00
C2 4
所以 y z(s t) e 2 t 4 e t 3 ， t 0
10
iv)初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数
故：
A1
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经典例题1
教材第65页例题2-9的姐妹题： 设描述系统的微分方程式为)(2)()()(3)(4)(2
222t e dt t de dt t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。
用第三版教材65页的解法，不能解答此题
解：
（一）0-至0+期间系统的微分方程是：
)(2)()()(3)(4)(2222t dt t d dt
t d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设：
22()d r t dt =)()()()(22t u d t c dt t d b dt
t d a ∆+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dt
t d a ∆++δδ )()()(t u b t a t r ∆+=δ (2)
将上述3式代入（1）式，可得32,11,3,1-==-==d c b a
系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以
3)0(-=+r ，11)0('=+r
（二）0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是：
22()()43()0d r t dr t r t dt dt
++= 设系统的齐次解（特解为零）为：3()()()t t r t Ae u t Be u t --=+
则： 3-=+B A , 113=--B A ，从而可以知道4-=A ， 1=B )()(4)(3t u e t u e t r t t --+-=
（三）在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为：)()()(4)(3t t u e t u e t r t t δ++-=--
经典例题2 给定系统的微分方程)(3)()()(2)(3)(2222t e t e dt d t e dt
d t r t r dt d t r dt d ++=++ ，若激励信号为)()(t u t
e =, 起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，在初始状态不为零、输入为阶跃信号的情况下，求系统的响应)(t r
解：（一）将)()(t u t e =代入方程式,求得t=0-到0+期间系统的微分方程为 )(3)()()(2)(3)('22t u t t t r t r dt d t r dt
d ∆++=++δδ （1） )(t u ∆为0-到+0相对单位跳变函数，方程(2)右端自由项中含有δ(t),故从-0到+0状态发生跳变。
方程(1)右端的冲激函数项最高阶次是)('t δ,因而可以设
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆+=∆++=)()()()()()()()()('22
t u a t r t u b t a t r dt d t u c t b t a t r dt d δδδ (0-<t<0+) （2） 代入式(1)得：
)(3)()()(2)(3)(3)()()(''t u t t t u a t u b t a t u c t b t a ∆++=∆+∆++∆++δδδδδ 可以得到： ⎩⎨⎧=+=131a b a
⎩⎨⎧-==2
1b a 因而有 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--+-+2)0()0(1)0()0(r dt d r dt
d r r +0状态为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-==+=-+-+0)0(2)0(21)0()0(r dt d r dt d r r
（二）0+之后系统的微分方程为
)(3)(2)(3)(22t u t r t r dt d t r dt
d =++ )(2
3)()()(2t u t u Be t u Ae t r t t ++=-- （三）考虑（2）式中没有冲激函数，也没有冲激函数的高阶导数，所以系统的完全响应是：
)(2
3)(21)()(2t u t u e t u e t r t t +-=--
经典例题3
设描述系统的微分方程式为)(2)()()(2)(3)(2222t e dt t de dt
t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。
用第三版教材65页的解法，不能解答此题
0-至0+时刻系统的微分方程是：
)(2)()()(2)(3)(2222t dt t d dt
t d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设：
22()d r t dt =)()()()(2
2t u d t c dt t d b dt t d a ∆+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dt
t d a ∆++δδ )()()(t u b t a t r ∆+=δ (2)
将上述3式代入（1）式，可得14,6,2,1-==-==d c b a
系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以
2)0(-=+r ，6)0('=+r
0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是：
0)(2)(3)(22=++t r dt t dr dt
t r d 设系统的齐次解（特解为零）为： )()()(2t u Be t u Ae t r t t --+=
则： 2-=+B A , 62=--B A ，从而可以知道4-=A ， 2=B
在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为： )()(2)(4)(2t t u e t u e t r t t δ++-=--。