抛物线及其性质知识点大全
抛物线知识点与性质大全
抛物线与方程【知识讲解】 1、定义平面内，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线.【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线.2、抛物线的方程及其简单性质3、通径过抛物线的焦点F 作直线⊥l x 轴，交抛物线22y px =于,A B 两点，弦长2=AB p ，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦.4、焦点弦的性质（1）过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，则①12p AF x =+，22p BF x =+；②12x x ⋅=定值24p ，12y y ⋅=定值2p -；③11||||FA FB +=定值2p ；④()1221122p x y x y y y +=-+. （2）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ（斜率为k ）的直线交抛物线于,A B （A 在B 上方）两点，则 ①1cos p A F θ=-上；②1cos p B F θ=+下；③2222s 1i 1n p k AB p θ⎛⎫+ =⎪⎝⎭=. （3）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,P Q ，设AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则①AN BN ⊥；②PF QF ⊥；③NF AB ⊥；④PF AN ⊥；⑤QF BN ⊥；⑥以AB 为直径的圆与准线相切，切点即为N ； ⑦以()AF BF 为直径的圆与y 轴相切；⑧24PQ AF BF =； 24PQF APF BQF S S S ∆∆∆=⋅；⑨232sin ABQPp S θ=四边形. （4）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,P Q ，准线l 与x 轴交于H 点，O①AHF BHF ∠=∠； ②,,A O Q 三点共线； ③,,B O P 三点共线；（5）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物 线于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于E 点，则12EF AB =. （6）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，G 为准线上的一动点，且直线GA 、GF 、GB 的斜率均存在，则直线GA 、GF 、GB 的斜率成等差数列，即2GA GB GF k k k +=.5、过点()(),00M m m >的直线交抛物线()220y px p =>于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12x x ⋅=定值2m ；②12y y ⋅=定值2pm -； ③2OA OB m p ⊥⇔=；④m p =时，2211||||MA MB +=定值21p . 6、设点是抛物线()220y px p =>的焦点，12,,,n P P P 是抛物线上的n 个不同的点，若120n FP FP FP +++=，则12n FP FP FP np +++=.【典型例题】例1、已知动点M 的坐标满足方程3412x y +-，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆【变式】已知动点M 的坐标满足方程3412x y =+-，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线例2、点P 与点()20F ，的距离比它到直线40x +=的距离小2，则P 的轨迹方程为_______.【变式】动圆M 与定直线2y =相切且与定圆C :22(3)1x y ++=相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_______.【变式2】到y 轴的距离比到点()2,0F 的距离小2的动点P 的轨迹方程为_______.例3、抛物线24y x =的焦点坐标为_______.【变式】1【2014上海】若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______.【变式2】抛物线C 恒过定点()0,2A ，C 的准线为轴，则C 的顶点M 的轨迹方程为_______.例4、在抛物线24y x =上一点P ，使它到定点()2,2M 和焦点F 的距离之和最小，并求出距离之和的最小值.【变式1】设P 是抛物线28y x =上的一个动点，则点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴的距离之和的最小值为________.【变式2】设P 是抛物线24y x =上的一个动点.（1）求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2）求点P 到直线220x y ++=的距离d 与点P 到抛物线焦点F 距离之和的最小值.【变式3】已知FAB ∆，点F 的坐标为(1,0)，点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么FAB ∆的周长的取值范围为 ．例5、已知抛物线26y x =上存在三点,,A B C ，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点为F ，则=FA FB FC ++_______.【变式】已知抛物线26y x =的焦点为F ，若该抛物线上存在四点123P P P 、、、4P ，满足1234=0FP FP FP FP +++，则1234=FP FP FP FP +++_______.例6、直线l 过()1,2A ，且与抛物线212y x =交于,M N 两点，且MA AN =，则直线l 的方程为_________;MN =_______.例7、抛物线24y x =的焦点为F ,若过F 点的直线与抛物线相交于,M N 两点,若4FM FN =-,则直线MN 的斜率为_______.【变式】【2014新课标】已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =, 则QF =_______.例8、过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ，点()11,A x y 、()22,B x y ，且1021=+x x ，则=AB _____.【变式1】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点()02,M y ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =_____.【变式2】过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ，点()11,A x y 、()22,B x y ，且10AB =，则ABO ∆重心的横坐标为_____.【变式3】过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ，点()11,A x y 、()22,B x y ，且128y y +=，则=AB _____.例9、抛物线()220y px p =>的动弦AB 长为()2a a p ≥，求弦中点M 到y 轴的最短距离.【变式】抛物线()220y px p =>的动弦AB 长为()02a a p <<，求弦中点M 到y 轴的最短距离.例10、若抛物线2:1C y ax =-上存在关于直线20x y -=对称两点A 和B ，求实数a 的取值范围.例11、【2014四川】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是____.例12、已知抛物线()220y px p =>，过定点(),0p 作两条互相垂直的直线12l l 、,1l 与抛物线交于,P Q 两点，2l 与抛物线交于,M N 两点，设1l 的斜率为k ，若已知弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为32p pk k+，则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为__________.例13、设M 为抛物线2:4(0)C x py p =>准线上的任意一点，过点M 作曲线C 的两条切线，设切点为,A B .直线AB 是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由.例14、过抛物线()220y px p =>的焦点F 作相互垂直的两条直线12,l l ,抛物线与1l 交于点12,,P P 与2l 交于点12,Q Q ．证明：无论如何取直线12,l l ,都有121211PP Q Q +为一常数.例15、抛物线()2:20C y px p =>的焦点恰是椭圆22143x y +=的一个焦点，过点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与抛物线C 交于点,A B . （1）求抛物线C 的方程；（2）O 是坐标原点，求AOB ∆的面积的最小值； （3）O 是坐标原点，证明：OA OB ⋅为定值.【变式1】已知定点(2,0)F ，直线:2l x =-，点P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ PF PQ ⊥+（）．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，求证：111||||2AF BF +=； （3）记OA 与OB 的夹角为θ（O 为坐标原点，A 、B 为（2）中的两点），求cos θ的取值范围．11()22,B x y ，且OA OB ⊥.（1）证明21y y ⋅和12x x ⋅均为定值； （2）证明直线l 恒过定点P ； （3）求AB 的中点M 的轨迹方程；（4）过原点作AB 的垂线，垂足为N ，求N 的轨迹方程.（5）对于C 上除原点外的任意一定点()00,Q x y ，若仍有PA PB ⊥，请问是否还有直线l 恒过定点，若是，请求出定点'P ；若否，请说明理由.【变式3】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线交抛物线C 于点11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.（1）求抛物线C 的方程；（2）若()2OE OA OB =+(O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线倾斜角. （3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证： 当0k 为定值时，12k k +也为定值.例16、在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C .（1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线过定点()2,1P -，求直线与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.11（1）当直线过点(),0M p 时，证明21y y ⋅为定值；（2）如果直线过点(),0M p ，过点M 再作一条与直线垂直的直线l '交抛物线C 于两个不同点D 、E ．设线段AB 的中点为P ，线段DE 的中点为Q ，记线段PQ 的中点为N ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．例18、动圆C 过定点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.设圆心C 的轨迹Γ的程为()0,=y x F （1）求()0,=y x F ；（2）曲线Γ上的一定点()00,y x P (0y ≠0) ，方向向量()p y d -=,0的直线（不过P 点）与曲线Γ交与A 、B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，计算PB PA k k +；（3）曲线Γ上的两个定点()000,y x P 、⎪⎭⎫ ⎝⎛''000,y x Q ，分别过点00,Q P 作倾斜角互补的两条直线N Q M P 00,分别与曲线Γ交于N M ,两点，求证直线MN 的斜率为定值.例19、已知抛物线()2:20C y px p =>和:M 228120x y x +-+=，过抛物线C 上一点()()000,0P x y y ≥作两条直线与M 相切与,A B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为92. (1)求抛物线C 的方程；(2)当P 点坐标为()2,2时，求直线AB 的方程；(3)设切线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，且1212k k ⋅=，求点()00,P x y 的坐标.例20、过抛物线()220y px p =>的对称轴上一点()(),00A a a >的直线与抛物线交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N . （1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥; （2）记1AMM ∆、11AM N ∆、1ANN ∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在实数λ，使得对任意的，都有2213S S S λ=成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.。
完整版)抛物线知识点归纳总结
完整版)抛物线知识点归纳总结抛物线是一种经典的二次函数图像，具有许多重要的特点和性质。
以下是对抛物线知识点的详细总结。
1.定义：抛物线是平面上一点P到定点F的距离等于点P到定直线上一点的距离的轨迹。
2.构成：抛物线由平面上的点集组成，由对称轴与焦点决定。
3. 表达式：一般形式的抛物线方程是y=ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
4.开口方向：抛物线开口方向由a的正负决定，如果a大于0，抛物线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。
5.对称轴：抛物线的对称轴是一条与抛物线的开口方向垂直的直线，由方程x=-b/2a给出。
6. 焦点：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的定点F，其坐标为((-b/2a), (4ac-b^2)/4a)。
7.直径：抛物线的直径是通过焦点且与抛物线相交于两点的直线。
8.非退化抛物线：当a不等于0时，抛物线是非退化的，并且它的对称轴是直线x=-b/2a。
9.顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，它是通过对称轴的纵坐标最小（或最大）的点。
10.切线：抛物线上任意一点的切线是通过该点并且与抛物线仅有一个交点的直线。
11.弦：抛物线上的弦是通过抛物线上两个点并且与抛物线仅有两个交点的线段。
12. 与X轴交点：抛物线与X轴的交点可通过求解方程ax^2 + bx +c = 0得到。
13.与Y轴交点：抛物线与Y轴的交点是抛物线上当x=0时的点，即把x替换为0后求解方程得到。
14.对称性：抛物线具有关于对称轴对称的性质，即对称轴上的一点关于对称轴上的另一点的映射是自身。
15.焦点和直角三角形：抛物线上两点和焦点构成的三角形是直角三角形。
16.抛物线的图像：抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的弧线，形状可以通过方程中的系数来确定。
17.抛物线的平移：抛物线可以通过平移来改变其位置，平移的方式是通过方程中的常数项来实现。
18.抛物线的拉伸/压缩：通过改变抛物线方程中的a的值，可以改变抛物线的宽度。
(完整版)抛物线常用性质总结
结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
结论二：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p+。
结论三：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
证明结论二：例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。
证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =。
则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数证明：结论四： 已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN切。
证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。
由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111()()222QP AM BN AF BF AB =+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。
抛物线总结知识点
抛物线总结知识点一、抛物线的定义1、几何定义抛物线实际上是一个平面上的曲线，其特点是所有点到焦点的距离与直线上的点到焦点的距离相等。
在几何上，抛物线可以用一定的数学方法来绘制，比如几何学中的反射法则，就是一个通过抛物线的特性进行绘制的方法。
2、代数定义抛物线也可以用数学式子来表示，通常来说，一个一般形式的抛物线方程可以表示为：y=ax^2+bx+c。
其中a、b、c为常数，且a≠0。
这个方程就是抛物线的代数表示方法。
二、抛物线的性质1、对称性抛物线具有对称性，即其焦点与直线的对称轴关于抛物线是对称的。
也就是说，如果你在抛物线上选取一个点，并且在该点的正上方或是正下方做等距的另外一个点，那么这两个点与抛物线的焦点的距离是一样的。
2、焦点抛物线的焦点是抛物线中的一个重要点，所有在抛物线上的点到焦点的距离，是和这根线上的点到焦点的距离是相等的。
这也是抛物线对称性的基础。
3、直线抛物线的对称轴是一条直线，这条直线被称为抛物线的直线。
直线与抛物线的焦点以及对称轴是彼此有特殊的关系的，这样的直线通常是抛物线的对称轴。
4、距离性质抛物线上的任意一点到焦点的距离与该点到抛物线的对称轴的距离之间的关系。
通常，这个距离关系就是抛物线的形成依据之一。
三、抛物线的方程1、标准形式标准形式的抛物线通常以y=ax^2+bx+c的数学形式表示。
这种数学形式可以清楚的展现抛物线的双曲性。
2、顶点形式抛物线的顶点形式方程也是一种比较通用的表示方法。
顶点形式的抛物线方程是一种通过抛物线的顶点来表示其位置的方法。
其数学表达式通常为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。
3、焦点形式焦点形式的抛物线方程则是基于抛物线的焦点和直线来展现其形状和位置的。
该类型的方程通常为x^2=4py，其中p为焦点的距离。
四、抛物线的几何意义1、抛物线的几何意义作为一条特殊的曲线，抛物线在实际中有着丰富的几何意义。
通过抛物线的特性和性质，我们可以从几何角度来认识抛物线。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中抛物线知识点总结抛物线是一条二次函数，它的图像呈现出一个弧形，常见于物理、数学和工工科中。
在高中学习中，抛物线是一个重要的数学概念之一，在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。
在此本文将为您介绍抛物线的基本概念、性质以及解题方法等知识点。
1. 抛物线的基本概念抛物线的定义是由一个不在同一平面的点P和一条确定的直线l，绕P旋转一周所形成的曲线叫做抛物线。
其中点P叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx +c ，其中a,b,c是常数，a 不等于0。
当 a > 0 时，抛物线开口向上，当a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的性质（1）对称性抛物线的图像具有对称性，也就是有轴对称线。
这条对称线称为抛物线的轴线，它通过焦点和准线的垂线交点。
（2）焦点、准线和顶点的关系对于对称轴y = k，横坐标为h的点P(x,y), 有以下关系式成立：（i）焦点坐标为 F(h,k+p)，其中p=1/(4a)（ii）准线的方程为 y = k-p（iii）顶点坐标为 V(h,k)（3）焦距的意义焦距是从焦点到准线的距离，它的值等于 1/(4a)。
焦距的意义在物理学中有广泛应用，例如椭圆轨道和双曲线轨道等。
（4）最值和拐点抛物线最值和拐点是求解抛物线的重要问题：（i）当抛物线开口向上时，最小值就是它的顶点V(h,k)，最大值不存在。
（ii）当抛物线咕咕向下时，最大值就是它的顶点V(h,k)，最小值不存在。
（iii）抛物线拐点存在的条件为 a 不等于 0。
求抛物线的拐点（x,y)，只需要将一阶导数为0的得到解析式，然后代入求y坐标值。
3. 抛物线的应用抛物线在日常生活和工程学中有着广泛的应用，其中的一个典型实例是进行投掷运动的物理解析。
在投射问题中，抛物线成为空气中物体运动的轨迹，其中重力在垂直方向上作用，空气阻力在垂直方向上不作用。
抛物线还有一些其他的应用，包括：（1）建筑物的设计，例如拱形门廊和地理石的建筑设计。
抛物线知识点总结
抛物线知识点总结定义与性质：抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。
焦点并不在准线上。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线具有镜像对称性，其形状大致为U形。
垂直于准线并通过焦点的线被称为“对称轴”。
与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，是抛物线最锋利弯曲的点。
沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。
“直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。
抛物线可以向上、向下、向左、向右或向另一个任意方向打开。
标准方程：抛物线有多种标准方程形式，根据开口方向和焦点位置的不同，可以分为右开口、左开口、上开口和下开口抛物线。
例如，右开口抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），其中p为焦准距。
焦点与准线：焦点是抛物线上所有点到准线距离相等的点。
准线是抛物线上所有点到焦点距离相等的直线。
焦点和准线的位置关系决定了抛物线的开口方向和大小。
焦半径公式：对于抛物线y²=2px（p>0），任意一点M(x0,y0)到焦点的距离（焦半径）为|MF|=2x0。
焦点弦：焦点弦是过焦点的任意一条弦，其长度可以用焦点坐标和弦端点坐标之间的关系来表示。
焦点弦的长度与焦点到弦的端点的距离之和是一个定值。
应用：抛物线在几何光学和力学中有重要的用处，特别是反射光的材料制成的抛物面天线或抛物线麦克风等。
抛物线也广泛应用于工程学和建筑学中，如建筑设计中的门廊、拱桥等结构的设计，以及照明设计中的抛物面反射等。
在数学教育中，抛物线作为一个经典的数学曲线，对于培养学生的几何直观和空间想象能力具有重要作用。
总之，抛物线是一个具有丰富性质和应用价值的数学曲线，在各个领域都有广泛的应用。
通过深入学习和理解抛物线的性质和应用，可以更好地掌握相关领域的知识和技能。
抛物线的全部知识点
抛物线的全部知识点
抛物线，是二次函数的一种特殊形式，具有许多重要的性质和
应用。
以下是抛物线的全部知识点：
一、基本概念：
1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其形状类似于拱形，由平面上与一条直线相交的点满足等距离性质而得。
2. 抛物线的方程形式：一般式、顶点式和焦点式三种形式。
3. 抛物线的基本特征：抛物线具有对称轴、顶点、焦点、直线
方程等基本特征。
二、性质和应用：
1. 对称性：抛物线是对称的，对称轴是垂直于开口的轴线。
2. 焦点性质：抛物线上的每个点与其焦点的距离都相等。
3. 直线方程：可以利用抛物线定义的等距离性质和焦点性质推导出抛物线的直线方程。
4. 最值点：抛物线的顶点是最值点，即最高点或最低点。
5. 角度性质：抛物线上任何一点处的切线与该点到焦点的直线夹角相等。
6. 物理应用：抛物线在物理中有着广泛应用，如投掷运动、抛射运动等。
7. 工程应用：在建筑、桥梁、船舶、汽车等工程领域中，抛物线也有重要应用。
三、综合练习：
1. 抛物线的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c都是常数，通过调整它们的值可以控制抛物线的开口、大小、位置等特性。
2. 已知抛物线上的顶点和一个点的坐标，可以求出该抛物线的方程。
3. 抛物线的焦距和半轴长度的比值称为离心率，是描述抛物线形状的指标。
4. 抛物线在平面内的射线与抛物线的交点分布在一条直线上，称为准线。
5. 通过抛物线的焦点和准线可以得到抛物线的方程。
总之，抛物线是数学中的重要概念之一，其具有许多重要的性质和应用，需要我们在学习中加以掌握和应用。
抛物线的知识点
抛物线的知识点抛物线是数学中的一种曲线形状，具有独特的性质和应用。
以下是关于抛物线的知识点：1. 定义：抛物线是平面上与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的所有点的轨迹。
焦点和准线之间的距离被称为焦距。
2. 方程形式：抛物线的一般方程形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是实数，且a不等于0。
这是一个二次方程的标准形式。
如果抛物线开口向上，a的值为正；如果抛物线开口向下，a的值为负。
3. 性质1：对称性。
抛物线以准线为轴对称。
准线上的点到焦点的距离与焦点对称的另一个点到准线的距离相等。
4. 性质2：焦点。
焦点是抛物线上的一个点，具有特殊的性质。
抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
5. 性质3：直线方程。
焦点和准线确定了抛物线，也可以通过准线和焦点的坐标来表示抛物线的方程。
6. 性质4：顶点。
抛物线的最高或最低点被称为顶点，它是对称轴上的焦点。
顶点的坐标可以通过求解二次方程的顶点公式得到。
7. 性质5：应用。
抛物线在物理学、工程学、生物学等领域中有广泛的应用。
例如，抛物线在物体的抛射运动中描述了物体的轨迹；位于抛物线上的反射式望远镜可以收集入射光线并将其聚焦在焦点上。
8. 规范方程：除了一般方程形式外，抛物线还可以用规范方程表示。
规范方程是将抛物线的焦点放在原点上的方程形式。
对于开口向上的抛物线，规范方程为y = 4ax；对于开口向下的抛物线，规范方程为x = 4ay。
9. 宽度和高度：抛物线的宽度是两个对称点之间的水平距离。
抛物线的高度是焦点到准线的垂直距离。
10. 弧长和面积：根据抛物线的参数方程可以计算出抛物线上某一段的弧长。
抛物线所围成的面积也可以通过积分计算得到。
总结：抛物线是一种具有独特性质与广泛应用的曲线。
它的方程形式、对称性、焦点、准线、顶点等重要性质可以通过数学分析来理解。
抛物线的广泛应用使其在科学和工程领域中具有重要意义。
了解和掌握抛物线的知识点，不仅有助于我们更好地理解数学原理，还有助于将其应用于实际问题的解决中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实用标准文案 文档 抛物线及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
图形 参数p几何意义 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)ypxp 2
2(0)ypxp 2
2(0)xpyp 2
2(0)xpyp
焦 点位 置 X正 X负 Y正 Y负 焦 点坐 标 (,0)
2
p (,0)2p (0,)2p (0,)2p
准 线方 程 2px 2px 2py 2p
y
范 围 0,xyR 0,xyR 0,yxR 0,yxR
对 称轴 X轴 X轴 Y轴 Y轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 1e 通 径 2p
焦半径11(,)Axy 12pAFx 12pAFx 12pAFy 12
pAFy
焦点弦长AB 12()xxp 12()xxp 12()yyp 12()yyp
焦点弦长AB的补充11(,)Axy
22(,)Bxy
以AB为直径的圆必与准线l相切 若AB的倾斜角为，22sinpAB 若AB的倾斜角为，则22cospAB
2124
pxx 212yyp
112AFBFABAFBFAFBFAFBFp
3．抛物线)0(22ppxy的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧， 当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 实用标准文案 文档 (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．
(3)顶点（0，0），离心率：1e，焦点(,0)2pF，准线2px，焦准距p．
(4) 焦点弦：抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB,则pxxAB21||． 弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。 4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB，焦点(,0)2pF
(1) 若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)Axy，22(,)Bxy，则：2124pxx，212yyp。
(2) 若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则22sinPAB（α≠0）。
(3) 已知直线AB是过抛物线22(0)ypxp焦点F ,112AFBFABAFBFAFBFAFBFp (4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(11yxA,),(22yxB是抛物线上两点，则
221212()()ABxxyy||11||1212212yykxxk
6.直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，
，消y得： （1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时， Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：bkxy 抛物线，)0(p ① 联立方程法：
pxybkxy220)(2222bxpkbxk
实用标准文案 文档 设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出
bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)())((bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦长
2122122124)(11xxxxkxxkABak21
或 2122122124)(1111yyyykyykABak21 b. 中点),(00yxM, 2210xxx， 2210yyy ② 点差法： 设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得
1212pxy 2222pxy 将两式相减，可得 )(2))((212121xxpyyyy
2121212yypxxyy
a. 在涉及斜率问题时，212yypkAB b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy， 即0ypkAB， 同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222 （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 实用标准文案 文档 【经典例题】
（1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
【例1】P为抛物线pxy22上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ） .A相交 .B相切 .C相离 .D位置由P确定
【解析】如图，抛物线的焦点为,02pF，准线是
:2plx.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么PFPH，
且2pQHOF.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 中位线，111222MNOFPQPHPF.故以 PF为直径的圆与y轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.
（2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.
【例2】 过抛物线022ppxy的焦点F作直线交抛物线于1122,,,AxyBxy两点，求证：
（1）12ABxxp （2）pBFAF211 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作 1AAl11111,2pABBlBAAx于，则AF
，
122
pBFBBx.两式相加即得：
12ABxxp （2）当AB⊥x轴时，有 AFBFp，112AFBFp成立；
当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：2pykx.代入抛物线方程：
XYPH
MN
O(,0)2pF
:2plx=-22ypx=
Q
XYFA(x,y)11
B(x,y)22
A1
B1
l实用标准文案
文档 2222pkxpx
.化简得：222222014pkxpkxk
∵方程（1）之二根为x1，x2，∴1224kxx. 12211121212
1111112224
xxpppppAFBFAABBxxxxxx
121222
1212
22424
xxpxxppppppxxpxx
.
故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有pBFAF211成立. （3）切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.
【例3】证明：过抛物线22ypx上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）
【证明】对方程22ypx两边取导数：22.pyypyy，切线的斜率
00xxpkyy.由点斜式方程：2000000
1pyyxxyypxpxyy
20021ypx，代入（）即得： y0y=p（x+x0）
（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.
例如：1.一动圆的圆心在抛物线xy82上，且动圆恒与直线02x相切，则此动圆必过定点 （ ） .4,0.2,0.0,2.0,2ABCD
显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线22ypx的通径长为2p；
3.设抛物线22ypx过焦点的弦两端分别为1122,,,AxyBxy，那么：212yyp 以下再举一例 【例4】设抛物线22ypx的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过