【最后一卷】2019年高考考前最后一套押题密卷理科数学(全解全析)
34
64
64
2
h (0, 3
3
)
时，
V
(h)
0
，当
h
3 (
3 , 9) 时，V (h) 0 ，故当 h 3
3 时，三棱锥 S ABC 的体积取
2
22
2
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22
得最大值，为 81 ，故选 D. 8
13． 4320
【解析】 ( 2 x
33
y2
3 8
3 2
9 16
，
故选 B．
10．C 【解析】函数 f (x) ln | x | ex ex 的定义域为 (, 0) (0, ) ，∵ f (x) ln | x | ex ex f (x) ，
∴ 函 数 f (x) 为 偶 函 数 ， ∴ f ( 1) f (1) ， 又 ∵ 当 x (0, ) 时 ， f (x) ln x ex ex ， 33
2019 年高考考前押题密卷 理科数学·全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
C
A
A
C
C
B
C
B
D
1．B
【解析】 z
a 2i (2 i)2
a 2i 3 4i
(a 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)
(3a 8) (6 4a)i 25
为纯虚数，∴ 3a
12．D 【解析】在 △ABC 中，设 AB c ，则 AC 3c ，由余弦定理，得 BC c2 3c2 2c 3c 3 c ， 2
则 △ABC 的外接圆的半径 r 1 c c .设球 O 的半径为 R ，由 4π R3 243π ，解得 R 9 .设
log2
3 2
，满足条件 x
1 ，∴ x
值变为
log 2
3 2
1
log2
3 4
，满足条件
x
1
，∴
x
值变为
log2
3 4
1
log2
3 8
，不满足条件
x
1
，∴输出
3
的 y1 2log2 8
3 8
；当输入
x
3
22
时，不满足条件
x
2
，∴输出的
y2
log2
3
22
3 2
，∴
y1
因为 PQ 平面 PGQ ，所以 PQ ∥ 平面 ABEF ．（6 分）
（2）因为 FAB 90 ，所以 AF AB ，因为平面 ABCD 平面 ABEF ，平面 ABCD 平面 ABEF AB ，
AF 平面 ABEF ，所以 AF 平面 ABCD ．（7 分）
如图，分别以
11．B
【解析】设直线 MN
的方程为
x
my
p 2
，设 M (x1,
y1), N (x2 ,
y2 ) ，且
x1
x2
，联立方程得
x
my
p 2
,
消去 x，得 y2 2 pmy p2 0 ，故 y1 y2 p2 ，4x1x2 p2 ，设抛物线的准线为 l ，过点 M 作 MC l ，
因为 G 为 CF 的中点， P 为 DF 的中点，所以 PG∥DC ，
因为四边形 ABCD 为菱形，所以 DC∥AB ，所以 PG∥AB ，（2 分）
因为 Q 为 BC 的中点， G 为 CF 的中点，所以 QG∥BF ，（3 分）
因为 PG QG G ， AB BF B ，所以平面 PGQ ∥ 平面 ABEF ，（5 分）
直角坐标系，则
D(0, 0)
，
1 E(
,
3 )
，故
DE
1 (
,
3 )
.而
B(2, 2)
，
4 F(
,
2 )
，故
BF
(
2
,
4 )
，从而
22
22
33
33
DE
BF
1
(
2)
3
(
4)
7
.
2 32 3 3
15． 1 【解析】作出约束条件所表示的平面区域如下图中阴影部分所示. 10
5
5
所以 bˆ
392 5 10 8 502．5 5 102
3．2 ，则
aˆ
8
(3．2) 10
A
3 ，所 2
以四边形 ABCD 的面积为 3 + 7 = 2 3+7 .故选 C. 24 4
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11
8．C 【解析】依题意， g(x) sin(2x 2π π ) 3 sin(2x 5π ) 3 3 sin(2x π ) ，因为 x [ π , 5π ] ，则
又∵
e
a
1 a
，∴
a
1 a
2
，即
a2
2a
1
0
，解得
a
1 ，∴
b
3 ，∴双曲线的标准方程为 x2 y2 1 ， 3
故选 C．
5．A 【解析】令 g(x) f (x 3) 1 5x 5x ，可知函数 g(x) 为奇函数，其图象关于原点对称，故函数 f (x)
3)2
2 4 ，（11 分）
所以直线 AD 与平面 CEF 所成角的正弦值为 2 ．（12 分） 4
19．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）因为 x 1 (9 9．5 10 10．5 11) 10 ， y 1 (11 10 8 6 5) 8 .
(2)n 3Fra bibliotek ，（8分）
故 bn
(2)n 3
2n 1 3
，（9
分）
则 Tn
1 3
2 [1 (2)n ] 1 (2)
(5 3
2n 2
1)n 3
2 9
(2)n1 9
n2
2 3
n
.（12
分）
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）如图，取 CF 中点 G，连接 PG，QG，BF，
x4 )6
的展开式的通项公式为 Tr1
C6r
(2x1)6r
4
(3x3 )r
C6r
26r
(3)r
7 r6
x3
，
令
7 3
r
6
1 ，解得
r
3
，故
x
的系数为
C36
23
(3)3
20 8
(27)
4320
.
14． 7 【解析】作出图形如图所示，其中正方形 ABCD 的边长为 2，以 D 为原点，建立如图所示的平面 3
垂足为
C，过点 N
作
ND
l
，垂足为
D，因为 |
MF
|
2|
NF
| 12 ，所以 | MF
||
MC
|
x1
p 2
12,
|
NF
||
ND |
x2
p 2
6 ，所以 x1
x2
6 ， x1
x2
18
p
，又 4x1x2
p2
(x1
x2 )2
(x1
x2 )2 ，所以
36 p 288 0 ，解得 p 8 ，故抛物线 的准线方程为 x 4 ，故选 B．
当n
2 时，3Sn
2an
m
0 ，3Sn1
2an1
m
0 ，两式相减，可得 3an
2an
2an1
0 ，则
an an1
2
，
故 a2 2m 2 ，解得 m 1，（4 分）
故 an (2)n1 .（6 分）
（2）根据（1）知
Sn
[1 (2)n ] 1 (2)
y x
1 1
表示阴影部分内的点
(
x,
y
)
与定点
D(1,
1)
连线的斜率.观察可知，
kCD
y 1 x 1
k AD
，联立方程得
x x
2y 4,
1
0,
解得
x
y
4, 3,故
2
z
y x
1 的最小值为 1
1
10
．
16．
(
1
,
4 )
【解析】令 r | 2x 1| ，则原式可化为 r2 (3t 2)r 2t 1 0, r [0, ) ，故问题转化为关于
2019年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(含答案)
n
项和为 Tn
，证明： Tn
1 2
．
18．（本小题满分 12 分） 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1， E 是边 D1C1 的中点，点 F 在正方体内部或正方体的面上，且满足： EF / / 面 A1BC1 。 （Ⅰ）求动点 F 的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；
（Ⅱ）设直线 BD1 与动点 F 的轨迹所在平面所成的角记为 ，求 cos ．
16． 某工厂现将一棱长为 3 的四面体毛坯件，切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为 ______________．
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（本小题满分 10 分）
x 2 r cos
在平面直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
y
r
sin
( r 0 ， 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴
π 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 经过点 P(2, 3 ) ，曲线 C2 的极坐标方程为 2 (2 cos 2 ) 6 ．
(1,
3) ，则 a在b方向上的投影为 ______________．
x y 0
2x y 6 0
14．若实数 x, y 满足 x 1
,则 z 2x y 的最大值为______________．
15. 已知函数 f (x) ex ex 1，则关于 x 的不等式 f (2x) f (x 1) 2 的解集为______________．
2019年高考最后压轴卷(北京卷)理科数学(附解析)
2019年高考最后压轴卷（北京卷）理科数学（附解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知，则的值为（） A. B. C. D. 2．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）A ．y=x 2+1 B ．y=e x﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ．3．若变量满足约束条件,则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（）A. B. C. D.5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．27B ．30C ．32D ．36(1i)i 1i(b b +=-+∈R)b 11-i i -2x y =0234a a 输出输入开始结束是12356. “”是直线与直线平行的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）A ．B ．1C ．2D ． 3 8.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．）9.函数的最小正周期是 ，最小值是 ． 10．已知x >0,y >0，且，若x +y ≥m 2+m +3恒成立，则实数m的取值4ab =210x ay +-=220bx y +-=(,)P x y ||y PQ +12()f x D m x D ∈()()f x m f x +>()f x D m ()f x R 0x >()f x x a a =--a R ∈()f x R a 0a >5a <10a <20a <2sin(2)16y x π=++114=+yx范围是__________．11. 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为 ．12.的二项展开式中项的系数为_________．（用数字作答）13.若，，，，则，，有小到大排列为 ．14.数列满足：，给出下述命题：①若数列满足：，则成立；②存在常数，使得成立；③若，则；④存在常数，使得都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）在中，已知， （Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求边上的中线的长.(1,1)A a a -+(,)B a a l l 51⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 01a b <<<b x a =a y b =log b z a =x y z {}n a *112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈{}n a 21a a >*1(1,)n n a a n n N ->>∈c *()n a c n N >∈*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中p q m n a a a a +>+d *1(1)()n a a n d n N >+-∈ABC △312,cos 413A C π==13.BC =AB BC AD16.（本小题满分13分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望； （3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．)30,50[]50,70[)50,6017．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：ME ∥平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求的值．18. （本小题满分14分）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的极小值； （Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.2()e (1)(0)2xmf x x x m =-+≥0m =()f x 0m >()f x ()f x (),1-∞m19.（本小题满分14分）已知圆的切线与椭圆相交于，两点． （1）求椭圆的离心率； （2）求证：； （3）求面积的最大值.20.（本小题共13分）已知曲线的方程为：.（1）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;（2）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;（3）若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.:O 221x y +=l :C 2234x y +=A B C OA OB ⊥OAB ∆n C *1()n nx y n N +=∈1,2n n ==n C ()n S n N *∈n C ()n S n N *∈n (2,)nnnx y z n n N +=>∈0xyz ≠(2,)n C n n N *>∈(,)x y ,x y答案1.【 答案】A【 解析】试题分析：因为（1+bi ）i=i+bi2=-b+i=-1+i ，所以，． 2．【 答案】C【 解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=ex ﹣e ﹣x 是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R ．的值域：[0，+∞）．故选：C 3．【 答案】D【 解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，是直线的纵截距，向上平移直线，增大，当直线过点时，为最大值．故选D ．4.【 答案】C1b -=-1b =2x y =ABC ∆:20l x y +=z 2x y z +=l z l (2,0)B 24z x y =+=【 解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a 为3． 5.【 答案】A.【 解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形，两个直角边长为3，5的直角三角形，∴该四棱锥的侧面积是，故选A.6．【 答案】B【 解析】时，直线与直线不平行，所以直线与直线平行的充要条件是，即且，所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件．故选B ．7.【 答案】C.【 解析】由抛物线的定义知：，∴，∴，即当，，三点共线时，值最小，故选C.8.【 答案】B.272532124321=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0=a 012=-+ay x 022=-+y bx 012=-+ay x 022=-+y bx 1222--≠=a b 4=ab )4(1≠≠b a 4=ab 012=-+ay x 022=-+y bx (0,1)F ||1PF y =+||||1||||11312y PQ PF PQ FQ +=-+≥-==-=P Q F【 解析】若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴，符合题意；若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴大致的函数图象如下图所示，根据题意可知对于任意恒成立，∴问题等价于将的图象向左平移20个单位后得到的新的函数图象恒在图象上方，根据图象可知，即，综上实数的取值范围是，故选B.9.【 答案】.【 解析】，最小值是，故填：. 10．【 答案】【 解析】∵x >0，y >0，(x +y)min ≥m 2+m +3恒成立，且4x +1y =1， x +y =(x +y)(4x +1y )=5+4y x+x y≥5+2√4y x×xy=9因为(x +y)min ≥m 2+m +3恒成立，∴m 2+m +3≤9 ∴−3≤m ≤2．11.【 答案】【 解析】直线斜率为，所以斜率为1，设直线方程为， 由已知直线过点，所以，即所以直线方程为12.【 答案】0a ≤0x >()||||f x x a a x x =--==()f x R ()f x x =0a >0x >, 0()||2, x x a f x x a a x a x a -<<⎧=--=⎨-≥⎩()f x R ()f x (20)()f x f x +>x R ∈()f x (20)f x +()f x 420a <05a <<a (,5)-∞1-，πππωπ===222T 211-+=-1-，π[]2,3-01=+-y x AB 111-=---+aa aa lb x y +=),1(a a -b a a +-=11=b 01=+-y x 5-【 解析】展开式通项为，令，，所以项的系数为．13.【 答案】【 解析】取特殊值，令，，则，，，则，即 14.【 答案】①④.【 解析】试题分析：对①；因为，所以，由已知，所以，即，正确对②；假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错，对③，因为，，所以假设 ，则应有，即原数列应为递增数列，错，对④，不妨设，，则，若存在常数，使得，应有，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．53521551()(1)rrrr r rr T C C x x --+=-=-5312r -=1r =x 115(1)5C -=-x y z <<14a =12b =121142b x a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭141122a y b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭121log log 24b z a ===1411222⎛⎫<< ⎪⎝⎭x y z <<21a a >210a a ->11n n n n a a a a +-->-11210n n n n a a a a a a +-->->⋅⋅⋅>->1n n a a ->c n a c>12n n n a a c a ++<<11n n a a -++p q m n +>+22p q m n++>p q m na a a a +>+22p q m na a ++>11a =1n n a a n+-=(1)12n n n a -=+d 1(1)n a a n d>+-112n a a nd n -<=-15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由，，所以.由正弦定理得，，即……… 6分（Ⅱ）在中，. 由余弦定理得，,所以. 所以. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）2200．【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为． （2）所有的可能取值为1，2，3，；；． 12cos 13C =02C π<<5sin 13C =sin sin AB BC C A=5sin=13sin CAB BC A =⋅=ABD△3cos cos()cos 42226B C C C π=π--=+=222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅2AD 21691329+242264=-⨯⨯=2AD =17100[)30,5031417+=[)30,5017100P =X ()124236C C 115C P X ===()214236C C 325C P X ===()304236C C 135C P X ===所以的分布列为所以的数学期望为．（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为． 17．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC ．EF⊥AC ．推出PA⊥底面ABCD ，即可说明PA⊥EF ， 然后证明EF⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明MF∥PA ，然后证明MF∥平面PAB ，EF∥平面PAB ．即可证明平面MEF∥平面PAB ，从而证明ME∥平面PAB ．（Ⅲ）以AB ，AC ，AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD 的法向量，平面PBC 的法向量，利用直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB=AC ，∠BCD=135°，∠ABC=45°． 所以AB⊥AC ．X X 1232555EX =⨯+⨯+⨯=3121764244+++++=4450002200100⨯=由E ，F 分别为BC ，AD 的中点，得EF∥AB ， 所以EF⊥AC ．因为侧面PAB⊥底面ABCD ，且∠BAP=90°， 所以PA⊥底面ABCD ．又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA⊥EF ．又因为PA∩AC=A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以EF⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以MF∥PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以MF∥平面PAB ．同理，得EF∥平面PAB ． 又因为MF∩EF=F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面MEF∥平面PAB ．又因为ME ⊂平面MEF ， 所以ME∥平面PAB ．（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD ，AB⊥AC ，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （﹣2，2， 0），E （1，1，0），所以，，，(2,0,2)PB =-(2,2,2)PD =--(2,2,0)BC =-设，则，所以M （﹣2λ，2λ，2﹣2λ），， 易得平面ABCD 的法向量=（0，0，1）． 设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），由，，得令x=1，得=（1，1，1）．因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以，即，所以，解得，或（舍）．18.（本小题满分14分）([0,1])PMPD λλ=∈(2,2,2)PM λλλ=--(12,12,22)ME λλλ=+--m n 0n BC ⋅=0n PB ⋅=220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩n cos ,cos ,ME m ME n <>=<>ME mME n ME mME n⋅⋅=⋅⋅22λ-=λ=λ=解：(Ⅰ)当时：，令解得， 又因为当，，函数为减函数； 当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，； 当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，； 当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）(1)当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上只有一个零点.0m =()(1)e x f x x '=+()0f x '=1x =-(),1x ∈-∞-()0f x '<()f x ()1,x ∈-+∞()0f x '>()f x ()f x 1(1)ef -=-()(1)(e )x f x x m '=+-0m >()0f x '=1x =-ln x m =1em =1()(1)(e )0e xf x x '=+-≥()f x (),-∞+∞1em >ln 1m >-()0f x '>1ln x x m <->或()0f x '<1ln x m -<<()f x (),1-∞-()ln ,m +∞()1,ln m -10em <<ln 1m <-()0f x '>ln 1x m x <>-或()0f x '<ln 1m x <<-()f x (),ln m -∞()1,-+∞()ln ,1m -0m =()e xf x x =()0f x =0x =0x <()0f x <0x >()0f x >()f x (),1-∞(2)当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点. （ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又， 只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点； 当时，，函数在区间上无零点. (ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点. 综上所述，. 19.（本小题满分14分）【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆中，，满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；（3）建立的函数关系式，将问题转化为求函数最值.0m >1em =()f x (),-∞+∞1(1)0e f -=-<2(1)e 0ef =->()f x (),1-∞1em >(1)0f -<(ln )(1)0f m f <-<(1)e 2f m =-1ee 2m <<(1)0f >()f x ()1-∞，e2m ≥(1)0f ≤()f x ()1-∞，10em <<(1)0f -<(1)e 20f m =->2(ln )ln 022m mf m m =--<()f x (),1-∞e02m ≤<3a b c OABS ∆试题解析：（1）由题意可知，，∴，∴，∴椭圆的离心率为；（2）若切线的斜率不存在，则，在中令得，不妨设，，则，∴，同理，当时，也有，若切线的斜率存在，设，即，由，得．显然，设，,则，，∴，∴，24a =243b =22283c a b =-=c e a ==C 3l :1l x =±223144x y +=1x =1y =±(1,1)A (1,1)B -110OA OB ⋅=-=OA OB ⊥:1l x =-OA OB ⊥l :l y kx m =+1=221k m +=2234y kx mx y =+⎧⎨+=⎩222(31)6340k x kmx m +++-=0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 122631kmx x k +=-+21223431m x x k -=+2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+∴，综上所述，总有成立；（3）∵直线与圆相切，则圆半径即为的高，当的斜率不存在时，由（2）可知，则，当的斜率存在时，由（2）可知，∴（当且仅当时，等号成立），∴，此时，综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．20.（本小题共13分）【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析．OA OB⊥OA OB⊥AB OO OAB∆l2AB=1OABS∆=lAB==231k=+231k=+==2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k kABk k k k k++++===++++++24222164164164419613396kk k kk=+⋅=+≤+=++++3k=±3AB≤max(S)3OAB∆=3k=±OAB∆3π【解析】试题分析：（1）画出对应的取值的图形，根据图形即可求解；（2）由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导．试题解析：（1）当时，由图可知，；（2）要证是关于递增的，只需证明：，由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线与，因为（1） 因为，在(1)和(2)中令，，当，存在，使得，成立，此时必有，因为当时，所以，两边同时开次方有，.（指数函数单调性）这就得到了，从而是关于递增的；（3）由于可等价转化为，反证：若曲线上存在一点对应的坐标，，全是有理数，不妨设，，，且互质，互质，则由n nC nC 1,2n =1141122C =⨯⨯⨯=2C π=(*)n S n N ∈n *1()n n S S n N +<∈n C nC nC 1n C +*||||1()n n x y n N +=∈11*||||1()n n x y n N +++=∈0x x =0(0,1)x ∈0(0,1)x ∈1y 2(0,1)y ∈011nn x y +=11011n n x y +++=21y y >0(0,1)x ∈100n n x x +>121n ny y +>n 1221n ny y y +>>21y y >*()n S n N ∈n (2,)n n n x y z n n N +=>∈()()1n n x yz z +=*(2,)n C n n N >∈(,)x y x y q x p =ty s =*,,,p q s t N ∈,p q ,s t可得，，即，这时，，就是的一组解，这与方程，，没有正整数解矛盾， 所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.||||1n n x y +=||||1n n q tp s +=||||||n n nqs pt ps +=qs pt ps (2,)n n n x y z n n N +=>∈(2,)n n nx y z n n N +=>∈0xyz ≠*(2,)n C n n N >∈(,)x y ,x y。
2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷(终极押题全国I卷)(理)Word版含解析
1．已知复数 z= （ i 是虚数单位） ，则复数 z 的虚部为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A 【解析】
复数 z= 复数的虚部为 ．故选： A．
2．已知集合 A． C． 【答案】 D 【解析】
将
和
分别沿 DE、 CF折起到 A、 B 两点重合，记为点 P．
，则
______．
，
，
解得
，
故答案为：
． ．
15．若二项式 【答案】 【解析】
展开式的常数项为 ，则实数 的值为 __________ ．
二项式
展开式的通项为，
，
令
，得
，
常数项为 ，得
， ，故答案为 .
16．已知函数 是 ______ ． 【答案】 【解析】
在
上恰有一个最大值点和两个零点，则
的取值范围
D． 4
【答案】 B
【解析】
根据题意，设等差数列
的公差为 ，
由题意得
，即
故选 B．
5．已知点 在曲线
，解得
．
上移动，设曲线在点 处的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C 【解析】
由题意，函数
因为
，所以
，则
，
，即
，
又因为 6．已知
，结合正切函数的图象与性质，可得
是两个单位向量，且夹角为 ，则
B． 95000 元
由已知得， 2017 年的就医费用为
(内部)2019年高考考前最后一套押题密卷-理科数学(考试版)
.
2
2x 3y 2 0,
15．若实数 x, y 满足约束条件 x 2 y 1 0, x 4,
则 z y 1 的最小值为 x 1
A． x 2
B． x 4
C． x 6
D． x 3
12．已知三棱锥 S ABC 的外接球为球 O ，且球 O 的体积为 243π ，若 SA 平面 ABC ， AB 3 AC ，
2
3
BAC π ，则三棱锥 S ABC 体积的最大值为 6
A． 9 4
B． 81 4
C． 9每小题 5 分，共 20 分）
13． ( 2 33 x4 )6 的展开式中，x 的系数为
.
x
14．已知面积为
4
的正方形
ABCD
中，
3EA
EC
0
，
CF
1
FA
，则
DE
BF
D． A U B
3．某企业 3000 名员工的工资情况统计如图所示，则下列说法错．误．的是
A．有超过 50%的员工能够领到 1000 元以上（含 1000 元）的工资
B．工资在 2000~3999 元的员工数占员工总数的 39%
C．有 150 名员工能够领到 5000 元以上（含 5000 元）的工资
3x ，则双曲线的标准方程为
5．已知函数 f (x) 53x 5x3 1 ，则
A．函数 f (x) 在 R 上单调递减，且函数 f (x) 的图象关于点 (3,1) 对称 B．函数 f (x) 在 R 上单调递减，且函数 f (x) 的图象关于点 (3,1) 对称 C．函数 f (x) 在 R 上单调递增，且函数 f (x) 的图象关于点 (3,1) 对称 D．函数 f (x) 在 R 上单调递增，且函数 f (x) 的图象关于点 (3,1) 对称 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为
2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科试题(含解析)
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i 2i+=-+（ ）A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b>>>4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．310C ．10D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120π- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1414B ．8314C ．1313 D ．138．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（ ）A ． 2，4B ． 2，5C ． 0，4D ． 0，59.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，ac=（ ）A ．2B ．3C ．33D ．2211．已知为抛物线x y C 4:2=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当0=++FC FB FA 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 3个D ． 无数个12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()20171f x x<+的解集是（ ）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()()1,00,1-D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 若()201512x -=2015012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则20151222015222a a a ++⋯+的值为 ．14． 如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 ．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分） 已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调区间和最大值、最小值．18．（本题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20．（本题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．（本题满分12分） 已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数． （1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2.【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.3．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0ab <. 综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 4.【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．5．【答案】B【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的渐近线方程为x aby -=，又直线053=+-y x 斜率为3，∴31=a b 故91222=-a a c ， 双曲线的离心率310==a c e ，故选B. 6．【答案】．D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 7．【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．在11Rt AC D △中，111C D =，2212313AD =+=，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===．故选A ． 8．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足； 满足； 满足；不满足，满足，输出的值为2，i 的值为，故选B. 9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK] 【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．10．【答案】C【解析】由正弦定理得222202a b c b a ab +-+⋅= ，∴22220a b c +-=，2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===⋅+≥当344a c c a =，即3a c =时cos B 取最小值．故选C ． 11．【答案】D【解析】抛物线方程为x y C 4:2=,C B A ,,为曲线上三点， 当0=++FC FB FA 时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使AF FD 21=， 当D 在抛物线内部时，设),(00y x D 若存在以D 为中点的弦BC ， 设),(),,(2211n m C n m B ，则0210212,2y n n x m m =+=+，2121m m n n k BC --=则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144m n m n ，两式相减化为，021212124y n n m m n n k BC =+=--=，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D. 12．【答案】C【解析】当0x >时，()()1x f x f x '⋅+>，∴()()10x f x f x '⋅+->，令()()()()1F x x f x x x f x =⋅-=-，则()()()10F x x f x f x ''=⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增．又()f x 为R 上的偶函数，∴()F x 为R 上的奇函数且()00F =，则当0x <时，()F x 单调递增．不等式()20171f x x <+，当0x >时，()2017x f x x ⋅<+，即()2017x f x x ⋅-<，()()1112017F f =-=，即()()1F x F <，∴01x <<；当0x <时，()2017x f x x -⋅<-+，()2017x f x x ⋅->-，()()112017F F -=-=-， 即()()1F x F >-，∴10x -<<．综上，不等式()20171f x x<+的解集为()()1,00,1-．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】在二项式展开式中，令12x =，得201501201511022a a a ⎛⎫=++⋯+ ⎪⎝⎭，令0x =得01a =，所以2015120220151222a a aa ++⋯+=-=-，故选C.14.51【解析】析 画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为'O 到直线210x y -+=的距离为d ，则55d ==，所以min 151PQ d =-=，故选A.15．【答案】120【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.16．【答案】2【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b +，设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥，∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ===≤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1，12-．【解析】（1）()1cos 2133cos 26262x f x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪πππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2133sin 2662x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪ππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312cos 2323x x ωωππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =sin 2sin 2366x x ωωπππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π，则44T π=， ∴周期22T ωπ==π，则1ω=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； O ' CyAB 220x y -+=O图 7-14210x y -+=20x y +-=x()2245BD αϕ++=4245BD +≥， 即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =． （2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，令2662x πππ-≤-≤得03x π≤≤，令52266x πππ≤-≤得32x ππ≤≤，∴()f x 的增区间为03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，减区间为32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,．∵()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增，在区间上32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，又∵()102f =-，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()min 102f x f ==-，()max 13f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分） 【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）121140；（3）34． 【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ， 则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=． （3）一个人是“好视力”的概率为14，ξ的可能取值为0，1，2，3． ()33402746P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2131327C 44641P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=， ()223139C 44426P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=，()3114634P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，ξ的分布列为()27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本题满分12分） 明（2）23λ=【答案】（1）见证中点K ，连接【解析】（1）取PCMK ，KD ，因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==， 所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ， 又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ， 所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==， 在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，ζ 0 1 23P64276427 649 641则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅， 即222424044x x x x+-+-+=，所以x =则PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==，()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN与平面PAB所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=. 20．（本题满分12分）【答案】（1）2216x y +=（2【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+则12MN x =-==因为3MN =3=.整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的. 21．（本题满分12分） 【答案】（1）e （2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，因为()ln x f x ax b x=-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-.所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++.已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e .（2）由()014f x e ≤+，即0001ln 4x ax e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x x h x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11'0p x x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）1C ：13422=+y x ，2C ：1=x ；（2）[]3,4． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ， 当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：θθtan tan -=x y ， 当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ； （或曲线2C ：0sin cos sin =--θθθy x ） （2）将2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数代入1C ：13422=+y x 化简整理得： ()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+ 则()2236cos 36sin 31440∆θθ=++=>恒成立，∴1212212sin 3PA PB t t t t θ+=+=-=+，∵[]2sin 0,1θ∈，∴[]3,4PA PB +∈．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤， 综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤． （2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。
2019年全国卷Ⅱ高考压轴卷数学理科Word版含解析
fx
2
x1
y2
2
x1
y2
x2
2
y 2 的最小值为 ______ ．
16．已知 △ABC 中， AB AC ，点 D 是 AC 边的中点，线段 BD x ， △ABC 的面积 S 2 ， 则 x 的取值范围是 _________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，角 A 、 B 、
B． c a d b
C． d c a b
D． c d a b
7． 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（
）
A． 16π 3
B． 3
C． 2 9
D． 16 9
8．已知向量 a 1, 3 ， b 0, 2 ，则 a 与 b 的夹角为（
）
A． π 6
B． π 3
C． 5π 6
D． 2 π 3
人中女生人数为 X ，写出 X 的分布列，并求 E X ．
附： K 2
2
n ad bc
，其中 n a b c d ．
abcd acbd
12 人参 设选取的 3
P K 2 k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19．（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC ， PD DC ，底面 ABCD 是梯形， AB∥DC ，
9．在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， a b c a c b 3ac ，则角 B
2019高考终极猜押最后一卷 理科数学试题(高清PDF)
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)若PA=PB,求二面角A-PC-D 的余弦值.
(2)若数列{bn}满足
bn=bn-1 ·log3an+1 (n≥2,n∈N* ),且 b1 =1,求 数 列
{ } bn
bn+2
的前n项和Sn.
18.为了缓解城市 交 通 压 力 和 改 善 空 气 质 量,有 些 城 市 出 台
π,2π 63
( ) B. -3π,6π
( ) D.
π,5π 36
F2 分别为双曲线C1 的左、右焦点,则双曲线C1 的离心率
为
()
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每
填入的关于k的条件是
.
个实体考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要
求作答.
二、填空题(本大题 共 4 小 题,每 小 题 5 分,共 20 分.把 答 案
则其外接球的体积为
( ) 的体积是
()
A.238π
B.332π
A.5090π
B.2530π
ห้องสมุดไป่ตู้
C.10300π D.5030π
6.下列函数中,为偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是
(
C.532π
D.536π
( ) 12.若函数f(x)=sinωx-6π (ω>0)的图象相邻两个对称
)
中心之间的距离为2π,则f(x)的一个单调递减区间为
1
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,17-21 19.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面
题每小题12分,22-23题每小题10分)
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学压轴卷(整理含答案)
绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷理科数学本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．·已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =（ ） A ．{}1-B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-2．·已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．·元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ） A ．34B ．78C ．1516D ．31324．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．5．()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,06．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．-5B ．7C ．-11D ．137．四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π8．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移得到函数()g x 的图像关于直线12x π=） A ．725-B ．34-C ．725D ．349．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A ． B．C ．D ．10．在ABC △中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是（ ） A．10B．4C ．910D ．41811．·()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞12．如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线l 过点F且依次交抛物线及圆(222x y-+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【猜题卷】2019年高考考前最后一套押题密卷理科数学(全解全析)
8
0且6
4a
0，
解得 a 8 ，故选 B． 3
2．C 【解析】依题意， A {x | x 5 或 x 1} ， B {y | y 2} ，故 U A {x | 5 x 1} ， U B {y | y 2} ， 结合数轴可知， U A B ，故选 C.
36
6
6
36
2x [2π , 5π ] ，则 2x π [5π ,11π ] ，所以 5 g(x) 4 ，从而 g(x) 在[ π , 5π ] 上的最小值为 5 ，故选 C.
33
6 66
2
36
2
9．B
【解析】∵当输入
x
log 2
3
时，满足条件 x
2 ，∴ x
值变为 log2 3 1
当n
2 时，3Sn
2an
m
0 ，3Sn1
2an1
m
0 ，两式相减，可得 3an
2an
2an1
0 ，则
an an1
2
，
故 a2 2m 2 ，解得 m 1，（4 分）
故 an (2)n1 .（6 分）
（2）根据（1）知
Sn
[1 (2)n ] 1 (2)
直角坐标系，则
D(0, 0)
，
1 E(
,
3 )
，故
DE
1 (
,
3 )
.而
B(2, 2)
，
4 F(
,
2 )
，故
BF
2019年高考数学(理)终极押题卷(新课标Ⅲ卷)(解析版)
秘密★启用前2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅲ）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位,复数1z i =+,则1z z -的实部与虚部之差为( )A ． 1B ．0C1 D【答案】:D【解析】：复数1z i =+，∴111111,,--1222i z z i z i z +==-∴-=-，虚部，实部虚部,故选D.2.如图所示的Venn 图中，,A B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若x y ∈R ，，{A x y =，30{|}x B y y x >＝＝，，则A B ⊗为()A ．{}2|0x x <<B ．{}2|1x x <≤C ．1{|0}2x x x ≤≤≥或D ．1{|0}2x x x ≤≤>或【答案】:D 【解析】：{}{}{}{}02,1,0,12,()A B A x x B y y AB x x AB x x A B CAB =≤≤=>∴=≥=<≤∴⊗=={}012x x x ≤≤>或，故选D.3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D.【答案】B【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为 ×20%=11.25%，得解．【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选：B ．【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．4. 已知向量(1,3),(6,)a b m =-=错误！未找到引用源。