2020年湖北随州中考数学试卷(解析版)
2020年湖北随州中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.的倒数是（ ）．A. B. C. D.2.如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，则的度数是（ ）．A. B. C. D.3.随州月份连续天的最高气温分别为：，，，，（单位：），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）．A.，B.，C.，D.，4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）．A.圆柱B.圆锥C.四棱柱D.四棱锥5.的计算结果为（ ）．A. B. C. D.A.B.C.D.6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有只，兔有只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）．7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离与出发时间之间的对应关系的是（ ）．A.B.C.D.8.设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论的是（ ）．A.B.C.不.正.确.D.9.将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）．A.B.C.D.10.如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③是等腰三角形时，的值有个；④是直角三角形时，.其中正确的有（ ）．A.个B.个C.个D.个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.计算： ．12.如图，点，，在⊙上，是的角平分线，若，则的度数为 ．13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是，则的值为 ．14.如图，中，点，，分别为，，的中点，点，，分别为，，的中点，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．15.如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为，则的值为 ．16.如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：①；②折痕的长度的取值范围为；③当四边形为正方形时，为的中点；④若，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）三、解答题（本大题共8小题，共72分）17.先化简，再求值：，其中，．（1）（2）18.已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．若方程有两个实数根，，且，求的值．19.根据公安部交管局下发的通知，自年月日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：年龄（岁）人数男性占比（1）（2）（3）（4）统计表中的值为 ．若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ．在这人中女性有 人．若从年龄在“”的人中随机抽取人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男性的概率 ．（1）（2）20.如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米．求与之间的距离．求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数）（1）（2）21.如图，在中，，以斜边上的中线为直径作⊙，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．求证：是⊙的切线．若⊙的直径为，，求的长．22.年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按天计）前天的某型号口罩销售价格（元只）和销量（只）与第天的关系如下表：（1）（2）（3）第天销售价格（元只）销量（只）物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于元只，该药店从第天起将该型号口罩的价格调整为元只．据统计，该药店从第天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为元只．直接写出该药店该月前天的销售价格与和销量与之间的函数关系式．求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大．物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于元，则的取值范围为 ．12（1）1（2）23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．图请叙述勾股定理．勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）图图如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个．212（3）图图图如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．图如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”．在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）图．与的关系为 ，与的关系为 ．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．【答案】解析:的倒数是．故选．（1）（2）（3）抛物线的解析式和的度数．动点，同时从点出发，点以每秒个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标：在（）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请点及其对应的点的坐标．备用图直.接.写.出.直.接.写.出.D 1.C2.解析:，，∴，∴．故选．解析:把这组数据从小到大排列为：，，，，，出现次数最多为次，则众数为；最中间的数为，则中位数为．故选．解析:俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．故选．解析:．故选．解析:设鸡有只，兔有只，由题意得：D 3.A 4.B 5.A 6.．故选．解析:小明一开始步行出发到学校，则距离家的距离不断变大，在学校停留一段时间，则离家距离不变，所以排除选项；过一段时间后，小明乘车返回，则离家的距离不断变小，故排除；又因为去的时候是步行，返回的时候是乘车，故返回时速度大，体现在图中为返回时图象更加陡峭，故排除．故选．解析:如图所示，三角形内切圆，外接圆圆心为，连接并延长交于，作交于点，连接，，∵，，∴直线为线段的垂直平分线，∴，∴，，，，选项：，∴，故正确；选项：∵为等边三角形，，∴，∴，∴，C7.C8.故正确；选项：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，故错误；选项：，，∴，∴，∴，∴，故正确；故选．解析:∵，∴，∴．，，，，，C9.．∵，∴，∴原式．故选．解析:∵二次函数的图象与轴交于，两点，∴抛物线对称轴为，又∵抛物线对称轴可表示为，∴，结论①正确；∵，是抛物线上的点，将，代入解析式，得：，即，将，代入解析式得：，即，∴，故结论②错误；点坐标为，又∵，∴点坐标可表示为，，，，若为等腰三角形，由于，故有两种可能的情况：①；②，对情况①．令解得：，（舍），则，②，令，解得，（舍），B10.则，故当为等腰三角形时，的值有两个，分别为，，结论③正确；顶点坐标为，即，∵，，，直线斜率为，直线斜率为，直线斜率为，若，即无解，若，即，解得（舍），，若，即，解得：，（舍），故是直角三角形时，或，结论④错误．综上，正确的结论有两个．故选．11.解析:原式．故答案为：．12.解析:∵，，三点在⊙上，，∴，∵平分，∴．故答案为：．13.解析:根据题意可知：第三行第一个小正方形内的数字是；第三行第二个小正方形内的数字是；则第三行第三个小正方形内的数字是；故．故答案为：．14.解析:设的面积为，∵点，，分别是，，的中点，∴易证，且．∵点，，分别是，，的中点，∴易证，且，则，即，故米粒落在图中阴影部的概率为：．15.解析:如下图所示，作轴交轴于点，设点坐标为：，则，∵面积为，，得，故点坐标为：，∵点为中点，∴点坐标为，∵点在上，∴，解得．故的值为：．解析:∵四边形是矩形，∴，，，∵，∴，∴，．根据翻折性质可知：，，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．故①正确；∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，①②③④16.∵在上且不与重合，∴，连接，∴，∴，∴，∴．故②正确；当四边形为正方形时，，∴，设，则，，∵，∴，∴．在中，，∴，解得（舍去），，∴，，∴，∴为中点．故③正确；∵，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．设与交于，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴重叠部分面积．故④正确．四边形四边形（1）（2）（1）（2）（3）（4）综上①②③④正确．解析:原式．当，时，原式．解析:依题意可得，．故无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．由根与系数的关系可得：，由，得，解得．解析:．．．方法一：设两名男性用，表示，两名女性用，表示，根据题意：可画出树状图：．17.（1）证明见解析．（2）．18.（1）（2）（3）（4）．19.（1）（2）由上图可知，共有种等可能的结果，符合条件的结果有种，故（恰好抽到名男性）．方法二：设两名男性用，表示，两名女性用，表示，根据题意，列表：第1人第2人由上表可知，共有种等可能的结果，符合条件的结果有种，故（恰好抽到名男性）．解析:依题意可得，在中，，∴米，∵米，∴（米）．即，之间的距离为米．在中，，米，∴（米），∵米，（1）米．（2）米．20.（1）（2）∴米．由，并精确到整数可得米．即天线的高度约为米．解析:连接，∵，∴．在中，是斜边上的中线，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是⊙的切线．连接，，易知，，由（）可知，故为的中点，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴．（1）证明见解析．（2）．21.（1），．22.（1）（2）解析:设，经过点和，∴，解得，∴（，为整数）．设，经过点和，∴，解得，∴（，为整数）．当，且为整数时，，开口向上，对称轴为，∴当，且为整数时，随的增大而增大，∴当时，元，当，且为整数时，，开口向下，对称轴为，∴当且为整数时，随的增大而增大，且为整数时，随的增大而减小，∴当时，元，综上，，在第天利润最大．（2），在第天利润最大．（3）且为整数且为整数最大且为整数且为整数（3）12（1）1（2）前天获得的利润中包含非法所得：．由题意得：，．解析:如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得，在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得．在图中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简．图图图如图所示，，，分别以，，长为边长的正方形的面积，为直角三角形且，∴，，，又在中由勾股定理可知：，12（1）如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）证明见解析．12（2）．证明见解析．12（3） ;23.2∴，故图形中面积关系满足 ．如图所示，，，分别以，，长为直径的半圆的面积，为直角三角形且，∴，，，在中由勾股定理可知：，∴，∴，故图形中三个图形面积关系满足．如图所示，，，分别以，，长为边长的等边三角形的面积，为直角三角形且，∴，，，在中由勾股定理可知：，∴，∴，故图形中三个图形面积关系满足，∴图、、这三个图形中面积关系满足的有个．故答案为：．判断：图中，．图图中为直角三角形且，12（3）图中有个半圆，直径分别为，，，图中图形总面积为：，中有：，，图中空白半圆面积为，∴图中两个月形图案，面积和为：，故．如图所示，正方形、边长分别为、，图由（）可知：正方形的面积与正方形的面积之和为正方形的面积，即，正方形的面积与正方形的面积之和为正方形的面积，即，正方形的面积与正方形的面积之和为正方形的面积，即，∴，∴．故答案为：．图中三个直角三角形中，，又，，，，，∴ ，∴，又，，∴，∴即，∴．，，，，∴，，∴，，由勾股定理可知：，∴，又，，∴，∴与的关系为：．故答案为：．（1）；．24.（2）；．（3），，，，，，，．，，，，，，，．，，，，，，（1）（2）解析:∵抛物线对称轴为直线，且与轴交于和，与轴交于点，∴，解之得，∴抛物线解析式为，∴当时，，故为，当时，，解之得，，故坐标为，∴可知，，∴．由（）知，过点作于，过点作于，∵，，∴≌，∴，，由题意得：，，，∴，，∴，，，∴，∴，又，故可解得：，经检验，当时，点，均未到达终点，符合题意，此时点坐标为．，．（3）∵在（）的条件下，故，又由，∴为，，，，∴,，,，∵为轴一动点，为轴上一点，故为轴上一线段，、当与的相似边其中一组为与时，过点作，交于点，过点作，与交于，如图，图∵，故或，①当时，设坐标为，∴即化简为，∴有，解之得，，∴当为时，有，故在下方，故在下方，∴有即，解之得，∴，故此时为，当为时，，故在上方，故在上方，∴有即，解之得，∴，故此时为．②当时，设坐标为，∴，即化简为，∴有，解之得，，当为时有，故在下方，在下方，∴即，解之得，∴，故为，当为时，有，故右下方，故在下方，∴即，解之得，∴，故为，∴综上所述的情况有组，，，，，，，，．、当与的相似边其中一组为与时，过作，与交于点，过作，与交于，如图，图∵，故或．③时，设坐标为，∴，，，∴即，化简为，∴，解之得，，∴当为时，，故在下方，故在下方，∴有即，解之得，∴，故为，∴当为时，，故在上方，故在上方，∴有即，解之得，∴，故为．④时，设坐标为，∴，即，化简为，∴，解之得，，∴当为时，，故在下方，故在下方，∴有即，解之得，∴，故为，当为时，，故在上方，∴有即，解之得，∴，故为，∴综上所述此情况有组，，，，，，，，．、当与的相似边其中一组为与时，过作，交于点，过点作，与交于，如图，图∵，故或，⑤时，设坐标为，∴，，，∴即化简为，∴，解之得，，∴当为时，，故在下方，∴即，解之得，∴，故为，∴当为时，，故在上方，故在上方，∴即，解之得，∴，故为．⑥当时，设坐标为，∴，即，化简为，∴有，解之得，，∴为时，，故在下方，故在下方，∴即，解之得，∴，故为，∴为时，，故在下方，故在下方，∴即，解之得，∴，故为，∴综上三种情况所述，共有组，分别为，，，，，，，．，，，，，，，．，，，，，，，．。
2020年湖北省随州市中考数学试卷(含答案解析)
2020年湖北省随州市中考数学试卷副标题得分1. 2020的倒数是( )A. −2020B. 2020C. −12020D. 120202. 如图，直线11//l 2，直线1与l 1，l 2分别交于A ，B两点，若∠1=60°，则∠2的度数是( )A. 60°B. 100°C. 120°D. 140°3. 随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34(单位：℃)，则这组数据的众数和中位数分别为( )A. 30，32B. 31，30C. 30，31D. 30，304. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )A. 圆柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 四棱锥5.2x 2−4÷1x 2−2x的计算结果为( )A. xx+2B. 2xx+2C. 2xx−2D. 2x(x+2)6. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”.设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是( )A. {x +y =352x +4y =94 B. {x +y =354x +2y =94 C. {2x +y =35x +4y =94D. {x +4y =352x +y =947.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离(s)与出发时间(t)之间的对应关系的是()A. B.C. D.8.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是()A. ℎ=R+rB. R=2rC. r=√34a D. R=√33a9.将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x⋅x2=x(px−q)=⋯，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2−x−1=0，且x>0，则x4−2x3+3x的值为()A. 1−√5B. 3−√5C. 1+√5D. 3+√510.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a=−√22．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.计算：(−1)2+√9=______．12.如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC=120°，则∠CAD的度数为______．13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为______．14.如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为______．(k>0)在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点15.如图，直线AB与双曲线y=kxC，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为______．16.如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上(不与两端点重合)，过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3<MN<154；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④若DF=13DC，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是______.(写出所有正确判断的序号)17.先化简，再求值：a(a+2b)−2b(a+b)，其中a=√5，b=√3．18.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m−2=0．(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2=1，求m的值．19.根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：(1)统计表中m的值为______；(2)若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x<40”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；(3)在这50人中女性有______人；(4)若从年龄在“x<20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．20.如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD=5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB=25米．(1)求A与C之间的距离；(2)求天线BE的高度．(参考数据：√3≈1.73，结果保留整数)21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．(1)求证：MN是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为5，sinB=3，求ED的长．522.2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月(按30天计)前5天的某型号口罩销售价格p(元/只)和销量q(只)与第x天的关系如下表：物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q(只)与第x天的关系为q=−2x2+80x−200(6≤x≤30，且x为整数)，已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．(1)直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；(2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W(元)与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；(3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为______．23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有______个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=______；②b与c的关系为______，a与d的关系为______．，其图24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1的对称轴为直线x=32象与x轴交于点A和点B(4,0)，与y轴交于点C．(1)直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；(2)动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒√2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t(t>0)秒，连接MN，再将线段MN绕点M 顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；(3)在(2)的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．(每写出一组正确的结果得1分，至多得4分)答案和解析1.【答案】D=1，【解析】解：∵2020×12020∴2020的倒数是1，2020故选：D．乘积为1的两个数互为倒数，求出结果即可．本题考查倒数的意义和计算方法，乘积为1的两个数是互为倒数．2.【答案】C【解析】解：∵∠1=60°，∴∠3=180°−∠1=120°，∵直线11//l2，∴∠2=∠3=120°，故选：C．根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质，邻补角定义的应用，解此题的关键是求出∠3的度数，注意：两直线平行，同位角相等．3.【答案】D【解析】解：这5天最高气温出现次数最多的是30，因此众数是30；将这5天的最高气温从小到大排列，处在中间位置生物一个数是30，因此中位数是30，故选：D．根据中位数、众数的意义和计算方法分别求出结果即可．本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确计算的前提．4.【答案】A【解析】解：俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．故选：A．俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．5.【答案】B【解析】解：原式=2(x+2)(x−2)÷1x(x−2)=2(x +2)(x −2)×x(x −2) =2x x+2．故选：B ．根据分式的乘除法的运算顺序进行计算即可求解．本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是掌握分式的乘除法的运算过程． 6.【答案】A【解析】解：设鸡有x 只，兔有y 只，根据题意，可列方程组为{x +y =352x +4y =94， 故选：A ．根据“鸡的数量+兔的数量=35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量=94”可列方程组． 本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．7.【答案】B【解析】解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段； ②停留一段时间时，离家的距离不变，③乘车返回时，离家的距离减小至零，纵观各选项，只有B 选项符合．故选：B ．从家出发步行至学校时，停留一段时间时，乘车返回时三段分析得到相应的函数图象，然后即可得解．本题是对函数图象的考查，根据题意，理清从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，明确离开家的距离随时间的变化情况是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE=r，AO=R，AD=ℎ，∴ℎ=R+r，故A正确；∵AD⊥BC，∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△AOE中，∴R=2r，故B正确；∵OD=OE=r，∵AB=AC=BC=a，∴AE=12AC=12a，∴(12a)2+r2=(2r)2，(12a)2+(12R)2=R2，∴r=√3a6，R=√33a，故C错误，D正确；故选：C．根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得：R=2r；等边三角形的高是R与r的和，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了等边三角形及它的内切圆和外接圆的关系，等边三角形的内心与外心重合，是三条角平分线的交点；由等腰三角形三线合一的特殊性得出30°角和60°，利用直角三角形30°的性质或三角函数得出R、r、h的关系．9.【答案】C【解析】解：∵x2−x−1=0，∴x2=x+1，∴x3=x⋅x2=x(x+1)=x2+x=x+1+x=2x+1，x4=x⋅x3=x(2x+1)=2x2+x=2(x+1)+x=3x+2，∴x 4−2x 3+3x =3x +2−2(2x +1)+3x=3x +2−4x −2+3x=2x ，解方程x 2−x −1=0得x 1=1+√52，x 2=1−√52， ∵x >0，∴x =1+√52，∴x 4−2x 3+3x =2×1+√52=1+√5．故选：C ． 先利用x 2−x −1=0得到x 2=x +1，再利用x 的一次式表示出x 3和x 4，则x 4−2x 3+3x 化为2x ，然后解方程x 2−x −1=0得x =1+√52，从而得到x 4−2x 3+3x 的值． 本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点， ∴对称轴为直线x =−b 2a =1，∴b =−2a ，∴2a +b =0，故①正确，当x =1时，0=a −b +c ，∴a +2a +c =0，∴c =−3a ，∴2c =3b ，故②错误；∵二次函数y =ax 2−2ax −3a ，(a <0)∴点C(0,−3a)，当BC =AB 时，4=√9+9a 2，∴a =−√73， 当AC =BC 时，4=√1+9a 2，∴a =−√153，∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，∴顶点D(1,4a)，∴BD2=4+16a2，BC2=9+9a2，CD2=a2+1，若∠BDC=90°，可得BC2=BD2+CD2，∴9+9a2=4+16a2+a2+1，∴a=−√22，若∠DCB=90°，可得BD2=CD2+BC2，∴4+16a2=9+9a2+a2+1，∴a=−1，∴当△BCD是直角三角形时，a=−1或−√22，故④错误．故选：B．由图象可得对称轴为直线x=−b2a=1，可得b=−2a，可判断①；将点A坐标代入解析式可得c=−3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求a=−1或−√22，可判断④，即可求解．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．11.【答案】4【解析】解：(−1)2+√9=1+3=4．故答案为：4．根据有理数乘方的定义以及算术平方根的定义计算即可．本题主要考查了实数的运算，熟记有理数乘方的定义以及算术平方根的定义是解答本题的关键．12.【答案】30°【解析】解：∵∠BAC=12∠BOC=12×120°=60°，而AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=12∠BAC=30°．故答案为30°．先根据圆周角定理得到∠BAC=12∠BOC=60°，然后利用角平分线的定义确定∠CAD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13.【答案】9【解析】解：依题意，得：2+m+4=15，解得：m=9．故答案为：9．根据幻方的定义，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14.【答案】116【解析】解：∵点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴S△DEF=14S△ABC，又∵点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，∴S△PMN=14S△DEF=116S△ABC，∴米粒落在图中阴影部分的概率为S△PMNS△ABC =116，故答案为：116．利用三角形中位线定理得出S△PMN=14S△DEF=116S△ABC，根据米粒落在图中阴影部分的概率即为阴影部分与三角形的面积比即可得．本题主要考查了几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，∵B是AC的中点，∴AB=BC，∴BNAM =CBCA=CNCM=12，∴CN=MN，设BN=a，则AM=2a，∵点A、B在反比例函数的图象上，∴OM⋅AM=ON⋅BN，∴OM=12ON，即：OM=MN=NC，设OM=b，则OC=3b，∵△AOC的面积为3，即12OC⋅AM=3，∴12×3b×2a=3，∴ab=1∴S△AOM=12OM⋅AM=12×b×2a=ab=1=12|k|，∴k=−2(舍去)，k=2，故答案为：2．根据B是AC的中点，可得出CN=MN，AM=2BN，再根据点A、B在反比例函数的图象上，可得出OM=MN=CN，设出未知常数，表示△AOC的面积，进而得出△AOM的面积，由S△AOM=12OM⋅AM=12×b×2a=ab=1=12|k|，求出k的值即可．本题考查反比例函数、一次函数的图象上点的坐标特征，利用中点、相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出三角形AOM的面积是解决问题的关键．16.【答案】①②③④【解析】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，∴∠BOM=90°，∴∠BHP=90°=∠BOM，∵∠BPH=∠OPM，∴∠CBF=∠NMH，∵∠MHN=∠C=90°，∴△MHN∽△BCF，故①正确；②当F与C重合时，MN=3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，由勾股定理得：BD=5，∵OB=OD=52，∵tan∠DBC=ONOB =CDBC，即ON52=34，∴ON=158，∵AD//BC，∴∠MDO=∠OBN，在△MOD和△NOB中，∵{∠MDO=∠OBN OD=OB∠DOM=∠BON，∴△DOM≌△BON(ASA)，∴OM=ON，∴MN=2ON=154，∵点F在线段CD上(不与两端点重合)，∴折痕MN的长度的取值范围为3<MN<154；故②正确；③如图3，连接BM，FM，当四边形CDMH为正方形时，MH=CH=CD=DM=3，∵AD=BC=4，∴AM=BH=1，由勾股定理得：BM=√32+12=√10，∴FM=√10，∴DF=√FM2−DM2=√(√10)2−32=1，∴CF=3−1=2，设HN=x，则BN=FN=x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2=FN2，∴(3−x)2+22=(x+1)2，，解得：x=32∴HN=3，2∵CH=3，∴CN=HN=3，2∴N为HC的中点；故③正确；④如图4，连接FM，∵DF=1DC，CD=3，3∴DF =1，CF =2，∴BF =√22+42=2√5，∴OF =√5，设FN =a ，则BN =a ，CN =4−a ， 由勾股定理得：FN 2=CN 2+CF 2， ∴a 2=(4−a)2+22，∴a =52， ∴BN =FN =52，CN =32，∵∠NFE =∠CFN +∠DFQ =90°， ∠CFN +∠CNF =90°，∴∠DFQ =∠CNF ，∵∠D =∠C =90°，∴△QDF∽△FCN ， ∴QDFC =DF CN ，即QD 2=132， ∴QD =43，∴FQ =√12+(43)2=53， ∵tan∠HMN =tan∠CBF =HN HM =CF BC ， ∴HN3=24，∴HN =32，∴MN =√32+(32)2=3√52， ∵CH =MD =HN +CN =32+32=3，∴MQ =3−43=53，∴折叠后重叠部分的面积为：S △MNF +S △MQF =12⋅MN ⋅OF +12⋅MQ ⋅DF =12×3√52×√5+12×53×1=5512； 故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④； 故答案为：①②③④．根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定①正确； 根据MN 最大值和最小值时F 的位置可判定②正确；根据边形CDMH 为正方形和勾股定理分别各边的长，可判定③正确；根据相似三角形的性质和勾股定理可得MN ，OF ，MQ 和DF 的长，利用面积和可判定④正确；从而求解．本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．17.【答案】解：原式=a 2+2ab −2ab −2b 2=a 2−2b 2当a =√5，b =√3时，原式=(√5)2−2×(√3)2=5−6=−1．【解析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．本题考查了整式的混合运算−化简求值，解决本题的关键是先化简，再代入值．18.【答案】解：(1)∵△=(2m +1)2−4×1×(m −2)=4m 2+4m +1−4m +8=4m 2+9>0，∴无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)由根与系数的关系得出{x 1+x 2=−(2m +1)x 1x 2=m −2，由x 1+x 2+3x 1x 2=1得−(2m +1)+3(m −2)=1， 解得m =8．【解析】(1)根据根的判别式得出△=(2m+1)2−4×1×(m−2)=4m2+9>0，据此可得答案；(2)根据根与系数的关系得出x1+x2=−(2m+1)，x1x2=m−2，代入x1+x2+3x1x2=1得出关于m的方程，解之可得答案．本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+ q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．19.【答案】10 180°18【解析】解：(1)因为50−4−25−8−3=10，所以统计表中m的值为10；故答案为：10；(2)因为年龄在“30≤x<40”部分的人数为25，所对应扇形的圆心角的度数为：360°×2550=180°；故答案为：180°；(3)因为4×50%+10×(1−60%)+25×(1−60%)+8×(1−75%)=18所以在这50人中女性有18人；故答案为：18；(4)因为年龄在“x<20”的4人中有2名男性，2名女性，设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，根据题意，画树状图如下：由上图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，所以恰好抽到2名男性的概率为：212=16．(1)根据表格中的数据可得50−4−25−8−3=10，所以得统计表中m的值；(2)根据年龄在“30≤x<40”部分的人数为25，即可求得所对应扇形的圆心角的度数；(3)根据表格数据可得在这50人中女性：4×50%+10×(1−60%)+25×(1−60%)+8×(1−75%)=18(人)；(4)根据年龄在“x<20”的4人中有2名男性，2名女性，设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，根据题意即可画树状图，进而求出恰好抽到2名男性的概率．本题考查了列表法与树状图法、频率分布表、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式．20.【答案】解：(1)由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∴AD=AB=25米，∵CD=5米，∴AC=AD+CD=25+5=30(米)，即A与C之间的距离是30米；(2)在Rt△ACE中．∠ACE=60°，AC=30米，∴AE=30⋅tan60°=30√3(米)，∵AB=25米，∴BE=AE−AB=(30√3−25)米，∵√3≈1.73，∴BE≈1.73×30−25=27米．即天线BE的高度为27米．【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得出AD=AB=25米，则可求出答案；(2)解直角三角形求出AE=30⋅tan60°=30√3(米)，则可求出BE．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21.【答案】(1)证明：连接OM，如图1，∵OC=OD，∴∠OCM=∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AB=BD，∴CD=12∴∠DCB=∠DBC，∴∠OMC=∠DBC，∴OM//BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM过O，∴MN是⊙O的切线；(2)解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED=90°，∠DMC=90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由(1)知：BD=CD=5，∴M为BC的中，∵sinB=35，∴cosB=45，在Rt△BMD中，BM=BD⋅cosB=4，∴BC=2BM=8，在Rt△CEB中，BE=BC⋅cosB=325，∴ED=BE−BD=325−5=75．【解析】(1)连接OM，求出OM//BD，求出OM⊥MN，根据切线的判定推出即可；(2)连接DM和CE，求出DM⊥BC，OE⊥BD，解直角三角形求出BC和BE，再求出答案即可．本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．22.【答案】m≥85【解析】解：(1)根据表格数据可知：前5天的某型号口罩销售价格p(元/只)和销量q(只)与第x天的关系为：p=x+1，1≤x≤5且x为整数；q=5x+65，1≤x≤5且x为整数；(2)当1≤x≤5且x为整数时，W=(x+1−0.5)(5x+65)=5x2+1352x+652；当6≤x≤30且x为整数时，W=(1−0.5)(−2x2+80x−200) =−x2+40x−100．即有W={5x2+1352x+652,1≤x≤5且x为整数−x+40x−100,6≤x≤30且x为整数，当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，故当x=5时，W有最大值为：495元；当6≤x≤30且x为整数时，W═−x2+40x−100=−(x−20)2+300，故当x=20时，W有最大值为：300元；由495>300，可知：第5天时利润最大为495元．(3)根据题意可知：获得的正常利润之外的非法所得部分为：(2−0.5−0.5)×70+(3−1)×75+(4−1)×80+(5−1)×85+(6−1)×90= 1250(元)，∴1250m≥2000，解得m≥85．则m的取值范围为m≥85．故答案为：m≥85．(1)根据表格数据可得前5天的某型号口罩销售价格p(元/只)和销量q(只)与第x天的关系；(2)当1≤x≤5且x为整数时，W=(x+1−0.5)(5x+65)=5x2+1352x+652；当6≤x≤30且x为整数时，W=(1−0.5)(−2x2+80x−200)=−x2+40x−100.再根据二次函数的性质即可求出第5天时利润最大为495元；(3)根据题意可得，获得的正常利润之外的非法所得部分为：(2−0.5−0.5)×70+(3−1)×75+(4−1)×80+(5−1)×85+(6−1)×90=1250(元)，再根据罚款金额不低于2000元，即可求出m的取值范围．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找等量关系．23.【答案】3 m2b=c a+d=m【解析】解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．)(2)证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+(b−a)2，化简得：a2+b2=c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即(a+b)2=c2+12ab×4，化简得：a2+b2=c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12(a+b)(a+b)=12ab×2+12c2，化简得：a2+b2=c2．(2)①三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2=S3．∵S1+S2=12π(a2)2+12π(b2)2+S3−12π(c2)2，∴S1+S2=18π(a2+b2−c2)+S3，∴a2+b2=c2．∴S1+S2=S3．(3)①a2+b2+c2+d2=m2；②b与c的关系为b=c，a与d的关系为a+d=m．故答案为：m2；b=c，a+d=m．(1)①勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．(2)在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：a 2+b 2=c 2.在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：a 2+b 2=c 2.在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：a 2+b 2=c 2．(2)①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足S 1+S 2=S 3的有3个； ②根据半圆面积和勾股定理即可得结论：S 1+S 2=S 3． (3)根据勾股定理即可得①a 2+b 2+c 2+d 2=m 2； ②b 与c 的关系为b =c ，a 与d 的关系为a +d =m ．本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理．24.【答案】解：(1)由题意：{−b 2a=3216a +4b +1=0，解得{a =−14b =34，∴抛物线的解析式为y =−14x 2+34x +1，令y =0，可得x 2−3x −4=0，解得x =−1或4， ∴A(−1,0)，令y =0，得到x =1， ∴C(0,1)， ∴OA =OC =1， ∴∠CAO =45°．(2)如图1中，过点C 作CE ⊥OA 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ．∵∠NEM =∠DFM =∠NMD =90°，∴∠NME +∠DMF =90°，∠DMF +∠MDF =90°，∵NM=DM，∴△MEN≌△DFM(AAS)，∴NE=MF，EM=DF，∵∠CAO=45°，AN=√2t，AM=3t，∴AE=EN=t，∴EM=AM−AE=2t，∴DF=2t，MF=t，OF=4t−1，∴D(4t−1,2t)，∴−14(4t−1)2+34(4t−1)+1=2t，∵t>0，故可以解得t=34，经检验，t=34时，M，N均没有达到终点，符合题意，∴D(2,3 2 ).(3)如图3−1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP=∠MDB时，取E(12,0)，连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，∵M(54,0)，D(2,32)，B(4,0)∴FM=2−54=34，DM=3√54，BM=114，BD=52，∴DF=2MF，∵OC=2OE，∴tan∠OCE=tan∠MDF=12，∴∠OCE=∠MDF，∴∠ECG =∠FDB ，∴tan∠ECG =tan∠FDB =43， ∵EC =√52， ∴EG =2√53，可得G(116,23)， ∴直线CP 的解析式为y =−211x +1，由{y =−211x +1y =−14x 2+34x +1，解得{x =0y =0或{x =4111y =39121， ∴P(4111,39121)，∴PC =41√511， 当MDCQ =BDCP或MD PC =BDCQ时，△QCP 与△MDB 相似，可得CQ =615242或2050363， ∴Q(0,−373242)或(0,−1687363).如图3−2中，当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP =∠DMB 时，设PC 交x 轴于k ．∵tan∠OCK =tan∠DMB =2， ∴OK =2OC =2， ∴点K 与F 重合，∴直线PC 的解析式为y =−12x +1，由{y =−12x +1y =−14x 2+34x +1，解得{x =0y =1或{x =5y =−32， ∴P(5,−32)，∴PC =5√52， 当DMPC =BMCQ或DM CQ =BMPC时，△QCP 与△MDB 相似，可得CQ =556或7522， ∴Q(0,−496)或(0,−5322). 当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP =∠DBM 时，同法可得P(253,−919)，Q(0,−25718)或(0,115199)，当点Q 在点C 上方，∠QCP =∠DMB 时，同法可得P(1,32)，Q(0,176)或(0,3722)， 当点Q 在点C 上方，∠QCP =∠MDB 时，同法可得P(2511,171121)，Q(0,617242)或(0,1613363)，当点Q 在点C 下方，点P 在y 轴的左侧时，∠QCP =∠DBM 时，同法可得P(−73,−199)，Q(0,−5918)或(0,−25199).【解析】(1)利用待定系数法，对称轴公式构建方程组求出a ，b 即可，再求出点A 点C 的坐标即可得出结论．(2)如图1中，过点C 作CE ⊥OA 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F.利用全等三角形的性质求出点F 的坐标，再利用待定系数法求解即可．(3)分6种情形首先确定点P 的坐标，再利用相似三角形的性质求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．。
2020年湖北省随州市中考数学试卷(有详细解析)
2020年湖北省随州市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 2020的倒数是( )A. −2020B. 2020C. −12020D. 120202. 如图，直线11//l 2，直线1与l 1，l 2分别交于A ，B两点，若∠1=60°，则∠2的度数是( )A. 60°B. 100°C. 120°D. 140°3. 随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34(单位：℃)，则这组数据的众数和中位数分别为( )A. 30，32B. 31，30C. 30，31D. 30，304. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )A. 圆柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 四棱锥5.2x 2−4÷1x 2−2x 的计算结果为( )A. xx+2B. 2xx+2C. 2xx−2D. 2x(x+2)6. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”.设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是( )A. {x +y =352x +4y =94 B. {x +y =354x +2y =94 C. {2x +y =35x +4y =94D. {x +4y =352x +y =947. 小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离(s)与出发时间(t)之间的对应关系的是( )A. B.C. D.8.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是()A. ℎ=R+rB. R=2rC. r=√34a D. R=√33a9.将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x⋅x2=x(px−q)=⋯，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2−x−1=0，且x>0，则x4−2x3+3x的值为()A. 1−√5B. 3−√5C. 1+√5D. 3+√510.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a=−√22．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.计算：(−1)2+√9=______．12.如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC=120°，则∠CAD的度数为______．13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为______．14.如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为______．15.如图，直线AB与双曲线y=kx(k>0)在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为______．16.如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上(不与两端点重合)，过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3<MN<154；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④若DF=13DC，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是______.(写出所有正确判断的序号)三、计算题（本大题共3小题，共23.0分）17.先化简，再求值：a(a+2b)−2b(a+b)，其中a=√5，b=√3．18.如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD=5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB=25米．(1)求A与C之间的距离；(2)求天线BE的高度．(参考数据：√3≈1.73，结果保留整数)19.2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月(按30天计)前5天的某型号口罩销售价格p(元/只)和销量q(只)与第x天的关系如下表：物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q(只)与第x天的关系为q=−2x2+80x−200(6≤x≤30，且x为整数)，已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．(1)直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；(2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W(元)与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；(3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为______．四、解答题（本大题共5小题，共49.0分）20.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m−2=0．(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2=1，求m的值．21.根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：(1)统计表中m的值为______；(2)若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x<40”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；(3)在这50人中女性有______人；(4)若从年龄在“x<20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．(1)求证：MN是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为5，sinB=3，求ED的长．523.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有______个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=______；②b与c的关系为______，a与d的关系为______．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1的对称轴为直线x=3，其图2象与x轴交于点A和点B(4,0)，与y轴交于点C．(1)直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；(2)动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒√2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t(t>0)秒，连接MN，再将线段MN绕点M 顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；(3)在(2)的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．(每写出一组正确的结果得1分，至多得4分)答案和解析1.D解：∵2020×12020=1，∴2020的倒数是12020，2.C解：∵∠1=60°，∴∠3=180°−∠1=120°，∵直线11//l2，∴∠2=∠3=120°，3.D解：这5天最高气温出现次数最多的是30，因此众数是30；将这5天的最高气温从小到大排列，处在中间位置生物一个数是30，因此中位数是30，4.A解：俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．5.B解：原式=2(x+2)(x−2)÷1x(x−2)=2(x+2)(x−2)×x(x−2)=2xx+2．6.A解：设鸡有x 只，兔有y 只，根据题意，可列方程组为{x +y =352x +4y =94，7. B解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段； ②停留一段时间时，离家的距离不变，③乘车返回时，离家的距离减小至零，纵观各选项，只有B 选项符合．8. C解：如图，∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O ，设OE =r ，AO =R ，AD =ℎ，∴ℎ=R +r ，故A 正确；∵AD ⊥BC ，∴∠DAC =12∠BAC =12×60°=30°，在Rt △AOE 中，∴R =2r ，故B 正确；∵OD =OE =r ，∵AB =AC =BC =a ，∴AE =12AC =12a ，∴(12a)2+r 2=(2r)2，(12a)2+(12R)2=R 2，∴r =√3a 6，R =√33a ，故C 错误，D 正确；9. C解：∵x 2−x −1=0，∴x 2=x +1，∴x 3=x ⋅x 2=x(x +1)=x 2+x =x +1+x =2x +1，x 4=x ⋅x 3=x(2x +1)=2x 2+x =2(x +1)+x =3x +2，∴x 4−2x 3+3x =3x +2−2(2x +1)+3x=3x +2−4x −2+3x=2x ，解方程x 2−x −1=0得x 1=1+√52，x 2=1−√52， ∵x >0，∴x =1+√52，∴x 4−2x 3+3x =2×1+√52=1+√5．10. B解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点， ∴对称轴为直线x =−b 2a =1，∴b =−2a ，∴2a +b =0，故①正确，当x =1时，0=a −b +c ，∴a +2a +c =0，∴c =−3a ，∴2c =3b ，故②错误；∵二次函数y =ax 2−2ax −3a ，(a <0)∴点C(0,−3a)，当BC =AB 时，4=√9+9a 2，∴a =−√73， 当AC =BC 时，4=√1+9a 2，∴a =−√153， ∴当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个，故③正确；∵二次函数y =ax 2−2ax −3a =a(x −1)2−4a ，∴顶点D(1,4a)，∴BD 2=4+16a 2，BC 2=9+9a 2，CD 2=a 2+1，若∠BDC=90°，可得BC2=BD2+CD2，∴9+9a2=4+16a2+a2+1，∴a=−√22，若∠DCB=90°，可得BD2=CD2+BC2，∴4+16a2=9+9a2+a2+1，∴a=−1，∴当△BCD是直角三角形时，a=−1或−√22，故④错误．11.4解：(−1)2+√9=1+3=4．12.30°解：∵∠BAC=12∠BOC=12×120°=60°，而AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=12∠BAC=30°．13.9解：依题意，得：2+m+4=15，解得：m=9．14.116解：∵点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴S△DEF=14S△ABC，又∵点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，∴S△PMN=14S△DEF=116S△ABC，∴米粒落在图中阴影部分的概率为S△PMNS△ABC =116，15.2解：过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，∵B是AC的中点，∴AB=BC，∵AM//BN，∴BNAM =CBCA=CNCM=12，∴CN=MN，设BN=a，则AM=2a，∵点A、B在反比例函数的图象上，∴OM⋅AM=ON⋅BN，∴OM=12ON，即：OM=MN=NC，设OM=b，则OC=3b，∵△AOC的面积为3，即12OC⋅AM=3，∴12×3b×2a=3，∴ab=1∴S△AOM=12OM⋅AM=12×b×2a=ab=1=12|k|，∴k=−2(舍去)，k=2，16.①②③④解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，∴∠BOM=90°，∵MH⊥BC，∴∠BHP=90°=∠BOM，∵∠BPH=∠OPM，∴∠CBF=∠NMH，∵∠MHN=∠C=90°，∴△MHN∽△BCF，故①正确；②当F与C重合时，MN=3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，由勾股定理得：BD=5，∵OB=OD=52，∵tan∠DBC=ONOB =CDBC，即ON52=34，∴ON=158，∵AD//BC，∴∠MDO=∠OBN，在△MOD和△NOB中，∵{∠MDO=∠OBN OD=OB∠DOM=∠BON，∴△DOM≌△BON(ASA)，∴OM=ON，∴MN=2ON=154，∵点F在线段CD上(不与两端点重合)，∴折痕MN的长度的取值范围为3<MN<154；故②正确；③如图3，连接BM，FM，当四边形CDMH为正方形时，MH=CH=CD=DM=3，∵AD=BC=4，∴AM=BH=1，由勾股定理得：BM=√32+12=√10，∴FM=√10，∴DF=√FM2−DM2=√(√10)2−32=1，∴CF=3−1=2，设HN=x，则BN=FN=x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2=FN2，∴(3−x)2+22=(x+1)2，解得：x=32，∴HN=32，∵CH=3，∴CN=HN=32，∴N 为HC 的中点；故③正确；④如图4，连接FM ，∵DF =13DC ，CD =3，∴DF =1，CF =2，∴BF =√22+42=2√5，∴OF =√5，设FN =a ，则BN =a ，CN =4−a ，由勾股定理得：FN 2=CN 2+CF 2，∴a 2=(4−a)2+22，∴a =52， ∴BN =FN =52，CN =32， ∵∠NFE =∠CFN +∠DFQ =90°，∠CFN +∠CNF =90°，∴∠DFQ =∠CNF ，∵∠D =∠C =90°，∴△QDF∽△FCN ，∴QDFC =DF CN ，即QD 2=132，∴QD =43，∴FQ =√12+(43)2=53，∵tan∠HMN =tan∠CBF =HN HM =CF BC ，∴HN3=24，∴HN =32，∴MN =√32+(32)2=3√52， ∵CH =MD =HN +CN =32+32=3，∴MQ =3−43=53， ∴折叠后重叠部分的面积为：S △MNF +S △MQF =12⋅MN ⋅OF +12⋅MQ ⋅DF =12×3√52×√5+12×53×1=5512；故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④；17. 解：原式=a 2+2ab −2ab −2b 2=a 2−2b 2当a =√5，b =√3时，原式=(√5)2−2×(√3)2=5−6=−1．18. 解：(1)由题意得，在Rt △ABD 中，∠ADB =45°，∴AD =AB =25米，∵CD =5米，∴AC =AD +CD =25+5=30(米)，即A 与C 之间的距离是30米；(2)在Rt △ACE 中．∠ACE =60°，AC =30米，∴AE =30⋅tan60°=30√3(米)，∵AB =25米，∴BE =AE −AB =(30√3−25)米，∵√3≈1.73，∴BE ≈1.73×30−25=27米．即天线BE 的高度为27米．19. m ≥85解：(1)根据表格数据可知：前5天的某型号口罩销售价格p(元/只)和销量q(只)与第x天的关系为：p=x+1，1≤x≤5且x为整数；q=5x+65，1≤x≤5且x为整数；(2)当1≤x≤5且x为整数时，W=(x+1−0.5)(5x+65)=5x2+1352x+652；当6≤x≤30且x为整数时，W=(1−0.5)(−2x2+80x−200) =−x2+40x−100．即有W={5x2+1352x+652,1≤x≤5且x为整数−x+40x−100,6≤x≤30且x为整数，当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，故当x=5时，W有最大值为：495元；当6≤x≤30且x为整数时，W═−x2+40x−100=−(x−20)2+300，故当x=20时，W有最大值为：300元；由495>300，可知：第5天时利润最大为495元．(3)根据题意可知：获得的正常利润之外的非法所得部分为：(2−0.5−0.5)×70+(3−1)×75+(4−1)×80+(5−1)×85+(6−1)×90= 1250(元)，∴1250m≥2000，解得m≥85．则m的取值范围为m≥85．故答案为：m≥85．20.解：(1)∵△=(2m+1)2−4×1×(m−2)=4m2+4m+1−4m+8=4m2+9>0，∴无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)由根与系数的关系得出{x 1+x 2=−(2m +1)x 1x 2=m −2， 由x 1+x 2+3x 1x 2=1得−(2m +1)+3(m −2)=1， 解得m =8．21. 10 180° 18解：(1)因为50−4−25−8−3=10，所以统计表中m 的值为10；故答案为：10；(2)因为年龄在“30≤x <40”部分的人数为25，所对应扇形的圆心角的度数为：360°×2550=180°；故答案为：180°；(3)因为4×50%+10×(1−60%)+25×(1−60%)+8×(1−75%)=18 所以在这50人中女性有18人；故答案为：18；(4)因为年龄在“x <20”的4人中有2名男性，2名女性， 设2名男性用A ，B 表示，2名女性用C ，D 表示，根据题意，画树状图如下：由上图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种， 所以恰好抽到2名男性的概率为：212=16．22.(1)证明：连接OM，如图1，∵OC=OD，∴∠OCM=∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AB=BD，∴CD=12∴∠DCB=∠DBC，∴∠OMC=∠DBC，∴OM//BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM过O，∴MN是⊙O的切线；(2)解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED=90°，∠DMC=90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由(1)知：BD=CD=5，∴M为BC的中，∵sinB=3，5∴cosB=4，5在Rt△BMD中，BM=BD⋅cosB=4，∴BC=2BM=8，在Rt△CEB中，BE=BC⋅cosB=325，∴ED=BE−BD=325−5=75．23.3 m2b=c a+d=m解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．)(2)证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+(b−a)2，化简得：a2+b2=c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即(a+b)2=c2+12ab×4，化简得：a2+b2=c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12(a+b)(a+b)=12ab×2+12c2，化简得：a2+b2=c2．(2)①三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2=S3．∵S1+S2=12π(a2)2+12π(b2)2+S3−12π(c2)2，∴S1+S2=18π(a2+b2−c2)+S3，∴a2+b2=c2．∴S1+S2=S3．(3)①a2+b2+c2+d2=m2；②b与c的关系为b=c，a与d的关系为a+d=m．故答案为：m2；b=c，a+d=m．24. 解：(1)由题意：{−b 2a =3216a +4b +1=0， 解得{a =−14b =34， ∴抛物线的解析式为y =−14x 2+34x +1，令y =0，可得x 2−3x −4=0，解得x =−1或4，∴A(−1,0)，令y =0，得到x =1，∴C(0,1)，∴OA =OC =1，∴∠CAO =45°．(2)如图1中，过点C 作CE ⊥OA 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ．∵∠NEM =∠DFM =∠NMD =90°，∴∠NME +∠DMF =90°，∠DMF +∠MDF =90°，∴∠NME =∠MDF ，∵NM =DM ，∴△MEN≌△DFM(AAS)，∴NE =MF ，EM =DF ，∵∠CAO =45°，AN =√2t ，AM =3t ，∴AE =EN =t ，∴EM =AM −AE =2t ，∴DF =2t ，MF =t ，OF =4t −1，∴D(4t −1,2t)，∴−14(4t −1)2+34(4t −1)+1=2t ，∵t >0，故可以解得t =34， 经检验，t =34时，M ，N 均没有达到终点，符合题意， ∴D(2,32). (3)如图3−1中，当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP =∠MDB 时，取E(12,0)，连接EC ，过点E 作EG ⊥EC 交PC 于G ，∵M(54,0)，D(2,32)，B(4,0)∴FM =2−54=34，DM =3√54，BM =114，BD =52， ∴DF =2MF ，∵OC =2OE ，∴tan∠OCE =tan∠MDF =12， ∴∠OCE =∠MDF ，∴∠OCP =∠MDB ，∴∠ECG =∠FDB ，∴tan∠ECG =tan∠FDB =43，∵EC =√52， ∴EG =2√53，可得G(116,23)， ∴直线CP 的解析式为y =−211x +1，由{y =−211x +1y =−14x 2+34x +1，解得{x =0y =0或{x =4111y =39121， ∴P(4111,39121)，∴PC =41√511， 当MD CQ =BD CP 或MD PC =BD CQ 时，△QCP 与△MDB 相似，可得CQ =615242或2050363， ∴Q(0,−373242)或(0,−1687363).如图3−2中，当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP =∠DMB 时，设PC 交x 轴于k ．∵tan∠OCK =tan∠DMB =2，∴OK =2OC =2，∴点K 与F 重合，∴直线PC 的解析式为y =−12x +1，由{y =−12x +1y =−14x 2+34x +1，解得{x =0y =1或{x =5y =−32， ∴P(5,−32)， ∴PC =5√52， 当DM PC =BM CQ或DM CQ =BM PC 时，△QCP 与△MDB 相似，可得CQ =556或7522， ∴Q(0,−496)或(0,−5322).当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP =∠DBM 时，同法可得P(253,−919)，Q(0,−25718)或(0,115199)，当点Q 在点C 上方，∠QCP =∠DMB 时，同法可得P(1,32)，Q(0,176)或(0,3722)，当点Q 在点C 上方，∠QCP =∠MDB 时，同法可得P(2511,171121)，Q(0,617242)或(0,1613363)， 当点Q 在点C 下方，点P 在y 轴的左侧时，∠QCP =∠DBM 时，同法可得P(−73,−199)，Q(0,−5918)或(0,−25199).。
2020年湖北省随州市中考数学试卷(含解析)印刷版
的值为（ ）
A．1﹣
B．3﹣
C．1+
D．3+
10．（3 分）如图所示，已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与 y
轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个；
④当△BCD 是直角三角形时，a＝﹣ ．
EF 的中点，若随机向△ABC 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为
．
3
15．（3 分）如图，直线 AB 与双曲线 y＝ （k＞0）在第一象限内交于 A、B 两点，与 x 轴交于点 C，点 B
为线段 AC 的中点，连接 OA，若△AOC 的面积为 3，则 k 的值为
．
16．（3 分）如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 M，N 分别在边 AD，BC 上，沿着 MN 折叠矩 形 ABCD，使点 A，B 分别落在 E，F 处，且点 F 在线段 CD 上（不与两端点重合），过点 M 作 MH⊥BC 于点 H，连接 BF，给出下列判断： ①△MHN∽△BCF； ②折痕 MN 的长度的取值范围为 3＜MN＜ ；
＝1，
∴2020 的倒数是
，
故选：D． 2．（3 分）如图，直线 11∥l2，直线 1 与 l1，l2 分别交于 A，B 两点，若∠1＝60°，则∠2 的度数是（ ）
A．60°
B．100°
C．120°
【分析】根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝60°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝120°，
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润 W（元）与 x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
湖北省随州市2020年中考数学试题(解析版)
【答案】2
【解析】
【分析】
设
A
点坐标为
a,
k a
，C
点坐标为
(b, 0)
，求出
B
点坐标为
a
2
b
,
k 2a
，根据
B
点在
y
k x
(k
0)
上可得
a b k k ，整理得 b 3a ，再根据三角形面积公式得 1 3a k 3 可得 k 的值．
有 2 个；④当 A BCD 是直角三角形时， a 2 ．其中正确的有（ ） 2
A. 1 个 【答案】B
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【解析】
【分析】
根据二次函数对称轴的位置可判断；②把两个点代入解析式可得到方程组，解出 B 与 C 的关系即可；③由
图象可知， BC AC ，从而得以判断；④根据直角三角形的
=
(
x
2 2)(
x
2)
1 x(x
2)
=
x
2
2
x
2·x
x
2
2x
=
．
x2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键．
6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问鸡兔各几何”．设鸡有 x 只，兔有 y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
【点睛】本题考查新题型，本质是一元一次方程的求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即可．
14.如图， A ABC 中，点 D ， E ， F 分别为 AB ， AC ， BC 的中点，点 P ， M ， N 分别为 DE ， DF ， EF 的中点，若随机向 A ABC 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．
2020年湖北省随州市中考数学试卷及答案解析(word版)
2020年湖北省随州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．﹣的相反数是（）A．﹣B．C．D．﹣2．随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a5÷a2=a3C．（﹣3a）3=﹣9a3D．2x2+3x2=5x44．如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于A、B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C．已知∠1=42°，则∠2的度数是（）A．38° B．42° C．48° D．58°5．不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．6．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（）A．5，5，B．5，5，10 C．6，5.5，D．5，5，7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：258．随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2020年约为20万人次，2020年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.89．如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（）A．15πcm2B．51πcm2C．66πcm2D．24πcm210．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．2020年“圣地车都”﹣﹣随州改装车的总产值为14.966亿元，其中14.966亿元用科学记数法表示为元．12．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．14．如图，直线y=x+4与双曲线y=（k ≠0）相交于A （﹣1，a ）、B 两点，在y 轴上找一点P ，当PA+PB 的值最小时，点P 的坐标为 ．15．如图（1），PT 与⊙O 1相切于点T ，PAB 与⊙O 1相交于A 、B 两点，可证明△PTA ∽△PBT ，从而有PT 2=PA •PB ．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB 、PCD 分别与⊙O 2相交于A 、B 、C 、D 四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD= ．16．如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是 ．（1）EF=OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；（3）BE+BF=OA ；（4）在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE=；（5）OG •BD=AE 2+CF 2．三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程）17．计算：﹣|﹣1|+•cos30°﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0．18．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x=﹣2．19．某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．20．国务院办公厅2020年3月16日发布了《中国足球改革的总体方案》，这是中国足球历史上的重大改革．为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表：获奖等次频数频率一等奖10 0.05二等奖20 0.10三等奖30 b优胜奖 a 0.30鼓励奖80 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=，b=，且补全频数分布直方图；（2）若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？（3）在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率．21．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．22．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．23．九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y （单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90每天销售量p（件）198 140 80 20（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．24．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC 的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．25．已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？2020年湖北省随州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．﹣的相反数是（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】实数的性质．【分析】利用相反数的定义计算即可得到结果．【解答】解：﹣的相反数是，故选C2．随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C．3．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a5÷a2=a3C．（﹣3a）3=﹣9a3D．2x2+3x2=5x4【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】直接根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方运算法则计算出各选项结果，进而作出判断．【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项错误；B、a5÷a2=a3，此选项正确；C、（﹣3a）3=﹣27a3，此选项错误；D、2x2+3x2=5x2，此选项错误；故选B．4．如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于A、B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C．已知∠1=42°，则∠2的度数是（）A．38° B．42° C．48° D．58°【考点】平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1=∠BCA，∵∠1=42°，∴∠BCA=42°，∵AC⊥AB，∴∠2+∠BCA=90°，∴∠2=48°，故选C．5．不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得答案．【解答】解：解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，∴不等式组的解集为：＜x≤4，故选：A．6．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（）A．5，5，B．5，5，10 C．6，5.5，D．5，5，【考点】方差；中位数；众数．【分析】根据平均数，可得x的值，根据众数的定义、中位数的定义、方差的定义，可得答案．【解答】解：由5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，得x=5．众数是5，中位数是5，方差=，故选：D．7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=，∵DE∥AC，∴==，∴=，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选：B．8．随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2020年约为20万人次，2020年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2020年约为20万人次，2020年约为28.8万人次”，可得出方程．【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，故选C．9．如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（）A．15πcm2B．51πcm2C．66πcm2D．24πcm2【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据三视图，可得几何体是圆锥，根据勾股定理，可得圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积，根据圆的面积公式，可得圆锥的底面积，可得答案．【解答】解：由三视图，得，OB=3cm，0A=4cm，由勾股定理，得AB==5cm，圆锥的侧面积×6π×5=15πcm2，圆锥的底面积π×（）2=9πcm，圆锥的表面积15π+9π=24π（cm2），故选：D．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣=2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．2020年“圣地车都”﹣﹣随州改装车的总产值为14.966亿元，其中14.966亿元用科学记数法表示为 1.4966×109元．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：14.966亿=1.4966×109．故答案为：1.4966×109．12．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为19或21或23．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．【解答】解：由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为：19或21或23．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=3．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN 是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．14．如图，直线y=x+4与双曲线y=（k≠0）相交于A（﹣1，a）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为（0，）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式求出点A、B的坐标，然后作出点A关于y 轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，然后求出直线BC的解析式，求出点P 的坐标．【解答】解：把点A坐标代入y=x+4得，﹣1+4=a，a=3，即A（﹣1，3），把点A坐标代入双曲线的解析式：3=﹣k，解得：k=﹣3，联立两函数解析式得：，解得：，，即点B坐标为：（﹣3，1），作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：（1，3），设直线BC的解析式为：y=ax+b，把B、C的坐标代入得：，解得：，函数解析式为：y=x+，则与y轴的交点为：（0，）．故答案为：（0，）．15．如图（1），PT与⊙O1相切于点T，PAB与⊙O1相交于A、B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2=PA•PB．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与⊙O2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD=．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．【分析】如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T，根据PT2=PA•PB=PC•PD，求出PD即可解决问题．【解答】解：如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T．∵PT 2=PA •PB=PC •PD ，∵PA=2，PB=7，PC=3，∴2×7=3×PD ，∴PD=∴CD=PD ﹣PC=﹣3=．16．如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是 （1），（2），（3），（5） ．（1）EF=OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；（3）BE+BF=OA ；（4）在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE=；（5）OG •BD=AE 2+CF 2．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF （ASA ），则可证得结论；（2）由（1）易证得S 四边形OEBF =S △BOC =S 正方形ABCD ，则可证得结论；（3）由BE=CF ，可得BE+BF=BC ，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF=OA ；（4）首先设AE=x ，则BE=CF=1﹣x ，BF=x ，继而表示出△BEF 与△COF 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；（5）易证得△OEG ∽△OBE ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG •OB=OE 2，再利用OB 与BD 的关系，OE 与EF 的关系，即可证得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，∴∠BOF+∠COF=90°，∵∠EOF=90°，∴∠BOF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF ，在△BOE 和△COF 中，，∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE=OF ，BE=CF ，∴EF=OE ；故正确；（2）∵S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOE =S △BOE +S △COF =S △BOC =S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=OA ；故正确；（4）过点O 作OH ⊥BC ，∵BC=1，∴OH=BC=，设AE=x ，则BE=CF=1﹣x ，BF=x ，∴S △BEF +S △COF =BE •BF+CF •OH=x （1﹣x ）+（1﹣x ）×=﹣（x ﹣）2+，∵a=﹣＜0，∴当x=时，S △BEF +S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE=；故错误；（5）∵∠EOG=∠BOE ，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ：OB=OG ：OE ，∴OG •OB=OE 2，∵OB=BD ，OE=EF ， ∴OG •BD=EF 2，∵在△BEF 中，EF 2=BE 2+BF 2，∴EF 2=AE 2+CF 2，∴OG •BD=AE 2+CF 2．故正确．故答案为：（1），（2），（3），（5）．三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程）17．计算：﹣|﹣1|+•cos30°﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=﹣1+2×﹣4+1=﹣1+3﹣4+1=﹣1．18．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x=﹣2．【考点】分式的化简求值．【分析】首先将括号里面的通分相减，然后将除法转化为乘法，化简后代入x的值即可求解．【解答】解：原式=[﹣]•=•=，当x=﹣2时，原式===2．19．某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．【考点】分式方程的应用．【分析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列出方程．【解答】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，可得：，解得：x=15，经检验x=15是原方程的解，2x=2×15=30，答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．20．国务院办公厅2020年3月16日发布了《中国足球改革的总体方案》，这是中国足球历史上的重大改革．为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表：获奖等次频数频率一等奖10 0.05二等奖20 0.10三等奖30 b优胜奖 a 0.30鼓励奖80 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=60，b=0.15，且补全频数分布直方图；（2）若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？（3）在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图．【分析】（1）根据公式频率=频数÷样本总数，求得样本总数，再根据公式得出a，b的值即可；（2）根据公式优胜奖对应的扇形圆心角的度数=优胜奖的频率×360°计算即可；（3）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）样本总数为10÷0.05=200人，a=200﹣10﹣20﹣30﹣80=60人，b=30÷200=0.15，故答案为200，0.15；（2）优胜奖所在扇形的圆心角为0.30×360°=108°；（2）列表：甲乙丙丁分别用ABCD表示，A B C DA AB AC ADB BA BC BDC CA CB CDD DA DB DC∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，画树状图如下：∴P（选中A、B）==．21．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．22．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．【考点】直线与圆的位置关系；垂径定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O 的切线；（2）过点D作DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OB，∵OB=OA，DE=DB，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠ABD=90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，∵DE=DB，∴EG=BE=5，∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，∴sin∠EDG=sinA==，即CE=13，在Rt△ECG中，∵DG==12，∵CD=15，DE=13，∴DE=2，∵△ACE∽△DGE，∴=，∴AC=•DG=，∴⊙O的直径2OA=4AD=．23．九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y （单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90每天销售量p（件）198 140 80 20（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x 的取值范围，由此即可得出结论．【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b 为常数且k≠0），∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；当50＜x≤90时，y=90．∴售价y与时间x的函数关系式为y=．由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），当0≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当0≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤53，∵x为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．24．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=4，b=4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，∴PF=PE=2，PB=PA=4，∴AE=BF==2．∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．故答案为4，4．如图2中，连接EF，，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=1，∵∠PAB=30°，∴PB=1，PA=，在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，∴PE=，PF=，∴AE==，BF==，∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分别为，．（2）结论a2+b2=5c2．证明：如图3中，连接EF．∵AF、BE是中线，∴EF∥AB，EF=AB，∴△FPE∽△APB，∴==，设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×（）2，∴AF=4．25．已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D的坐标，求出抛物线的解析式；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可．【解答】解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3，∴y=﹣x﹣3，当x=2时，y=﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴=，即AB2=AC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣3a（m﹣1），。
2020年湖北省随州市中考数学试题
随州市2020年初中毕业升学考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1.2020的倒数是（ ）A. 2020-B. 2020C. 12020D. 12020- C根据倒数的定义解答.2020的倒数是12020，故选：C. 2.如图，直线12//l l ，直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若160︒∠=，则2∠的度数是（ ）A. 60︒B. 100︒C. 120︒D. 140︒C 如图：先运用两直线平行、同位角相等得到∠3=∠1=60°，然后再根据邻补角的性质得到∠3+∠2=180°，最后计算即可．解：如图：∵12//l l ，∠1=60°∴∠3=∠1=60°∵∠3+∠2=180°∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°．故答案为C ．3.随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）A. 30，32B. 31，30C. 30，31D. 30，30D根据众数和中位数的求解答案来判断即可．解：∵7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，30，32，34（单位：℃）∴这组数据的众数是：30中位数：30故选：D4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 四棱锥A 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．故选：A ． 5.222142x x x÷--的计算结果为（ ） A.2x x + B. 22x x + C. 22x x - D. 2(2)x x + B 分析】先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果．222142x x x÷-- =21(2)(2)(2)x x x x ÷+-- =()()()2·222x x x x -+-=22xx+．故选：B．6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A.352494x yx y+=⎧⎨+=⎩B.354294x yx y+=⎧⎨+=⎩C.235494x yx y+=⎧⎨+=⎩D.435294x yx y+=⎧⎨+=⎩A根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可．解：设鸡有x只，兔有y只根据上有三十五头，可得x+y=35；下有九十四足，2x+4y=94即35 2494x yx y+=⎧⎨+=⎩．故答案为A．7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（）A. B. C. D.B根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线；中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线；从学校乘车返回家，可以看作是一条迅速下降的直线；结合四个选项，B符合题意；故选：B．8.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确．．．的是（）A. h R r =+B. 2R r =C. 34r a =D. 33R a = C 将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A 正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B 正确,利用勾股定理求出r 和R,即可判断C 、D ．如图所示,标上各点，AO 为R ，OB 为r ，AB 为h ，从图象可以得出AB=AO+OB ，即h R r =+，A 正确；∵三角形为等边三角形，∴∠CAO=30°，根据垂径定理可知∠ACO=90°，∴AO=2OC ，即R=2r ，B 正确；在Rt △ACO 中，利用勾股定理可得：AO 2=AC 2+OC 2，即22212R a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由B 中关系可得：()222122r a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得36=r a ，则3R =， 所以C 错误，D 正确；故选：C ．9.将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ）A. 1B. 3C. 1+D. 3 C先求得2=+1x x ，代入4323x x x -+即可得出答案．∵210x x --=，∴2=+1x x ，1x 2==， ∴4323x x x -+=()()21213x+-x x++x=2221223x +x+-x -x+x=231-x +x+ =()131-x++x+ =2x ，∵x =，且0x >，∴x 2=，∴原式=22⨯C ． 10.如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①20a b +=；②23c b <；③当ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当BCD 是直角三角形时，2a =-．其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个B 根据二次函数对称轴的位置可判断；②把两个点代入解析式可得到方程组，解出B 与C 的关系即可；③由图象可知，BC AC ≠，从而得以判断；④根据直角三角形的∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，∴二次函数的对称轴为1312x -+==， 即-12b a=， ∴20a b +=．故①正确；∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，∴0a b c -+=，930a b c ++=，又∵2b a =-，∴36b a =-，()20a a c --+=，∴36b a =-，960a a c -+=，∴26c a =-，∴23c b =，故②错误；由图象可知，当ABC 是等腰三角形时，BC AC ≠，只能是AB AC =或AB BC =，故a 有两个值，故③正确；∵BCD 是直角三角形，∴分两种情况BD CD ⊥或DC BC ⊥，得到的a 有两个值，故④错误；故答案选B ．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）11.计算：2(1)9-+=_____．4分别进行乘方运算和开根号，相加即可．原式=1+3=4．故答案为4．12.如图，点A ，B ，C 在O 上，AD 是BAC ∠的角平分线，若120BOC ︒∠=，则CAD ∠的度数为_____．30°根据圆周角定理求出BAC ∠，再由角平分线的性质可得到结果；∵120BOC ︒∠=，∴=60BAC ∠︒，又∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴1302BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒， 故答案为30．13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为______．9本题首先根据每一横行数字之和为15求出第一个方格数字，继而根据对角线斜边数字和为15求出最后一格数字，最后根据每一竖行数字之和为15求出m ．设第一方格数字为x ，最后一格数字为y ，如下图所示：由已知得：x+7+2=15，故x=6；因为x+5+y=15，将x=6代入求得y=4；又因2+m+y=15，将y=4代入求得m=9；故答案为：9．14.如图，ABC 中，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点，点P ，M ，N 分别为DE ，DF ，EF 的中点，若随机向ABC 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．116 根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可． 根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半,并且这两个三角形相似,那么第二个△DEF 的面积=14△ABC 的面积 那么第三个△MPN 的面积=14△DEF 的面积=116△ABC 的面积 ∴若随机向ABC 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为:116故答案为：11615.如图，直线AB 与双曲线(0)k y k x=>在第一象限内交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 为线段AC 的中点，连接OA ，若AOC △的面积为3，则k 的值为____．2设A 点坐标为,k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 点坐标为(,0)b ，求出B 点坐标为,22a b k a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据B 点在(0)k y k x =>上可得22a b k k a +⋅=，整理得3b a =，再根据三角形面积公式得1332k a a⋅⋅=可得k 的值． 解：设A 点坐标为,k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 点坐标为(,0)b ， B 恰为AC 的中点，B ∴点的坐标为,22a b k a +⎛⎫⎪⎝⎭， B 点在(0)k y k x =>的图象上， 22a b k k a+∴⋅= 3b a ∴=3OAC S =132k b a∴⋅= 1332k a a∴⋅⋅= 2k ∴=故答案为：2．16.如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A ，B 分别落在E ，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M 作MH BC ⊥于点H ，连接BF ，给出下列判断：①MHN BCF ∽；②折痕MN 的长度的取值范围为1534MN <<；③当四边形CDMH 为正方形时，N 为HC 的中点；④若13DF DC =，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）.①②③④由题意，逐一判定，①由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；②根据题意点F 在线段CD上（不与两端点重合），假设F 分别在C 、D 两点，即可得出其取值范围；③由相似三角形、正方形的性质以及勾股定理构建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯形MEFN 的面积和△MEO 的面积，即可得解；由折叠性质，得，BG=FG ，BN=FN∴BF ⊥MN∵∠BIH=∠MIG ，MH BC ⊥∴∠HBI=∠GMI∵∠MHN=∠BCF=90°∴MHN BCF ∽故①结论正确；假设F 与C 重合时，MN 取得最小值，即为3；假设F 与D 重合时，MN 取得最大值，∵MHN BCF ∽ ∴MH BC MN BF= ∵MH=3，BC=4，2222435BF BC CF =+=+= ∴154MN = ∵点F 在线段CD 上（不与两端点重合） ∴折痕MN 的长度的取值范围为1534MN <<故②结论正确；∵四边形CDMH 为正方形∴MH=HC=3∴BH=1∵MHN BCF ∽ ∴MH BC HN CF= 令HN x =，则3CN x =-，1FN BN x ==+∴CF ==∴3x =∴132x =，23x =（不符合题意，舍去） ∴12HN HC =，即N 为HC 的中点故③结论正确； ④∵13DF DC =，AB=CD=3 ∴DF=1，CF=2∴BF ===∴∵MHN BCF ∽∴MH BCHN CF=∴HN=32∵△FGN ∽△MHN∴∴52FN ===∴32CN === ∴BH=BC-HN-NC=4-32-32=1 ∵∠EMO=∠CNF ，∠MEO=∠NCF=90° ∴△MEO ∽△NCF∴ME NCEO CF= ∴EO=43∴折叠后重叠部分的面积为：()11151455131********MEO MEFN S S ME FN EF ME EO ⎛⎫-=+⨯-⨯=+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭△梯形故④结论正确； 故答案为：①②③④.三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 17.先化简，再求值：(2)2()a a b b a b +-+，其中a =b =222a b -，1-．先根据整式的乘法法则化简整式，再将字母的值代入结果计算求值即可．(2)2()a a b b a b +-+ 22222a ab ab b =+--222a b =-当a b ==时，原式222561=-⨯=-=-．18.已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++-=． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根1x ，2x ，且121231x x x x ++=，求m 的值． （1）见解析；（2）8m =． （1）求出△的值即可证明；（2），根据根与系数的关系得到1212(21)2x x m x x m +=-+⎧⎨=-⎩，代入121231x x x x ++=，得到关于m 的方程，然后解方程即可．（1）证明：依题意可得2(21)4(2)m m ∆=+--2490m =+>故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：1212(21)2x x m x x m +=-+⎧⎨=-⎩ 由121231x x x x ++=，得(21)3(2)1m m -++-=，解得8m =．19.根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：（1）统计表中m 的值为_______；（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“3040x ≤<”部分所对应扇形的圆心角的度数为_______；（3）在这50人中女性有______人；（4）若从年龄在“20x <”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．（1）10；（2）180︒；（3）18；（4）P （恰好抽到2名男性）16=． （1）用50-4-25-8-3可求出m 的值；（2）用360°乘以年龄在“3040x ≤<”部分人数所占百分比即可得到结论； （3）分别求出每个年龄段女性人数，然后再相加即可；（4）年龄在“20x <”的4人中，男性有2人，女性有2人，分别用A 1，A 2表示男性，用B 1，B 2表示女性，然后画出树状图表示出所有等可能结果数，以及关注的事件数，然后利用概率公式进行求解即可. 解：（1）m=50-4-25-8-3=10； 故答案为：10； （2）360°×2550=180︒； 故答案为：180︒；（3）在这50人中女性人数为：4×（1-50%）+10×（1-60%）+25×（1-60%）+8×（1-75%）+3×（1-100%）=2+4+10+2+0 =18；故答案为：18；（4）设两名男性用12,A A 表示，两名女性用12,B B 表示，根据题意： 可画出树状图：或列表： 第2人 第1人1A2A1B 2B1A12A A11A B 12A B2A21A A21A B22A B 1B 11B A 12B A12B B2B21B A 22B A 21B B由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种， 故P （恰好抽到2名男性）21126==． 20.如图，某楼房AB 顶部有一根天线BE ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C ，D ，A ，在点C 处测得天线顶端E 的仰角为60︒，从点C 走到点D ，测得5CD =米，从点D 测得天线底端B 的仰角为45︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，25AB =米．（1）求A 与C 之间的距离；（2）求天线BE 的高度．（参考数据：3 1.73≈，结果保留整数） （1）,A C 之间的距离为30米；（2）天线BE 的高度约为27米．（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB ，已知CD=5，不难算出A 与C 之间的距离． （2）根据题意，在Rt ACE △中，60ACE ∠=︒，利用三角函数可算出AE 的长，又已知AB ，故EB 即可求解．（1）依题意可得，在Rt ABD △中，45ADB ∠=︒ ，25AD AB ∴==米，5CD =米，25530AC AD CD ∴=+=+=米.即,A C 之间的距离为30米．（2）在Rt ACE △中，60ACE ∠=︒，30AC =米， 30tan 60303AE ∴=⋅︒=（米）， 25AB =米，30325)(BE AE AB ∴=-=-米．由3173≈．．并精确到整数可得27BE ≈米． 即天线BE 的高度约为27米．（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键． 21.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．（1）见解析；（2）75ED =．（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM ⊥MN ． （2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可． （1）证明：连接OM ，OC OM =， OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==， DCB DBC ∴∠=∠， OMC DBC ∴∠=∠， //OM BD ∴，MN BD ⊥，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥， 由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =， 4cos 5B ∴=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=， 327555ED BE BD ∴=-=-=． 22.2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大； （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．（1）1p x =+，15x ≤≤且x 为整数，565q x =+，15x ≤≤且x 为整数；（2）22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数，第5天时利润最大；（3）85m ． （1）根据表格数据，p 是x 的一次函数，q 是x 的一次函数，分别求出解析式即可；（2）根据题意，求出利润w 与x 的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值． （3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m 的取值范围． （1）观察表格发现p 是x 的一次函数，q 是x 的一次函数， 设p=k 1x+b 1，将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：1111232k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1111k b =⎧⎨=⎩， 所以1p x =+， 经验证p=x+1符合题意，所以1p x =+，15x ≤≤且x 为整数； 设q=k 2x+b 2，将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：222270752k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：22565k b =⎧⎨=⎩，所以565q x =+，经验证565q x =+符合题意，所以565q x =+，15x ≤≤且x 为整数； （2）当15x ≤≤且x 为整数时，(10.5)(565)W x x =+-+213565522x x =++； 当630x ≤≤且x 为整数时，()2(10.5)280200W x x =--+-240100x x =-+-；即有22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数； 当15x ≤≤且x 为整数时，售价，销量均随x 的增大而增大， 故当5x =时，495W =最大（元）当630x ≤≤且x 为整数时，2240100(20)300W x x x =-+-=--+ 故当20x时，300W =最大（元）； 由495300>，可知第5天时利润最大．（3）根据题意，前5天的销售数量为：7075808590400q =++++=（只）， ∴前5天多赚的利润为：(270375480585690)140016504001250W =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯=-=（元），∴12502000m ≥， ∴85m； ∴m 的取值范围为85m． 23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足123S S S +=的有_______个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为1S ，2S ，直角三角形面积为3S ，请判断1S ，2S ，3S 的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知123α∠=∠=∠=∠，则当α∠变化时，回答下列问题：（结果可用含m 的式子表示） ①2222a b c d +++=_______；②b 与c 的关系为_______，a 与d 的关系为_______．（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222+=a b c ，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；（2）①3，②结论123S S S +=；（3）①2m ，②b c =， a d m +=．（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a 、b 、c ，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，22222a b c d m +++=；②由123α∠=∠=∠=∠，则sin1sin 2sin3sin α===，同理可得cos1cos2cos3cos α===，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案．解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即2214()2c ab b a =⋅+-， 化简得222+=a b c ．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即221()42a b c ab +=+⋅，化简得222+=a b c ． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即2111()()2222a b a b ab c ++=⋅+，化简222+=a b c ． （2）①根据题意，则如下图所示：在图4中，直角三角形的边长分别为a 、b 、c ，则由勾股定理，得222+=a b c ，∴123S S S +=；在图5中，三个扇形的直径分别为a 、b 、c ，则22111()228a S a ππ=•=，22211()228b S b ππ=•=，22311()228c S c ππ=•=， ∴22121()8S S a b π+=+， ∵222+=a b c ，∴22211()88a b c ππ+=，∴123S S S +=；在图6中，等边三角形的边长分别为a 、b 、c ，则22113sin 602S a a =︒=，22213sin 602S b b =︒=，22313sin 602S c c =︒=， ∵22123()4S S a b +=+，222+=a b c ， ∴22233()44a b c +=， ∴123S S S +=；∴满足123S S S +=的有3个，故答案为：3；②结论123S S S +=；222123111222222a b c S S S πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22212318S S a b c S π∴+=+-+ 222a b c +=，123S S S ∴+=；（3）①如图9，正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 、M 中，对应的边长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f 、m ，则有由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E ，C+D=F ，E+F=M ，∴222a b e +=，222c d f +=，222e f m +=，∴22222a b c d m +++=故答案为：2m ；②∵123α∠=∠=∠=∠，∴sin1sin 2sin3sin α===，cos1cos2cos3cos α===，由解直角三角形和正方形的性质，则cos e m α=•∠，sin b e α=•∠，∴cos sin b m αα=•∠•∠；同理：sin cos c m αα=•∠•∠；cos cos a m αα=•∠•∠；sin sin d m αα=•∠•∠；∴b c =，∴22(cos sin )a d m αα+=•+，∵22cos sin 1αα+=，∴a d m +=．故答案为：b c =；a d m +=．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++的对称轴为直线32x =，其图象与x 轴交于点A 和点(4,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）直接写出抛物线的解析式和CAO ∠的度数；（2）动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒3个单位的速度在线段AB 上运动，点N 2个单位的速度在线段AC 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为(0)t t >秒，连接MN ，再将线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒，设点N 落在点D 的位置，若点D 恰好落在抛物线上，求t 的值及此时点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，设P 为抛物线上一动点，Q 为y 轴上一动点，当以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与MDB △相似时，请直接写出．．．．点P 及其对应的点Q 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分） （1）213144y x x =-++，45CAO ∠=︒；（2）t=34，D 点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）13495,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；223535,,0,222P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；333171,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 443371,,0,222P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；552591257,,0,3918P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 6625911151,,0,3999P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；7771959,,0,3918P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 88719251,,0,3999P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭994139373,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 101041391687,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；111125171617,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 1212251711613,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）根据抛物线的对称轴以及点B 坐标可求出抛物线表达式；（2）过点N 作NE AB ⊥于E ，过点D 作DF AB ⊥于F ，证明NEM MFD △≌△，得到,NE MF EM DF ==，从而得到点D 坐标，代入抛物线表达式，求出t 值即可；（3）设点P （m ，213144m m -++），当点P 在y 轴右侧，点Q 在y 轴正半轴，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，过点D 作DS ⊥x 轴于点S ，根据△CPQ ∽△MDB ，得到CP PR MD DS =，从而求出m 值，再证明△CPQ ∽△MDB ，求出CQ 长度，从而得到点Q 坐标，同理可求出其余点P 和点Q 坐标.解：（1）∵抛物线21y ax bx =++的对称轴为直线32x =， ∴322b a -=，则b=-3a ， ∵抛物线经过点B （4，0），∴16a+4b+1=0，将b=-3a 代入，解得：a=14-，b=34， 抛物线的解析式为：213144y x x =-++， 令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，则y=1，∴A （-1，0），C （0，1），∴tan ∠CAO=1CO AO=,∴45CAO ∠=︒；（2）由（1）易知()1,0A -，过点N 作NE AB ⊥于E ，过点D 作DF AB ⊥于F ， ∵∠DMN=90°，∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，∴∠DMF=∠ENM ，NM DM =，90DMN ∠=︒ ，NEM MFD ∴≌（AAS ），,NE MF EM DF ∴==，由题意得：45CAO ∠=︒，2AN t =，3AM t =， ,2AE CE t EM AM AE t ∴===-=，2,,41DF t MF t OF t ∴===-，()41,2D t t ∴- ，213(41)(41)1244t t t ∴--+-+=，又0t >， 故可解得：t=34或0（舍）， 经检验，当t=34时，点,M N 均未到达终点，符合题意， 此时D 点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）由（2）可知：D 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，t=34时，M （54，0），B （4，0），C （0，1）， 设点P （m ，213144m m -++），如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，则PR=m，DS=32，若△CPQ∽△MDB，∴CP PRMD DS=，则2222CP PRMD DS=，22221344459164m m mm⎛⎫+-+⎪⎝⎭=，解得：m=0（舍）或1或5（舍），故点P的坐标为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∵△CPQ∽△MDB，∴CP CQ PRMD MB DS==，当点P31,2⎛⎫⎪⎝⎭时，111342CQ=，解得：CQ=116，1117166+=，∴点Q坐标为（0，176），3171,,0,26P Q⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；同理可得：点P和点Q的坐标为：13495,,0,26P Q⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；223535,,0,222P Q⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；333171,,0,26P Q⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；443371,,0,222P Q⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；552591257,,0,3918P Q⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；6625911151,,0,3999P Q⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；7771959,,0,3918P Q⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；88719251,,0,3999P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭994139373,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；101041391687,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；111125171617,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；1212251711613,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
2020年随州中考数学答案
∵ sin B 3 ，∴ cos B 4 ，
5
5
在 Rt△BMD 中， BM BD cos B 4 ，
∴ BC 2BM 8 .
………………………………6 分
在 Rt△CEB 中， BE BC cos B 32 ， 5
∴ ED BE BD 32 5 7 .
5
5
………………………………9 分
故当 x=20 时, W最大 300 （元）； 由 495＞300，可知第 5 天时利润最大.
………………………8 分
（3） m≥8 5
…………………………………10 分
23. （本题满分 11 分）
（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 b2 c2 . ……1 分
说明：（2）问中写成 180 也给分；（4）问中用树状图法或列表法中一种即可.
数学参考答案及评分标准 第 1 页（共 4 页）
20．（本题满分 8 分）
解：（1）依题意可得,在 Rt△ABD 中，∠ADB = 45°，
E
∴AD = AB = 25 米，
…………2 分
∵CD = 5 米 ， ∴AC = AD+CD = 25+5 = 30(米).
（2）当 1≤x≤5 且 x 为整数时， W (x 1 0.5)(5x 65)
5x2 135 x 65 ； 22
当 6≤x≤30 且 x 为整数时，
W (1 0.5)(2x2 80x 200)
………………………………………4 分
x2 40x 100
………………………………………5 分
绝密★启用前
随州市 2020 年初中毕业升学考试
数学参考答案及评分标准
湖北省随州市2020年数学中考试题及答案
随州市2020年数学中考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1.2020的倒数是（ ） A. 2020-B. 2020C.12020D. 12020-2.如图，直线12//l l ，直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若160︒∠=，则2∠的度数是（ ）A. 60︒B. 100︒C. 120︒D. 140︒3.随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 30，32B. 31，30C. 30，31D. 30，304.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 四棱锥5.222142x x x÷--的计算结果为（ ） A. 2x x +B. 22x x +C. 22x x -D. 2(2)x x +6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）A. 352494x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 354294x y x y +=⎧⎨+=⎩C. 235494x y x y +=⎧⎨+=⎩D. 435294x y x y +=⎧⎨+=⎩7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s ）与出发时间（t ）之间的对应关系的是（ ）A. B. C. D .8.设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（ ）A. h R r =+B. 2R r =C. 3r a =D. 3R a =9.将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ） A. 15-B. 35-C. 15+D. 35+10.如图所示，已知二次函数2y ax bx c=++图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①20a b +=；②23c b <；③当ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当BCD 是直角三角形时，22a =-．其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）11.计算：2(1)9-+=_____． 12.如图，点A ，B ，C 在O 上，AD 是BAC ∠的角平分线，若120BOC ︒∠=，则CAD ∠的度数为_____．13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为______．14.如图，ABC 中，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点，点P ，M ，N 分别为DE ，DF ，EF 的中点，若随机向ABC 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．15.如图，直线AB 与双曲线(0)ky k x=>在第一象限内交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 为线段AC 的中点，连接OA ，若AOC △的面积为3，则k 的值为____．16.如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A ，B 分别落在E ，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M 作MH BC ⊥于点H ，连接BF ，给出下列判断：①MHN BCF ∽；②折痕MN 的长度的取值范围为1534MN <<；③当四边形CDMH 为正方形时，N 为HC 的中点；④若13DF DC =，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）.三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）17.先化简，再求值：(2)2()a a b b a b +-+，其中5a =3b =18.已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++-=． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根1x ，2x ，且121231x x x x ++=，求m 的值．19.根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题： 年龄x （岁）人数 男性占比 20x < 450% 2030x ≤<m60% 3040x ≤< 25 60% 4050x ≤< 8 75% 50x ≥3100%（1）统计表中m 的值为_______；（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“3040x ≤<”部分所对应扇形的圆心角的度数为_______；（3）在这50人中女性有______人；（4）若从年龄在“20x <”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．20.如图，某楼房AB 顶部有一根天线BE ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C ，D ，A ，在点C 处测得天线顶端E 的仰角为60︒，从点C 走到点D ，测得5CD =米，从点D 测得天线底端B 的仰角为45︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，25AB =米．（1）求A 与C 之间的距离； （2）求天线BE的高度．（参考数据：3 1.73≈，结果保留整数）21.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．22.2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天1 2 3 4 5 销售价格p （元/只）23456销量q （只）70 75 80 8590物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足123S S S +=的有_______个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为1S ，2S ，直角三角形面积为3S ，请判断1S ，2S ，3S 的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知123α∠=∠=∠=∠，则当α∠变化时，回答下列问题：（结果可用含m 的式子表示） ①2222a b c d +++=_______；②b 与c 的关系为_______，a 与d 的关系为_______．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++的对称轴为直线32x =，其图象与x 轴交于点A 和点(4,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）直接写出抛物线的解析式和CAO ∠的度数；（2）动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒3个单位的速度在线段AB 上运动，点N 2个单位的速度在线段AC 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为(0)t t >秒，连接MN ，再将线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒，设点N 落在点D 的位置，若点D 恰好落在抛物线上，求t 的值及此时点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，设P 为抛物线上一动点，Q 为y 轴上一动点，当以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与MDB △相似时，请直接写出．．．．点P 及其对应的点Q 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分） 参考答案1.C2.C3.D4.A5.B6.A7.B8.C9.C 10.B 11.4 12.30°13.9 14.11615.2 16.①②③④17.(2)2()a a b b a b +-+22222a ab ab b =+--222a b =-当a b ==时，原式222561=-⨯=-=-．18.（1）证明：依题意可得2(21)4(2)m m ∆=+--2490m =+>故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：1212(21)2x x m x x m +=-+⎧⎨=-⎩ 由121231x x x x ++=，得(21)3(2)1m m -++-=，解得8m =． 19.解：（1）m=50-4-25-8-3=10； 故答案为：10； （2）360°×2550=180︒； 故答案为：180︒；（3）在这50人中女性人数为：4×（1-50%）+10×（1-60%）+25×（1-60%）+8×（1-75%）+3×（1-100%） =2+4+10+2+0 =18；故答案为：18；（4）设两名男性用12,A A 表示，两名女性用12,B B 表示，根据题意：可画出树状图：或列表： 第2人 第1人1A 2A 1B 2B1A12A A 11A B 12A B2A21A A 21A B 22A B1B 11B A12B A12B B2B21B A 22B A 21B B由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种， 故P （恰好抽到2名男性）21126==． 20.（1）依题意可得，在Rt ABD △中，45ADB ∠=︒ ，25AD AB ∴==米，5CD =米，25530AC AD CD ∴=+=+=米.即,A C 之间的距离为30米．（2）在Rt ACE △中，60ACE ∠=︒，30AC =米， 30tan 60303AE ∴=⋅︒=（米）， 25AB =米，325)(BE AE AB ∴=-=米．3173≈．．并精确到整数可得27BE ≈米． 即天线BE 的高度约为27米．21.（1）证明：连接OM ，OC OM =，OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==， DCB DBC ∴∠=∠，OMC DBC ∴∠=∠，//OM BD ∴，MN BD ⊥，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点， 3sin 5B =， 4cos 5B ∴=， 在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==． 在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=，327555ED BE BD ∴=-=-=． 22.（1）观察表格发现p 是x 的一次函数，q 是x 的一次函数，设p=k 1x+b 1，将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：1111232k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1111k b =⎧⎨=⎩， 所以1p x =+，经验证p=x+1符合题意，所以1p x =+，15x ≤≤且x 为整数；设q=k 2x+b 2，将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：222270752k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：22565k b =⎧⎨=⎩， 所以565q x =+，经验证565q x =+符合题意，所以565q x =+，15x ≤≤且x 为整数；（2）当15x ≤≤且x 为整数时，(10.5)(565)W x x =+-+213565522x x =++； 当630x ≤≤且x 为整数时，()2(10.5)280200W x x =--+-240100x x =-+-； 即有22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数； 当15x ≤≤且x 为整数时，售价，销量均随x 的增大而增大，故当5x =时，495W =最大（元）当630x ≤≤且x 为整数时，2240100(20)300W x x x =-+-=--+故当20x 时，300W =最大（元）； 由495300>，可知第5天时利润最大．（3）根据题意，前5天的销售数量为：7075808590400q =++++=（只），∴前5天多赚的利润为：(270375480585690)140016504001250W =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯=-=（元），∴12502000m ≥， ∴85m ； ∴m 的取值范围为85m． 23.解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222+=a b c ． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即2214()2c ab b a =⋅+-， 化简得222+=a b c ．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即221()42a b c ab +=+⋅，化简得222+=a b c ． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即2111()()2222a b a b ab c ++=⋅+，化简222+=a b c ． （2）①根据题意，则如下图所示：在图4中，直角三角形的边长分别为a 、b 、c ，则由勾股定理，得222+=a b c ，∴123S S S +=；在图5中，三个扇形的直径分别为a 、b 、c ，则22111()228a S a ππ=•=，22211()228b S b ππ=•=，22311()228c S c ππ=•=， ∴22121()8S S a b π+=+， ∵222+=a b c ， ∴22211()88a b c ππ+=， ∴123S S S +=；在图6中，等边三角形的边长分别为a 、b 、c ，则22113sin 602S a =︒=，22213sin 602S b =︒=，22313sin 602S c =︒=， ∵22123)S S a b +=+，222+=a b c ， 22233)a b +=， ∴123S S S +=；∴满足123S S S +=的有3个，答案为：3；②结论123S S S +=；222123111222222a b c S S S πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22212318S S a b c S π∴+=+-+ 222a b c +=，123S S S ∴+=；（3）①如图9，正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 、M 中，对应的边长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f 、m ，则有由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E ，C+D=F ，E+F=M ，∴222a b e +=，222c d f +=，222e f m +=，∴22222a b c d m +++=答案为：2m ；②∵123α∠=∠=∠=∠，∴sin1sin 2sin3sin α===，cos1cos2cos3cos α===，由解直角三角形和正方形的性质，则 cos e m α=•∠，sin b e α=•∠，∴cos sin b m αα=•∠•∠；同理：sin cos c m αα=•∠•∠；cos cos a m αα=•∠•∠；sin sin d m αα=•∠•∠；∴b c =，∴22(cos sin )a d m αα+=•+，∵22cos sin 1αα+=，∴a d m +=．答案为：b c =；a d m +=．24.解：（1）∵抛物线21y ax bx =++的对称轴为直线32x =， ∴322b a -=，则b=-3a ， ∵抛物线经过点B （4，0），∴16a+4b+1=0，将b=-3a 代入，解得：a=14-，b=34， 抛物线的解析式为：213144y x x =-++， 令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，则y=1，∴A （-1，0），C （0，1），∴tan ∠CAO=1CO AO=, ∴45CAO ∠=︒；（2）由（1）易知()1,0A -，过点N 作NE AB ⊥于E ，过点D 作DF AB ⊥于F ， ∵∠DMN=90°，∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°， ∴∠DMF=∠ENM ，NM DM =，90DMN ∠=︒ ，NEM MFD ∴≌（AAS ），,NE MF EM DF ∴==，由题意得：45CAO ∠=︒，AN =，3AM t =， ,2AE CE t EM AM AE t ∴===-=，2,,41DF t MF t OF t ∴===-，()41,2D t t ∴- ，213(41)(41)1244t t t ∴--+-+=，又0t >， 故可解得：t=34或0（舍）， 经检验，当t=34时，点,M N 均未到达终点，符合题意， 此时D 点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）由（2）可知：D 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，t=34时，M （54，0），B （4，0），C （0，1）， 设点P （m ，213144m m -++）， 如图，当点P 在y 轴右侧，点Q 在y 轴正半轴，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，过点D 作DS ⊥x 轴于点S ， 则PR=m ，DS=32， 若△CPQ ∽△MDB ，∴CP PR MD DS =，则2222CP PR MD DS=， 22221344459164m m m m ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=，解得：m=0（舍）或1或5（舍）， 故点P 的坐标为：31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵△CPQ ∽△MDB ，∴CP CQ PR MD MB DS==， 当点P 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，111342CQ =，解得：CQ=116，1117166+=，∴点Q 坐标为（0，176）， 3171,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；同理可得：点P 和点Q 的坐标为：13495,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；223535,,0,222P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333171,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；443371,,0,222P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 552591257,,0,3918P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；6625911151,,0,3999P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；7771959,,0,3918P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；88719251,,0,3999P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭994139373,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；101041391687,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；111125171617,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；1212251711613,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
2020年湖北省随州市中考数学试卷(含解析)
2020年湖北省随州市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．2020的倒数是（）A．﹣2020 B．2020 C．﹣D．2．如图，直线11∥l2，直线1与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．60°B．100°C．120°D．140°3．随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（）A．30，32 B．31，30 C．30，31 D．30，304．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A．圆柱B．圆锥C．四棱柱D．四棱锥5．÷的计算结果为（）A．B．C．D．6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．7．小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（）A．B．C．D．8．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r＝ a D．R＝ a9．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（）A．1﹣B．3﹣C．1+D．3+10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）11．计算：（﹣1）2+＝．12．如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为．13．幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣﹣九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为．14．如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为．15．如图，直线AB与双曲线y＝（k＞0）在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC 的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为．16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④若DF＝DC，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣2b（a+b），其中a＝，b＝．18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．19．（10分）根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：年龄x（岁）人数男性占比x＜20 4 50%20≤x＜30 m 60%30≤x＜40 25 60%40≤x＜50 8 75%x≥50 3 100%（1）统计表中m的值为；（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为；（3）在这50人中女性有人；（4）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．20．（8分）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B 的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：≈1.73，结果保留整数）21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．22．（10分）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：第x天 1 2 3 4 52 3 4 5 6销售价格p（元/只）销量q（只）70 75 80 85 90物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x ﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为．23．（11分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b与c的关系为，a与d的关系为．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B （4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵2020×＝1，∴2020的倒数是，故选：D．2．【解答】解：∵∠1＝60°，∴∠3＝180°﹣∠1＝120°，∵直线11∥l2，∴∠2＝∠3＝120°，故选：C．3．【解答】解：这5天最高气温出现次数最多的是30，因此众数是30；将这5天的最高气温从小到大排列，处在中间位置生物一个数是30，因此中位数是30，故选：D．4．【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．故选：A．5．【解答】解：原式＝÷＝×x（x﹣2）＝．故选：B．6．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意，可列方程组为，故选：A．7．【解答】解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；②停留一段时间时，离家的距离不变，③乘车返回时，离家的距离减小至零，纵观各选项，只有B选项符合．故选：B．8．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R+r，故A正确；∵AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，在Rt△AOE中，∴R＝2r，故B正确；∵OD＝OE＝r，∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE＝AC＝a，∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，∴r＝，R＝a，故C错误，D正确；故选：C．9．【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x3＝x•x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1，x4＝x•x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2，∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x＝3x+2﹣4x﹣2+3x＝2x，解方程x2﹣x﹣1＝0得x1＝，x2＝，∵x＞0，∴x＝，∴x4﹣2x3+3x＝2×＝1+．故选：C．10．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确，当x＝1时，0＝a﹣b+c，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c＝3b，故②错误；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点C（0，﹣3a），当BC＝AB时，4＝，∴a＝﹣，当AC＝BC时，4＝，∴a＝﹣，∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点D（1，4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a＝﹣，若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或﹣，故④错误．故选：B．二、填空题11．【解答】解：（﹣1）2+＝1+3＝4．故答案为：4．12．【解答】解：∵∠BAC＝∠BOC＝×120°＝60°，而AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAC＝30°．故答案为30°．13．【解答】解：依题意，得：2+m+4＝15，解得：m＝9．故答案为：9．14．【解答】解：∵点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴S△DEF＝S△ABC，又∵点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，∴S△PMN＝S△DEF＝S△ABC，∴米粒落在图中阴影部分的概率为＝，故答案为：．15．【解答】解：过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∵AM∥BN，∴＝＝＝，∴CN＝MN，设BN＝a，则AM＝2a，∵点A、B在反比例函数的图象上，∴OM•AM＝ON•BN，∴OM＝ON，即：OM＝MN＝NC，设OM＝b，则OC＝3b，∵△AOC的面积为3，即OC•AM＝3，∴×3b×2a＝3，∴ab＝1∴S△AOM＝OM•AM＝×b×2a＝ab＝1＝|k|，∴k＝﹣2（舍去），k＝2，故答案为：2．16．【解答】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，∴∠BOM＝90°，∵MH⊥BC，∴∠BHP＝90°＝∠BOM，∵∠BPH＝∠OPM，∴∠CBF＝∠NMH，∵∠MHN＝∠C＝90°，∴△MHN∽△BCF，故①正确；②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，由勾股定理得：BD＝5，∵OB＝OD＝，∵tan∠DBC＝，即，∴ON＝，∵AD∥BC，∴∠MDO＝∠OBN，在△MOD和△NOB中，∵，∴△DOM≌△BON（ASA），∴OM＝ON，∴MN＝2ON＝，∵点F在线段CD上（不与两端点重合），∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜；故②正确；③如图3，连接BM，FM，当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，∵AD＝BC＝4，∴AM＝BH＝1，由勾股定理得：BM＝＝，∴FM＝，∴DF＝＝＝1，∴CF＝3﹣1＝2，设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，解得：x＝，∴HN＝，∵CH＝3，∴CN＝HN＝，∴N为HC的中点；故③正确；④如图4，连接FM，∵DF＝DC，CD＝3，∴DF＝1，CF＝2，∴BF＝＝2，∴OF＝，设FN＝a，则BN＝a，CN＝4﹣a，由勾股定理得：FN2＝CN2+CF2，∴a2＝（4﹣a）2+22，∴a＝，∴BN＝FN＝，CN＝，∵∠NFE＝∠CFN+∠DFQ＝90°，∠CFN+∠CNF＝90°，∴∠DFQ＝∠CNF，∵∠D＝∠C＝90°，∴△QDF∽△FCN，∴，即，∴QD＝，∴FQ＝＝，∵tan∠HMN＝tan∠CBF＝，∴，∴HN＝，∴MN＝＝，∵CH＝MD＝HN+CN＝＝3，∴MQ＝3﹣＝，∴折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF＝＝+＝；故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④；故答案为：①②③④．三、解答题17．【解答】解：原式＝a2+2ab﹣2ab﹣2b2＝a2﹣2b2当a＝，b＝时，原式＝（）2﹣2×（）2＝5﹣6＝﹣1．18．【解答】解：（1）∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出，由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，解得m＝8．19．【解答】解：（1）因为50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，所以统计表中m的值为10；故答案为：10；（2）因为年龄在“30≤x＜40”部分的人数为25，所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝180°；故答案为：180°；（3）因为4×50%+10×（1﹣60%）+25×（1﹣60%）+8×（1﹣75%）＝18 所以在这50人中女性有18人；故答案为：18；（4）因为年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，根据题意，画树状图如下：由上图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，所以恰好抽到2名男性的概率为：＝．20．【解答】解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝25米，∵CD＝5米，∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），即A与C之间的距离是30米；（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，∴AE＝30•tan60°＝30（米），∵AB＝25米，∴BE＝AE﹣AB＝（30﹣25）米，∵ 1.73，∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天线BE的高度为27米．21．【解答】（1）证明：连接OM，如图1，∵OC＝OD，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM过O，∴MN是⊙O的切线；（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M为BC的中，∵sinB＝，∴cosB＝，在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝，∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．22．【解答】解：（1）根据表格数据可知：前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；（2）当1≤x≤5且x为整数时，W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）＝5x2+x+；当6≤x≤30且x为整数时，W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）＝﹣x2+40x﹣100．即有W＝，当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，故当x＝5时，W有最大值为：495元；当6≤x≤30且x为整数时，W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，故当x＝20时，W有最大值为：300元；由495＞300，可知：第5天时利润最大为495元．（3）根据题意可知：获得的正常利润之外的非法所得部分为：（2﹣0.5﹣0.5）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），∴1250m≥2000，解得m≥．则m的取值范围为m≥．故答案为：m≥．23．【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）（2）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．24．【解答】解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1，令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），令y＝0，得到x＝1，∴C（0，1），∴OA＝OC＝1，∴∠CAO＝45°．（2）如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，∴∠NME+∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，∴∠NME＝∠MDF，∵NM＝DM，∴△MEN≌△DFM（AAS），∴NE＝MF，EM＝DF，∵∠CAO＝45°，AN＝t，AM＝3t，∴AE＝EN＝t，∴EM＝AM﹣AE＝2t，∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，∴D（4t﹣1，2t），∴﹣（4t﹣1）2+（4t﹣1）+1＝2t，∵t＞0，故可以解得t＝，经检验，t＝时，M，N均没有达到终点，符合题意，∴D（2，）．（3）如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠MDB时，取E（，0），连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，∵M（，0），D（2，），B（4，0）∴FM＝2﹣＝，DM＝，BM＝，BD＝，∴DF＝2MF，∵OC＝2OE，∴tan∠OCE＝tan∠MDF＝，∴∠OCE＝∠MDF，∴∠OCP＝∠MDB，∴∠ECG＝∠FDB，∴tan∠ECG＝tan∠FDB＝，∵EC＝，∴EG＝，可得G（，），∴直线CP的解析式为y＝﹣x+1，由，解得或，∴P（，），∴PC＝，当＝或＝时，△QCP与△MDB相似，可得CQ＝或，∴Q（0，﹣）或（0，﹣）．如图3﹣2中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DMB时，设PC交x轴于k．∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，∴OK＝2OC＝2，∴点K与F重合，∴直线PC的解析式为y＝﹣x+1，由，解得或，∴P（5，﹣），∴PC＝，当＝或＝时，△QCP与△MDB相似，可得CQ＝或，∴Q（0，﹣）或（0，﹣）．当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（，﹣），Q（0，﹣）或（0，），当点Q在点C上方，∠QCP＝∠DMB时，同法可得P（1，），Q（0，）或（0，），当点Q在点C上方，∠QCP＝∠MDB时，同法可得P（，），Q（0，）或（0，），当点Q在点C下方，点P在y轴的左侧时，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（﹣，﹣），Q（0，﹣）或（0，﹣）。
湖北省随州市2020年中考数学试卷和答案解析详解完整版
2020年湖北省随州市中考数学真题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1.2020的倒数是（ ） A. 2020-B. 2020C.12020D.12020-【答案】C2.如图，直线12//l l ，直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若160︒∠=，则2∠的度数是（ ）A. 60︒B. 100︒C. 120︒D. 140︒【答案】C3.随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 30，32 B. 31，30C. 30，31D. 30，30【答案】D4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】A5.222142x x x ÷--的计算结果为（ ） A. 2x x + B. 22x x +C.22xx - D.2(2)x x +【答案】B6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）A. 352494x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 354294x y x y +=⎧⎨+=⎩C. 235494x y x y +=⎧⎨+=⎩D.435294x y x y +=⎧⎨+=⎩ 【答案】A7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s ）与出发时间（t ）之间的对应关系的是（ ）A. B. C. D.【答案】B8.设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（ ）A. h R r =+B. 2R r =C. 34r a =D.33R a =【答案】C9.将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ）A. 15-B. 35-C. 15+D. 35+【答案】C10.如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①20a b +=；②23c b <；③当ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当BCD 是直角三角形时，22a =-．其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）11.计算：2(1)9-+=_____． 【答案】412.如图，点A ，B ，C 在O 上，AD 是BAC ∠的角平分线，若120BOC ︒∠=，则CAD∠的度数为_____．【答案】30°13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为______．【答案】914.如图，ABC 中，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点，点P ，M ，N 分别为DE ，DF ，EF 的中点，若随机向ABC 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．【答案】11615.如图，直线AB 与双曲线(0)ky k x=>在第一象限内交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 为线段AC 的中点，连接OA ，若AOC △的面积为3，则k 的值为____．【答案】216.如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A ，B 分别落在E ，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M 作MH BC ⊥于点H ，连接BF ，给出下列判断：①MHN BCF ∽；②折痕MN 的长度的取值范围为1534MN <<；③当四边形CDMH 为正方形时，N 为HC 的中点；④若13DF DC =，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）.【答案】①②③④三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）17.先化简，再求值：(2)2()a a b b a b +-+，其中5a =，3b =【答案】222a b -，1-．(2)2()a a b b a b +-+ 22222a ab ab b =+--222a b =-当5,3a b ==原式225)23)561=-⨯=-=-．18.已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++-=．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根1x ，2x ，且121231x x x x ++=，求m 的值． （1）证明：依题意可得2(21)4(2)m m ∆=+--2490m =+>故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：1212(21)2x x m x x m +=-+⎧⎨=-⎩ 由121231x x x x ++=，得(21)3(2)1m m -++-=，解得8m =．19.根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：（1）统计表中m 的值为_______；（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“3040x ≤<”部分所对应扇形的圆心角的度数为_______； （3）在这50人中女性有______人；（4）若从年龄在“20x <”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．【答案】（1）10；（2）180︒；（3）18；（4）P （恰好抽到2名男性）16=． 解：（1）m=50-4-25-8-3=10； 故答案为：10； （2）360°×2550=180︒； 故答案为：180︒；（3）在这50人中女性人数为：4×（1-50%）+10×（1-60%）+25×（1-60%）+8×（1-75%）+3×（1-100%） =2+4+10+2+0 =18；故答案为：18；（4）设两名男性用12,A A 表示，两名女性用12,B B 表示，根据题意： 可画出树状图：或列表： 第2人 第1人1A2A1B 2B1A12A A 11A B 12A B2A21A A21A B 22A B1B 11B A 12B A12B B2B21B A 22B A 21B B由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种， 故P （恰好抽到2名男性）21126==． 20.如图，某楼房AB 顶部有一根天线BE ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C ，D ，A ，在点C 处测得天线顶端E 的仰角为60︒，从点C 走到点D ，测得5CD =米，从点D 测得天线底端B 的仰角为45︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，25AB =米．（1）求A 与C 之间的距离；（2）求天线BE 的高度．（参考数据：3 1.73≈，结果保留整数） 【答案】（1）,A C 之间的距离为30米；（2）天线BE 的高度约为27米． 21.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．（1）证明：连接OM ，OC OM =， OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==， DCB DBC ∴∠=∠， OMC DBC ∴∠=∠， //OM BD ∴，MN BD ⊥，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥， 由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =， 4cos 5B ∴=， 在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=， 327555ED BE BD ∴=-=-=． 22.2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天12345物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．【答案】（1）1p x =+，15x ≤≤且x 为整数，565q x =+，15x ≤≤且x 为整数；（2），第5天时利润最大；（3）85m． （1）观察表格发现p 是x 的一次函数，q 是x 的一次函数， 设p=k 1x+b 1，将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：1111232k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1111k b =⎧⎨=⎩，所以1p x =+， 经验证p=x+1符合题意，所以1p x =+，15x ≤≤且x 为整数； 设q=k 2x+b 2，将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：222270752k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：22565k b =⎧⎨=⎩，所以565q x =+，经验证565q x =+符合题意，所以565q x =+，15x ≤≤且x 为整数； （2）当15x ≤≤且x 为整数时，(10.5)(565)W x x =+-+213565522x x =++； 当630x ≤≤且x 为整数时，()2(10.5)280200W x x =--+-240100x x =-+-；即有22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数； 当15x ≤≤且x 为整数时，售价，销量均随x 的增大而增大， 故当5x =时，495W =最大（元）当630x ≤≤且x 为整数时，2240100(20)300W x x x =-+-=--+ 故当20x时，300W =最大（元）； 由495300>，可知第5天时利润最大． （3）根据题意，前5天的销售数量为：7075808590400q =++++=（只）， ∴前5天多赚的利润为：(270375480585690)140016504001250W =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯=-=（元），∴12502000m ≥，∴85m； ∴m 的取值范围为85m． 23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足123S S S +=的有_______个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为1S ，2S ，直角三角形面积为3S ，请判断1S ，2S ，3S 的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知123α∠=∠=∠=∠，则当α∠变化时，回答下列问题：（结果可用含m 的式子表示） ①2222a b c d +++=_______；②b 与c 的关系为_______，a 与d 的关系为_______．【答案】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222+=a b c ，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；（2）①3，②结论123S S S +=；（3）①2m ，②b c =， a d m +=．解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222+=a b c ． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即2214()2c ab b a =⋅+-， 化简得222+=a b c ．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即221()42a b c ab +=+⋅，化简得222+=a b c ． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即2111()()2222a b a b ab c ++=⋅+，化简222+=a b c ． （2）①根据题意，则如下图所示：在图4中，直角三角形的边长分别为a 、b 、c ，则 由勾股定理，得222+=a b c ， ∴123S S S +=；在图5中，三个扇形的直径分别为a 、b 、c ，则22111()228a S a ππ=•=，22211()228b S b ππ=•=，22311()228c S c ππ=•=，∴22121()8S S a b π+=+，∵222+=a b c ， ∴22211()88a b c ππ+=， ∴123S S S +=；在图6中，等边三角形的边长分别为a 、b 、c ，则22113sin 6024S a a =︒=，22213sin 6024S b =︒=，22313sin 6024S c c =︒=， ∵22123()4S S a b +=+，222+=a b c ，∴22233()44a b c +=， ∴123S S S +=；∴满足123S S S +=的有3个， 故答案为：3； ②结论123S S S +=；222123111222222a b c S S S πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22212318S S a b c S π∴+=+-+222a b c +=，123S S S ∴+=；（3）①如图9，正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 、M 中，对应的边长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f 、m ，则有由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E ，C+D=F ，E+F=M ， ∴222a b e +=，222c d f +=，222e f m +=， ∴22222a b c d m +++= 故答案为：2m ；②∵123α∠=∠=∠=∠，∴sin1sin 2sin3sin α===，cos1cos2cos3cos α===， 由解直角三角形和正方形的性质，则cos e m α=•∠，sin b e α=•∠，∴cos sin b m αα=•∠•∠； 同理：sin cos c m αα=•∠•∠；cos cos a m αα=•∠•∠；sin sin d m αα=•∠•∠；∴b c =，∴22(cos sin )a d m αα+=•+， ∵22cos sin 1αα+=， ∴a d m +=．故答案为：b c =；a d m +=．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++的对称轴为直线32x =，其图象与x 轴交于点A 和点(4,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）直接写出抛物线的解析式和CAO ∠的度数；（2）动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒3个单位的速度在线段AB 上运动，点N 2个单位的速度在线段AC 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为(0)t t >秒，连接MN ，再将线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒，设点N 落在点D 的位置，若点D 恰好落在抛物线上，求t 的值及此时点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，设P 为抛物线上一动点，Q 为y 轴上一动点，当以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与MDB △相似时，请直接写出．．．．点P 及其对应的点Q 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分） 【答案】（1）213144y x x =-++，45CAO ∠=︒；（2）t=34，D 点坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭； （3）13495,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；223535,,0,222P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；333171,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；443371,,0,222P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；552591257,,0,3918P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 6625911151,,0,3999P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；7771959,,0,3918P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；88719251,,0,3999P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭994139373,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；101041391687,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；111125171617,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；1212251711613,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解：（1）∵抛物线21y ax bx =++的对称轴为直线32x =， ∴322b a -=，则b=-3a ， ∵抛物线经过点B （4，0）， ∴16a+4b+1=0，将b=-3a 代入， 解得：a=14-，b=34， 抛物线的解析式为：213144y x x =-++， 令y=0，解得：x=4或-1， 令x=0，则y=1， ∴A （-1，0），C （0，1）， ∴tan ∠CAO=1COAO=, ∴45CAO ∠=︒；（2）由（1）易知()1,0A -，过点N 作NE AB ⊥于E ，过点D 作DF AB ⊥于F ， ∵∠DMN=90°，∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°， ∴∠DMF=∠ENM，NM DM =，90DMN ∠=︒ ， NEM MFD ∴≌（AAS ），,NE MF EM DF ∴==，由题意得：45CAO ∠=︒，2AN t =，3AM t =，,2AE CE t EM AM AE t ∴===-=， 2,,41DF t MF t OF t ∴===-，()41,2D t t ∴- ，213(41)(41)1244t t t ∴--+-+=，又0t >，故可解得：t=34或0（舍）， 经检验，当t=34时，点,M N 均未到达终点，符合题意， 此时D 点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）由（2）可知：D 32,2⎛⎫⎪⎝⎭，t=34时，M （54，0），B （4，0），C （0，1），设点P （m ，213144m m -++）， 如图，当点P 在y 轴右侧，点Q 在y 轴正半轴， 过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，过点D 作DS ⊥x 轴于点S ， 则PR=m ，DS=32，若△CPQ ∽△MDB ，∴CP PR MD DS =，则2222CP PR MD DS=， 22221344459164m m m m ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=，解得：m=0（舍）或1或5（舍）， 故点P 的坐标为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∵△CPQ ∽△MDB ， ∴CP CQ PRMD MB DS==， 当点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭时，111342CQ =，解得：CQ=116，1117166+=， ∴点Q 坐标为（0，176）， 3171,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；同理可得：点P 和点Q 的坐标为：13495,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；223535,,0,222P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；333171,,0,26P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；443371,,0,222P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 552591257,,0,3918P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；6625911151,,0,3999P Q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；7771959,,0,3918P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；88719251,,0,3999P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭994139373,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；101041391687,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；111125171617,,0,11121242P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；1212251711613,,0,11121363P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。