自动控制原理(孟华)第6章习题答案(含过程)

第六章习题

6-1．已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

)

11.0(200

)(+=

s s s G

试设计一个串联校正网络，使系统的相角裕量︒≥45γ，剪切频率s rad c /50≥ω。 解：

方法一：原系统的截止频率为44.16rad/s ，相稳定裕度为

180°-90°-arctan4.416=12.76°

截止频率和相角裕度均不满足要求，需加入串联超前校正，选择校正网络的传递函数为

Ts

aTs

K

s G c ++=11)(

取校正后系统的截止频率s rad c /52=ω，相角裕度︒=50γ。则

T

a c 1=

ω，6.2lg 10lg 20=+a K ，︒=+-+︒501

1

arctan

11a a 由上述3式的

64.0,01.0,4.4===K T a

)

101.0)(11.0()

104.0(128)()(+++=

s s s s s G s G c

校正后系统的截止频率为s rad c /53=ω，相角裕度︒=5.49γ，满足要求。

方法二：按二阶系统最佳模型设计，设校正后系统的开环传递函数为

)

1()(+=

Ts s K

s G

则闭环系统的传递函数为

2

22222//1/)(n

n n s s T K Ts s T

K K s Ts K s ωζωωφ++=++=++= 令50=K ，707.0=ζ由T n /12=ζω，T K n /2

=ω，得01.0=T 。即

)

101.0(50

)()(+=

s s s G s G c ，101.011.041)(++=s s s G c 。

易验证该校正环节满足要求。

6-2.已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

)

104.0()(+=

s s s G

要求系统对单位斜坡输入信号的稳态误差%1≤ss e ，相角裕量为︒≥45γ，试确定系统串联校正网络。

解：本题可首先检验系统得性能指标，针对系统在性能上的缺陷并结合校正网络的作用，选用合适的校正网络，再按相应的步骤确定校正网络的参数。

（1） 根据稳定误差要求，确定系统的K 值。

K s s K

s s G s s K s s v 100)

14.0(100lim )(lim lim 0

=+⋅

==→→

%110011≤==

K

K e ss 求得1≥K 。

（2） 利用已确定的K ，计算未校正系统的相角裕度。 取1=K ，则 )

14.0(100

)(+=s s s G c

其渐近对数幅频特性可表示为

⎪⎩

⎪⎨

⎧><=)

25(04.0100

lg

20)

25(100lg 20)(2ωωωωωL

由0)(='ωL 求得 s rad 50='ω

此时系统的相角裕度为

︒<︒='-︒-︒='456.26)04.0arctan(90180c

ωγ 显然，系统在稳态误差满足指标要求的情况下，相角裕度不满足要求。可选用超前校正网络

来提高系统的相角裕度，改善系统的动态性能。

（3） 根据相角裕度的要求，计算超前校正网络的参数。

︒=︒+︒-︒=︒︒+'-≥4.2686.2645)12~5(γγϕm

按照要求的相角裕度︒45和未校正系统的相角裕度︒6.26计算，超前校正网络应提供︒

4.18的超前相角，但考虑到超前校正会使系统的剪切频率增大，而未校正系统在新的剪切频率c

ω''处具有更大的滞后相角，因此需在︒4.18相角的基础上增加一些裕量（此处选为︒8）。 利用（6-13）式可得 57.256

.044

.1sin 1sin 1==-+=

m m a ϕϕ

由（6-15）式有 1.4lg 10)(lg 20==''-a j G c

ω

即 1.404.0lg

202=''-c

ω 解得

s rad c

63=''ω 注意：c

ω''是校正后系统的剪切频率，它与超前校正网络产生最大超前相角时所对应的频率m ω相等。在c

ω''上，未校正系统的对数幅频特性应该与超前网络的对数幅频特性大小相等、符号相反。

由（6-14）式有 s a T c

01.010111==''=ω 故超前校正网络的传递函数为

s

s Ts aTs s G c 01.01026.0111)(++=++=

（4） 验算已校正系统的相角裕度。

)026.0()04.0arctan(90180c

c arcan ωωγ''+'-︒-︒=' ︒=''-87.47)01.0arctan(c

ω 校正后系统的相角裕度满足给定指标要求。

校正后系统的开环传递函数为

)

101.0)(104.0()

1026.0(100)()(+++=

s s s s s G s G c

校正前后开环系统及校正网络的Bode 图如图6-2所示。

图6-2

6-3.已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

)

12.0()(2+=

s s K

s G

要求系统满足稳态加速度误差系数K a =10s -2，相角裕量︒>35γ，试求系统串联校正网络。 解：当未校正系统在要求的剪切频率附近相频特性负斜率较大，或需要提供的补偿相角较大时，采用一级超前校正满足不了要求，此时可以采用两级或多极串联超前校正方案。其参数确定的方法可参照一般设计步骤进行。

（1） 根据误差系统的要求，确定开环增益K 。

K s s K

s s G s K s s a =+==→→)

12.0(lim )(lim 2

2

2 10==a K K

（2）

根据确定的K 值，计算未校正系统的相角裕度。

取10=K ，则 )

12.0(10

)(2

+=

s s s G 其渐近幅频特性为 ⎪⎩⎪⎨

⎧

>⨯<=)

5(2.010

lg 20)

5(10lg 20)(2

2

ωωωωωωL

由0)(='c

L ω求得 s rad c

16.3='ω 此时相角裕度

︒-='-︒-︒='29.32)2.0arctan(90180c

ωγ 显然系统是不稳定的。若要求系统的相角裕度︒>35γ，需要用串联超前校正来提高系统的相角裕度。

（3） 根据相角裕度要求，确定超前校正网络的参数。

︒=︒+︒--︒=︒︒+'-=3.7912)29.32(35)12~5(γγϕm

其中︒12为增加的裕量。

考虑到需增加的超前相角较大，可采用二级相同的串联超前校正网络来完成校正任务，每级校正网络所提供的最大超前相角为

︒≈︒

='402

3.79m

ϕ 校正网络的传递函数为 2

11)(⎪⎭

⎫

⎝⎛++=Ts aTs s G c

利用（6-13）式可得 6.435

.064.1sin 1sin 1=='-'+=

m m

a ϕϕ