2005年全国高中数学联赛试题及参考答案
二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 解：令36,36,y x x x =-+-≤≤则2(3)(6)2(3)(6)2[(3)y x x x x x =-+-+--≤-(6)] 6.x +-=06,y k ∴<≤∴实数的最大值为6。
选D 。
2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个解：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++DA CD BC AB 则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++AB CD BC AB AB CD CD BC BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即BD AC CD AB BC AD BD AC ⋅∴=--+=⋅,022222只有一个值得0，故选A 。
3．ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。
则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A ABC B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =- 111111cos2cos()cos cos cos cos()cos()22222222sin sin ,cos sin sin ,cos sin sin ,cos 2222(sin sin sin )cos cos 2(sin sin sin ),22sin sin sin A B C A A B C A C B AA C B B C AC B BB A C CC A B AA BB B C A B C CC A B C A B Cππ+-+-∴=-=+=-+-=+=+=+∴+⋅+++=++∴==++同理原式 2..A 选 4．如图，D CB A ABCD ''''-为正方体。
任作平面α与对角线C A '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '''-后，得到一个以平行平面A BD D B C '''与为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱B A ''剪开，展平在一张平面上，得到一个11A B B ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '），显然11A A E E '='，故l 为定值。
当E '位于B A ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为2243l 与2363l ，故S 不为定值。
选B 。
5.方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),23cos()22cos(,223220,32ππππππ->-∴<-<-<∴>+ 即 .3sin 2sin >又,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32,220>-∴<>∴<<<<πππ方程表示的曲线是椭圆。
)()4232sin(232sin22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π.0)(,0)4232sin(.423243,432322,0232sin ,02322<*∴>++∴<++<∴<+<<-∴<-<-式πππππππ即∴-<-.3cos 2cos 3sin 2sin 曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C 。
6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++解：用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈=M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=。
在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。
而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++故选C 。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a 61521+.解：由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121++=----=x x x x x f 令,4+=y x 得,51)4()(21+++=y y y g 取,1=y 有.615)1(2120210+==++++g a a a a8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是.51310<<<<a a 或解：)(x f 在),0(+∞上定义，又)13(143;087)41(212222-=+->++=++a a a a a a •),1(-a 仅当1>a 或31<a 时，).(01432*>+-a a )(x f 在),0(+∞上是减函数，,50,05,14312222<<∴<-⇒+->++∴a a a a a a a 结合（＊）知310<<a 或.51<<a 9.设α、β、γ满足πγβα20<<<<，若对于任意++++∈)cos()cos(,βαx x R x,0)cos(=+γx 则=-αγ.34π 解：设),cos()cos()cos()(γβα+++++=x x x x f 由R x ∈，0)(≡x f 知，,0)(,0)(,0)(=-=-=-βγαf f f 即+--=-+-)cos(,1)cos()cos(βααγαβ =-=-=-∴-=-+--=-)cos()cos()cos(.1)cos()cos(,1)cos(αγβγαβγβγαβγ},34,32{,,,20.21ππβγαγαβπγβα∈---∴<<<<- 又<--<-βγαγαβ, .αγ- 只有.34.32παγπβγαβ=-∴=-=-另一方面，当,32πβγαβ=-=-有,,34,32R x ∈∀+=+=παγπαβ记θα=+x ，由于三点),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin ,(cos πθπθπθθθ+++))34sin(πθ+构成单位圆122=+y x 上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有.0)34cos()32cos(cos =++++πθπθθ 即.0)cos()cos()cos(=+++++γβαx x x10.如图，四面体DABC的体积为61，且满足,32,45=++︒=∠AC BC AD ACB 则=CD 3.解：,61)45sin 21(31=≥︒⋅⋅⋅⋅DABC V AC BC AD即.12≥⋅⋅AC BC AD 又,32233≥⋅⋅≥++=AC BC AD AC BC AD等号当且仅当12===AC BC AD 时成立，这时⊥=AD AB ,1面ABC ，3=∴DC .11.若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 80 .解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11y x C 、),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联立，得.1122,12+±=⇒+=b x b x x令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的距离为5|17|,b a a +=∴②.①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802min 2=∴=a a12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321 a a a 若,2005=n a 则=n a 55200.解：∵方程m x x x k =+++ 21的非负整数解的个数为mk m C 1-+.而使)2(0,11≥≥≥i x x i 的整数解个数为12--+m k m C .现取7=m ，可知，k 位“吉祥数”的个数为.)(65+=k C k P∵2005是形如abc 2的数中最小的一个“吉祥数”，且,7)2(,1)1(6766====C P C P,28)3(68==C P 对于四位“吉祥数”abc 1，其个数为满足6=++c b a 的非负整数解个数，即286136=-+C 个。
2005年全国高中数学联合竞赛加试试卷及答案
二○○五年全国高中数学联合竞赛 加试试题参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、（本题满分50分）如图，在ABC ∆中，设AB AC >，过A 作ABC ∆的外接圆的切线l .又以A 为圆心,AC 为半径作圆分别交线段AB 于D;交直线l 于E 、F.证明：直线DE 、DF 分别通过ABC ∆的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁心圆的圆心称为旁心）证明：（１）先证DE 过ABC ∆的内心. 如图，连DE 、DC ，作BAC ∠的平分线分别交DE 于I 、DC 于G ， 连IC ，则由AD AC =，得AG DC ⊥，ID IC =.10 分又D 、C 、E 在A 上，12IAC DAC IEC ∴∠=∠=∠，∴A 、I 、C 、E 四点共圆，CIE CAE ABC ∴∠=∠=∠，而2CIE ICD ∠=∠，1.202ICA ABC ∴∠=∠ 分1190,.2230AIC IGC ICG ABC ACI ACB I ABC ∴∠=∠+∠=︒+∠∴∠=∠∴∆ 为的内心。
分（2）再证DF 过ABC ∆的一个旁心。
连FD 并延长交ABC ∠的外角平分线于１Ｉ，连B BI 11II 、I、，由（1）知，I 为内心，1190,IBI EDI D ∴∠=︒=∠∴、B 、1I 、I 四点共圆，111190(),22BII BDI ADI BAC ADG ADI BAC IDG ∠=∠=︒-∠=∠+∠-∠=∠+∠A ∴、I 、1I 共线。
150I ABC BC ∴∆ 是的边外的旁心，分二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足;;.cy bz a az cx b bx ay c +=+=+=求函数222(,,)111x y z f x y z x y z=+++++的最小值。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36-B. 3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x ，可得62≤y ，即6max =y ，所以6≤k2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的 取值A. 只有一个B. 有二个C. 有四个D. 有无穷多个 ◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++DA CD BC AB 则22DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++AB CD BC AB AB CD CD BC BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC⋅∴只有一个值为0，故选A 。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 ◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =- 所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=， C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
2
BC) (BC CD), 即 2 AC BD AD2 BC2 AB2 CD 2 0, AC BD 只 有 一
2
2
2 3
2
, cos(
2 ) cos( 3 ), 2 2
又
0 2
, 3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 2 2
6
方
程表示的曲线是椭圆。
(sin 2 sin 3 ) (cos 2 cos 3 ) 2 2 sin 2 3 2 3 sin( ) () 2 2 4
x2 y2 1 表示的曲线是 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3
A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆
B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线
a3 a4 4 ai T , i 1,2,3,4 ，将 3 7 7
二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 x 3 6 x k 有解的实数 k 的最大值是 A. 6 3 B. 3 C. 6 3 D. 6 2. 空间四点 A, B, C, D ，满足 | AB | 3 、 | BC | 4 、 | CD | 11、 | DA | 9 ， 则 AC BD 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个
3
二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分 两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请 严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其 它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤 正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −
2
2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0， ， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：
2005年全国高中数学联赛试卷及解答
特征方程为x2－7x+1＝0．
解得：x＝ ＝ ＝ ．
令an＝α +β ．由a0＝1，a1＝5解得
α＝ ，β＝ ；
得an＝ [ + ]⑤
注意到 · ＝1， + ＝ ．
有，anan+1－1＝ [ + ]·[ + ]－1
＝ [ பைடு நூலகம் + + －5]
＝ [ + ]2
15．过抛物线y＝x2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足 ＝λ1；点F在线段BC上，满足 ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
填 ．
解：V＝ × AC×BCsin45×h≤ AC×BC×ADsin45．
即AC×BC×ADsin45≥1 ×BC×AD≥1．
而3＝AD+BC+ ≥3 ＝3，等号当且仅当AD＝BC＝ ＝1时成立，
故AC＝ ，且AD＝BC＝1，AD⊥面ABC．CD＝ ．
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为；
A． + + + B． + + + C． + + + D． + + +
二、填空题：
2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及解析
2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.设函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x∈(−π2,π2)，f(tanx)=sin2x.则f(2sinx)的最大值为（）.A. 0B. 12C. √22D. 12.实数列{a n}定义为，a1=1,a9=7，a n+1=a n2−a n−1+2a na n−1+1,n=2,3,⋅⋅⋅则a5的值为( ).A. 3B. -4C. 3或-4D. 83.正四面体ABCD的棱长为1，E是△ABC内一点，点E到边AB、BC、CA的距离之和为x，点E到平面DAB、平面DBC、平面DCA的距离之和为y.则x2+y2等于（）A. 1B. √62C. 53D. 17124.数列x1,x2,⋅⋅⋅,x100满足如下条件：对于k=1,2,⋅⋅⋅,100,x k比其余99个数的和小k.已知x50=m n,m、n是互质的正整数.则m+n等于( ).A. 50B. 100C. 165D. 1735.若sinx+siny=√22,cosx+cosy=√62，则sin(x+y)等于( ).A. √22B. √32C. √62D. 16.P为椭圆x 216+y29=1在第一象限上的动点，过点P引圆x2+y2=9的两条切线PA、PB.切点分别为A、B.直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N.则S△MON的最小值为( ).A. 92B. 9√32C. 274D. 27√34第II卷（非选择题）二、填空题7.实数x、y、z满足x2+2y=7,y2+4z=−7,z2+6x=−14.则x2+y2+z2等于____________.8.设S 是集合{1,2,⋅⋅⋅,15}的一个非空子集.若正整数n 满足：n ∈S,n +|S |∈S ，则称n 是子集S 的“模范数”，这里|S |表示集合S 中元素的个数.对集合{1,2,⋅⋅⋅,15}的所有非空子集S ，模范数的个数之和____________. 9.对于12≤x ≤1，当(1+x )5(1−x )(1−2x )2取到最大值时，x=__________.10.函数f (x )满足：对任意实数x 、y ，都有f (x )f (y )−f (xy )3=x +y +2.则f (36)的值_________.11.正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心.正四面体A ′B ′C ′D ′与正四面体ABCD 关于点O 对称.则这两个正四面体的公共部分的体积为__________. 12.在双曲线xy=1上，横坐标为n n+1的点为A n ，横坐标为n+1n的点为B n (n ∈N +).记坐标为(1, 1)的点为M,P n (x n ,y n )是ΔA n B n M 的外心.则x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100=_________.三、解答题13.如图，已知的内心为I ，AC≠BC ，内切圆与边AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F 、S= CI∩EF ，联结CD 与内切圆的另一个交点为M ，过点M 的切线交AB 的延长线于点G.求证：(1)ΔCDI ∼ΔDSI ；(2)GS⊥CI .14.设a 、b 、c 是正整数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两实数根的绝对值均小于13.求a+b+c 的最小值.15.设集合A 、B 都是由正整数组成的集合，|A |=10,|B |=9，并且集合A 满足如下条件：若x 、y 、u 、v ∈A, x+y=u+v ，则{x,y }={u,v }.令A +B ={a +b|a ∈A,b ∈B}.求证：|A +B |≥50(|X |表示集合X 中元素的个数).参考答案1.D【解析】1. 由f(tanx)=2tanx 1+tan 2x，f(x)=2x 1+x2.所以，f (2sinx )=4sinx 1+4sin 2x≤1.当sinx=12时，上式等号成立.故f (2sinx )的最大值为1. 2.A【解析】2. 设b n=a n +1，则b n+1−1=b n 2−b n−1b n−1=b n2b n−1−1. 所以，b n 2=b n+1+b n−1.故b 52=b 1b 9=16. 于是,，b 5=4(-4舍去， b 1、b 5、b 9同正负).3.D【解析】3.点E 到边AB 、BC 、CA 的距高之和就等于△ABC 的高，即√32，故x=√32.又V 四面体ABCD =V E−DAB +V E−DBC +V E−DCA ，即13S ΔABCℎ=13S ΔDAB y 1+13S ΔDAC y 2+13S ΔDCA y 3， 这里h 为正四面体的高，y 1、y 2、y 3分别是点E 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离.于是，ℎ=√63.则y 1+y 2+y 3=y .所以，y =√63.则x 2+y 2等于1712. 4.D【解析】4. 设S=x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100，则x k =(S −x k )−k ，即k +2x k =S .对k 求和得(1+2+⋅⋅⋅+100)+2S =100S . 所以，S=252549.于是，x 50=S−502=7598.故m +n = 173.5.B【解析】5.把两个式子分别平方，相加得(sin2x+cos2x)+(sin2y+cos2y)+2(cosxcosy+sinxsiny)=2. 所以，cos(x−y)=0.把两个式子相乘得(sinxcosy+sinycosx)+(sinxcosx+sinycosy)=√32.所以，sin(x+y)+sin(x+y)cos(x−y)=√3 2 .故sin(x+y)=√3 2 .6.C【解析】6.设P(4cosθ,3sinθ),θ∈(0,π2)，则直线AB的方程为4xcosθ+3ysinθ=9.故|OM|=94cosθ,|ON|=3sinθ，SΔMON=12|OM|·|ON|=274sin2θ≥274.当θ=π4，即点P为(2√2,3√22)时等号成立.故SΔMON的最小值为274.7.14【解析】7.把三个式子相加得(x2+6x)+(y2+2y)+(z2+4z)=−14.故(x+3)2+(y+1)2+(z+2)2=0.所以，x=−3,y=−1,z=−2.8.13×212【解析】8.只要找出，对每个n有多少集合，使得n是模范数，再关于n求和即可.若n 是S 的一个模范数，S 含有k 个元素，则n ∈S,n +k ∈S .所以，k ≥2.又k≤15−n,S 的其余k -2个元素有C 13k -2种取法，故n 为模范数时，共有C 130+C 131+⋅⋅⋅+C 1313-n (个).当n =1,2,⋅⋅⋅,13时，模范数的总数为A =13C 130+12C 131+⋅⋅⋅+C 1312.故2A=13C 130+12C 131++11C 132+⋅⋅⋅+C 1312+C 131+2C 132+⋅⋅⋅+12C 1312+13C 1313=13(C 130+C 131++C 132+⋅⋅⋅+C 1312+C 1313)=13×213.因此，对集合{1,2,⋅⋅⋅,15}的所有非空子集S ，模范数的个数之和为13×212. 9.78【解析】9.考虑[a (1+x )]5[β(1−x)][γ(2x −1)]2的最大值，这里a 、β、γ是正整数，满足5a −β+4γ=0,a (1+x )=β(1−x)=γ(2x −1).后者即β−a β+a=β+γ2γ+β.代入β=5a +4γ，得0=2(5a −2γ)(a +γ).取(a,β,γ)=(2,30,5)，由平均不等式得[2(1+x )]5[30(1−x )][5(2x -1)]2≤(154)8.当且仅当x =78时，上式等号成立.所以，当x =78时(1+x )5(1−x )(1−2x )2的最大值为37×55222.10.39【解析】10. 取x=y =0，则f 2(0)−f (0)2=2.所以，f (0)=−2或f (0)=3.若f (0)=−2，令y =0，则f (x )f (0)−f (0)3=x +2.所以，f (x )=−32x −2.代入原式知不满足题意. 若f (0)=3，解得f (x )=x +3，代入检验知满足题意.故f (36)=39.11.12【解析】11.若将三棱锥A - BCD 放在一个水平面上，易知其中心到点A 的距离是点A 到底面距离的34. 所以，反射的对称面是到点A 与底面距离相等的水平面. 因此，它切割点A 所在的小正四面体是原正四面体缩小12. 同样，对B 、C 、D 三点处所切割的正四面体也是原正四面体的12.当在原四面体中切割掉这四个小正四面体后，即得到两个正四面体的公共部分， 其体积为1−4×(12)3=12.12.20050101【解析】12.易得A n (nn+1,n+1n ),B n (n+1n,n n+1)，所以，|A n M |=|B n M |，且k A n B n =−1.故ΔMA n B n 是以A n B n 为底边的等腰三角形，且底边所在的直线的斜率为-1. 因为点M 在直线y = x 上，所以，底边的中垂线方程为y = x .由此得x n=y n .因为A n M 的中点为E (2n+12(n+1),2n+12n)，k A n M=n+1n −1nn+1−1=−n+1n.所以，外心P (x n ,x n )在直线y −2n+12n=nn+1[x −2n+12(n+1)]上.由此得x n=(2n+1)22n (n+1)，即x n =(2n+1)22n (n+1)=2+12n (n+1)=2+12(1n −1n+1) 于是，x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100=200+12(1−12)+12(12−13)+⋅⋅⋅+12(1100−1100)=20050101.13.（1）见解析（2）见解析【解析】13.(1)在Rt △CFI 中，由射影定理可得FI 2=SI ·CI =DI 2.所以，DI SI=CI DI .而∠CID =∠DIS,故ΔCDI ∼ΔDSI .(2)如图所示，联结IM、IF.因为D、I、M、G四点共圆，并且由(1)可得∠ISD=∠IDC=∠IMD.所以，点S在四边形DIMG的外接圆上.故∠GSF=∠GMI=90°，即GS⊥CI.14.25【解析】14.设方程的两实数根为x1、x2.由韦达定理知x1、x2均为负数.由ca =x1x2＜19，得ac＞9.所以，b2≥4ac=4×a c×c2>4×9×12=36. 解得b>6.故b≥7.又ba =(−x1)+(−x2)＜13+13=23，所以，a b >23,a>23b≥212.故a≥11.(1)当b=7时，由4a≤4ac≤b2及a≥11，知a=11或12 ，c=1.但方程11x2+7x+1=0有根−7+√522＜−13，不合题意；方程12x2+7x+1=0的两根为−13,−14也不合题意.2.当b=8时，由4ac≤b2=64及a≥11，知a=11,12,13,14,15,16,c=1.由x2=−b−√b2−4ac2a >−13，解得4+√16−a＜a3.易知f(a)=a3−√16−a−4(a=11,12,⋅⋅⋅,16)的増函数，于是，f(a)≤f(16)=43＞0.而f(15)=0，故a只能为16.此吋，a+b +c =16+8+1=25，而16x 2+8x +1=0的两根为x 1=x 2=−14满足题意.. (3)当b ≥9时，a ＞32b ≥272，所以，a ≥14.于是，a +b +c =14+9+1≥24.若a+b +c <25，只能a =14，b =9，c =l ，此时，方程14x 2+9x +1=0的两根为x 1=−12,x 2=−17，不合题意，故此时a +b +c ≥25. 综上所述，a + b +c 的最小值为25. 15.见解析【解析】15. 考虑一般的情形.设|A |=m,|B |=n,A +B ={s 1,s 2,⋅⋅⋅,s k }. 对任意的1≤i ≤k ，设s i 有f (i )种方式表示为a +b 的形式，其中a ∈A,b ∈B ，即s i =a i1+b i1=a i2+b i2=⋅⋅⋅ =a if(i)+b if(i).则显然有f (1)+f(2)+⋅⋅⋅+f (k )=mn .对任意1≤r <t ≤f(i)，考虑集合{b ir ,b it }，则有C f(i)2个这样的集合.对于i =1,2,⋅⋅⋅,k ，共C f(1)2+C f(2)2+⋅⋅⋅+C f(k)2个集合.下面证明这些集合是两两不同的. 若不然，则存在1≤i <j ≤k 及b r 、b t ∈B (r ≠t )，使得s i =x +b r =u +b t ,s j =v +b r =y +b t ，其中 x 、y 、u 、v ∈A .从而， x +y =u +v .由题设知{x,y }={u,v }.若x =u,y =v ，则b r =b t ，不可能； 若x=v ，y =u ，则s i =s j 不可能.从而，C f(1)2+C f(2)2+⋅⋅⋅+C f(k)2≤C n 2，((f (1)2+(f (2)2+⋅⋅⋅+(f (k ))2)−(f (1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(k))≤n 2−n .由柯西不等式得((f (1)2+(f (2)2+⋅⋅⋅+(f (k ))2)≥1k(f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(k))2=1km 2n 2.所以1k m 2n 2−mn≤n 2−n ，即k ≥m 2nm+n−1.当m =10,n =9时，k≥m2nm+n−1=100×910+9−1=50.。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
2005年全国高中数学联赛试题及答案
二○○五年全国高中数学联合竞赛试题一.选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于xk 有解的实数k 的最大值是（ ） A． BC ．63+D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足||3,||7,||11,||9,AB BC CD DA ====则AC BD ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个 3．ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。
则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos2cos 2cos 111++⋅+⋅+⋅ 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，D C B A ABCD ''''-为正方体。
任作平面α与对角线C A ' 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面 多边形的面积为S ，周长为l .则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值5.方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a aa M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2005年全国高中数学联赛(浙江赛区)预赛试卷及详细解答
(D) 4
2 是以任何正实数为周期的周期函数；
1
f 2 ( x) 不是周期函数。 因为 sin x 是以 T1 2 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2
为周期的周期函数, 而 T1 与 T2 之比不是有理数，故 f 2 ( x ) 不是周期函数。
2 2
f 3 ( x) 不是 周期 函数 。因 为 sin T2 2 2
2
(C)
12
2
(D) 13
2 2
答： 【 C 】
c t1 a t 2 b c 6t1 8t 2 t1 t 2
169 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 25 144 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 144
当 t1 3, t 2 4 时， c t1 a t 2 b
联合（1） （2）消去 f ( ) ，可得
――――――――― （2）
1 x
f ( x) x 和命题 Q: 对任何 x R ， x 4cx 1 0 有且仅有一个成立，则实 数 c 的取值范围是
2
2
1 1 , 0 , 1 。 2 2
1 1 a1 a12 ，而 a1 0 ，故 a1 1 。 2 2
因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 2005 。 y 12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从 原点 O 沿正东偏北 （ 0
）方向行走一段时 2
P(x,y) A
间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟，则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 。
a n 1
2005年全国高中数学联赛二试及解答
2005年全国高中数学联赛试题（二）一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
） 二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.2005年全国高中数学联赛试题（二）参考答案一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
） 证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。
如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ， 得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC ，∴∠ACI=21∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。