§6.2垂直关系的性质 学案
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计前言垂直关系是高中数学中的一个重要概念，对应的性质也是非常关键的。
学生对此的理解和把握，对于后续的数学学习同样意义重大。
因此，我们需要针对垂直关系的性质，制定科学合理的教学方案，以帮助学生更好地学习和掌握该知识点。
教学目标1.理解垂直关系的定义和性质2.掌握垂直关系性质的证明方法3.训练学生熟练应用垂直关系性质解题的能力教学过程1. 导入垂直关系性质的教学，可以通过以下问题来引入：•如何确定两条直线是否垂直？•如何确定一个向量的垂直向量？•垂线段的性质是什么？通过这些问题，可以帮助学生加深对垂直关系的认识，为后续学习做好准备。
2. 学习2.1 垂直关系的定义讲授垂直关系的定义和符号表示，由简单到复杂，帮助学生建立直观的概念。
2.2 垂直关系的性质让学生通过大量的实例探究垂直关系性质，尤其是：•一条直线与平面上一点垂直，则过该点的所有直线都与该直线垂直。
•如果两条直线相互垂直，则它们的方向向量垂直。
在讲解性质的过程中，要结合具体的实例进行讲解，以便学生更好地理解。
2.3 垂直关系的证明介绍垂直关系性质的证明方法，让学生通过严密的证明步骤，了解性质背后的原因和内在联系。
3. 实践3.1 课堂练习通过设计一些小组互动、小组对抗等活动形式，让学生在课堂上进行练习，巩固知识点，提高应用能力。
3.2 作业布置相关的练习和题目，以调动学生的自主学习积极性，培养学生的自主学习能力。
4. 总结对课程的内容进行总结，让学生通过回顾所学内容，进行知识结构的梳理和信息的整合。
教学方法通过探究式的学习方法，让学生在教师引导下，通过自己动手实践、研究，掌握垂直关系的相关知识和技能。
教学评价通过检查课堂互动情况和学生完成作业效果，在教师、同学和自评的基础上，进行教学评价和反思。
结语垂直关系是高中数学中至关重要的知识点，教师通过科学的教学方案，可以为学生的数学学习奠定良好的基础。
1.6.2垂直关系的性质 教案 (高中数学必修二北师大版)
6．2垂直关系的性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解线面垂直、面面垂直性质定理的含义．(2)能运用性质定理证明相关问题．2．过程与方法通过对定理的理解，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法．3．情感、态度与价值观通过对定理的探究，培养学生用数学思维方式解决问题，培养学生的空间观念、空间想象能力．●重点难点重点：垂直关系的性质定理．难点：垂直关系的性质定理的应用．(教师用书独具)●教学建议本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答所提问题，理解线面垂直及面面垂直的性质⇒通过例1及互动探究，使学生掌握直线与平面垂直的应用⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握垂直的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？【提示】平行．黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？【提示】画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即可．如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.图1－6－16【思路探究】证明BD1和EF分别垂直于同一个平面即可．【自主解答】如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1 平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.1．正方体的体对角线与它不共面的面对角线垂直．如本题中，BD1⊥AC，BD1⊥A1D.2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理证明．在本例中，若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C?【解】若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.【思路探究】欲证线面垂直需寻求线线垂直，而已知条件中面面垂直可得到线线垂直．【自主解答】如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，。
垂直关系的性质导学案新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰 §6.2垂直关系的性质导学案【使用说明】 预习教材P38-P40页，在规定时间完成预习学案【学习目标】1. 理解并掌握直线与平面，平面与平面垂直及其与直线与直线垂直的关系，并应用2. 通过定理及性质的学习，学会解决有关垂直问题。
3.通过自主学习、合作讨论探究，体验学习的快乐.4.小组合作探究时，激情投入. 一、【自学、预学提纲】1．何谓直线与平面垂直的性质定理： 文字描述：图形呈现：符号表示：2.何谓平面与平面垂直的性质定理：图形呈现： 符号表示：阅读教材，分别写出上述两个性质定理的证明过程1._______________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2._____________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________二、【预学自测】1、在空间中，下列命题正确的是__________(填上所有符合题意的序号)（1）平行于同一直线的两直线平行（2）垂直于同一直线的两直线平行（3）平行于同一平面的两直线平行（4）垂直于同一平面的两直线平行2. 设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：正确的是_________ ①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 3.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行4.如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面，那么MA 与BD 的位置关系是A ．平行 B.垂直相交 C.异面 D .相交但不垂直三、【探究、合作、展示】βN M αB A ba αM DC B A育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰 1、请叙述下列四个箭头中的内容2.如图所示，四棱锥S-ABCD 的底面是菱形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上一点 求证：平面EBD ⊥平面SAC3.如图所示，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC求证：BC ⊥AC经典重现4、PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）求证：MN ⊥CD ；（3）若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PDC.我的收获：_____________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________S E D CB AC B A P 判定定理面面垂直线面垂直性质定理定义判定定理线线垂直。
高中数学北师大版必修2第一章《6.2垂直关系的性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
高中数学北师大版必修2第一章《6.2垂直关系的性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案【名师授课教案】1教学目标1. 掌握面面垂直的性质定理;2 能通过实验提出自己的猜想并能进行论证,灵活运用知识学会分析问题、解决问题。
2、能力目标:以学生的经验为基础,通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力;在与位置有关的推理、有条理的具体操作、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义。
在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念。
逐步培养抽象的逻辑思维,使学生学会提出问题,培养学生解决问题的能力。
通过变式练习培养学生的发散思维,培养学生的创新能力。
3、情感目标:进一步丰富数学学习的成功体验,激发对空间图形研究的兴趣,形成积极参与数学活动,主动与他人合作交流的意识。
2学情分析1.充分利用现实情景,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性。
利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源,生动活泼地展示图形,强调学生的动手操作实验和主动参与。
通过实验-猜想-论证-运用,培养学生分析问题解决问题的能力;通过丰富多彩的集体讨论、小组活动,以合作学习促自主探究。
2.教师是学生学习的组织者、促进者、合作者;在本节的备课和教学过程中,为学生的动手实践,自主探索与合作交流提供机会,搭建平台;鼓励学生提出自己的见解,学会提出问题,尊重学生的个人感受和独特见解;帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值,作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。
通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适,自我选择3重点难点重点:掌握面面垂直的性质定理;难点:定理的应用。
4教学过程。
垂直关系性质导学案
线面垂直与面面垂直性质学习目标: 1．掌握直线和平面垂直的性质定理2．掌握平面和平面垂直的性质定理学习重点：掌握线面垂直的性质定理与平面和平面垂直的性质定理学习难点：线面垂直的性质定理;及平面和平面垂直的性质定理的应用.一自主学习1、复习：①直线与平面垂直的判定定理(用符号语言表示)②平面与平面垂直的判定定理(用符号语言表示) 2新知：（一）线面垂直的性质定理符号语言:（二）平面和平面垂直的性质定理符号语言: 二、合作探究例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.例2：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，平面PAC ⊥平面ABC ，(1)判断BC 与平面PAC 的位置关系，并证明。
(2)判断平面PBC 与平面PAC 的位置关系。
三、总结提升※ 学习小结1、证明线面垂直的两种方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直2. “平行”与“垂直”关系的相互转化※ 知识拓展1、直线与平面垂直其它性质(1)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面的 一条直线.(2) 两条平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也 于这个平面(3) 垂直于同一条直线的两个平面 .即（设,a m 和l 是直线，,αβ是平面）(1)l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； (2)//l m m l αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ (3)//l l ααββ⊥⎫⎬⊥⎭2、两个平面垂直的其它性质：⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线 这个平面内；(2)如果两个平面互相垂直,则与其中一个平面平行的平面 于另一个平面.(3) 如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线 于另一个平面或在另一个平面内.A。
高中数学《垂直关系的性质》导学案
6.2垂直关系的性质[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题． 3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.【主干自填】1．直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直的性质定理3．平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点□08垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面□09垂直于另一个平面．(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线□10平行于另一个平面或在另一个平面内．【即时小测】1．思考下列问题(1)一般地，如果直线a⊥α，直线b⊥α，这时，a和b平行吗？你能给出证明吗？提示：a和b平行．证明如下：如图，假定a和b不平行．设a⊥α，b⊥α，垂足分别为A，B.过点B作a的平行线b′，由异面直线垂直的定义，b′与平面α内过点A的任意直线都垂直，也即有b′⊥α，b∩b′＝B，故直线b与b′确定一个平面，记为β，且记α∩β＝l，在平面β内，过点B有且仅有一条直线垂直于l，故b′与b重合，a与b平行．(2)一般地，平面α⊥β，α∩β＝MN，ABβ，AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？你能给出证明吗？提示：直线AB 和平面α垂直．证明如下：如图，在平面α内作直线BC ⊥MN ，则∠ABC 是二面角α－MN －β的平面角，因为平面α⊥平面β，所以∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，又已知AB ⊥MN ，从而AB ⊥α.2．△ABC 所在的平面为α，直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定 提示：C 因为l ⊥AB ，l ⊥AC ，AB α，ACα，且AB ∩AC ＝A ，所以l ⊥α，同理可证m ⊥α，所以l ∥m .3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为( ) ①⎭⎬⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎭⎬⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎬⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎬⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4提示：C ①②③正确，④中n 与平面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．4．在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在底面ABC 上的投影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．不能确定提示：A 由AC ⊥BC 1，AC ⊥AB ，得AC⊥平面ABC1，又AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在底面ABC上的投影H必在交线AB上．例1如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.[变式训练1]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1，B1C，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.例2已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E 为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明] (1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F，平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC.又P A平面P AC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥AP，DG、DF都在平面ABC内且交点为D，∴P A⊥平面ABC.(2)连接BE并延长，交PC于点H.∵E点是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB.∵P A∩PC＝P，∴AB⊥平面P AC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．类题通法面面垂直性质定理的转化面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．[变式训练2]如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.证明(1)连接PG，BD.由题知△P AD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD.∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面P AD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.例3如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.求证：(1)平面SBC⊥平面KBD；(2)平面SBC不垂直于平面SDC.[证明] (1)连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.(2)假设平面SBC⊥平面SDC.∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，又AB∥CD，∴BK⊥AB.∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.类题通法垂直性质的应用常见方法线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑判定定理．[变式训练3]如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明在平面P AB内，作AD⊥PB于D.∵平面P AB⊥平面PBC，且平面P AB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵P A⊥平面ABC，BC平面ABC，∴P A⊥BC，又P A∩AD＝D，∴BC⊥平面P AB.又AB平面P AB，∴BC⊥AB.易错点⊳对面面垂直的性质定理理解错误[典例] 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，BC∥平面P AD，∠PBC＝90°，∠PBA≠90°.求证：平面PBC⊥平面P AB.[错解] ∵∠PBC＝90°，平面P AB⊥平面ABCD，∴BC⊥平面P AB.∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面P AB.[错因分析] 面面垂直的性质定理应用错误，由平面P AB⊥平面ABCD得出线面垂直，必须是在其中一个平面内作交线(AB)的垂线，该垂线与另一个平面垂直．[正解]过点P作PH⊥AB于点H.∵平面P AB⊥平面ABCD，且平面P AB∩平面ABCD＝AB，∴PH⊥平面ABCD.∵BC平面ABCD，∴BC⊥PH.∵∠PBC＝90°，∴BC⊥PB.而∠PBA≠90°，于是点H与点B不重合，即PB∩PH＝P.∵PB，PH平面P AB，∴BC⊥平面P AB.∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面P AB.课堂小结1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归与转化思想，其转化关系如下：1．下列说法正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行答案C解析垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面，故A、B错误；由线面垂直的性质定理知C正确；D中这条直线可能在平面内，故D错误．故选C.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案A解析∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ，m⊥l；B错，有可能mβ或m与β相交；C错，有可能mβ或m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．设α－l－β是直二面角，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行答案C解析当a，b都与l平行时，则a∥b，所以A、D错；如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，因为α⊥β，所以a′⊥β，又bβ，∴a′⊥b，∴b⊥α，而lα，∴b⊥l，与b和l不垂直矛盾，所以B错．4．如图在三棱锥P－ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________.答案5解析∵侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，∴P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，∴PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.时间：25分钟1．在空间中，下列说法正确的是()①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．A．仅②正确B．仅①④正确C．仅①正确D．四种说法都正确答案B解析②中两直线可能相交或异面，③中两直线可能相交、平行或异面．故选B.2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案C解析如果α∩β＝b，则a⊥β.如果b不是平面α和β的交线，则a不一定垂直于β.如果α∩β＝a，则b⊥α，如果a不是平面α与β的交线，则b不一定垂直于α.故选C.3．在下列关于直线l、m与平面α、β的结论中，正确的结论是()A．若lβ且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α答案B解析A中l未必和交线垂直，∴l⊥α不成立；C中l可在平面α内，也可与平面α平行，故l∥α错误；D中l可在平面α内，故l∥α错误．故选B.4．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1，下列判断正确的是()A．A1C⊥平面AB1D1B．A1C⊥平面AB1C1DC．A1B⊥平面AB1D1D．A1B⊥AD1答案A解析∵BD∥B1D1，而BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，又AA1⊥B1D1，AA1∩AC＝A，∴B1D1⊥平面A1AC，∵A1C平面A1AC，∴B1D1⊥A1C，同理AB1⊥A1C，又AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.5．已知平面α、β、γ，直线l、m满足：l⊥m，α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，那么在①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β中，可以由上述已知推出的有() A．①和②B．②和③C．①和③D．②答案D解析一方面，由题意得所以l⊥α，故②是正确的．另一方面，如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，把AA1记作l，把平面ABB1A1记作β，把平面ACC1A1记作γ，把平面A1B1C1记作α，把直线A1C1记作m，就可以否定①与③，故选D.6．如图，P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AC与BD交于点O，下列结论中不一定正确的是()A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PO⊥BD D．P A⊥BD答案C解析易证BC⊥平面PBA，CD⊥平面PDA，∴BC⊥PB，CD⊥PD.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，故A，B，D正确，故选C.7．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案对角线AC与BD互相垂直(答案不唯一)解析当对角线AC与BD互相垂直时，由题意知A1A⊥BD，又A1A∩AC＝A，所以BD⊥平面A1AC.又B1D1∥BD，所以B1D1⊥平面A1AC.因为A1C平面A1AC，所以B1D1⊥A1C.8．已知a，b是互不垂直的异面直线，α，β分别是过a，b的平面，则下列四种情况：①a∥β；②a⊥β；③α∥β；④α⊥β，其中可能出现的情况有________(填序号)．答案①③④解析若a⊥β，则有a⊥b，与a，b互不垂直矛盾，所以②不可能出现，①③④均可能出现．9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D异于点C)，且AD⊥DE，求证：平面ADE⊥平面BCC1B1.证明∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，∴CC1⊥AD.又AD⊥DE，CC1平面BCC1B1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，∴AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1.10．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2AB.若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.证明∵P A＝2AB，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴P A＝CA.又F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.又AF⊥PC，AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.。
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质课程设计 (2)
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质课程设计课程概述本课程主要讲解垂直关系的性质，包括垂直线段的性质、直角三角形的性质以及垂线与平行线的性质。
通过本课程的学习，能够使学生掌握垂直关系的特点、性质以及应用，从而提升学生的数学素养。
教学目标1.了解垂直线段的定义和性质，掌握垂直线段的判定方法。
2.了解直角三角形的定义和性质，掌握直角三角形的判定方法。
3.了解垂线与平行线的性质，掌握垂线与平行线的判定方法。
4.掌握在几何图形中应用垂直关系的解题方法。
教学重难点1.垂直线段的判定方法。
2.直角三角形的性质。
3.垂线与平行线的判定方法。
4.在几何图形中应用垂直关系的解题方法。
教学内容及方法教学内容第一部分：垂直线段的性质1.垂直线段的定义和性质。
2.垂直线段的判定方法。
–垂直线段的两条直线段相乘得到的积为零。
–两条直线段的斜率之积为 -1。
3.垂直线段的应用题目。
第二部分：直角三角形的性质1.直角三角形的定义和性质。
2.直角三角形的判定方法。
–勾股定理。
–特殊直角三角形的认识。
3.直角三角形的应用题目。
第三部分：垂线与平行线的性质1.垂线与平行线的定义和性质。
2.垂线与平行线的判定方法。
–垂直平分线的性质。
–平行线的性质。
3.垂线与平行线的应用题目。
第四部分：垂直关系的解题方法1.利用垂直线段的性质解题。
2.利用直角三角形的性质解题。
3.利用垂线与平行线的性质解题。
教学方法本课程采用讲授、示范、课堂练习相结合的教学方法，通过讲解与实践相结合，使学生在课堂上学以致用，更好地掌握课程内容。
教学评价1.课堂参与度，包括主动回答问题、互动交流等方面。
2.课堂测试成绩，包括课堂练习、小测验等方面。
3.作业完成情况，包括课后习题、课程设计任务等方面。
4.期末考试成绩，测试学生对整个课程的掌握情况。
总结本课程主要通过讲解与实践相结合的方式，使学生更好地掌握垂直关系的性质，掌握其应用方法，从而提高学生的数学水平。
【全优设计】高中数学 第一章6.2 垂直关系的性质目标导学 北师大版必修2
6.2 垂直关系的性质预习导引1．(1)垂直s预习交流1 提示：这四个命题都是正确的，因此，它们可以分别作为：(1)线面垂直、(2)线面垂直、(3)面面平行、(4)线线垂直的证明方法．预习交流2 提示：不一定．只有垂直于两平面交线的直线才垂直于另一个平面．2．(1)垂直垂直预习交流3 提示：不对，当aα时，a与β垂直．预习交流4 提示：交线垂直于第三个平面．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：要证EF∥BD1，只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可，由条件可知这里当然选择平面AB1C.证明：如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理，BD1⊥B1C.∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.迁移与应用证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，∴ON ∥12CD ∥12AB .∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形．∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ， ∴AM ＝12AB . ∴M 是AB 的中点．活动与探究2 思路分析：解答本题的关键是证明EA ⊥AB ，为此应该在平面四边形ABEF中，利用AF ∥BE ，AF ⊥EF ，AF ＝EF ＝12BE 等条件计算AB ，AE ，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明．证明：设AF ＝EF ＝a ，则BE ＝2a .过A 作AM ⊥BE 于M .∵AF ∥BE ，∴AM ⊥AF .又∵AF ⊥EF ，∴AM ∥EF ，∴四边形AMEF 是正方形．∴AM ＝a ，EM ＝MB ＝a ，∴AE ＝AB ＝2a ，∴AE 2＋AB 2＝EB 2，∴AE ⊥AB .又∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， AE 平面ABEF ，∴EA ⊥平面ABCD .迁移与应用 证明：(1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF 平面PCD ，PD 平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD .(2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD . 又因为BF 平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .活动与探究3 (1)证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 边的中点，∴BG ⊥AD . 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BG ⊥平面PAD .(2)证明：连接PG ，则PG ⊥AD ，由(1)得BG ⊥AD ，又∵PG ∩BG =G ，BG 平面PBG ， PG 平面PBG ，∴AD ⊥平面PBG .∵PB 平面PBG ，∴AD ⊥PB .(3)解：当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下：取PC 的中点F ，连接DE ，EF ，DF ，则由平面几何知识，在△PBC 中，EF ∥PB ，在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而EF 平面DEF ，ED 平面DEF ，EF ∩DE =E ，PB 平面PGB ，GB 平面PGB ，PB ∩GB =B ，∴平面DEF ∥平面PGB .又∵侧面PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，∴PG ⊥AD .又∵侧面PAD 所在平面垂直于底面ABCD ，∴PG ⊥平面ABCD .而PG 平面PGB ，∴平面PGB ⊥平面ABCD .故平面DEF ⊥平面ABCD .迁移与应用 证明：(1)∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)延长B 1A 1与BM 的延长线交于点N ，连接C 1N .∵AM =MA 1，∴MA 112BB 1， ∴NA 1＝A 1B 1.∵A 1B 1＝A 1C 1，∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1，∴NC 1⊥C 1B 1.∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ，∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，即截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .当堂检测1．D 2．A 3．D4．相交、平行或异面5．证明：取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，如图．∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点，∴EN ＝12CD ＝12AB ＝AM ，且EN ∥CD ∥AB . ∴四边形AMNE 是平行四边形．∴MN ∥AE .∵在等腰直角三角形PAD 中，AE 是斜边上的中线，∴AE ⊥PD . 又CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，∴CD ⊥平面PAD .∴CD ⊥AE .又CD ∩PD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD .又MN ∥AE ，∴MN ⊥平面PCD .又MN 平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD .。
6.2.垂直关系-湘教版必修3教案
6.2.垂直关系-湘教版必修3教案
一、教学目标
1.了解垂直两线段的性质；
2.掌握垂直线段之间长度的计算方法；
3.能够运用垂直线段的性质来解决几何问题。
二、教学重难点
1.垂直两线段的性质，特别是其中与正交的关系；
2.垂直线段之间长度的计算方法。
三、教学过程
第一步：引入
通过几个问题的引入，引出垂直线段的概念和性质： 1. 什么是垂直？ 2. 如何判断两线段是否垂直？ 3. 垂直线段之间有哪些性质？
第二步：讲解垂直线段的性质
1.垂直线段的夹角是直角；
2.垂直线段之间长度的计算方法，即勾股定理。
第三步：解决几何问题
在板书上列出几个练习题，教师通过讲解和引导，帮助学生运用垂直线段的性质，解决这些几何问题。
第四步：练习与巩固
学生自主完成课本上的相关习题，并进行相互检查和答疑。
四、教学方法和手段
采用问题引入、讲解、示范、引导、练习等多种教学方法和手段，旨在激发学生的兴趣，增强他们的自主学习能力。
五、教学评价方式
通过提问、课堂练习、小测验等方式对学生的掌握情况进行评价，并及时发现和纠正学生的错误。
六、教学后记
本节课的内容难度较大，需要教师耐心讲解和引导，帮助学生理解和掌握垂直线段的性质和计算方法。
同时，教师应重视练习和巩固，让学生能够熟练地应用所学知识解决几何问题。
6.2垂直关系的性质-北师大版必修2教案
6.2 垂直关系的性质-北师大版必修2教案一、课程目标本节课的主要目标是学习垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理，理解垂直关系的性质，掌握相关定理的证明以及应用。
二、教学重难点1.领会垂线两定理和平行四边形性质的证明过程2.掌握垂心及其性质，应用定理解决实际问题3.熟练运用相关公式和算法解决相关数学题目三、教学内容及教学时长1. 垂线两定理教学内容•垂线两定理的内容和定义•垂线两定理的证明和推论•实例探究教学时长2学时教学步骤1.引入垂线两定理的背景以及应用价值（5分钟）2.教授垂线两定理的定义，并分别讲解两个定理的证明过程（30分钟）3.指导学生通过实例练习巩固掌握（50分钟）2. 平行四边形性质教学内容•平行四边形定义及基本性质•平行四边形四小定理•实例分析教学时长2 学时教学步骤1.引入平行四边形的知识点，让学生理解其定义以及基本性质（5分钟）2.介绍平行四边形的四小定理，并带领学生掌握证明方法（30分钟）3.实例分析，让学生通过练习提升应用能力（75分钟）3. 垂心定理教学内容•垂心的定义及其性质•垂心定理的运用•实例探究教学时长3 学时教学步骤1.以实例为引入，让学生直观理解垂心的概念和性质（15分钟）2.教授垂心定理的证明过程，并指导学生运用算法化解实际问题（80分钟）3.综合讲解相关公式，让学生通过反复练习掌握技巧技巧（85分钟）四、教学评价本节课的教学评价主要考核学生对垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理及其应用的掌握情况，评价途径包括日常课堂练习、作业表现和期中期末评测。
五、教学建议本节课主要是将具体问题虚化为抽象问题，激发学生解决抽象问题的思维能力，因此在教学中应注重概念的剖析和证明方法的灵活运用，尤其要关注重整理概念，突出方法，并利用实例进行讲解，提高学生的应用实践能力和解题能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§6.2垂直关系的性质 学案
一、读一读（5分钟）
学习目标:1.掌握直线和平面垂直,平面与平面垂直的性质定理；能运用定理解决一些简单问题；2.体会线线垂直、线面垂直、面面垂直相互转化的数学思想. 学习重点：垂直关系的判定及性质的应用。
学习难点：线面垂直在线线垂直与面面垂直关系间的转化 二、试一试（10分钟）【自学导引】1．知识回顾：
(1)直线与平面垂直的定义是什么?直线与平面垂直的判定定理的内容是什么?
(2)平面与平面垂直的定义是什么? 平面与平面垂直垂直的判定定理的内容是什么?
2. 探究点一 直线与平面垂直的性质
问题1观察下图，两个长方体中的直线a ，b 与平面α有怎样的关系？由此你能得出直线a ，b 有什么关系吗？
问题2一般地，如果直线a ⊥α，直线b ⊥α，这时，a 和b 平行吗？你能给出证明吗？
小结:定理6.3：如果两条直线同垂直于 ，那么这两条直线 ． 我们通常把这个定理叫作 . 探究点二 平面与平面垂直的性质
问题1观察下面两个图，两个长方体中的平面α⊥平面β，α内的直线a 垂直于α与β的交线b ，
直线a 与平面β有怎样的关系？由此你能猜想出怎样的结
论？
得出猜想出：若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 问题2一般地，平面α⊥β，α∩β＝MN ，AB β，AB ⊥MN 于点B ，这时，直线AB 和平面α垂直
吗？你能给出证明吗？
小结：定理6.4：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．我们通常把这个定理叫作 . 三、讲一讲（15分钟）
例1如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，BD ，BC ′，DC ′分别为三条对角线，A ′C 为一条体对角线
求证：（1）A ′C ⊥BD ； （2）A ′C ⊥平面BDC ′.
例2如右图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，MN 在平面BCC ′B ′内，MN ⊥BC 于点M.判断MN 与AB 的位置关系，并说明理由．
四、练一练（5分钟） 课本第41页练习1. 五、记一记（5分钟）
1.直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判定平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．
2.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
3.证明线面垂直，除利用定义和判定定理外，另外一种重要的方法是利用面面垂直的性质定理证明，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线． 4．判定线面垂直的方法主要有以下五种：
①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β. 六、课后作业：课本第41页练习2、3.。