北师大版数学高二选修2学案 《抛物线的几何性质》
3.2.2《抛物线的几何性质》导学案
【学习目标】
1.抛物线的性质及其灵活运用；
2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用.
【导入新课】
复习导入
1.抛物线的定义；
2.抛物线的方程的推导.
新授课阶段
1.抛物线的几何性质
(1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．
(3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
具体归纳如下表：
特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它渐近线;
2.抛物线只有对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有 顶点、 焦点、 准线;
4.抛物线的离心率是确定的且为1.
例1. 已知抛物线关于x 轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, -), 求它的标准方程.
解：
例2 斜率为1的直线l 经过抛物线2
4y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.
解：
课堂小结
（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义.
（二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.
（三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.
作业
见同步练习部分
拓展提升
1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )
A ．1716
B ．1516
C ．78
D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |
＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ）
A ．y 2=8x
B ．y 2=－8x
C ．y 2=4x
D ．y 2=－4x
3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA → 所成的比为2，
则点M 的轨迹方程是（ ）
A ．y=6x 2―31
B ．x=6y 2－31
C ．y=3x 2+3
1 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=
2
3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 .
5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22
+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列??
????????+?)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程.
7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.
8．在直角坐标系中，已知点???
??0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切.
⑴ 点A 的轨迹C 的方程；
⑵ PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系. 21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上.
参考答案
新授课阶段
特征 没有 一条
一个 、一个 、一条
例1.
例2
解：抛物线的焦点 F(1 , 0),
1l y x =-直线的方程为：
2216104y x x x y x =-??-+=?=? 1212322322 222222x x y y ??=+=-?????=+=-????
或221212AB =(x -x )+(y -y )=8
拓展提升
1．B 【解析】用抛物线的定义. 2．B 【解析】坐标代入.
3．B 【解析】用坐标转移法.
4．12【解析】有两个顶点关于x 轴对称，进而得到直线的倾斜角是
6
π和56π. 5．)1(+-n n 【解析】求出数列的通项公式.
6．y 2=12x 或y 2=－4x 【解析】设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式. 7．M （52452,4）【解析】数形结合得到当且仅当AB 过焦点时M 到y 轴距离最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB 的斜率，并得到AB 的坐标.
8． 解：(1)设A （x,y ），则2
2p x 2y )2p x (2
2+=+-, 化简得：y 2=2px
（2）由对称性知，PB 和QB 与曲线C 的位置关系是一致的，由题设，不妨P （p ,2
p ） 而1)2
p (2p 0p k PB =---= ∴直线PB 的方程为y=x+2p ,代入y 2=2px ，消去y 得到关于x 的一元二次方程 x 2+px+
4
p 2
=0,?=0 ∴直线PB 和QB 均与抛物线相切. （3）由题意设)t ,p 2t (M 21，)t ,p 2t (M 2
2-， 则直线FM 1：)2p x (2p p 2t t
y 2--=； 直线BM 2：)2p x (2
p p 2t t y 2++-= 联立方程组解得M 点坐标为23
t
2p (，)t p 2-， 经检验，)2(2)(23
22
t
p p t p =- ，∴点M 在曲线C 上.