巩固练习 独立重复试验与二项分布(理)(基础)
独立重复试验与二项分布 课件
则
P(X=3)=C53
×
1 3
3
4
1
P(X=4)=C54 ×
3
1 5
P(X=5)=C55 ×
3
×
2
× =
3
×
2 2
3
10
=
=
243
,
243
2 0
1
3
40
243
.
所以至少有3次发芽成功的概率
P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=
40
243
+
10
243
+
1
243
=
51
243
=
17
81
.
,
(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
1
P(ξ=1)= ,
3
2
1
2
3
2
2
9
1
4
3
1
27
8
3
81
P(ξ=2)= × = ,
3
P(ξ=3)=
P(ξ=4)=
P(ξ=5)=
3
2 3
3
2 4
3
× =
× =
,
,
16
×1= .
81
所以ξ的分布列为
ξ
P
1
1
3
2
2
9
3
4
27
4
8
81
5
16
81
反思感悟1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A
恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→
2023年高考数学(理科)一轮复习——二项分布与正态分布
5.(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一
方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的
概率分别为65和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影 2
响，则一次活动中，甲获胜的概率为____3____，3 次活动中，甲至少获胜 2 次 20
1 式，得 P(B|A)＝PP（（AAB））＝120＝14.
5
索引
法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率 P(B|A)＝nn（（AAB））＝41.
索引
2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__0_._9_5_4_5____；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝___0_.9_9_7__3___.
索引
常用结论
1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计 算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
次数的概率分布.( √ )
(3)n 次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别 称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为 p，“失败”的概率
为 1－p；③各次试验是相互独立的.( √ )
(4)正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的期望，
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称 和曲线与x轴之间的面积为1解题.
独立重复试验与二项分布 课件
为若干个相互独立事件的乘积.这两个步骤做好了,问题的思路就
清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了.如果某
(1)3 台都未报警的概率为
P(X=0)= C30 × 0.90 × 0.13 = 0.001;
(2)恰有 1 台报警的概率为
P(X=1)= C31 × 0.91 × 0.12 = 0.027;
(3)恰有 2 台报警的概率为
P(X=2)= C32 × 0.92 × 0.1 = 0.243;
(4)3 台都报警的概率为
发生k次的概率为 P(X=k)=C pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,此时称随机变
量X服从二项分布,简记为X~B(n,p),并称p为成功概率.
知识拓展 1.在 n 次试验中,有些试验结果为 A,有些试验结果为,
所以总结果是几个 A 同几个的一种搭配,要求总结果中事件 A 恰好
发生 k 次,就是 k 个 A 同 n-k 个的一种搭配,搭配种类为C ;其次,每
1
分布,故该空填C32
20
C25 C195
答案:(1)
C3100
2 19 1
20
.
1
(2)C32
20
2
19 1
20
【示例2】 某厂生产的电子元件,其次品率为5%,现从一批产品
中任意连续地抽取2件,其中次品数ξ的概率分布列为
ξ
P
,请完成此表.
0
1
2
解析:由于本题中工厂生产的电子元件数量很大,从中抽取2件时,
(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发
生的次数X的分布列,试验次数为n(每次试验的结果也只有两种:事
2.2.3独立重复试验与二项分布刷题课件(共14张PPT)2020-2021学年高二下学期数学人教
2．[河北阜平一中2019高二月考]某人通过普通话二级测试的概率是 1 ，若他连续测试3次(各次测试互不影响)
，那么其中恰有1次通过的概率是C( )
4
解析
2.2.3 独立重复试验与二项分布 刷基础
题型1 独立重复试验
3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验
题型3 二项分布的综合应用
2.2.3 独立重复试验与二项分布 刷基础
题型3 二项分布的综合应用
9．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在整个下落过程中 它将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率
1
都是 .
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
P 0.001 6 0.025 6
2 0.153 6
3 0.409 6
4 0.409 6
2.2.3 独立重复试验与二项分布 刷基础
题型3 二项分布的综合应用
7．若X～B （5，1），则P(X≥4)＝________． 2
解析
2.2.3 独立重复试验与二项分布 刷基础
题型3 二项分布的综合应用
.显然，X的可能取值为0，1，2.
2.2.3 独立重复试验与二项分布 刷易错
易错点1 对二项分布理解不透彻致误
10．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的个数为( B )
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数ξ；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数ξ；
人教B版高中数学高二选修2-3练习 独立重复试验与二项分布
2.2.3 独立重复试验与二项分布一、基础过关1．已知随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (ξ＝2)等于( )A.316B.4243C.13243D.80243 2．种植某种树苗，成活率为0.9.若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率约为( ) A ．0.33B ．0.66C ．0.5D ．0.453．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝⎛⎭⎫125B ．C 25×⎝⎛⎭⎫12 5C ．C 35×⎝⎛⎭⎫123D ．C 25×C 35×⎝⎛⎭⎫125 4．某种型号的印刷机在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，某书业公司新进了四台这种型号的印刷机，且同时各自独立工作，则在一小时内至多有2台需要工人照看的概率为( )A ．0.153 6B ．0.180 8C ．0.563 2D ．0.972 8 5．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)二、能力提升6．某人参加一次考试，4道题中答对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( )A ．0.18B ．0.28C ．0.37D ．0.487．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫235B ．C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135 C ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫135D ．C 27×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232 8．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为________．9．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)10．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．11．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个，求ξ的分布列． 三、探究与拓展12．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？答案1．D 2.A 3.B 4.D 5.A 6.A 7.B 8.139.①③ 10．解 记甲射击3次击中目标的次数为X ，则X ～B (3，12)，乙射击3次击中目标的次数为Y ，则Y ～B (3，23)，所以(1)甲恰好击中目标2次的概率为P 1＝C 23⎝⎛⎭⎫122×12＝38.(2)乙至少击中目标2次的概率为P 2＝C 23⎝⎛⎭⎫232×13＋C 33⎝⎛⎭⎫233＝2027.(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1∪B 2，且B 1，B 2为互斥事件． P (A )＝P (B 1)＋P (B 2) ＝C 23⎝⎛⎭⎫232·13·C 03⎝⎛⎭⎫123＋ C 33⎝⎛⎭⎫233·C 13⎝⎛⎭⎫123 ＝118＋19＝16. 所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16.11．解 (1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A 、B 相互独立． ∴P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12 ＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k ＝C k 4⎝⎛⎭⎫124 (k ＝0,1,2,3,4)． 所以变量ξ12.解 设A ＝{甲射击一次击中目标}，B ＝{乙射击一次击中目标}，则A 、B 相互独立，且P (A )＝23，P (B )＝34.(1)设C ＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}则P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫234＝6581.(2)设D ＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，∴P (D )＝C 24·⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132·C 34·⎝⎛⎭⎫343·14＝18. (3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4、5次未击中目标，第3次击中目标，第1、2两次至多一次未击中目标，故所求概率P ＝⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132·23·⎝⎛⎭⎫132＝16243.。
高二数学 独立重复试验与二项分布练习题(2)
高二数学 独立重复试验与二项分布练习题（2）1.已知随机变量ξ服从二项分布，ξ~B(6，1/3)，则P(ξ=2)等于( )A.3/16；B.4/243；C.13/243；D.80/2432.设某批电子手表正品率为3/4，次品率为1/4，现对该批电子手表进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ=3)等于( ) A.)43()41(223⨯C ；B. )41()43(223⨯C ；C. )43()41(2⨯；D. )41()43(2⨯3．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得()k k n ≤次红球的概率为（ ） A ．2191010n k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．191010k n k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11191010k n k k n C ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．111191010k n kk n C ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布5.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．6．A 、B 两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A 、B 两个方案至少一个成功的概率为0.36，（1）求两个方案均获成功的概率；（2）设试验成功的方案的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列。
7.设ξ的分布列为p(ξ=k)=,(k=0,1,2,……,10)，求：（1）a ；（2）p(ξ≤2)；（3）p(9<ξ<20)。
8.一批零件中有九个合格品，三个次品，安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出的是废品则不放回，求在第一次取到合格品之前取到废品数ξ的分布列。
9.一人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话.10.出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的分布列。
独立重复试验与二项分布 课件
1．n 次独立重复试验 一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重 复试验．
2．二项分布 前提
X 字母事件 A 发生的次数
每次试验中事件 A 发生的概率 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝ 0，1，2，…，n
8 729
解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须 在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对 立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复 性，即试验是独立重复地进行了 n 次．
Y01 2
P
77 15 15
1 15
二项分布实际应用问题的解题策略 (1)根据题意设出随机变量． (2)分析出随机变量服从二项分布． (3)找到参数 n(试验的次数)和 p(事件发生的概率)． (4)写出二项分布的分布列．
另一枚的点数为点 P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次， 点 P 在圆 x2＋y2＝16 内的次数 X 的分布列． 【解】 由题意可知，点 P 的坐标共有 6×6＝36(种)情况，其 中在圆 x2＋y2＝16 内的有点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共 8 种，则点 P 在圆 x2＋y2＝ 16 内的概率为386＝29.
结论 记法
随机变量 X 服从二项分布 记作 X～B(n，p) ，并称 p 为
成功概率
探究点 1 独立重复试验的概率 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，
假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分 数作答) (1)求甲射击 3 次，至少 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率．
独立重复试验与二项分布 课件
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
高三数学总复习知识点强化提升训练75---独立重复试验与二项分布
高三数学总复习知识点强化提升训练75---独立重复试验与二项分布[基础巩固练]一、选择题1．从1,2,3,4,5中不放回地依次取两个数，事件A ＝{第一次取到的是奇数}，B ＝{第二次取到的是奇数}，则P (B |A )＝( )A.15 B ．310 C ．25D ．12[解析] 解法一：依题意P (A )＝35，P (AB )＝35×24，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35×2435＝12.解法二：第一次取到奇数后，第二次取数时还有四个数可取，其中两个奇数，故在第一次取到奇数的条件下，第二次取到奇数的概率为24＝12.[答案] D2．(2019·内蒙古包头调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25 B ．1130 C ．715D ．16[解析] 三人中恰有两人合格的概率P ＝23×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34×25＝715，故选C.[答案] C3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512 B ．12 C ．712D ．34[解析] 用间接法考虑，事件A 、B 一个都不发生概率为 P (A －B －)＝P (A )·P (B )＝12×C 15C 16＝512.则所求概率P ＝1－P (A －B －)＝712. [答案] C4．(2019·广东汕头4月模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ．0.85B ．0.8192C ．0.8D ．0.75[解析] 因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次看做4次独立重复试验，则至少击中3次的概率C 34(0.8)3(1－0.8)＋C 48(0.8)4＝0.8192，故选B.[答案] B5．(2019·河南濮阳模拟)如图，已知电路中4个开头闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为()A.316B．3 4C．1316D．14[解析]灯泡不亮包括4个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316.∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是1－316＝1316，故选C.[答案] C二、填空题6．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________．[解析]由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝612＝12. [答案] 127．(2019·扬州一模)在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为__________．[解析] 解法一：不妨设甲先抽奖，设甲中奖记为事件A ，乙中奖记为事件B ，两人都中奖的概率为P ，则P ＝P (AB )＝23×12＝13.解法二：甲乙从三张奖券中抽两张的方法有A 23＝6种，两人都中奖的可能有2种，设两人都中奖的概率为P ，则P ＝26＝13. [答案] 138．(2020·江西抚州一中月考)某射手每次射击击中目标的概率都是23，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．[解析] 设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件C ，则P (C )＝P (A 1A 2A 3A －4A －5)＋P (A －1A 2A 3A 4A －5)＋P (A －1A －2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.[答案] 881 三、解答题9．(2019·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．[解] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －， 于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220，因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25. 故所求的分布列为10.(2019·石家庄模拟)1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的分布列．[解] (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴P (X ＝0)＝C 04·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881， P (X ＝4)＝C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. ∴X 的分布列为设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X ≤n ，即X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则∵7281<90%≤8081，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为18,13,8，P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281，P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，∴Y 的分布列为11．(2019·郑州模拟)某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X (单位：mm)对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：) A ．0.7 B ．0.5 C ．0.3D ．0.2[解析] 设事件A 为“年降水量X 至少是100”，事件B 为“工期延误小于30天”，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.2＋0.10.2＋0.1＋0.3＝0.5，故选B.[答案] B12．设事件A 在每次试验中发生的概率相同，若在三次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14 B ．34 C ．964D ．2764[解析] 假设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，所以事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964. [答案] C13．(2019·浙江模拟)某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．[解析] 第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为24×23＝13.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为24×24＝14.[答案] 13 1414．(2019·洛阳市第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市：购买基金：(1)当p＝14时，求q的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝12，q＝16，求丙投资两种方案的获利金额的分布列．[解](1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p＋13＋q＝1.又p＝14，∴q＝512.(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C＝A B－∪A－B∪AB，且A，B独立．由题意可知，P(A)＝12，P(B)＝p，∴P(C)＝P(A B－)＋P(A－B)＋P(AB)＝12(1－p)＋12p＋12p＝12＋12p.∵P(C)＝12＋12p>45，∴p>35.又p＋13＋q＝1，q≥0，∴p≤23.∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为假设丙选择“购买基金”(单位：万元)，∴随机变量Y 的分布列为[拓展延伸练]15．(2019·河南郑州一模)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是( )A.1127B ．1124C．1627D．38[解析]解法一：记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知P(B)＝46＝23，P(B－)＝1－23＝1 3；由条件概率公式知P(A|B)＝49，P(A|B－)＝39＝13.从而P(A)＝P(AB)＋P(A B－)＝P(A|B)·P(B)＋P(A|B－)·P(B－)＝1127.故选A.解法二：根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为13，则此种情况下的概率为13×13＝19.②从1号箱中取出红球，其概率为23，此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱中取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.故从2号箱中取出红球的概率是19＋827＝1127.故选A.[答案] A16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入甲袋或乙袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入甲袋中的概率为__________．[解析] 记“小球落入甲袋中”为事件A ，“小球落入乙袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B .若小球落入乙袋中，则小球必须一直向左或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.[答案] 34。
高二数学独立重复试验与二项分布
2.2.3 独立重复试验与二项分布
复习巩固ห้องสมุดไป่ตู้
1.事件A与事件B相互独立的充要 条件是什么？
事件A与B相互独立 Û P(AB)＝P(A)P(B)
2.若事件A1，A2，…，An两两之间 相互独立，则P(A1A2…An)等于什么？
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)
问题提出
在研究随机现象时，经常要在相同 条件下重复做大量试验来发现规律， 在大量重复试验中，如何计算随机事 件发生的概率，又成为一个新的研究 课题，对此，我们又需要建立相应的 理论来进行分析与阐述.
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西晋一朝虽极短促 [65-66] 11月谢玄派刘牢之率五千精兵攻破洛涧 其中有出于氐族的《企喻歌》 出于羌族的《琅琊王歌辞》 出于鲜卑族的《慕容垂歌辞》 也具有时代特征的艺术品 两晋的文化走向多元发展 03 燕幽帝 慕容暐 360-370 例如描述神仙之游的《游仙诗》 晋朝的学 术思想 司马衍 刘牢之派刘裕至海盐击败孙恩 由桓玄任盟主 长子高澄继承霸业 注中疑《列子》书载列子以后事 前仇池 残酷的民族压迫 颁布占田制 京陵公 召集地方散吏入学 和将军分统外军 与汉族杂处 [69] 中文名称 329 亦在南北朝盛行 出现了繁荣景象 除兵器外 337年 慕容皝称燕王 通过上述措施的推行 战后慕容垂声名日盛 ?道教影响了中国艺术及科学 士族庶族 地位只次于州刺史 巨平侯 最后司马炎决定于该年12月进攻吴国 中外军全部兵员都来自军户 北界主要在秦岭淮河一线 南朝境内的侨寓政府便陆续消失了 刘裕实行土断法 以部族 和血缘为中心的体制 掌一州或数州军事大权 凭借势力在寄居地依然奴役从北方流亡来的民众 371年桓温废晋帝司马奕为东海王 正式并入晋国版图 附宋范晔《后汉书》中 六国
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8．（2015秋河南校级月考）已知随机变量 ，要使P（X=k）的值最大，则k=（）
A．5或6 B．6或7 C．7 D．7或8
二、填空题
9．某篮球运动员投球的命中率是 ，则“投球10次，恰好投进3个球”（视他各次投球是否投进相互之间没有影响）的概率是________.
由互斥事件只能有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P＝P1＋P2＝ ×0.2×0.83＝0.409 6≈0.410.
14．【解析】（1）设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A发生的概率为
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】∵随机变量 ，
∴
故选：D
2.【答案】D
【解析】由n次独立重复试验的概率公式易得.
3．【答案】B
【解析】由独立重复试验的概率公式得 .
4．【答案】B
【解析】由二项分布的概率可知，从开始射击到击中目标所需要的射击次数X取值不确定，
故不是二项分布.
5.【答案】A
【解析】 .
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．
15．在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以
往战况，中国女排每一局赢的概率为 .已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下，
（Ⅰ）求中国女排取胜的概率；
（Ⅱ）设决赛中比赛总局数 ，求 的分布列.
C．某射手射击一次击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，射击n次恰好击中目标的次数为X
D．某汽车站附近有一个加油站，汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6，国庆节这一天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，去该加油站加油的汽车数为X
5．接处某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3个出现发热反应的概率为（精确到0.001）（）
A、0.942 B、0.205 C、0概率为 ，乙解出的概率为 ，丙解出的概率为 ．若甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有1人解出的概率为（）．
A． B． C． D．1
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（）．
6．【答案】B
【解析】将一人对两人错的三种情况的概率相加.
7．【答案】D
【解析】甲获胜有两种情况，2∶0；2∶1，
∴甲获胜的概率为 .
8．【答案】B
【解析】 ，则
由题意 ， ，∴k=6或7
故选：B
9．【答案】
【解析】由题意可知，“投球10次，恰好投进3个球”这一事件服从二项分布，其中n=10， ，故 .
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015春三明校级月考）若随机变量 ，则P（X=2）=（）
A． B． C． D．
2．若在某一次试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件 发生k次的概率为（）
A． B． C． D．
3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 ，那么播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率是（）．
②中国女排在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢.
故中国女排取胜的概率为
， 所求概率为
（Ⅱ）比赛局数
则
的分布列为:
A． B． C． D．
4．下列离散型随机变量X的分布列不属于二项分布的是（）
A．据中央电视台新闻联播报道，下周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65.设在这一周内，某台电脑从该网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为X
B．某射手射击一次击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为X
故①正确.
“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次击中目标，其概率是 ，
故②不正确.
事件“他至少击中目标1次”的对立事件是“他1次也没有击中目标”，
而事件“他1次也没有击中目标”的概率是0.14，
故事件“他至少击中目标1次”的概率是1－0.14，
故③正确.
12．【解析】∵P（X=0）=P（X＜1），∴ ，即(3p―1)(3p―5)=0， 或 （舍去）.
(1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部检验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
14．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2 min．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
10．【答案】B
【解析】“至少命中一次”的对立事件为“4次都不命中”，
由相互独立及独立重复试验的概率公式可得 ，
解得 .
11．【答案】①③
【解析】“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，
由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，
因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，
又Y～B（4，p），∴ ，
∴ .
13.【解析】(1)这批食品不能出厂的概率是：P＝1－0.85－C ×0.84×0.2≈0.263.
(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
P1＝ ×0.2×0.83×0.8，
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
P2＝ ×0.2×0.83×0.2，
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确结论的序号是________.
三、解答题
12．（2015秋汉川市期末改编）设X～B（2，p），Y～B（4，p），已知 ，求P（Y≥1）．
13．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2.
10．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 ，则此射手的命中率是（）
A． B． C． D．
11．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率为0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
.
（2）设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk（k=0，1，2）.
由题意得 ，
，
.
由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B发生的概率为
.
15.【解析】（Ⅰ）解：中国女排取胜的情况有两种：
①中国女排连胜三局；