22.1.4 二次函数的图象与性质(第二课时)课件
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》(第2课时)课件
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y ＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得aa＋－bb＋＋cc＝＝06，，解得ab＝＝2－，3，
c＝1，
c＝1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式 4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式 为( D ) A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝29(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求 这条抛物线的解析式．
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入 得3＝a(0－4)2－1，解得a＝14，∴y＝14(x－4)2－1 知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式 6．如图，抛物线的函数表达式是( D )
A．y＝12x2－x＋4 B．y＝－12x2－x＋4 C．y＝12x2＋x＋4 D．y＝－12x2＋x＋4
7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1， 0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析 式．
解：由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2) 代入得－2＝－2a，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能 是( D )
A．y＝x2－x－2 B．y＝－12x2－12x＋2 C．y＝－12x2－12x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教版九年级上册数学作业课件 第二十二章 二次函数 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
14．如果抛物线y＝(k＋1)x2＋x－k2＋2与y轴的交点为(0，1)，那么k 的值是___1_．
15．(永州中考改编)如图，已知抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)， 且其对称轴为直线x＝－1.
(1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，是否 存在点P使△PAB的面积为3？存在，请求出点P的坐标，不存在，请说 明理由．
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： 则此二次函数的解析式为___y_＝__－__2_x_2_－__1_2_x_－__1_3_________．
x
－
－6
－5 －4 －3 －2
y －27 －13 －3
3
5
3
3．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两 点，该抛物线的顶点坐标是___(_1_，__4_)_.
＝4；当 x＝12 时，函数有最小值，最小值为 y＝14 －12 －2＝－94 ，
∴y 的最大值与最小值的差为：4－(－94 )＝245 (3)y＝(2－m)x＋2－ m 与二次函数 y＝x2－x－2 图象交点的横坐标为 a 和 b，∴x2－x－2＝(2－ m)x＋2－m，整理得 x2＋(m－3)x＋m－4＝0，解得 x1＝－1，x2＝4－m， ∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m＞3，故解得 m＜1，即 m 的取值范围是 m＜1
知识点3：用交点式求二次函数解析式 8．如图，抛物线的解析式为( B ) A．y＝x2－2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x－3 D．y＝x2＋2x＋3
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－5，0)和(－1，8)，且以直线x＝－ 2为对称轴，则它的解析式为__y_＝__－__x_2_－__4_x_＋__5____.
15．(永州中考改编)如图，已知抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)， 且其对称轴为直线x＝－1.
(1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，是否 存在点P使△PAB的面积为3？存在，请求出点P的坐标，不存在，请说 明理由．
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： 则此二次函数的解析式为___y_＝__－__2_x_2_－__1_2_x_－__1_3_________．
x
－
－6
－5 －4 －3 －2
y －27 －13 －3
3
5
3
3．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两 点，该抛物线的顶点坐标是___(_1_，__4_)_.
＝4；当 x＝12 时，函数有最小值，最小值为 y＝14 －12 －2＝－94 ，
∴y 的最大值与最小值的差为：4－(－94 )＝245 (3)y＝(2－m)x＋2－ m 与二次函数 y＝x2－x－2 图象交点的横坐标为 a 和 b，∴x2－x－2＝(2－ m)x＋2－m，整理得 x2＋(m－3)x＋m－4＝0，解得 x1＝－1，x2＝4－m， ∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m＞3，故解得 m＜1，即 m 的取值范围是 m＜1
知识点3：用交点式求二次函数解析式 8．如图，抛物线的解析式为( B ) A．y＝x2－2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x－3 D．y＝x2＋2x＋3
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－5，0)和(－1，8)，且以直线x＝－ 2为对称轴，则它的解析式为__y_＝__－__x_2_－__4_x_＋__5____.
九年级数学上册22、1二次函数的图象和性质4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时习题课件
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上， 并写出平移后抛物线的解析式.
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线 的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为 (0，0)，落在直线y＝－x上．
考查角度二 已知面积求抛物线上点的坐标 16.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0). (1)求此抛物线的解析式；
考查角度一 抛物线的平移 15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过 点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线过点C(0，－3)，∴－3＝a×(－1)×(－3)， 解得a＝－1，∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为 (2，1)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)和(1，－2)，则这个函
数的解析式为( ) B
A.y＝x2－x＋2
3
6.如图所示的抛物线的解析式为__y_＝__2_x_2_－__4_x_＋__2____.
7.已知二次函数当x＝－1时，有最小值－4，且当x＝0时，y＝－3，则二次 函数的解析式为________________.
y＝(x＋1)2－4
知识点三 利用“交点式”求二次函数的解析式
人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)
o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。
22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》ppt课件
老师提示:
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
人教版数学九年级上册课件22.1.4二次函数的图像和性质
2 2
16
14
12
10
8
6
4
2
15
10
5
5
10
15
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 试将式一般转化为顶点 式.
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
2
y ax2 bx c 2 b a x x c a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
图象特征 图象特征
归纳总结： a的符号决定 开口方向 ,简记为 “上正下负 ”. a,b的符号决定 对称轴位置 ,简记为 “左同右异 ”. c的符号决定 与y轴交点 ,简记为 “ 上正下负 ”
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一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 试将式一般转化为顶点 式.
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
2
y ax2 bx c 2 b a x x c a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
图象特征 图象特征
归纳总结： a的符号决定 开口方向 ,简记为 “上正下负 ”. a,b的符号决定 对称轴位置 ,简记为 “左同右异 ”. c的符号决定 与y轴交点 ,简记为 “ 上正下负 ”
22.1.4二次函数y=a2+b+c的图象和性质
4a 驶向胜利
函数y=ax²+bx+c的图象 的彼岸
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求次函数 y=ax²+bx+c图 象的对称轴和 顶点坐标．
1.配方:
老师提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
yaaaxx2x22 b abbax xxc2baca2提2b取a二2次a c项配并项的系方减系平数:去数方加一一上次半
（4）当a<0时，开口向下，在对称轴的 左侧y随x的增大而___增__大____;在对称轴 的右侧y随x的增大而___减__小______
指出下列抛物线的开口方向，对称轴 及顶点坐标
（1）y=2(x+3)2+5
解： 开口方向：y= －3(x-1)2-2
5.已知点A(2,5),点B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c
上的两点,则这条抛物线的对称轴是直线 X=3 .
6.已知y1x2 2x1 .
2
(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称 轴,最值; (2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标; (3)作出函数的草图; (4)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大 x为何值时,y随x的增大而减小; (5)观察图象:当x何值时,y＞0;当x何值时, y=0;当x何值时,y＜0.
求抛物线 y1x23x5的对称轴和顶点坐标，
并画图。 2
2
解: 将1x2 3x5配方得：
2
2
y1(x26x5)
2
1(x3)24 2 1(x3)2 2
2
所以,顶点坐标是(-3,2),对称轴是x= -3．
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4、用方程（组）去解决问题，即方程思想。 5、求二次函数的解析式的方法是通过与求一次函数解析式 的方法类比得到，即类比思想。 6、验证确定二次函数的解析式一般需要几个点时既可从数 的方面，也可从形的方面，即数形结合思想。
1、抛物线y= ax2+bx+c经过（－1，－22），（0，－8）， （2，8）三个点，求它的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2、在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知 ∠AOB=900，AO=BO，点A的坐标为（－3，1） （1）求点B的坐标；
2016年6月1日星期三
（一） 操 作 方 法
人教版义务教育教科书 数学 九年级 上册
§22.1.4
二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 （第2课时）
线正问 ，在题 如投： 何篮某 判，场 定假篮 此设球 球篮比 能球赛 否的中 准运， 确动如 投路图 中线所 ？为示 一， 条队 抛员 物甲
①如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,能唯一确定这 个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析 式。如果不能，请思考为什么？ 解：设这个二次函数的解析式为y= ax2+bx+c ∵函数图象经过点（－1，0）
∴
a－b＋c=0
此时 a，b，c有无数组值，所以这个二次函数 的解析式不能唯一确定。 说明由一个点的坐标不能唯一确定这个二次函数的解析式。
x2 ＋x＋
3 2
2
你能说一说用待定系数法求二次函数解析式的一般过程与要求吗？ 求二次函数的解析式y= ax2+bx+c，需求出 a，b，c的值.由已 知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于 a，b，c 的方程组，求出 a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式.
例1：一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三个 点，求这个二次函数的解析式.
1、二次函数y=ax2+bx+c中有几个待定系数？求解析式就 是求什么呢？ 2、请同们猜想一下，一般由几个点的坐标可以确定二 次函数？这几个点应该满足什么条件呢？ ①如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,能唯一确定这个二 次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式。如果 不能，请思考为什么？ ②如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）能唯一确 定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解 析式.如果不能，请思考为什么？ ③如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）（3，0） 三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这 个二次函数的解析式。如果不能，请思考为什么？
线正问 ，在题 如投： 何篮某 判，场 定假篮 此设球 球篮比 能球赛 否的中 准运， 确动如 投路图 中线所 ？为示 一， 条队 抛员 物甲
经过本节课的探究学习你有什么收获，感受 到了哪些数学思想与方法，还有哪些疑问？
1、用待定系数法求二次函数的一般步骤，设——列——解——答。 2、能求出二次函数解析式一般的三个点的坐标应满足的条件。不 在同一条直线上的三个点(或任意两点的连线不与y轴平行的三个点)的坐 标。 3、经历了猜想——验证——得出结论的过程。
∴ 解析式。 说明由一般的两个点的坐标不能唯一确定这个二次函数的解析式。
③如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）（3，0） 三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这 个二次函数的解析式。如果不能，请思考为什么？ 解：设所求的二次函数为y= ax2＋bx＋c ∵函数图象经过（－1，0）,（1，2）（3，0）三个点 ∴ a－b＋c＝0 a＝ - 12 a＋b＋c＝2 解之得： b＝1 3 9a＋3b＋c＝0 c＝ ∴所求二次函数为y＝ 1 2
（2）求以A为顶点，且经过B点的抛物线的解析式 .
谢 谢 评 委 们 的 聆 听
感 谢 专 家 们 的 指 点
20
1 \ 所求二次函数解析式为:y = - ( x - 4)2 + 4 19 2 8 20 化为一般式为:y = - x + x + 9 9 9 20 1 2 8 将点C（7，3）的横坐标x=7代入y＝ - x ＋ x＋ 中 9 9 9
解得：y=3 与点C的坐标相符合 ∴点C（7，3）在二次函数的图象上，即此球能准确投中
解：设所求的二次函数为y=ax2＋bx＋c ∵函数图象经过（－1，10）,（1，4）（2，7）三个点 ∴
a－b＋c＝10 a＋b＋c＝4 4a ＋2b＋c＝7
a＝2
解之得： b＝－3 c＝5
∴所求二次函数为y＝2x2 －3x ＋5
④如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（0，1）（1，2） 三点，能确定一个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二 次函数的解析式。如果不能，请思考为什么？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
②如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）能唯一确 定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解 析式.如果不能，请思考为什么？ 解：设这个二次函数的解析式为y= ax2+bx+c
∵函数图象经过点（－1，0） （1，2）
a－b+c=0 a 解之得： +c=1 b=1 a+b+c=2 此时 a，b，c有无数组值，所以不能唯一确定这个二次函数的
1、某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已 知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水 9 平距离为4m时最大高度为4m．设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面 3m．建立如图的平面直角坐标系，请判定此球能否准确投中？ 解：设此二次函的解析式为y= a(x－4)2＋4，得 20 1 a (0 - 4) 2 + 4 = 解之得:a = 9 9
④如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（0，1）（1，2） 三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这 个二次函数的解析式。如果不能，请思考为什么？
说明由在同一条直线上的三个点的坐标不能唯一确定 这个二次函数的解析式。
⑤如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）两个 点，其中点（1，2）为此二次函数图象的顶点，能确定这个 二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式。 如果不能，请思考为什么？
解：设所求的二次函数为y= ax2＋bx＋c ∵函数图象经过（－1，0）,（1，2）两个点且（1，2）为顶点，得
a - b +c =1 a +b + c = 2
b =1 2a
\ 所求二次函数解析式为:y = -
解之得： b = 1 3 c= 1 3 2
2 x2 + x + 2
1 a =2
线正问 ，在题 如投： 何篮某 判，场 定假篮 此设球 球篮比 能球赛 否的中 准运， 确动如 投路图 中线所 ？为示 一， 条队 抛员 物甲
解：设所求的二次函数为y= ax2＋bx＋c ∵函数图象经过（－1，0）,（0，1）（1，2）三个点 ∴ a－b＋c＝0 a＝0 c＝1 解之得： b＝1 a＋b＋c＝2 c＝1 ∵在二次函数y＝ ax2 ＋ bx＋c中，a≠0 ∴这样的三个点不能确定这个二次函数的解析式。 说明由在同一条直线上的三个点的坐标不能确定这个 二次函数的解析式。
2、已知一次函数的图象经过点A（－1，0）， B（1，2）求此一次函数的解析式.
解：设一次函数的解析式为y=kx+b ∵函数图象经过点A（－1，0），B（1，2） 解之得: k=1 ∴ 0=－k＋b b=1 2= k＋b ∴所求一次函数为：y=x＋1 待定系数法 ，它主 问：以上求解析式的方法我们称为_________ ①设函数的解析式；②由条件建立关于待定系数的 要的做法是___________________________________ 方程（组）；③解方程（组）从而得到函数解析式；④作答 ___________________________________________________.
1、抛物线y= ax2+bx+c经过（－1，－22），（0，－8）， （2，8）三个点，求它的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2、在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知 ∠AOB=900，AO=BO，点A的坐标为（－3，1） （1）求点B的坐标；
2016年6月1日星期三
（一） 操 作 方 法
人教版义务教育教科书 数学 九年级 上册
§22.1.4
二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 （第2课时）
线正问 ，在题 如投： 何篮某 判，场 定假篮 此设球 球篮比 能球赛 否的中 准运， 确动如 投路图 中线所 ？为示 一， 条队 抛员 物甲
①如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,能唯一确定这 个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析 式。如果不能，请思考为什么？ 解：设这个二次函数的解析式为y= ax2+bx+c ∵函数图象经过点（－1，0）
∴
a－b＋c=0
此时 a，b，c有无数组值，所以这个二次函数 的解析式不能唯一确定。 说明由一个点的坐标不能唯一确定这个二次函数的解析式。
x2 ＋x＋
3 2
2
你能说一说用待定系数法求二次函数解析式的一般过程与要求吗？ 求二次函数的解析式y= ax2+bx+c，需求出 a，b，c的值.由已 知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于 a，b，c 的方程组，求出 a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式.
例1：一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三个 点，求这个二次函数的解析式.
1、二次函数y=ax2+bx+c中有几个待定系数？求解析式就 是求什么呢？ 2、请同们猜想一下，一般由几个点的坐标可以确定二 次函数？这几个点应该满足什么条件呢？ ①如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,能唯一确定这个二 次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式。如果 不能，请思考为什么？ ②如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）能唯一确 定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解 析式.如果不能，请思考为什么？ ③如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）（3，0） 三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这 个二次函数的解析式。如果不能，请思考为什么？
线正问 ，在题 如投： 何篮某 判，场 定假篮 此设球 球篮比 能球赛 否的中 准运， 确动如 投路图 中线所 ？为示 一， 条队 抛员 物甲
经过本节课的探究学习你有什么收获，感受 到了哪些数学思想与方法，还有哪些疑问？
1、用待定系数法求二次函数的一般步骤，设——列——解——答。 2、能求出二次函数解析式一般的三个点的坐标应满足的条件。不 在同一条直线上的三个点(或任意两点的连线不与y轴平行的三个点)的坐 标。 3、经历了猜想——验证——得出结论的过程。
∴ 解析式。 说明由一般的两个点的坐标不能唯一确定这个二次函数的解析式。
③如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）（3，0） 三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这 个二次函数的解析式。如果不能，请思考为什么？ 解：设所求的二次函数为y= ax2＋bx＋c ∵函数图象经过（－1，0）,（1，2）（3，0）三个点 ∴ a－b＋c＝0 a＝ - 12 a＋b＋c＝2 解之得： b＝1 3 9a＋3b＋c＝0 c＝ ∴所求二次函数为y＝ 1 2
（2）求以A为顶点，且经过B点的抛物线的解析式 .
谢 谢 评 委 们 的 聆 听
感 谢 专 家 们 的 指 点
20
1 \ 所求二次函数解析式为:y = - ( x - 4)2 + 4 19 2 8 20 化为一般式为:y = - x + x + 9 9 9 20 1 2 8 将点C（7，3）的横坐标x=7代入y＝ - x ＋ x＋ 中 9 9 9
解得：y=3 与点C的坐标相符合 ∴点C（7，3）在二次函数的图象上，即此球能准确投中
解：设所求的二次函数为y=ax2＋bx＋c ∵函数图象经过（－1，10）,（1，4）（2，7）三个点 ∴
a－b＋c＝10 a＋b＋c＝4 4a ＋2b＋c＝7
a＝2
解之得： b＝－3 c＝5
∴所求二次函数为y＝2x2 －3x ＋5
④如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（0，1）（1，2） 三点，能确定一个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二 次函数的解析式。如果不能，请思考为什么？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
②如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）能唯一确 定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解 析式.如果不能，请思考为什么？ 解：设这个二次函数的解析式为y= ax2+bx+c
∵函数图象经过点（－1，0） （1，2）
a－b+c=0 a 解之得： +c=1 b=1 a+b+c=2 此时 a，b，c有无数组值，所以不能唯一确定这个二次函数的
1、某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已 知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水 9 平距离为4m时最大高度为4m．设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面 3m．建立如图的平面直角坐标系，请判定此球能否准确投中？ 解：设此二次函的解析式为y= a(x－4)2＋4，得 20 1 a (0 - 4) 2 + 4 = 解之得:a = 9 9
④如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（0，1）（1，2） 三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这 个二次函数的解析式。如果不能，请思考为什么？
说明由在同一条直线上的三个点的坐标不能唯一确定 这个二次函数的解析式。
⑤如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）两个 点，其中点（1，2）为此二次函数图象的顶点，能确定这个 二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式。 如果不能，请思考为什么？
解：设所求的二次函数为y= ax2＋bx＋c ∵函数图象经过（－1，0）,（1，2）两个点且（1，2）为顶点，得
a - b +c =1 a +b + c = 2
b =1 2a
\ 所求二次函数解析式为:y = -
解之得： b = 1 3 c= 1 3 2
2 x2 + x + 2
1 a =2
线正问 ，在题 如投： 何篮某 判，场 定假篮 此设球 球篮比 能球赛 否的中 准运， 确动如 投路图 中线所 ？为示 一， 条队 抛员 物甲
解：设所求的二次函数为y= ax2＋bx＋c ∵函数图象经过（－1，0）,（0，1）（1，2）三个点 ∴ a－b＋c＝0 a＝0 c＝1 解之得： b＝1 a＋b＋c＝2 c＝1 ∵在二次函数y＝ ax2 ＋ bx＋c中，a≠0 ∴这样的三个点不能确定这个二次函数的解析式。 说明由在同一条直线上的三个点的坐标不能确定这个 二次函数的解析式。
2、已知一次函数的图象经过点A（－1，0）， B（1，2）求此一次函数的解析式.
解：设一次函数的解析式为y=kx+b ∵函数图象经过点A（－1，0），B（1，2） 解之得: k=1 ∴ 0=－k＋b b=1 2= k＋b ∴所求一次函数为：y=x＋1 待定系数法 ，它主 问：以上求解析式的方法我们称为_________ ①设函数的解析式；②由条件建立关于待定系数的 要的做法是___________________________________ 方程（组）；③解方程（组）从而得到函数解析式；④作答 ___________________________________________________.