1.1_二次根式
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教案2
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是初中数学八年级下册的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
浙教版教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的运算规律，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
本节课的内容为1.1二次根式，主要包括二次根式的定义、性质和运算。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式较为抽象，学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够运用二次根式解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究二次根式的运算规律；2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法，引导学生理解并掌握相关知识；3.实践操作法：让学生在实际操作中，运用二次根式解决相关问题，提高学生的运算能力；4.小组讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式的相关课件，包括图片、动画等素材，以便于引导学生直观地理解二次根式；2.练习题：准备一些有关二次根式的练习题，用于巩固所学知识；3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便于进行板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生发现这些问题都与二次根式有关。
然后提问：“这些二次根式有什么共同特点？我们可以如何对其进行简化？”从而引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
初中数学浙教版八年级下册《1.1二次根式》导学案
1.1二次根式导学案班级 姓名学习目标：1.经历二次根式概念的发生过程；使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。
2.培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及文字表述能力3.通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
学习重点：二次根式的概念。
学习难点：会求二次根式中字母的取值范围。
一． 课前预学1、知识回顾：（1）什么叫做平方根？（2）什么叫做算术平方根？2、做一做：（1）3的算术平方根是________（2（3）一个非负数a 的算术平方根应表示为_________________二、课中导学1.根据下图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空：直角三角形的边长是：__________ 。
正方形的边长是： __________ 。
等腰直角三角形的的直角边长是：__________你认为所得的各代数式的共同特点是什么？2.二次根式的定义（b – 3）cm²S (cm²)这样表示的是算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫二次根式。
为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫二次根式。
+1条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？注意：根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零. 总结归纳≥0)的式子叫做二次根式。
练习：下列式子中，哪些是二次根式？y为同号)例1 求下列二次根式中字母a的取值范围：(1(2(3思考：①被开方数需满足什么?②由此可得怎样的不等式？求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于或等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零.例2 当x=-4时，求二次根式.三、课后延学1．下列式子中是二次根式的有 ( ) ①8；②－4；③a 2＋1；④2a ；⑤x 2＋y 2； ⑥a ＋1；⑦x 2－4；⑧3x 3.A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．若式子x －12在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A ．x >1B ．x <1C ．x ≥1D ．x ≤13．当x ＝－2时，二次根式x 2＋12x ＋4的值为 ( )A. 3B. 5C.7D.114．求下列各个二次根式中x 的取值范围．(1)2x －3；(2)－3x ＋4；(3)x 2＋4；(4)2x ＋3.5．已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，那么x 2 012－y 2 012＝__ __．6.（2019•黄石）若式子x -2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≥1且x ≠2B ．x ≤1C ．x ＞1且x ≠2D ．x ＜17.（2019•内江）若=a ，则a-10012=______答案：1. A2. C3. C4.解：(1)x ≥32；(2)x ≤43；(3)x 为任意实数；(4)x ＞－3.5.解 : ∵1－y ≥0，∴y －1≤0，∴－(y－1)≥0，∴－(y－1)1－y≥0. 又∵1＋x≥0，∴1＋x＝0且1－y＝0，∴x＝－1，y＝1，∴原式＝(－1)2 012－12 012＝0.6.A7.1002。
浙教版初中数学八年级下册《1.1二次根式》教学设计
一、引入（合作学习）：
根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：
直角三角形的斜边长是____________；正方形的边长是____________；
等边三角形的边长是_________。
首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。
提问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
3、已知a.b为实数，且满足 求a的值
4、按下列程序运算，全班分成4个组，当x=1时，每人做一步，看哪一组完成得快.x取其他数试一试.
五、小结
师生共同完成：通过今天的学习，你有哪些收获或困惑？
六、布置作业
课本“作业题”及作业本。
补充练习：判断，下列各式中哪些是二次根式？
； ； ； ； ； ； （a＜0＝；
二、新课讲授
1、二次根式的概念：
（1）引导学生概括二次根式的定义：像 这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如 ）也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。
（2）概念深化：
例2当x=4时，求二次根式 的值.
1、引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值.2、指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.
四、课堂练习：
1、完成课本“课内练习”.
2、物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h=5t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间，（1）把这个公式变形成用h表示t的公式；（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）?
提问： 是不是二次根式？ 呢？ 呢？……学生对于上述的问题，在判断上会产生一定的歧义，此时应按照教参的要求进行教学： 、 是二次根式，而 不是二次根式，只能称为含有二次根式的代数式。此外对于 这样的代数式，他们的系数或常数项是二次根式，而整个代数式仍看做是整式。
浙教版初中数学初二数学下册《二次根式》说课稿
浙教版初中数学初二数学下册《二次根式》说课稿一、教材分析1.1 教材基本信息•课程名称：初二数学下册•教材版本：浙教版•课题名称：《二次根式》1.2 教材内容简介《二次根式》是初二数学下册的一章内容，主要介绍了二次根式的概念、性质和运算法则。
学习本章内容可以帮助学生理解和掌握二次根式的基本概念，并培养对二次根式进行加减乘除运算的能力。
本章的学习内容与前几章所学的有理数、实数等相关，通过本章的学习，学生可以进一步拓展数学知识面，为后续学习准备。
二、教学目标2.1 知识与技能•理解二次根式的定义；•掌握二次根式的性质；•掌握二次根式的基本运算法则；•能够在实际问题中应用二次根式进行计算。
2.2 过程与方法•通过讨论和练习，激发学生的兴趣和积极性；•引导学生通过问题探究的方式主动学习；•培养学生的逻辑思维和解决问题的能力；•激发学生的合作学习意识，促进交流与合作。
2.3 情感态度价值观•培养学生对数学的兴趣和好奇心；•培养学生的观察、分析和解决问题的能力；•培养学生的团队合作和交流能力。
三、教学重难点3.1 教学重点•二次根式的概念和性质；•二次根式的基本运算法则。
3.2 教学难点•二次根式的运算法则的掌握和应用。
四、教学过程4.1 导入与热身在开始本节课内容之前，可以通过一个简单的问题导入，例如：将一些数进行分类，分为有理数和无理数。
4.2 理论讲解首先，对二次根式进行定义和性质的讲解，包括：1.二次根式的定义：二次根式是形如 $\\sqrt{a}$ 的无理数，其中a是一个非负实数。
2.二次根式的性质：二次根式的值是非负实数，如果a为正实数，则值为正实数，如果a为非正实数，则值为零。
4.3 运算法则的讲解接下来，对二次根式的运算法则进行讲解，包括：1.加法与减法：对于形如 $\\sqrt{a} \\pm\\sqrt{b}$ 的二次根式，如果a和b都是非负实数，则可以进行加法和减法运算。
2.乘法法则：对于形如 $\\sqrt{a} \\cdot\\sqrt{b}$ 的二次根式，可以进行乘法运算，并化简为$\\sqrt{ab}$。
浙教版八年级下数学1.1《二次根式》参考课件(共10张PPT)
⑴什么叫做一个数的平方根？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数 就叫做a的平方根。 ⑵什么是一个数的算术平方根？它如何表示？ 正数的正的平方根和零的平方根统称算术平方根。 用 (a≥0)表示。
⑶ 3的算术平方根是
⑴根据图所示的直角三角形、正方形和圆的条件， 完成以下填空：
2cm
(b-3)cm2
探索与交流
已知y= +2，你能求出x+y的值吗？
切入点： 从字母的取值范围入手。
要使
有意义，则x的取值范围是( C )
A. x≥-7 C. x≥-7且x≠3
B. x>-7且x≠3 D. x≤-7且x≠3
1.课内练习1、2 2.课后作业题
数学与生活 2005年10月12日又是一个让中华民族为之振奋的日 子：中国载人飞船“神六”发射成功了，“神六”大 约在围绕地球飞行5天后，返回地球表面，已知当返 回舱从空中自由下落时，下落距离h(米)可用公式 h= ×9.8×t2来估计，其中t(秒)表示物体下落所经历 的时间。
⑴请你将这个公式变形为用含h的代数式表示t的公式； ⑵当返回舱从2000米的高空自由下落时，落到地面 约需几秒(精确到0.1秒)？
圆的半径长是
如 、 、 你认为所得的 都是二次 各代数式有哪 根式吗？ 些共同特点？
像 a2 4、 b 3、 这样表示算术平方根， 且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。
为了方便起见，我们把一个数的算术平方根(如 也叫做二次根式。
3, 1 2
)
例1、求下列二次根式中字母a的取值范围： (1) (3) (2) 确定二次根 式中字母的取 值范围有哪些 主要方法？
Scm2
acm
Hale Waihona Puke 直角三角形的斜边长是 a2 4 正方形的边长是 b 3
专题1.1 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题1.1 二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）【考点4 利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣的正确结果是（ ）A ．2b ﹣cB ．2b +cC ．2a +cD ．﹣2a ﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2xD ．2x【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a ＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n＝a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．。
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教学设计
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是浙教版数学八年级下册第1.1节的内容，本节主要让学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
教材通过引入二次根式，让学生在已有实数知识的基础上，进一步拓展对实数的认识。
本节内容是后续学习二次根式混合运算的基础，对于学生来说，理解并掌握二次根式的概念和性质至关重要。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数和无理数的相关知识，具备了一定的数学基础。
但二次根式较为抽象，学生可能在学习过程中存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平，采取合适的教学策略。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.能够进行二次根式的运算。
3.培养学生的抽象思维能力和数学运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的性质和运算方法。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次根式的运算过程。
3.采用小组合作学习，让学生在讨论中加深对二次根式的理解。
4.注重个体差异，针对不同学生采取有针对性的教学策略。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考如何利用二次根式解决问题。
从而引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义，让学生了解二次根式的基本形式。
并通过示例，展示二次根式的性质，如平方、乘除等。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的基本运算练习，如化简、求值等。
教师引导学生运用二次根式的性质进行运算，并及时给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结二次根式的运算规律。
教师参与讨论，指导学生得出正确结论。
5.拓展（10分钟）利用多媒体展示一些二次根式的实际应用问题，让学生运用所学知识解决问题。
2021年浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》精选练习 (含答案)
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》精选练习一、选择题1.下列式子中是二次根式的有( )①8；②－4；③a2＋1；④2a；⑤x2＋y2；⑥a＋1；⑦x2－4；⑧3x3.A.3个B.4个C.5个D.6个2.下列各式一定是二次根式的是( )A. B. C. D.3.下列各式中，不是二次根式的是( )A. B. C. D.4.下列式子中，二次根式的个数是（）⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.A.2B.3C.4D.55.若a，b为实数，且满足|a－2|＋－b2=0，则b－a的值为( )A.2B.0C.－2D.以上都不对6.已知实数x，y满足x－2＋(y＋1)2=0，则x－y等于( )A.3B.－3C.1D.－17.已知(x－y＋3)2＋2x＋y=0，则x＋y的值为( )A.0B.－1C.1D.58.如果代数式xx－1有意义，那么x的取值范围 ( )A.x≥0B.x≠1C.x＞0D.x≥0且x≠19.下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是 ( )A.x－2x－2B.1x－2C.x－2D.2－x[10.已知y= ，则的值为( )A. B.﹣ C. D.﹣11.如果y= +3，那么y x的算术平方根是( )A.2B.3C.9D.±312.已知实数x，y满足|x－4|＋y－8=0，则以x，y值为两边长等腰三角形周长是( )A. 20或16B.20C.16D.以上答案均不对.二、填空题13.若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是________．14.已知y= ﹣+4，则=________．15.当____时,式子有意义.16.若代数式中，x的取值范围是x≥3且x≠5，则m= ．17.已知x，y为实数，且满足1＋x－(y－1)1－y=0，那么x2 022－y2 022=____ .18.已知a(a－3)＜0，若b=2－a，则b的取值范围是 .三、解答题19.求下列各个二次根式中x的取值范围.(1)2x－3； (2)－3x＋4； (3)x2＋4； (4)2x＋3.20.已知y= + ﹣8，求的值．21.若x，y是实数，且y= + +3，求3 的值．22.如果a为正整数，为整数，求的最大值及此时a的值．23.已知x是正整数，且满足y=+，求x+y的平方根.24.已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=4＋3a－6＋32－a，求此三角形的周长.参考答案1.答案为：A2.答案为：C3.答案为：B4.答案为：C5.答案为：C6.答案为：A7.答案为：C8.答案为：D9.答案为：C10.答案为：C11.答案为：B12.答案为：B.13.答案为：a ＜3．14.答案为：2．15.答案为：3≤x ＜5.16.答案为：5．17.答案为：0. 18.答案为：2－3＜b ＜2. 19.解：(1)x ≥32；(2)x ≤43；(3)x 为任意实数；(4)x ＞－3. 20.解：∵(x ﹣1)的平方根是±3，∴x ﹣1=9，解得，x=10， ∵(x ﹣2y+1)的立方根是3，∴x ﹣2y+1=27，解得，y=﹣8，则x 2﹣y 2=36，则x 2﹣y 2的平方根是±6.21.解：由题意得，4x ﹣1≥0，1﹣4x ≥0，解得，x==，则y=3， 则3 =3× =22.解：由a 为正整数，为整数，得a=5时，的最大值是3． 23.解：由题意得，2﹣x ≥0且x ﹣1≠0，解得x ≤2且x ≠1，∵x 是正整数，∴x=2，∴y=4，x+y=2+4=6，x+y 的平方根是±错误!未找到引用源。
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》说课稿
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》说课稿一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》是初中数学的重要内容，它为学生提供了研究函数、几何等高级数学的基础。
这一节内容主要介绍二次根式的定义、性质和运算方法，使学生能够理解和运用二次根式。
教材通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究二次根式的相关性质，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析在学习本节内容之前，学生已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备了一定的逻辑思维和运算能力。
但二次根式较为抽象，学生可能难以理解其本质，因此需要教师在教学中引导学生通过实际问题去探究和理解二次根式。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算方法，能运用二次根式解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究二次根式的性质，培养学生抽象思维能力和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.重点：二次根式的定义、性质和运算方法。
2.难点：二次根式的性质探究和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、合作学习法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、教学卡片等辅助教学，使抽象的二次根式形象化、具体化。
六. 说教学过程1.引入新课：通过实际问题引入二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.讲解概念：讲解二次根式的定义，使学生理解并掌握二次根式的基本概念。
3.性质探究：引导学生分组讨论，探究二次根式的性质，如：单调性、奇偶性等。
4.运算方法：讲解二次根式的运算方法，让学生通过实际例题掌握加减乘除等运算。
5.应用拓展：布置一些实际问题，让学生运用二次根式解决，提高学生的应用能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出二次根式的定义、性质和运算方法。
主要包括以下几个部分：1.二次根式的定义2.二次根式的性质3.二次根式的运算方法八. 说教学评价通过课堂问答、练习题、课后作业等方式对学生的学习情况进行评价，关注学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的全面发展。
1.1二次根式(2)课件2004年浙教版八年级下
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
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4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
被开方数是非负数，根 指数都是二次．
1.二次根式的概念
像
a2 4
b3
2s 这样表示的算术平方根，
且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，为了方便起 见，我们把一个数的算术平方根（如其中 3, 1 ）也 2 叫做二次根式，
二次根式根号内字母的取值范围应具备什么条件？
在实数范围内，a< 0时，
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又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
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做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、
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( a 1) 2 = a +（a+1）=2a+1
=2×（-1.5)+1= - 2
这节课你有何收获， 能与大家分享、交流你的感受吗？
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今天我们学会了…
二次根式的概念．
学会求二次根式中字母的取值范围；
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布置作业:
见数学作业本
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2
5.若 2a 3是二次根式,则字母a应满足的条件是( D )
3 A. a 2
3 B. a 2
3 C. a 2
3 a D. 2
6. 使式子 4 x 有意义且取得最小值的x的取值是( D ) A.0 B.4 C.2 D.不存在. 7.当x=-2时,二次根式 8.当x=-2时，代数式
解:由题意得,
x 1 0 5 | x | 0 x 1 x 1 5 | x | 5 x 5 5 x 1
已知 有意义,那 A(a, a ) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)Fra bibliotek1 a
若a.b为实数,且 | 2 a | b 2 0 求 a 2 b 2 2b 1的值。 解: 2 a 0, b 2 0
2 2
?米
2.65 米
S(cm2)
摩天轮在平面图上的圆形面积为S，
S 则半径为_________cm.
(b-3)cm2
如图，正方形桌面的面积为(b-3)cm2 ，则边长是 ______________cm. b3
2.65 a
2
2
S
b3
你认为上述各代数式的共同特点是什么?
1、都表示算术平方根
而 2 a b2 0
2 a 0, b 2 0
a 2 , b 2
原式 a b 1
2 2
2 2 1 2 1 3
2 2
1、二次根式的定义：像 2.652 a 2 , , b 3这样 表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫 做二次根式。我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。 2、二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方 数大于或等于零。 3、求二次根式的值：用数值代替二次根式里的字母。
小结一下
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
当x= - 4时，求二次根式 1 2x 的值。 解：将x= - 4代入二次根式，得
1 2 x 1 2 (4) 9 3
若二次根式 2 x 1的值为3，求x的值。
2
解： 由题意得:
2x 1 3
2
两边同时平方得: 2 x 2
1 9 x 4
2
x 2
一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西 轮船 北方向航行t小时。船的航速是每时25千米。 1)、用关于t的代数式表示船离开出发地的距离。 2)、求当t=3时，船离开出发地多少千米。
B
北
解:(1)设船离出发地的距离为s千米
2
1 (3). 2a 4
a (4). a 1
7 解(1).4 x 7 0, x (2). 3x 2 8 8, x为全体实数 4
(3).2a 4 0, a 2
(4)
a 1 0a 1或
a0
a 1 0
a0
a0
3 3.已知 3x 9 5 y 15 0, 则3x 2 y ______
1 2 x 2
3 的值为_______.
5 5 x 2 3x 1 的值是________.
9.已知 y
x 3 3 x 5 ,求
x 2 xy y 2 的值
.
21世纪教育
解 x 3 0, 且3 x 0, x 3, y 5, x 2 xy y 2 9 15 25 19
s
巩固提高：
(1) (3) (4) __( 1.下列是二次根式的是__________ 填序号)
(1). x 2 1
3 (2). 2 (a 0) a
(3) x 2 2 x 2
(4). x 2 y 2 2
2.求下列各二次根式的字母的取值范围
(1). 4 x 7 (2). 3x 8
45 A 45 45
O
s 502 (25t ) 2 2500 625t 2
(2)当t=3时,
s 2500 625 32 8125
东
小结一下
求二次根式的值： 先根据题意，列出二次根式，
再用数值代替二次根式里的字母，
归结为求代数式的值的问题。
1. 求式子 x＋1－ 5－ x 有意义时X的取值范围。
10. 已知实数a满足 2008 a a 2009 a ,那么请求出 a-20082的值是多少?
解 2008 a a 2009 a, a 2009 a 2008 a 2009 a, a 2009 2008 2 a 2008 2 2009
(2) ( a 3)
2
a (3) a 1
a 0 解 :由题意得 a 1 a 1 0 a 0 a 0 或 a 1 0 a 1 0 a 1或a 0
解 :由题意得, (a 3) 2 0恒成立 a可取全体实数
7,
x 6,
x2 y 2 ,
3
8,
二次根式中字母的取值范围必须满足 当a+1是非负数 被开方数大于等于零.
（即a≥-1）时， a 1 是二次根式
求下例二次根式中字母a的取值范围:
1 (1) 1 2a
1 0 解 :由题意得 1 2a 1 2a 0 1 2a 0 1 a 2
a (a 0)
复习回顾
设一个数为x，如果x2=a， 那么x就叫做a的平方根
1、什么叫平方根？ 一般的，如果一个数的平方等于a， 那么这个数就叫做a的平方根 2、什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根统称 算术平方根
篮球框所形成的直角三
a米
角形的斜边长为 ______________米. 2.65 a
2、根号里面的式子都含有字母
定义： 像 2.652 a 2 ,
术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做 二次根式。
, b 3 这样表示的算
s
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如
3, 1 2
a 1 是不是
思考：
二次根式?
下列各式中哪些是二次根式？
?
-9， a 1