数论3—质数和合数 分解质因数
质数、合数和分解质因数
第一讲质数和合数例1 两个质数的和是39，这两个质数的积是多少?例2 数d是质数，且a+10、a+14的和也都是质数，数a是多少?例3 三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少?练习：1.在20个连续自然数中最多有多少个质数?最少有几个质数?2.两个质数的和是1995，这两个质数的乘积是多少?3.两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少?4.两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少?5.两个质数的和是99，这两个质数的积是多少?第二讲分解质因数例1 三个连续自然数的乘积是120，求这三个数。
例2 小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910。
”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗?例3 学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁，四人年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少?例4 下面算式中，不同的字母代表不同的数字。
求这个算式。
例5 1512乘以自然数a得到一个平方数，求a的最小值。
例6 有三个自然数，它们的和是338，积是1986，求这三个数。
例7 有24盆花，分成几堆(至少分2堆)，使每堆的盆数都相等，可以怎样分？例8 自然数151200的约数中有许多两位数，其中最大的是几？例9 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。
例10 有3个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10，贝a×b×c=?例11 用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。
如果每支钢笔便宜1元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。
共买了多少支钢笔?例12 将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。
例13 自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少?例14 在射箭运动中，每射一箭的环数是O(脱靶)或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少?练习：1.相邻两个自然数的乘积是756，这两个自然数分别是多少?2.下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母的和，3.三个自然数的和是160，三个自然数的积是32118，这三个数是哪几个数?4.自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值。
质数合数分解质因数
质数合数分解质因数1.质数和合数（1）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)。
如7和11都是质数。
（2）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，如：9和12都是合数。
举例：注意：①1既不是质数，也不是合数。
②自然数除了1，其他的数不是质数就是合数。
③自然数是无限的，因此质数和合数也都是无限的。
○42是最小的质数，也是质数中唯一的一个偶数。
（3）判断一个数是合数还是质数的方法。
先找各数的约数，再根据质数和合数的意义去判断。
判断一个数是不是质数，还可以查质数表，凡是质数表中有的数就是质数。
2.分解质因数（1）质因数的意义。
每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
比如:60=2X2X5X3中的2、2、5、3都叫做60的质因数（2）分解质因数的意义。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
如：6=2×3，24=2×2×2×3。
（3）分解质因数的方法。
①分解质因数时，通常用短除法。
短除法是除法的简化。
如：②用短除法分解质因数，除数一定要用质数，应按照质数从小到大的顺序，看被除数能被哪个质数整除，就用这个质数去除，直到除得的商也是质数为止。
如：用短除法把180分解质因数：名师点拨【典型范例剖析】例1 一个正方形的面积是1225平方厘米，这个正方形的边长是多少厘米？分析：因为正方形的面积是“边长乘以边长”，将1225分解质因数，再把质因数分成相同的两组，就可以求出这个正方形的边长。
解：把1225分解质因数：1225＝5×5×7×7变形为：1225＝(5×7)×(5×7)＝35×35因此，这个正方形的边长为：35厘米。
答：这个正方形的边长为35厘米。
例2 在10—150中找出两个自然数，使它们的积等于77与195的积。
3.3：质数、合数、分解质因数教学案及巩固练习
3.3：质数、合数及分解质因数【学习目标】:1、理解质因数和分解质因数的意义。
2、会把一个合数分解质因数。
3、在探索发现的过程中体验成功的乐趣，增强自己学好数学的信心学习重点:理解质因数和分解质因数的意义。
【学习重难】:会用短除法分解质因数。
【学习方法】:学习方法:独立思考与小组交流相结合【知识点1】质数和合数一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫质数．一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．质因数是指：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，也叫做这个合数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数【考点分析】对于质数与合数的考查主要放在概念的理解上，主要以填空、选择的形式出现，一种是文字描述的形式出现，另一种是给定某数让你判别它是质数还是合数；而对于质因数考查的一般是判别给定的数是否为某数的质因数（或者说求某数的质因数），还有一种考法是对给定的数进行质因数的分解。
【典型例题】1、填空：在正整数中，既不是质数也不是合数的数是_____，既是质数又是偶数的数是______，最小的合数是分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是质数，也不是合数。
而2是唯一一个属于质数的偶数，且2是最小的质数。
4是最小的合数（背会）2、39、47、57、83中为质数的有（）（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。
3、下列说法中正确的是（）（A）自然数包括质数和合数两类 (B）不存在最小的质数（C）1既不是质数，也不是合数（D）2是最小的合数分析：记住1这个特殊情况。
4、两个质数相乘的积一定是（）（A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个质数相乘所得来的数，除了含有这两个质数作它的因数外，至少还有1。
质数和合数分解质因数
范围和要求
1.知识点范围 A 质数、合数的概念 B 判断一个数是质数还是合数的方 法 C 掌握分解质因数的方法
范围和要求
2.要求 A 理解质数、合数的意义 B 熟练地掌握判断一些常见数是质数， 还是合数的方 法 C 熟悉20以内的质数，会查质数表 D 初步掌握用短除法分解质因数的方法 E 知道因数、质因数与分解质因数间的联系与区别
例题：把下面各数分解质因数，并分别写 出它们所有的约数。
分解质因数 15 18 20 约 数
15=3 5
1、3、5、15
18=2 3 3 1、2、3、6、9、18 20=2 2 5 1、2、4、5、10、20
小结
质数、因数、质因数、分解质因数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数 叫做质数。它是1个独立存在的数。比如17是质数，因 为它只有1和17两个约数。
知识点精讲
一、质数和合数
1 的约数： 1
5 的约数： 1、5 12 的约数： 1、2、3、4、6、12 16 的约数： 1、2、4、8、16 17 的约数： 1、17 21 的约数： 1、3、7、21 25 的约数： 1、5、25 29 的约数： 1、29 32 的约数： 1、2、4、8、16、32 36 的约数： 1、2、3、4、6、9、12、18、36 37 的约数： 1、37
× （×
（
（
所有的合数都是偶数吗？
所有的偶数都是合数吗？
×
×
）
）
知识点精讲
二、分解质因数
6 2 3 28 4 7 2 2 6= 2 3 7
28= 2 2 7
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 其中每个质数都是这个合数的因数，叫做质因 数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来， 叫做分解质因数。
分解质因数知识点总结
分解质因数知识点总结一、质数与合数的概念1. 质数的定义：质数是指大于1的自然数，除了1和自身外没有其他的因数的数。
例如，2、3、5、7、11、13等都是质数。
2. 合数的定义：合数是指大于1的自然数，除了1和自身外还有其他的因数的数。
例如，4、6、8、9、10等都是合数。
3. 1既不是质数也不是合数。
二、分解质因数的基本概念1. 质因数的定义：一个大于1的自然数，如果它除了1和自身之外没有其他的因数，那么就称为这个数的质因数。
2. 分解质因数的概念：任何一个大于1的自然数都可以被分解成一些质数的乘积，这种分解的过程就是分解质因数。
三、分解质因数的方法1. 分解质因数的主要方法：不断地用最小的质因数去除给定的数，直到剩下的商是一个质数为止。
2. 举例说明：例如，要分解120的质因数，首先用最小的质数2去除，得60，再用2去除，得30，然后用2去除，得15，再用3去除，得5，所以120=2×2×2×3×5。
四、分解质因数的基本定理1. 分解质因数的基本定理：任何一个大于1的合数，都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，而且这种分解只有一种方式。
2. 定理的说明：这个定理表明，任何一个合数都可以被唯一地分解成一些质数的乘积，而且这种分解方法是唯一的。
五、分解质因数的实际问题1. 在数学中的应用：分解质因数是数学中的一个基本技能，它应用广泛，比如在约分分数、求最大公因数和最小公倍数、解方程和解不定方程组等问题中都会用到分解质因数的知识。
2. 在实际生活中的应用：分解质因数在实际生活中也有着广泛的应用，比如在化简分式、计算最优组合、分配资源和解决排队等问题中都可以用到分解质因数的知识。
六、分解质因数的拓展应用1. 在素因子分解定理中的应用：素因子分解定理是分解质因数的一个重要拓展，它进一步说明了任何一个合数都可以被分解成有限个质数的乘积，且这种分解方法是唯一的。
2. 在公因数和公倍数中的应用：分解质因数可以帮助我们求最大公因数和最小公倍数，这些问题经常出现在实际生活和数学中。
2011-10-21 第2讲-约数、倍数、完全平方数、质数、合数、分解质因数(数论综合)
专题五 质数 合数 分解质因数
一 、专题知识点概述
质数与合数的基本概念 1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数， 也叫做素数 2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数 3.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 任意数字形如 △ △ ... △ 的分解结构， 可以加深对质因数的理解，即结构中的△均为质因数。
2 2 2 2四 、习题讲解
【例5】（难度等级 ※※※） 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得 12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每 只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？ 【分析与解】 依题意得: 花生总粒数=12×第一群猴子只数=15×第二群猴子只数 =20×第三群猴子只数, 由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60． 花生总粒数是60，120，180，…,那么：第一群猴子只数是5，10，15，… ； 第二群猴子只数是4，8，12，… ；第三群猴子只数是3，6，9，… ； 所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…因此，平均分给三群猴子， 每只猴子所得花生粒数总是5粒．
专题四 约数 倍数 完全平方数
一 、专题知识点概述
完全平方数常用性质 2.一些推论: 任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1. 即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64， 84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数； 末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数； 个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾 平方差公式
分解质因数顺口溜
分解质因数顺口溜分解质因数是小学数学中的重要知识点之一，通过对数字的质因数分解可以计算它的最大公约数、最小公倍数等问题。
为了帮助同学们更好地掌握分解质因数，以下是一篇关于分解质因数顺口溜的文章。
一、什么是质数和合数？在分解质因数之前，我们需要先知道什么是质数和合数。
1. 质数：只能被1和它本身整除的数，例如2、3、5、7、11、13等。
2. 合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数，例如4、6、8、9、10、12等。
二、分解质因数的基本步骤分解质因数的基本步骤是：先将数字分解成质数的乘积，再将这些质数按从小到大的顺序排列。
以12为例，它可以分解为2*2*3。
这里我们先找到它的质因数2，由于12可以被2整除，因此我们将12除以2得到6。
接着，我们再将6继续除以2，得到3。
此时，3是一个质数，同时也是12的因数。
因此，12可以表示为2*2*3。
三、分解质因数的顺口溜接下来，我们来说说分解质因数的顺口溜：质数是生成数，合数可分解。
先看能否被2，再看能否被3，再看5或7，或11或13，到最后若不能分，则那就是个质啦！意思是说，分解质因数时，先判断所分解的数字是否是质数或合数。
如果是质数，则它就是一个质因数。
如果是合数，则尝试把它分解成两个因数，再对这两个因数分别进行质因数分解。
首先，我们尝试用2除以这个数，看是否能够整除。
如果可以，就把这个数除以2，保留商作为新的数，并继续尝试用2除以这个数。
如果这个数不能被2整除，就尝试用3除以这个数，以此类推。
当最后得到的数已经是一个质数时，就把这个质数加入到分解结果中即可。
四、总结分解质因数是小学数学的重要知识点之一，通过掌握这一技巧，我们可以更好地解决一些数论问题。
希望本篇文章中提供的顺口溜可以帮助同学们更好地记忆分解质因数的方法，从而更好地掌握这一知识点。
数字的质数与合数
数字的质数与合数数字是数学中最基本的概念之一，它们可以被分为质数和合数两类。
在本文中，我们将深入探讨质数和合数的定义、性质以及它们在数学中的重要性。
一、质数的定义和性质质数是指只能被1和它本身整除的正整数。
换句话说，质数除了1和它本身外，没有其他因数。
例如，2、3、5、7、11等都是质数。
质数具有以下性质：1. 质数只能被1和它本身整除，没有其他因数。
2. 除了1和质数本身外，任何正整数都无法整除质数。
3. 任意一个大于1的整数，都可以被质数整除或分解为质数的乘积。
二、合数的定义和性质合数是指除了能够被1和它本身整除外，还能够被其他因数整除的正整数。
换句话说，合数不是质数。
例如，4、6、8、9等都是合数。
合数具有以下性质：1. 合数可以被1和它本身以外的数整除。
2. 合数可以分解为两个或多个较小的因数的乘积。
3. 合数具有多个因数，且这些因数除了1和它本身外都小于合数本身。
三、质数和合数的应用质数和合数在数学中有着广泛的应用，以下是一些例子：1. 密码学：质数的特性被广泛用于加密算法中，例如RSA加密算法。
2. 分解质因数：将一个合数分解为质数的乘积，可以帮助我们更好地理解数的组成方式。
3. 数论研究：质数和合数是数论研究中的重要对象，它们的性质被用于解决各类数学问题。
四、质数与合数的区别和联系质数和合数在性质上有所不同，质数只能被1和它本身整除，而合数除了能够被1和它本身整除外，还能够被其他因数整除。
从这个角度来看，质数和合数是互补的概念。
然而，质数和合数又有一定的联系。
首先，任意一个大于1的整数，都可以被质数整除或分解为质数的乘积。
这意味着质数是合数的基本组成单元。
其次，根据整数的唯一分解定理，任何一个大于1的合数都可以唯一地分解为质数的乘积。
结论通过对质数和合数的定义、性质及其在数学中的应用的探讨，我们可以看到质数和合数在数学中的重要性。
它们不仅是数论研究的基石，还在密码学、分解质因数等领域有着实际应用。
第二节 质数、合数和分解
第二节质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
判断一个数是质数还是合数的常用方法：对于一个自然数N，先找到一个自然数 A，使得A2略大于或等于N，再用A以内的所有质数去试除N，若有质数能整除N，则N是合数；若没有质数能整除N，则N是质数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。
30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来，这种书写形式叫做分解质因数的标准式。
如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。
例题讲解例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？例3：连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？例4：写出10个连续的自然数，个个都是合数。
例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
例6：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
例7：有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？练习1、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？2、两个质数的和是99，求这两个质数的乘积是多少？3、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是多少？4、找出1992所有的不同质因数,它们的和是多少？5、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数分别是多少6、把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。
质数合数，分解质因数，最大公约数
第七单元质数合数，分解质因数，最大公约数一教学目的指要1教学重点：理解掌握质数，合数的概念，初步学会准确判断一个数是质数还是合数。
2教学难点：区分奇数、质数、偶数、合数。
二教学方法建议教学建议1。
这部分内容可以用3课时进行教学。
完成练习十三中的习题。
2。
教学例1时，可以先复习约数的概念，然后再让学生找出1～12各数的所有约数，并把它们写在书上。
教师通过提问再板书到黑板上。
然后再按书上的要求提出问题对约数的个数进行分类。
接着可以对只有两个约数的2、3、5、7、11这些数进一步提闸：这几个数的约数有什么特点？使学生明确它们只有1和本身两个约数。
再提问：4、6、8、9、10、12这些数的约数与上面的数的约数相比有什么不同？使学生明确这些数除了都有1和它本身两个约数，还有别的约数。
然后可以引出质数、合数的概念，说明前一类数叫质数，后一类数叫合数。
还要强调合数除了1和本身外，“还有”别的约数。
接着可以说明“1”既不是质数，也不是合数。
教学例2的时候，可以引导学生先找出每个数的约数，然后再根据质数和合数的意义进行判断。
“做一做”可以让学生独立完成。
然后再说明检验一个数是不是质数，还可以用查表的方法做到。
由于自然数是无限的，所以质数和合数也是无限的古课本中只列出100以内的质数表，这是因为较大的质数不常用。
然后向学生强调20以｜内的质数用得较多，最好逐步记住。
3。
学生学过质数、合数后，往往误把质数和奇数、合数和偶数混同起来。
因此可以顺便指出，前面按能不能被2整除可以把自然数分成两类，即一类是偶数，另一类是奇数。
现在按一个数的约数多少的不同情况可以把非零自然数分成三类，即质数、合数和1。
然后可以结合质数表和例2提出问题，让学生观察和思考。
如：是不是所有的质数都是奇数？是不是所有的奇数都是质数？弓丨导学生明确不是所有的质数都是奇数，如2是质数，但它不是奇数，而是偶数；也不是所有的奇数都是质数，如35、87都是奇数，但都不是质数。
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第3讲质数、合数、分解质因数
一、基本概念和知识
一、质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也
叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
（至
少3个因数）
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2是最小的质数，也是唯一的偶质数，3是最小的奇质
数；4是最小的合数。
100以内的25个质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、
37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、
79、83、89、97
N法：先找出一个大于N且最接近N的平方数K2，再写出K以内的所
有质数，最后用这些质数去除N，如果这些质数都不能整除N，
那么N就是质数，反之N就是合数。
二、质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
3、求一个数因数个数的方法：
1、列举法
2、质因数的指数加1再相乘
即144=24×32 144的因数个数为
（4+1）×（2+1）=15个
一、质数与合数
例1判断79、89、271、493这四个数是合数还是质数？
例2 两个质数的和是91，这两个质数的积是多少？
例3 把以下的数合数写成质数和的形式
36=（）+（） 52=（）+（）
108=（）+（） 45=（）+（）
例4 相邻的7个质数a、b、c、d、e、f和为质数，e是多少？
例5 试判断333341111是质数还是合数？请说明理由？
练习：1、请写出40—70之间的质数?
2、在（）内填上15以内的质数
10=（）+（）=（）×（）=（）—（）
3、两个质数的和是43，这两个质数的差是？
4、判断4257842578是质数还是合数，说明理由？
5、一个质数的2倍与另一个质数的7倍的和为52，求这两个质数？
6、把50拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能地大。
二、分解质因数
例1将5040分解质因数。
例2 将下列8个数平均分成两组，使这两组数的积相等，应该怎样分。
14、
33、35、30、75、39、143、169。
例3 要使975×935×972×（）的积的末尾最后四个数字为0，在括号内最小应填什么数？
例4 用216元去买一种钢笔，正好将钱用完，如果每只钢笔便宜一元，则可多买3支，钱也正好用完，问共买了几支钢笔？
例5 试求360因数的个数，并求出这些因数的和。
例6 三个连续自然数的积是1716，他们的和是多少？
练习：1、将10101分解质因数。
2、1×2×3×……×25的积末尾有几个零。
3、三个连续自然数的积是120，则这三个数分别是什么？
4、要使486×135×1925×A的结果最后五位都是零，问A最小是多少？
5、把5、
6、
7、14、15这5个数分成两组，使每组数的乘积相等，应如何分？
6、有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，他们的年龄相乘的积等于3024，问这四个孩子中年龄最大的是几岁？
7、小明参加了学校六年级数学兴趣小组的综合能力竞赛，并获得了前三名，他高兴地对同学们说：“我的得分、名次与我的年龄之积恰好是2328.”你能推算出他的年龄、名次与成绩吗？
8、560有多少个因数？
9、126有多少个因数，它们的和是多少？
10、已知两位数ab ——（自然数）有两个因数，那么9×ab ——的积有多少个因数？。