古希腊数学家丢番图
阅读章前图丢番图(Diophantus)是古希腊数学家.人们对
3 x+(10－x)=22
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丢番图（Diophantus）是古希腊数学家．人们对他的生平事 迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬 着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了其所经历的人生旅 程．上帝赐予他的童年占六分之一， 又过十二分之一他两颊长 出了胡须， 再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得 贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半便入黄泉．悲伤 只有用数学研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途.
知道数学就在我们身边，并在对其它实际问 题研究中感受了方程作为刻画现实世界有效 模型的作用。
2.通过观察归纳出方程及一元一次方程和解
的概念．
3. 在分析课本设置的例题的过程中初步体会
了列方程的“核心”与“关键”。
1、你能找到题中的等量关系，列出方程吗？ 2、你对方程有什么认识？ • 3、列方程解决实际问题的关键是什么？
第五章 一元一次方程
授课教师：谢哲纯 授课班级:初一2班
学习目标:
1.通过观察归纳出方程及一元一次方程和解的 概念． 2.通过对多个实际问题的分析，寻找等量关系， 建立方程。
重点:掌握方程及一元一次方程和解的概念． 难点：寻找等量关系列方程。
情境 1
小彬，我能 猜出你年龄。
不信
你的年龄乘2减5 得数是多少？
他怎么知道 的我年龄是13
岁的呢？
21
小彬
如果设小彬的年龄为x岁，那么“乘2再减5”就
是__2__x_-5__，所以得到等式： 2x-_5_=_2_1____。
情境 2
小颖种了一株树苗，开始时树苗高40厘米，栽种后
每周升高约5厘米，大约几周后树苗长高到1米？
丢番图
除了《算书》一书外，丢番图还著有《论多角 数》、《不定方程》，但是《论多角数》现仅存 一些残篇，《不定方程》早已失传了。他的著作 的拉丁文版本于1575年才第一次出版。他的著作 不仅是数学史上的珍贵资料，而且成为后来许多 数学家，如费巴、欧拉、高斯等进行数论研究的 出发点。数论中两大部分就是以丢番图名字命名 的，即“丢番图方程”和“丢番图近似理论”。
对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》﹝The Greek antholog 【这是公元500年前后的遗物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯﹝Metrodorus﹞所辑， 其中有46首和代数问题有关的短诗﹝epigram﹞】。 亚历山大时期的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用， 对后来的数论学者有很深的影响。丢番图的《算术》是讲数论的， 它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。 现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解， 这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。 不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。 从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。 代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。 就引入未知数，创设未知数的符号， 以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看， 丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。 希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何， 他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。 为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。 一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。 直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。 他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题， 而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。 他被后人称为『代数学之父』不无道理。
丢番图和谜语方程
丢番图和谜语方程
丢番图〔约246—330〕是古希腊最出色的数学家之一，他被人们誉为〝代数学的鼻祖〞。
他写了不少数学著作，其中«算术»一书是关于代数的一部最早的论著。
它独树一帜，完全避开了几何的方式。
在这本书中，我们第一次看到了代数符号的有系统的运用；看到了各种不定方程的巧妙解法。
在数学史上，这部书的重要性可以和欧几里得的«几何原本»相媲美。
可是，这位被誉为代数学鼻祖的丢番图，他的生平事迹简直一点也没有留上去，人们只是偶然地在他的墓志铭上知道了他的一些状况。
幽默的是，他终身的大约状况却是用一道谜语式的代数方程写出来的：
〝过路人！这儿埋着丢番图的骨灰。
下面的数目可以通知您他活了多少岁。
他生命的六分之一是幸福的童年。
再活十二分之一，颊上长出了细细的胡须。
又过了生命的七分之一他才结婚。
再过了五年他感到很幸福，得了一个儿子。
可是这孩子光芒绚烂的生命只要他父亲的一半。
儿子死后，老人在悲痛中活了四年，完毕了尘世的生涯。
请问您，丢番图活了多少岁，多少岁结的婚，多少岁生孩子？〞
同窗们，你能解答这个效果吗？解答后，请到第2页看看你做对了吗？
依据这段墓志铭可以列出方程：
解此方程，得出x=84。
即丢番图活了84岁，并且可以算出他33岁才结婚，38岁才得子。
人物简介 别具一格的墓志铭——丢番图
人物简介: 别具一格的墓志铭——丢番图丢番图(Diophantus，约公元3世纪)是古希腊最杰出的数学家之一，他在代数和数论方面作出过卓越的贡献。
对于丢番图的生平，人们了解的不多，只知道他大约是公元3世纪的人，曾经活跃于亚历山大里亚城。
他的一生，在他的别具一格的墓志铭上通过一道谜语式的妙趣横生的代数方程问题反映出来：“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他活了多少岁。
他生命的1／6是幸福的童年；再活过生命的1／12，他长出了胡须；又过了生命的1／7，他才结婚；再过了5年他有了一个儿子；但爱子竟然早逝，只活了他寿命的一半；失去儿子后，老人在悲痛中又度过4年，终于结束了他尘世的生涯。
根据这段墓志铭，设丢番图的年龄为x，你可以列出方程算出丢番图的年龄：x 6＋x12＋x7＋5＋x2＋4＝x解方程得到：丢番图活了84岁，他是33岁结婚，38岁得子。
丢番图被誉为代数学的鼻祖，他一生中解过许多代数方程和不定方程，还写有多达12卷的《算术》一书。
这套书主要是代数和数论方面的内容，包括189个问题的叙述和解法，大多是一次、二次方程和很特殊的三次方程以及一些不定方程的解法。
丢番图建立了不定方程的理论，第一次系统地提出了代数符号，创立了运算符号。
《算术》中的一些问题构成了后来的数论问题。
有些问题的结论一直被后来的数学家们津津乐道。
著名的费尔马猜想问题，就是数学家费尔马在读了《算术》这本书的译本后，在书边写下的注释。
丢番图是一位才华横溢的数学家，他解方程的手法使人感到变幻无穷，神奇莫测。
他远远超过了同时代的许多数学家。
但由于当时希腊科学状况不景气，他的著作没有产生太大的影响。
直到《算术》一书流传到中东，16世纪、17世纪又流传到欧洲时，才真正产生了影响。
丢番图逼近
1丢番图逼近数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。
这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。
数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。
由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。
由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。
当α是有理数时，上式不成立。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。
但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。
1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。
此即所谓丢番图逼近测度定理。
例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。
一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。
例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数p n/q n,满足不等式1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/q d。
亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。
根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。
以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。
丢番图的墓志铭
丢番图的墓志铭
古希腊数学家丢番图的墓志铭是以一道数学题的形式写出来的：
过路人，这里埋着丢番图的骨灰。
他的寿命有多长，下面这些数字可以告诉你。
他的生命的6
1是幸福的童年。
再活了寿命的十二分之一，细细的胡须长上了脸。
丢番图结了婚，还没有孩子，这样又过去一生的七分之一。
又过了五年，儿子降
临人世，他幸福无比。
可是这孩子生命短暂，只有父亲的一半。
儿子死后，这老头在悲痛中度过四年，终于了却尘缘。
请你讲一讲，丢番图活了多大年纪，才和死神相见？
丢番图到底活了多少岁？让我们再来看
看墓志铭，上面有两个整数—5和4，其他都是分数—占丢番图年龄的几分之几，那么只要我们知道这9年（5+4=9）占了丢番图年龄的几分之几，就可以知道他的年龄了。
我们来算一下： 1-61-121-71-21=84
9
也就是说，已知的9年占了丢番图年龄的84
9。
那么丢番图的年龄应该是84岁。
如果你学过方程，那么可以根据墓志铭列出一个方程式，设丢番图的年龄为x.
61x+121x+71x+5+21x+4=x
解方程，就能算出x=84,也就是说丢番图活了84岁。
丢番图和他的墓志铭
对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。
但在一本《希腊诗文选》 其中有46首和代数问题有关的短诗。 丢番图对代数学的发展起了 极其重要的作用，对後来的 数论学者有很深的影响。
【位于雅典卫城的帕特农神庙】 为女神雅典娜而建。它是古希腊文明最具代表性 的标志性符号之一。
x x x x 84 84 84 5 84 84 4 84 84 x 6 12 7 2
移项 得
去分母 得
14 x 7 x 12 x 420 4x 42 x 84 x 420 336
【墓志铭】
过路的人！ 这儿埋葬着丢番图。 请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少个寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一的生命旅程， 他建立了幸福的家庭。 五年后儿子出生， 不料儿子竟先于父亲四年而终， 年龄不过父亲享年的一半， 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算，丢番图活到多少岁， 才和死神见面？
请你计算（1）丢番图的寿命； （2）丢番图开始当爸的年龄； （3）儿子死时丢番图的年龄；
我们设丢番图最终为X岁。我们可以画出他的年龄示意图， 并标出各个部分 根据图上的关系，可列出方程
x x x x 5 4 x 6 12 7 2
解：设丢的寿命为X岁，根据题意得
x x x x 5 4 x 6 12 7 2
【墓志铭解析】
他生命的六分之一是幸福的童年； 再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须； 他结了婚，又度过了他一生的七分之一； 再过五年，他有了儿子，感到很幸福； 可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半； 儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。
数学名家之“代数学之父”─丢番图和“数学之父”─塞乐斯 (Thales)
“代数学之父”--丢番图目前，初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引入了未知数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家丢番图．这部著作原有１３卷．１４６４年，在威尼斯发现了前６卷希腊文抄本，最近又在马什哈德（伊朗东北部）发现了４卷阿拉伯文译本．在丢番图时代的古希腊，学者们的兴趣中心在几何，他们认为只有经过推理论证的命题才是可靠的．为了逻辑的严密性，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中，而丢番图把代数解放了出来．但是由于这一思想远远超出了同时代人的理解力而不为同时代人所接受，很快就湮没了，因此没有对当时数学的发展产生太大的影响．直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上把代数学大大向前推进了．其中最著名的当属费马（17世纪），他手持一本《算术》，并在其空白处写写画画，写下了费马大定理（直到20世纪90年代才被证明），把数论引上了近代的轨道．对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少．但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后，大部分由语法学家梅特罗多勒斯编写）中，收录了丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一．又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”墓志铭的意思是：丢番图的一生，幼年时代占１／６，青少年时代占１／１２，又过了其一生的１／７才结婚，５年后生了儿子，但很遗憾他的儿子比他还早４年去世，寿命只有他的一半．有兴趣的同学可以列方程算算丢番图到底活了多少岁．（答案：丢番图享年８４岁．）数学之父─塞乐斯 (Thales)塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家。
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著名的一个不定方程是第2卷的问题8，丢番图的表述是：
将一个已知的平方数分为两个平方数
这问题之所以有名，主要是因为17世纪法国数学家费马在阅读巴
歇校订的拉丁文本《算术》时对该问题所做的边注，引出了后来举世 瞩目的“费马大定理”。《算术》这本书也使得费马走向了近代数论 之路，他在这个本子上写了许多批注，费马的儿子将全部批注插入正 文，与1670年再版。这也说明了丢番图的《算术》这部著作对后世的 深刻影响。
当然《算术》也表现出希腊代数的一些弱点，丢番图解答代数问题 是依靠高度的技巧，方法上缺乏一般性，基本上是一题一法。难怪有 人说：研究了丢番图的一百道题后，还不知道怎样去解第一百零一道 题。
从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数
学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。 就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想﹝虽然未有 现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上 是代数。希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为 只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披 上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都 纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几 何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而 在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一 帜。他被后人称为“代数学之父”不无道理。
丢番图方程
丢番图《算术》特别以不定方程的求解而著称。所谓“不定方 程”，是指未知数个数多于方程个数的代数方程（组）它是数论的一 个分支。这类问题在丢番图以前已有人接触过，如阿基米德“牛群问 题”，就涉及含8个未知数的7个方程的求解。但丢番图是第一个对不 定方程问题作广泛、深入研究的数学家，以致今天我们常常把求整系 数不定方程的整数解的问题叫“丢番图问题”或“丢番图分析”，而 将不定方程称之为“丢番图方程”。
丢番图方程是数论中最古老的一个分支，其内容极其丰富，与代 数数论，代数几何，组合数学等有密切的联系。它的分类基本上是由 方程的形式决定的，例如，可分为一次方程、二次方程、三次方程、 高次方程、指数方程和一些特殊类型的方程，以及和许多学科交叉渗 透产生的新的类型。
研究丢番图方程的历史悠久。近年来在这领域已经出现了许多 引人注目的优秀成果，主要归纳为两个方面的。一方面是对丢番图方 程本身的，一方面是丢番图方程对群论，组合论、代数论以及相关学 科领域的应用。但由于丢番图方程对解的特殊限制，在数论及数学的 其他分支，有许多急待解决而又有很大困难的问题最终都可归纳为某 些丢番图方程的求解问题，因此丢番图方程称为历史上最为活跃的数 学领域之一。国内外有很多优秀的数学家都从事过丢番图方程的研究。 近三十年来，这个领域有其重要的发展，如在信息编码理论，代数数 论以及丢番图分析理论中都要用到不少类型的三次丢番图方程的结果。 这就迫使我们有必要研究三次丢番图方程的一些基本类型的解法。对 于一次和两次丢番图方程的解法，已经基本成熟，而对于三次丢番图 方程的解法，还没有一般的结论，还有待于进一步的讨论。
古希腊数学家 ——丢番图
生平事迹
对于丢番图的生平事迹，人们知道的很少。据推断和计算 而知，丢番图是约公元246-300年古希腊亚历山大后期的重要 学者和数学家。在一本《希腊诗文选》（这是公元500年前后 的遗物，大部分为语法学家梅特罗多勒斯所著，其中有46首和 代数问题有关的短诗）记载到亚历山大时期的丢番图对代数学 的发展起到了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影 响。
丢番图被认为是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研 究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。丢番图 有几种著作，最重要的是《算术》，还有一部是《多角数》， 另外一些已遗失。
墓志铭
丢番图的出生日期不可考，但他的墓碑上有很经典的一道数学题目被收 集在公元5世纪前后的希腊诗文集中，内容是这样的：
坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。 上帝给予他的童年占六分之一， 又过了十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子，
可怜迟来的儿子，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。
终于告别数学，离开了人世。
1 x 5 1 x 4 解得 x 84
6 12 7
2
由此可知丢番图活了84岁。
（2）.丢番图开始当爸爸的年龄： （岁）
84
1 ×（ 6
1 12
1 7 ）+5=38
则丢番图开始当爸爸的年龄为38岁。
（3）.儿子死时丢番图的年龄： 84-4=80（岁）
《算术》
在所有亚历山大后期的数学著作中，古典希腊几何传统最离经叛 道的一本要属丢番图的《算术》，这部具有东方的色彩的著作，用纯 分析的角度处理数论问题，可以看作是希腊算术与代数成就的最高标 志。
《算术》是一本问题集，据作者自序称全书共13卷，但长期以来， 大家以为只有J.雷格蒙塔努斯1464年在威尼斯发现的前6卷希腊文手 抄本保存下来，1973年在伊朗境内的马什哈德又发现了4卷阿拉伯文。 这样，现存的丢番图《算术》共10卷（1-10），含290个问题。
《算术》是讲数的理论的，但大部分内容可以划入代数的范围。 它的特点是完全脱离了几何的形式，与欧几里得时代的经典大异其趣。 另一个特点是创用了一套缩写符号，如未知量、未知量的各次幂等都 用特殊符号来表示。在丢番图以前，所有的问题都是用文字来叙述。 丢番图创用的这些记号，虽然还只具缩写性质，却不失为代数符号的 滥觞。有人称丢番图类型的代数为“简写代数”。是真正符号代数出 现之前的一个重要阶段，这在代数发展史上是一个巨大的进步。