人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义》精品课件_26

Ox
|z|=|OZ | a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
练习： 1.求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i
(3)z3=5-5i
2.求复数z1=3+4i 及z2 =1-5i的模，并且比 较它们模的大小。
例2：
满足|z|=5(z∈C)
的复数z对应的点在
复平面上将构成怎
A．(－∞，1) B.(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(4)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，
－2＋4i，试求：
(1)AO 、BC 所表示的复数；
(2)对角线 CA所表示的复数；
(3)B点对应的复数．
(4)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，

x
2

2x
15

0.
即 3 x 2 时，点Z在第三象限．
（2）当实数x满足
x2 x 6 0,

x
2

2
x

15

0.
即 2 x 5 时，点Z在第四象限．
（3）当实数x 满足 ( x2 x 6) ( x2 2x 15) 3 0
–3
–5
35
x
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
变式训练二：
若复数z(x,y)对应点集为圆:
x, y(x 1)2 (y 3)2 1, x, y R
试求│z│的最大值与最小值.
3
1
y
2o x 1o11
高考链接：
(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)
－2＋4i，试求：
(1)AO 、BC 所表示的复数；
(2)对角线 CA所表示的复数；
(3)B点对应的复数．
解：(1) AO OA ，所以 AO 所表示的复数为－3－2i.
因为 BC AO，所以 BC 所表示的复数为－3－2i.
(2) CA OA OC，CA 表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i) ＝5－2i.
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
各象限内 的点分别表示什么样的数？
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i
证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四 象限。
证明：若复数所对应的点位于第四象限，
则m m
2 2

注意：不是实数的复数不能比较大小，但 是复数的模可以比较大小。
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
a(a ≥ 0) a(a 0)
思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
G
A C
F
O
E
X
D
B
H
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由mm22

m m

6 2

0 0
得m
3 m 2 2或 m
1
m (3,2) (1,2)
即 x 2时，点Z在直线 x y 3 0 上 .
问题： 还用点坐标表示过什么？
平面向量
每一个向量都对应一个坐标吗？
每一个坐标都对应一个向量吗？ 起点为O
向量与坐标能够一一对应
向量 OZ 与 点 Z(a,b) 一．一．对．应．。
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
3.1.2复数的几何意义
最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学 家海伦，他考虑的是平顶金字塔不可能问题。 16世纪意大利米兰学者卡尔达诺第一次把负数的 平方根写到公式中。 给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔 欧拉第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号 i作为虚数的单位。 挪威的测量学家韦塞尔在1797年首先发表虚数的 几何解释。 随即瑞士的藏书家阿甘得出书进行讨论。 1799年高斯给予认同，并完善了复数的几何解释， 他又第一次提出了“复数”这个名词，使得复数 不再显得那么虚无缥缈了，人们从此真正接受了 复数.
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数?
想一想
实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
实数
数轴上的点
(数)
(形)
实数的几何模型:
0. 1
x
类比实数的表示， 可以用什么来表示
复数？
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数 由什么唯 一确定？
复数的几何意义（一）
2. 数学思想：
(1)转化思想 (2)数形结合思想 (3)类比思想
作业
课本P55 A组 4，5

B组 1，2
导学案 补充作业
m m

6 2

0 0
即m
3或m 2 m
1
2
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
变式二：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
实轴上的点表示实数， 除了原点外，虚轴上的点 都表示纯虚数，各象限内 的点表示实部不为零的虚 数.
注意：点Z的坐标是（a,b）,而不是（a,bi）。
思考1 ： 复数与点的对应
Y
（１） ２+５i ；
（２） －３+２i；
（３） ２－４i；
１
（４） －３－５i；
２
（５） ５；
（６） －３i；
O
５
X
６
３
４
(3)OB OA AB OA OC，
所以 OB 所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i 即B点对应的复数为1＋6i.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi （数）
一一对应
直角坐标系中
的点Z(a,b) （形）
平面向量OZ
1. 数学知识：
(1)复平面 (2)复数的模 (3)复数的模的几何意义
样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
y 5
5
O
x
–5
图形: 以原点为圆心, 半径为5的圆
变式训练一：
y
满足3<|z|<5(z∈C)
5
的复数z对应的点在复 平面上将构成怎样的图
3
形？
–5 –3
5
设z=x+yi(x,y∈R)
O
3 x2 y2 5
9 x2 y2 25
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。
练习：实数x分别取什么值时，复数 z x2 x 6 ( x2 2x 15)i
对应的点Z在（1）第三象限？（2）第四象限？（3）直线
x y 3 0 上？
x2 x 6 0,
解：（1）当实数x满足
的点位于( C )
A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于( D)
A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(3)(2017·高考北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内
对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )
一一对应
一一对应
平面向量 OZ
注意：
y ①实数0与零向量对应。
z=a+bi Z(a,b)
②相等的向量表示同一个 b 复数。
a
ox
复数的模的几何意义
对应平面向量 OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
| z | = |OZ | a2 b2