高中数学课时天天提分练25两角和与差的三角函数习题课北师大版必修
2021年高考数学 3.5同角三角函数的基本关系式与两角和与差的三角函数课时提升作业 理 北师大版
2021年高考数学 3.5同角三角函数的基本关系式与两角和与差的三角函数课时提升作业理北师大版一、选择题1.(xx·安庆模拟)已知=-,那么的值是( )(A) (B)- (C)2 (D)-22.(xx·九江模拟)已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),则tanx等于( )(A)- (B)- (C) (D)3.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ为( )(A)kπ(k∈Z) (B)kπ+(k∈Z)(C)kπ+(k∈Z) (D)-kπ-(k∈Z)4.(xx·渭南模拟)若x=是f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)图像的一条对称轴,当ω取最小值时( )(A)f(x)在(0,)上是增加的(B)f(x)在(-,)上是减少的(C)f(x)在(0,)上是减少的(D)f(x)在(-,)上是增加的5.(xx·延安模拟)若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为( )(A)1 (B)2 (C)+1 (D)+26.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=( )(A) (B)-(C) (D)-二、填空题7.(xx·阜阳模拟)已知cos(-100°)=m,则tan80°= .8.已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围是.9.已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),则tanβ的最大值是.三、解答题10.已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-),x∈R.(1)求f(x)最小正周期和最小值.(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求证:[f(β)]2-2=0.11.(能力挑战题)已知幂函数g(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增加的,又f(x)=sinx+mcosx,F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1,f′(x)是f(x)的导函数.(1)若tanx=,求F(x)的值.(2)把F(x)图像的横坐标缩短为原来的一半后得到H(x),求H(x)的递减区间.12.(1)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(2)已知cosα=-,α∈(π,π),tanβ=-,β∈(,π),求cos(α+β).1.【解析】选A.设=t,则=,∴·=-,∴-===-1,∴t=,即=.2.【解析】选D.∵cos(π+x)=-cosx=,∴cosx=-,又π<x<2π,∴sinx=-=-,∴tanx==.3.【解析】选D.由已知得,f(x)=2[cos(3x-θ)-sin(3x-θ)]=2sin(-3x+θ)=-2sin(3x--θ).∵f(x)是奇函数,∴--θ=kπ(k∈Z).故θ=-kπ-(k∈Z).4.【解析】选D.f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),由x=是y=f(x)的一条对称轴知ω+=kπ+(k∈Z),所以ω=6k+2(k∈Z),又ω>0,故ω的最小值为2,此时f(x)=2sin(2x+).当x∈(0,)时,2x+∈(,π),故f(x)不单调,故A,C错误;当x∈(-,)时,2x+∈(-,),故f(x)是增加的,故D正确,B错误.5.【解析】选B.y=(1+tanx)cosx=cosx+sinx=2sin(x+),由0≤x<,得≤x+<,故当x=时,有最大值2.6.【解析】选C.对于cos(α+)=cos[(+α)-(-)]=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-),而+α∈(,),-∈(,),因此sin(+α)=,sin(-)=,则cos(α+)=×+×=.7.【解析】cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=m,∴cos 80°=-m,∴m<0,∴sin80°==,∴tan80°==-.答案:-8.【解析】f(x)=sinx-cosx=2sin(x-),由f(x)≥1,得sin(x-)≥,∴2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),∴2kπ+≤x≤2kπ+π(k∈Z).答案:[2kπ+,2kπ+π](k∈Z)9.【解析】由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得sin(α+β)cosα=2cos(α∴tan(α+β)=2tanα,∴tanβ=tan(α+β-α)===.由题意知,tanα>0,∴+2tanα≥2(当且仅当=2tanα,即tanα=时等号成立),∴tanβ的最大值为=.答案:【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用.(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换,出现和或差的形式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,分子分母同除,切函数化成弦函数等技巧.10.【思路点拨】(1)将f(x)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式求解.(2)由条件求得β的值后再证明.【解析】(1)f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx-cosx=2sin(x-),∴f(x)的最小正周期T=2π,最小值f(x)min=-2.(2)由已知得cosαcosβ+sinαsinβ=,cosαcosβ-sinαsinβ=-,两式相加得2cosαcosβ=0,∵0<α<β≤,∴cosβ=0,则β=,∴[f(β)]2-2=4sin2-2=0.【变式备选】函数f(x)=sin2x--.(1)若x∈[,],求函数f(x)的最值及对应的x的值.(2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)=sin 2x--=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,∵x∈[,],∴≤2x-≤,当2x-=,即x=时,f(x)max=0,当2x-=,即x=时,f(x)min=-.(2)方法一:∵[f(x)-m]2<1(x∈[,])f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[,]),∴m>f(x)max-1且m<f(x)min+1,故m的取值范围为(-1,).方法二:∵[f(x)-m]2<1m-1<f(x)<m+1,∴m-1<-且m+1>0,故-1<m<,故m的取值范围是(-1,).11.【思路点拨】由函数为偶函数求得m,进而得f(x)及f′(x),然后根据条件求解.【解析】(1)幂函数g(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增加的,-m2+2m+3>0⇒-1<m<3,又m∈Z,函数g(x)为偶函数,故m=1.∴f(x)=sinx+cosx,f′(x)=cosx-sinx,∴F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1=2(cosx-sinx)cosx-1=cos 2x-sin 2x=-=-=.(2)由(1)知:F(x)=cos 2x-sin 2x=cos(2x+),∴H(x)=cos(4x+).令2kπ≤4x+≤2kπ+π,k∈Z得:-≤x≤+,k∈Z,∴H(x)的递减区间为[-,+](k∈Z).12.【思路点拨】(1)①建立坐标系,利用两点间的距离公式证明;②利用诱导公式及两角和的余弦公式证明.(2)直接利用公式求解.【解析】(1)①如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox轴非负半轴,交☉O于点P1,终边交☉O于点P2;角β的始边为OP2,终边交☉O于点P3,角-β的始边为OP1,终边交☉O于点P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2,展开并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ).∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.②由①易得,cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα.sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)=sinαcosβ+cosαsinβ.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(2)∵α∈(π,π),cosα=-,∴sinα=-.∵β∈(,π),tanβ=-,∴cosβ=-,sinβ=.cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-)×(-)-(-)×=.29930 74EA 瓪 %40561 9E71 鹱•26442 674A 杊20107 4E8B 事Y26358 66F6 曶B33671 8387 莇[#30545 7751 睑31885 7C8D 粍。
高中(北师大版)数学必修4单元测试卷)：25两角和与差的三角函数习题课 含解析
所以左边＝ ＝ ＝ ＝ ，
右边＝ － － ＝ － － ＝ － －tan ＝ － －tan ＝ ，
所以左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝ sin －cos ，x∈R.
(1)求f 的Leabharlann ；(2)若α，β∈ ，f ＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求cos(α＋β)的值．
5．已知sin ＝sinα＝－ ，－ <α<0，则cos 等于()
A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：因为sin ＋sinα＝－ ，所以sin ＋sin ＝－ ，
所以sin ＋sin cos －cos sin ＝－ ，所以 sin － cos ＝－ ，
所以－ ＝－ ，
－ cos ＝－ ，cos ＝ ，
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．化简sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－ cos(120°－x)＝__________.
答案：0
解析：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－ cos120°cosx－ sin120°sinx
＝ sinx－ cosx＋ cosx－ sinx＝0.
8．函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为________．
答案：[－5,1]
解析：y＝2 sin2x＋2cos2x－3＝4sin －3.又x∈ ，所以2x＋ ∈ ，sin ∈ ，所以－2≤4sin ≤4，所以－5≤4sin －3≤1.所以函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为[－5,1]．
③cos( ＋α)＝－sinα
④tan( －α)＝cotα
2017-2018学年高中数学 25 两角和与差的三角函数习题课练习(含解析)北师大版必修4
8．函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为________．
答案：[－5,1]
解析：y＝2 sin2x＋2cos2x－3＝4sin －3.又x∈ ，所以2x＋ ∈ ，sin ∈ ，所以－2≤4sin ≤4，所以－5≤4sin －3≤1.所以函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为[－5,1]．
A. B．π C．2πD．4π
答案：B
解析：∵y＝ cos2x－ sin2x＋sin2x＝sin ，∴周期T＝π.
3．若 sinα＋cosα＝－ ，则cos( －α)等于()
A. B. C．－ D．－
答案：C
解析： sinα＋cosα＝2sin(α＋ )＝－ .
cos( －α)＝cos( －α)＝cos[ －(α＋ )]＝sin(α＋ )＝－ .
③cos( ＋α)＝－sinα
④tan( －α)＝cotα
⑤tan(α－β)＝
其中恒成立的等式有()
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案：B
解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝0时，④中的tan( －0)无意义，当α＝β＋ 时，⑤式中的tan(α－β)无意义．
2．函数y＝sin ＋sin2x的最小正周期是()
5．已知sin ＝sinα＝－ ，－ <α<0，则cos 等于()
A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：因为sin ＋sinα＝－ ，所以sin ＋sin ＝－ ，
所以sin ＋sin cos －cos sin ＝－ ，所以 sin － cos ＝－ ，
所以－ ＝－ ，
－ cos ＝－ ，cos ＝ ，
数学北师大版必修4练习25 两角和与差的三角函数习题课 Word版含解析(1)
两角和与差的三角函数习题课时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题：(每小题分，共×＝分)．已知α为任意角，则下列等式①(α＋β)＝αβ＋αβ②(α＋β)＝αβ－αβ③(＋α)＝－α④(－α)＝α⑤(α－β)＝其中恒成立的等式有( )．个．个．个．个答案：解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝时，④中的(－)无意义，当α＝β＋时，⑤式中的(α－β)无意义．．函数＝＋的最小正周期是( )．π．π．π答案：解析：∵＝－＋＝，∴周期＝π.．若α＋α＝－，则(－α)等于( )．－．－答案：解析：α＋α＝(α＋)＝－.(－α)＝(－α)＝[－(α＋)]＝(α＋)＝－.．若α＝，(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )或或答案：解析：因为α∈，所以α∈.又α＝，故α∈，所以α∈，所以α＝－.又β∈，所以β－α∈，且α＋β∈，于是(β－α)＝－，所以(α＋β)＝[α＋(β－α)]＝α(β－α)－α(β－α)＝－×－×＝，故α＋β＝.．已知＝α＝－，－<α<，则等于( )．－．－答案：解析：因为＋α＝－，所以＋＝－，所以＋－＝－，所以－＝－，所以－＝－，－＝－，＝，所以＝＝，故选.．在△中，若＝，且＝(－)，则△的形状是( )．等腰三角形．等腰但非直角三角形．等腰直角三角形．等边三角形答案：解析：由＝可知，＝.所以＋＝，故＝.由条件可知，(－)＝，又因为角、是三角形的内角，可得＝，故三角形为等边三角形．二、填空题：(每小题分，共×＝分)．化简(＋°)＋(－°)－(°－)＝.答案：解析：原式＝°＋°＋°－°－°－°＝－＋－＝.．函数＝＋－在∈上的值域为．答案：[－]解析：＝＋－＝－.又∈，所以＋∈，∈，所以－≤≤，所以－≤－≤.所以函数＝＋－在∈上的值域为[－]．．已知α＝，(β－α)＝，α为第三象限角，那么(β－α)的值为．答案：－解析：依题意，知α＝，(β－α)＝，∴(β－α)＝[(β－α)－α]＝＝＝－.三、解答题：(共分，＋＋)．已知α＝，证明：α＋αα＝－－.解析：因为α＝，所以左边＝＝＝＝，右边＝－－＝－－＝－－＝－－＝，所以左边＝右边，所以原等式成立．．已知函数()＝－，∈.()求的值；()若α，β∈，＝，(β＋π)＝，求(α＋β)的值．解析：()∵()＝－，∈，∴()＝，∈＝＝＝.()＝α＝，∴α＝，∵α∈，∴α＝.(β＋π)＝＝β＝，∴β＝，∵β∈，∴β＝.∴(α＋β)＝αβ－αβ＝×－×＝.．已知αβ＝，求βα的取值范围．解析：(β＋α)＝βα＋βα＝βα＋，(β－α)＝βα－βα＝βα－.因为－≤(β±α)≤所以(\\(－≤βα＋()≤，,－≤βα－()≤.))所以－≤βα≤.即当α＋β＝π＋(∈)时，α，β同号，右边等号成立；当β－α＝π－(∈)时，α，β异号，左边等号成立．。
高中数学必修四北师大版 两 角 和 与 差 的 正 切 函 数 课时训练 含答案
双基限时练(二十七) 两角和与差的正切函数一、选择题1.sin15°＋cos15°sin15°－cos15°的值为( ) A.33 B.2＋64 C.2－64 D ．－ 3解析sin15°＋cos15°sin15°－cos15°＝tan15°＋1tan15°－1＝－tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝－tan60°＝－ 3.答案 D2．若A 、B 为锐角三角形的两个内角，则tan A ·tan B 的值( ) A ．不大于1 B ．小于1 C ．等于1D ．大于1解析 tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＞0，又tan A ＋tan B ＞0，∴1－tan A tan B ＜0，即tan A ·tan B ＞1.答案 D3．若tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16解析 tan(α＋π4)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 答案 C4．若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos(A ＋B )的值为( ) A ．－22 B.22 C ．±22D ．±12解析 由于tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B 且tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，∴tan(A ＋B )＝－1.∴cos(A ＋B )＝±22. 答案 C5．tan20°tan50°＋tan20°tan60°－tan60°tan50°等于( ) A ．1 B ．－1 C. 3D ．－ 3解析 原式＝tan20°(tan50°＋tan60°)－tan60°tan50°＝tan20°tan110°(1－tan50°tan60°)－tan60°tan50°＝tan20°(－tan70°)(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60° ＝－(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60° ＝－1. 答案 B6．设tan θ和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )A ．p ＋q ＋1＝0B ．p －q ＋1＝0C ．p ＋q －1＝0D ．p －q －1＝0解析 由韦达定理得tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－p ， tan θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝q .又tan π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋tan θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θtan θ＝－p1－q＝1，∴－p ＝1－q . ∴p －q ＋1＝0. 答案 B 二、填空题7．若sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°＝________.解析 原式＝sin15°cos8°－cos15°sin8°＋cos15°sin8°cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.答案 2－ 38．已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝________.解析 ∵α为第三象限的角，则2k π＋π≤α≤2k π＋3π2，∴4k π＋2π≤2α≤4k π＋3π(k ∈Z )．又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，tan2α＝－43，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1＋tan2α1－tan2α＝－17. 答案 －179．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为__________ 解析 依题意，tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tan π31－tan θtan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.答案 2－ 310．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α，∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 答案 1 三、解答题 11．化简下列各式． (1)1＋cot15°1－tan75°；。
课时规范练 两角和与差的三角函数、二倍角公式--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
课时规范练29 两角和与差的三角函数、二倍角公式
基础 巩固练
B
D
D
AC
B
6.(2024·广东茂名模拟)下列四个函数中,最小正周期T 与其余三个函数不同的是( )
A.f (x )=cos 2x+sin x cos
x
C
7.(2024·广东梅州模拟)在平面直角坐标系中,点A(2,1)绕着原点O顺时针旋转60°得到点B,点B的横坐标为 .
综合 提升练
A
11.(2024·山东泰安高三期末)已知函数f(x)=2sin x+4cos x在x=φ处取得最大值,则cos φ=( )
A
C
1
创新 应用练
14.(2024·浙江镇海中学模拟)赵爽弦图是中国古代数学的重要发现,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).已知小正方形的面积为1,直角三角形中较小的锐角为θ,且tan ,则大正方形
的面积为( )
A.4
B.5
C.16
D.25
D
B
解析因为α,β∈(0,π2),sin(2α+β)=2sin β,所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α], sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],即
0,tan β>0,
3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α,所以tan(α+β)=3tan α,因为tan α>
本 课 结 束。
高中数学课时天天提分练27二倍角的三角函数2北师大版必修25
＝cos78°＝sin12°，
c＝cos81°＝sin9°，
d＝ (cos80°－cos100°)＝cos80°＝sin10°，故b＞a＞d＞c.
5．已知2π<θ<3π，cosθ＝m，则sin ＝()
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
解析：因为2π<θ<3π，所以π< < .又cosθ＝m，所以sin ＝－ ＝－ ，故选A.
9．化简cos2A＋cos2 ＋cos2 ＝
__________.
答案：
解析：原式＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ cos2A＋2cos cos2A
＝ ＋ ＝ .
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知tanα＝ ，tanβ＝ ，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解析：tan2β＝ ＝ ，
tan(α＋2β)＝ ＝1.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知sinx＝ ，且 ＜x＜π，则sin ＝__________.
答案：
解析：∵ ＜x＜π，∴cosx＝－ ＝－ ，
∴sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
8．已知θ∈(0，π)，且sin ＝ ，则tan2θ＝________.
答案：－
解析：由sin ＝ ，得 (sinθ－cosθ)＝ ⇒sinθ－cosθ＝ .解方程组 ，得 或 .因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以 不合题意，舍去，所以tanθ＝ ，所以tan2θ＝ ＝ ＝－ .
解析：(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2× ＝－ .
(2)因为f ＝2cos ＝2cos ＝－2sinα＝ ，所以sinα＝－ .
北师大版数学高一-北师大版必修4练习 25 两角和与差的三角函数习题课
其中恒成立的等式有()
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案：B
解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝0时，④中的tan( －0)无意义，当α＝β＋ 时，⑤式中的tan(α－β)无意义．
2．函数y＝sin ＋sin2x的最小正周期是()
A. B．πC．2πD．4π
解析：因为tanα＝2，
所以左边＝ ＝ ＝ ＝ ，
右边＝ － － ＝ － － ＝ － －tan ＝ － －tan ＝ ，
所以左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝ sin －cos ，x∈R.
(1)求f 的值；
(2)若α，β∈ ，f ＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求cos(α＋β)的值．
解析：(1)∵f(x)＝ sin －cos ，x∈R，
∴f(x)＝2sin ，x∈R.f ＝2sin ＝2sin ＝ .
(2)f ＝2sinα＝ ，∴sinα＝ ，∵α∈ ，∴cosα＝ .
f(3β＋2π)＝2sin ＝2cosβ＝ ，∴cosβ＝ ，∵β∈ ，∴sinβ＝ .
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ × － × ＝ .
4．若sin2α＝ ，sin(β－α)＝ ，且α∈ ，β∈ ，则α＋β的值是()
A. B.
C. 或 D. 或
答案：A
解析：因为α∈ ，所以2α∈ .又sin2α＝ ，故2α∈ ，所以α∈ ，所以cos2α＝－ .又β∈ ，所以β－α∈ ，且α＋β∈ ，于是cos(β－α)＝－ ，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－ × － × ＝ ，故α＋β＝ .
高中数学 第三章 三角恒等变形 25 两角和与差的三角函数习题课 北师大版必修4
解析：sin(β＋α)＝sinβcosα＋cosβsinα＝sinβcosα＋ ，
sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝sinβcosα－ .因为－1≤sin(β±α)≤1
所以 所以－ ≤sinβcosα≤ .
即当α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)时，cosα，sinβ同号，右边等号成立；当β－α＝2kπ－ (k∈Z)时，cosα，sinβ异号，左边等号成立．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．化简sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－ cos(120°－：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－ cos120°cosx－ sin120°sinx
＝ sinx－ cosx＋ cosx－ sinx＝0.
8．函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为________．
答案：[－5,1]
解析：y＝2 sin2x＋2cos2x－3＝4sin －3.又x∈ ，所以2x＋ ∈ ，sin ∈ ，所以－2≤4sin ≤4，所以－5≤4sin －3≤1.所以函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为[－5,1]．
③cos( ＋α)＝－sinα
④tan( －α)＝cotα
⑤tan(α－β)＝
其中恒成立的等式有( )
A．2个 B．3个C．4个 D．5个
答案：B
解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝0时，④中的tan( －0)无意义，当α＝β＋ 时，⑤式中的tan(α－β)无意义．
2．函数y＝sin ＋sin2x的最小正周期是( )
A. B．πC．2π D．4π
【精品提分练习】高中数学第三章三角恒等变形2.3两角和与差的正切函数学案北师大版必修40108284
2.3 两角和与差的正切函数内容要求 能够利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能灵活运用公式及变形解决相关问题(重、难点)．知识点 两角和与差的正切公式【预习评价】 1．tan 105°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－1－ 3 C.－3－33D ．－2＋ 3答案 A2.tan 49°＋tan 11°1－tan 49°tan 11°＝________. 答案3题型一 化简求值【例1】 求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法 在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的． 【训练1】 (1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. 解 (1)∵tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－333－1＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°·tan 50°＝tan(10°＋50°)(1－ta n 10°·tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.【探究1】 若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.答案 75【探究2】 已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．解 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35.又∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.又∵tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.【探究3】 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，求： (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；(2)tan(α＋β)．解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2·22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3. 【探究4】 已知A 、B 、C 是三角形ABC 的三个内角，且tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，求tan C .解 因为tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tan B ＝－13，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2，又A ＋B ＋C ＝π.所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.规律方法 “给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角． 题型三 给值求角【例2】 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 因为tan β＝－17，tan(α－β)＝12，所以tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13，所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝α－β＋tan α1－α－βα＝12＋131－13×12＝1.因为tan α＝13＞0，tan β＝－17＜0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α－β∈(－π，0)． 又tan(α－β)＝12＞0，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1，故2α－β＝－3π4.规律方法 在求角问题中，常常出现忽视角的范围而出现增根不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应． 【训练2】 已知tan α，tan β是x 2＋33x ＋4＝0的两根，－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，求α＋β的值． 解 ∵tan α＋tan β＝－33＜0，tan α·tan β＝4＞0， ∴tan α＜0，tan β＜0， ∵－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，∴－π2＜α＜0，－π2＜β＜0.∴－π＜α＋β＜0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.课堂达标1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3 解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 A2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2. 答案 B3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝____.解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.答案π44．在△ABC 中，tan A ＝34，tan B ＝513，那么tan C 的值等于________．解析 tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34＋5131－34×513＝－5937.答案 －59375．若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β. 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.课堂小结1．公式T α±β的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.3．公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路.基础过关1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7解析 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.故选A. 答案 A2.1＋tan 75°1－tan 75°＝( ) A.33 B. 3 C ．－33D ．－ 3解析 原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. 答案 D3．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值为( )A ．－34B.98 C ．－98D.112解析 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－251－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝112.答案 D4．已知tan(α＋β)＝13，tan α＝－2，则tan β＝________.解析 ∵β＝(α＋β)－α，∴tan β＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝7.答案 75．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7，则sin α＝________.解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－7， ∴tan α＝－34＜0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35.答案 356．求下列各式的值．(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)． 解 (1)原式＝－＋cos 15°sin 8°－－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求2sin αcos α－cos 2α2cos 2α的值． 解 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，∴1＋tan α1－tan α＝12.∴tan α＝－13. (2)原式＝2tan α－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－12＝－56.能力提升8．若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1)D.3(a ＋1)解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a )． 答案 B9．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1B ．2C ．tan 10°D.3tan 20°解析 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1. 答案 A10．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin α＋βcos α－β＝________.解析sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋－＝－32.答案 －3211．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.答案 112.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为2 10，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255，因α为锐角，故sin α＞0.从而sin α＝1－cos2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2.审定部编版试题欢迎您下载！ 从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4. 13．(选做题)是否存在锐角α和β，使①α＋2β＝2π3，②tan α2·tan β＝2－3，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解 解法一：由①得α2＋β＝π3. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 将②代入得tan α2＋tan β＝3－ 3. ∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根． 解得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则与α为锐角矛盾． ∴tan β＝1，tan α2＝2－3， ∴β＝π4， 代入①得α＝π6， 满足tan α2＝2－ 3. 解法二：由①得α2＝π3－β，代入②得： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－β·tan β＝2－3⇒3－tan β1＋3tan β·tan β＝2－3⇒tan 2β－(3－3)tan β＋2－3＝0，tan β＝1或2－ 3.若tan β＝1，则β＝π4，α＝π6. 若tan β＝2－3，代入②得tan α2＝1.不合题意． 故存在α＝π6，β＝π4，使①②同时成立．。
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A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：因为sin ＋sinα＝－ ，所以sin ＋sin ＝－ ，
所以sin ＋sin cos －cos sin ＝－ ，所以 sin － cos ＝－ ，
所以－ ＝－ ，
－ cos ＝－ ，cos ＝ ，
9．已知tan2α＝ ，tan(β－α)＝ ，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为________．
答案：－
解析：依题意，知tanα＝ ，tan(β－α)＝ ，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝ ＝ ＝－ .
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知tanα＝2，证明：sin2α＋sinαcosα＝ － － .
25 两角和与差的三角函数习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知α为任意角，则下列等式
①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
解析：(1)∵f(x)＝ sin －cos ，x∈R，
∴f(x)＝2sin ，x∈R.f ＝2sin ＝2sin ＝ .
(2)f ＝2sinα＝ ，∴sinα＝ ，∵α∈ ，∴cosα＝ .
f(3β＋2π)＝2sin ＝2cosβ＝ ，∴cosβ＝ ，∵β∈ ，∴sinβ＝ .
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ × － × ＝ .
解析：因为tanα＝2，
所以左边＝ ＝ ＝ ＝ ，
右边＝ － － ＝ － － ＝ － －tan ＝ － －tan ＝ ，
所以左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝ sin －cos ，x∈R.
(1)求f 的值；
(2)若α，β∈ ，f ＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求cos(α＋β)的值．
＝ sinx－ cosx＋ cosx－ sinx＝0.
8．函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为________．
答案：[－5,1]
解析：y＝2 sin2x＋2cos2x－3＝4sin －3.又x∈ ，所以2x＋ ∈ ，sin ∈ ，所以－2≤4sin ≤4，所以－5≤4sin －3≤1.所以函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为[－5,1]．
A. B．πC．2π D．4π
答案：B
解析：∵y＝ cos2x－ sin2x＋sin2x＝sin ，∴周期T＝π.
3．若 sinα＋cosα＝－ ，则cos( －α)等于( )
A. B. C．－ D．－
答案：C
解析： sinα＋cosα＝2sin(α＋ )＝－ .
cos( －α)＝cos( －α)＝cos[ －(α＋ )]＝sin(α＋ )＝－ .
4．若sin2α＝ ，sin(β－α)＝ ，且α∈ ，β∈ ，则α＋β的值是( )
A. B.
C. 或 D. 或
答案：A
解析：因为α∈ ，所以2α∈ .又sin2α＝ ，故2α∈ ，所以α∈ ，所以cos2α＝－ .又β∈ ，所以β－α∈ ，且α＋β∈ ，于是cos(β－α)＝－ ，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－ × － × ＝ ，故α＋β＝ .
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．化简sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－ cos(120°－x)＝__________.
答案：0
解析：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－ cos120°cosx－ sin120°sinx
所以cos ＝cos ＝ ，故选D.
6．在△ABC中，若tanC＝ ，且sinAcosB＝cos( －B)sinB，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．等腰但非直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
答案：D
解析：由tanC＝ 可知，C＝ .所以A＋B＝ ，故cos ＝cosA.由条件可知，sin(A－B)＝0，又因为角A、B是三角形的内角，可得A＝B，故三角形为等边三角形．
③cos( ＋α)＝－sinα
④tan( －α)＝cotα
⑤tan(α－β)＝
其中恒成立的等式有(5个
答案：B
解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝0时，④中的tan( －0)无意义，当α＝β＋ 时，⑤式中的tan(α－β)无意义．
2．函数y＝sin ＋sin2x的最小正周期是( )
12．已知sinαcosβ＝ ，求 sinβcosα的取值范围．
解析：sin(β＋α)＝sinβcosα＋cosβsinα＝sinβcosα＋ ，
sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝sinβcosα－ .因为－1≤sin(β±α)≤1
所以 所以－ ≤sinβcosα≤ .
即当α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)时，cosα，sinβ同号，右边等号成立；当β－α＝2kπ－ (k∈Z)时，cosα，sinβ异号，左边等号成立．