光纤光学_第二章

模式命名： 模式命名： • 根据场的纵向分量 和Hz的存在与否 可将模式命 根据场的纵向分量Ez和 的存在与否 的存在与否,可将模式命 名为: 名为 • (1)横电磁模 横电磁模(TEM): Ez＝Hz＝0; 横电磁模 ＝ ＝ • (2)横电模 横电模(TE): Ez＝0, Hz≠0; 横电模 ＝ • (3)横磁模 横磁模(TM): Ez≠0,Hz＝0; 横磁模 ＝ • (4)混杂模 混杂模(HE或EH):Ez≠0, Hz≠0。 混杂模 或 。 • 光纤中存在的模式多数为 光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有时也出现 模 有时也出现 TE(TM)模。 模 • 光纤中不可能存在TEM模 光纤中不可能存在 模
5. 波导场方程与模式 2 2 亥姆霍兹方程： 亥姆霍兹方程： ∇ Ψ( x, y, z) + k Ψ( x, y, z) = 0
根据光纤中电磁波传播的特征， 根据光纤中电磁波传播的特征，可以对亥姆霍兹方程进行 空间坐标纵、横分离。 空间坐标纵、横分离。令：
Ψ( x, y, z) = φ ( x, y) e
2 2
描述光波的光程 函数Q的变化的 函数 的变化的 方程
程函方程
当 射 分 已 时就 由 函 程 出 程 数 , 折 率 布 知 , 可 程 方 求 光 函 Q 并 而 Q( x, y, z) = const.求 光 的 迹 进 由 得 线 轨
光线方程 由程函方程可以推得光线方程， 由程函方程可以推得光线方程，这可直接确定光线的轨迹
E( x, y, z) = E0 ( x, y, z) exp −ik0Q( x, y, z) H ( x, y, z) = H0 ( x, y, z) exp −ik0Q( x, y, z)
E0 , H0是 幅 k0Q是 位 Q是 程 振 , 相 , 光
因此有： 因此有：
d dr n( r ) ds =∇n( r ) ds
另一种方法： 另一种方法：
2
光线方程
∇Q ( r ) = n 2 ( r ) ⇒ 2∇Q ( r )i∇ ∇Q ( r ) = 2n ( r ) ⋅∇n ( r ) dr d ⇒ n ( r ) i∇ ∇Q ( r ) = n ( r ) ⋅∇n ( r ) ⇒ ∇Q ( r ) = ∇n ( r ) ds ds d dr ⇒ n ( r ) = ∇n ( r ) ds ds
麦克斯韦方程
光纤是一种介质光波导，它具有如下特点： ① 无传导电流 ② 无自由电荷 ③ 线性各向同性
∇× H = ∂D / ∂ t ∇× E = −∂B / ∂ t ∇⋅ D = 0 ∇⋅ B = 0
物质方程: D = ε0n E
2
B = µ0H
边界条件
在两种介质交界面处电磁矢量的E与 的切向分量及 的切向分量及D与 在两种介质交界面处电磁矢量的 与H的切向分量及 与 B的法向分量连续： 的法向分量连续： 的法向分量连续
∇iD =∇i ε E = ε∇iE0 + E0 i∇ε −ik0ε E0 i∇Q exp( −ik0Q) ≐ −ik0ε E0 i∇Qiexp( −ik0Q)
(
)
( ) (
)
将这些式子代入麦克斯韦方程 并利用∂ ∂t = iω, ε = ε0n2 ( x, y, z) , k0 = 0 ε0 ε0 2 n ( x, y, z) E0 = 0 ∇Q× H0 + µ0 E0 i∇Q = 0 H0 i∇Q = 0
得到： 得到： ∇t 2φ ( x, y) + χ2φ ( x, y) = 0 横向传播常数： 横向传播常数：
−iβ z
波导场方程
χ2 = ω2εµ − β 2 = n2k02 − β 2
纵向传播常数： 纵向传播常数： β = nk0 cosθz
波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本 波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。 征方程,其本征值为 其本征值为χ 当给定波导的边界条件时,求解波导场方 征方程 其本征值为χ或β。当给定波导的边界条件时 求解波导场方 程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式” 程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”。 模式的基本特征： 模式的基本特征：
当光线与z轴夹角很小时，光线方程可近似为： 当光线与 轴夹角很小时，光线方程可近似为： 轴夹角很小时
d dr [n( r ) ] = ∇n(r ) dz dz
光线方程的物理意义：
• • • 将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来; r 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式; dr/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直 r 线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量, r r 这表明光线将发生弯曲。而且可以证明,光线总是向折射率 高的区域弯曲。
Φ( x, y, z, t ) = Ψ( x, y, z) e
2 2
jωt
时空相分离 亥姆霍兹方程
∇ Ψ( x, y, z) + k Ψ( x, y, z) = 0
k是光纤中光波的波数: k = ω εµ = ω Vp = 2π λ = nk0
4. 程函方程与射线方程
程函方程：光程函数方程 将正向传输的光波的场矢量写成下列形式：
由于： 由于：
∇Q× ∇Q× E0 = E0 i∇Q ∇Q − E0 ( ∇Qi∇Q) = −E0 ( ∇Q)
(
)
2
由 两 消 H0可 : 前 式 去 得
E0 ( ∇Q) − n E0 = 0
2 2
E0有 零 的 件 : 非 解 条 是
∇Q( x, y, z) = n ( x, y, z)
6. 导模分析中的重要参量
1. 场分布 本征解 场分布(本征解 本征解)
( 轨迹) ,时延( 色散) 及光强分布等特性,这种分析方法即光线理论.
优点：简单直观，适用于多模光纤 优点 缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合 缺点 以及光场分布等现象，分析单模光纤时结果存在很 大的误差。
波动光学方法
这是一种严格的分析方法， 这是一种严格的分析方法，从光波的本质特性电磁波出 通过求解电磁波所遵守的麦克斯韦方程， 发，通过求解电磁波所遵守的麦克斯韦方程，导出电磁波的 场分布。 场分布。
∇× E = ∇× E0 −ik0∇Q× E0 exp( −ik0Q)
当λ0 →0或k0 →∞时 k0∇Q很大 上式右方的第一项可略去(几何近似),可得: ,
(
)
∇× E = −ik0∇Q× E0 exp( −ik0Q)
同理： 同理：
(
)
∇× H = −ik0∇Q× H0 exp( −ik0Q)
而：
典型光线传播轨迹
SIOF
反射型
GIOF
折射型
d dr n( r ) ds =∇n( r ) ds
1. 在均匀折射率介质中，光线轨迹为直线传播。 2. 设R是光线弯曲的曲率半径，N为光线法向单 位矢量，则： 1 1 = Ni∇n( r ) R n( r ) 3. 球面对称媒质中的光线都是平面曲线，位于 通过原点的某一平面上
因为： 因为：
d dx ∂ dy ∂ dz ∂ dr = ⋅ + ⋅ + ⋅ = i∇ ds ds ∂x ds ∂y ds ∂z ds
所以： 所以：
dQ( r ) dr = i∇Q( r ) =τ iτ ⋅ n( r ) = n( r ) ds ds 又因为： 又因为： dQ( r ) d ∇Q( r ) =∇ =∇n( r ) ds ds d d d dr ∇Q( r ) = τ ⋅ n( r ) = ⋅ n( r ) ds ds ds ds
第二章 光纤光学的基本方程
内容摘要： 内容摘要：
1. 分析光纤中光波传输特性的方法 2. 光纤光学所涉及到的基本问题 3. 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 4. 程函方程与射线方程 5. 波导场方程与模式 6. 导模分析中的重要参量
1. 分析光纤中光波传输特性的方法
几何光学方法
当光纤 芯径远大 于光波波 长时( 2a ≫ λ0 ) ,可近似 认为λ0 →0,从而 将 光波近似 看作光线 ,可采用几 何光学方 法来分析 光线的入 射,传播
设Q( x, y, z )是光程函数,ds是光线上
x
ds
r
的一微分段,r 为光线上某点的坐标,
dr
r + dr
Q ( x, y , z )
τ 为光线方向的单位矢量,则有 τ = dr ds
τ 垂直于等相位面, 即与∇Q平行
z
ˆ ˆ ˆ r = x⋅ x + y⋅ y + z ⋅ z
所以 : ∇Q ( r ) = τ ⋅ n ( r )
• 有序性，模式是波导场方程的一系列特解，对应于某一本征值并满足全 有序性，模式是波导场方程的一系列特解， 部边界条件，是离散的、可排序的； 部边界条件，是离散的、可排序的； • 叠加性，光波导中总的场分布是一系列模式的线性叠加； 叠加性，光波导中总的场分布是一系列模式的线性叠加； • 每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波； 每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波； • 稳定性，模式具有确定的相速群速和横场分布； 稳定性，模式具有确定的相速群速和横场分布； • 正交性，不同模式之间满足正交关系。 正交性，不同模式之间满足正交关系。 • ----模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存 模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。 模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征 在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许 在的模式及其性质是已确定了的 外界激励源只能激励起光波导中允许 存在的模式而不会改变模式的固有性质。 存在的模式而不会改变模式的固有性质。