概率论
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中研究随机事件的理论，它用于描述事件发生的可能性，并通过概率的计算和分析来预测、评估和决策。
下面给出一些概率论中常用的公式，帮助你更好地理解和运用概率论。
1.概率定义公式：P(A)=N(A)/N，表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的次数，N代表试验的总次数。
2.互补事件公式：P(A')=1-P(A)，表示事件A的补事件发生的概率。
3.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，表示事件A或B发生的概率。
4.独立事件公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)，表示事件A和事件B同时发生的概率，当事件A和事件B相互独立时成立。
5.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，表示事件B已经发生时事件A发生的概率。
6.乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，也可以写作P(A∩B)=P(B，A)*P(A)，表示事件A和事件B同时发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bᵢ)*P(Bᵢ)，表示事件A发生的概率，Bᵢ代表一组互不相容且构成样本空间的事件。
8.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
9.随机变量的概率公式：P(X=x)≥0，表示随机变量X取值为x的概率非负。
10.随机变量期望公式：E(X)=ΣxP(X=x)*x，表示随机变量X的期望或均值。
11.随机变量方差公式：Var(X) = E[(X - µ)²]，表示随机变量X的方差，其中µ为X的期望。
12.二项分布公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，表示n次独立重复实验中，事件发生k次的概率，其中，C(n,k)为组合数，p为事件发生的概率，q为事件不发生的概率。
13.泊松分布公式：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，表示单位时间或空间中，事件发生了k次的概率，λ为事件发生率。
概率论课件
例3 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任 取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所 取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试 求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率 。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
1.7 全概率公式
例：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为M ，以N记样 本空间S中样本点总数，则有
M P ( A) N
P(A)具有如下性质： (1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概
1.6 条件概率和乘法定理
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随 机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 在每次试验的结果中某事件一定发生，则该事件称 为必然事件，记作U。 在每次试验的结果中某事件一定不发生，则该事件 称为不可能事件，记作V。
频率：
设随机事件A在n次试验中发生了m次
m f n ( A) n
概率论全概率公式和贝叶斯公式
概率论全概率公式和贝叶斯公式概率论是数学的一门分支，主要研究以概率为基础的随机现象和数学模型，以及这些模型的性质和应用。
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个重要的基本定理，本文将深入探讨这两个公式的概念、原理和应用。
一、全概率公式（Law of Total Probability）全概率公式是概率论中一个非常基本且有用的公式，它给出了一个事件的概率如何通过其他相关事件的概率来进行计算。
假设有一组互斥和完备的事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}，即这些事件是两两不重叠且一起构成了样本空间Ω，那么对于任意一个事件A，其概率可以表示为：P(A)=P(B₁)P(A，B₁)+P(B₂)P(A，B₂)+P(B₃)P(A，B₃)+...+P(Bₙ)P(A，Bₙ)其中，P(A)表示事件A的概率，P(B₁)、P(B₂)、P(B₃)、..、P(Bₙ)表示事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}的概率，P(A，B₁)、P(A，B₂)、P(A，B₃)、..、P(A，Bₙ)表示在事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}发生的条件下，事件A发生的概率。
全概率公式实际上是根据概率的加法规则推导出来的，它将事件A的概率分解为在不同条件下的概率。
通过求解这些条件概率，可以更加准确地计算事件A的概率。
全概率公式的应用非常广泛，例如在实际生活中，我们可能会遇到一些情况，我们对一些事件的概率不清楚，但是我们对一些互斥且完备的事件的概率有一些了解，利用全概率公式，我们可以通过这些已知的概率来推导出我们所关心的事件的概率。
二、贝叶斯公式（Bayes' theorem）贝叶斯公式是概率论中一个非常重要的公式，它描述了在已知事件B发生后，事件A发生的概率。
对于两个事件A和B，其中事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)表示事件A的概率；P(B)表示事件B的概率。
第1章 概率论的基本概念
确定概率的常用方法有： （1）频率方法(统计方法) （2）古典方法 （3）几何方法 （4）公理化方法 （5）主观方法
古典概率
(1) 古典概率的假想世界是不存在的 .对于那些极其罕见的， 定义 1.2.5 如果试验满足下面两个特征，则称其 但并非不可能发生的事情，古典概率不予考虑.如硬币落地后 为古典概型(或有限等可能概型)： 恰好站立，一次课堂讨论时突然着火等. （1 ）有限性：样本点的个数有限； (2) 古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均等的 .而在 （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相同 . 实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的 .
(3) 如果AiAj= (1 i < j k)，则
fn(A1∪A2∪ … ∪Ak ) = fn(A1 ) +fn(A2 ) + … +fn(Ak 着事件在一次试验中发生的可能性就 大，反之亦然. 人们长期的实践表明：随着试验重复次数n的增加， 频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频 率的稳定值.这个稳定值就是我们所说的(统计)概率.
互不相容与对立区别 随机事件间的关系与运算
（1）事件A与事件B对立 AB= , A∪B= . （2）事件 A与事件B互不相容 AB= . 关系 运算 包含 相等 互不相容 并 交 差 补
如果属于A的样本点一定 由在 中而不在事件 A 中的样本点 , B没有相同的样本点， 如果事件 A 由事件 如果 A A 与事件 B ，且 A B 中所共有的样本 B，那么 A=B. A中而不在事件B中的样 中所有的样本点 由在事件 属于B，则称 A 包含于 B ， BB.B 组成的新事件，也叫 A的对立 B A A A 则称互不相容 . 记作 A ∩ B= . 点组成的新事件 即B包含 A=B A B, A B A. . 组成的新事件 .记作 A记作 ∪ B.BA 本点组成的新事件 .记作 A-B. 或 A. 记作 B. .
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是一门研究随机现象的数学分支，它使用概率来描述和解释随机事件发生的规律性。
在实际应用中，我们常常需要使用一些基本概率公式来计算和分析各种随机现象。
以下是一些常见的概率论公式：1.概率的定义公式：P(A)=N(A)/N(S)其中P(A)表示事件A的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中发生的总次数。
2.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中P(A∪B)表示事件A和事件B至少发生一个的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)某P(B，A)其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
5.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bi)某P(Bi)其中P(A)表示事件A的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bi求和。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/ΣP(A，Bj)某P(Bj)其中P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bj)表示在事件Bj发生的条件下事件A发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bj求和。
7.期望值的公式：E(X)=ΣXi某P(Xi)其中E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示随机变量X的可能取值，P(Xi)表示随机变量X取值为Xi的概率，Σ表示对所有可能的取值Xi求和。
8.方差的公式：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X^2)表示随机变量X的二阶矩，[E(X)]^2表示随机变量X的期望值的平方。
概率论
第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。
有的是人为设置，有的是必须经历。
通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。
例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。
4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。
例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。
5．样本点：即基本事件，记为。
随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。
6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。
如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。
例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。
7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。
如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。
抽牌：Ω=“抽到一张牌”。
8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。
如投币：=“正面朝上且反面朝上”。
抽牌：=“抽到一张电影票”。
例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。
二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。
1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。
概率论的基本概念总结
概率论的基本概念总结概率论是一门研究随机现象和随机事件发生概率的学科。
以下是概率论的一些基本概念和原理的总结：1. 随机试验：指具有随机性质的实验，可以重复进行，并且每次实验的结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果构成的集合，记作Ω。
3. 事件：样本空间Ω 中的子集称为事件。
通常用大写字母A、B、C 等表示事件。
4. 事件的概率：事件A 发生的可能性大小可以用概率来描述，记作 P(A)。
概率是一个介于 0 和 1 之间的实数。
5. 等可能概型：当一个随机试验的样本空间中的每个结果发生的可能性相等时，称为等可能概型。
6. 频率：进行多次独立重复的随机试验，事件 A 发生的频率近似等于其概率。
7. 概率的性质：概率具有以下性质：- 非负性：对于任何事件 A，有P(A) ≥ 0。
- 规范性：对于样本空间Ω，有P(Ω) = 1。
- 加法性：对于任何两个互斥事件 A 和 B，有 P(A ∪ B) =P(A) + P(B)。
- 完备性：对于任何事件 A，有 P(A) + P(A的补) = 1。
8. 条件概率：当已知随机试验的某些信息时，我们可以计算某一事件发生的概率，这就是条件概率。
条件概率使用 P(B|A) 表示，读作“在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率”。
9. 乘法规则：当两个事件 A 和 B 依赖于彼此时，事件 A 和 B 同时发生的概率可以通过条件概率相乘得到，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)。
10. 独立事件：事件 A 和 B 是独立事件，如果 A 的发生与 B 的发生无关，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。
11. 事件的互斥和独立：事件 A 和 B 互斥，如果它们不能同时发生，即P(A ∩ B) = 0。
事件 A 和 B 独立，如果它们的发生与否相互独立，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。
12. 全概率公式：在条件概率已知的情况下，可以利用全概率公式求解事件的概率，即P(B) = Σ P(Ai) * P(B|Ai)，其中 Ai 是样本空间Ω 的一个划分。
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习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。
,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
4ln 4141)41(;4ln 41411)ln 41(1)411()41(141141+=<--=-=-=>⎰xy P x x dx xxy P 10设,,B A 为二事件，设).(,36.0)(,9.0)(B A P AB P A P 求== 解：).(36.0)()()()(9.0B A P B A P AB P B B PA A P +=+=⋃==故 .54.0)(=B A P11设,,B A 为二事件，设).(,3.0)(,7.0)(B A P B A P B P ⋃==求解： .4.0)()()(,3.0)(,7.0)(=-=⇒==B A P B P AB P B A P B P.6.04.01)(1)()(=-=-==⋃AB P AB P B A P12 设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P（1）若).(,B P AB 求互不相容若).()()(,B P A P B A P AB +=⋃则互不相容3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P（2）若).(,B P AB 求相互独立若A 与B 相互独立，则5.0)(),(4.04.07,0)()()()()(=+-=⋅+-⋃=B P B P B P A P A P B A P B P 13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。
解 0.9414某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。
解：.:,:订晚报订日报B A)(65.05.0)()()()(85.0AB P AB P B P A P B A P -+=-+=⋃=， .3.085.015.1)()()()(=-=⋃-+=B A P B P A P AB P15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。
解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：0909.0999999010010≈=⋅=p 16 设随机事件,0)(2)(,0)(,,,>==C P B P AB P C B A 已知两两独立且).(,85)(B A P C B P ⋃=⋃求 解：)(21)(23)()()()()(852)(2)(B P B P C P B P C P B P C B P C P B P -=-+=⋃==,210)()()(,0)(,5.0)()()()(021)(126412)(,05)(12)(4)(21)(23)()()()()(8522)(2)(=-+=⋃=⋅====⇒±=⇒=+--=-+=⋃==B P A P B A P A P A P B P A P AB P B P B P B P B P B P B P C P B P C P B P C B P C P B P17 设A 是小概率事件，即ε=)(A P 是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件A 总会发生（以概率1发生）。
当试验不断地重复进行下去，事件A 发生的概率为：101)1(lim 1)](1[lim 1)(lim 1=-=--=--=-∞→∞→∞→n n n n n n A P A P ε 18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,41,31,51求此秘密被译出的概率。
解：以C B A ,,分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D ：表示密码被译出，则 534332541)()()(1)(1)()(=-=-=⋃⋃-=⋃⋃=C P B P A P C B A P C B A P D P20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。
解：.496.0504.017.08.09.01=-=⋅⋅-=P21设,,B A 为二事件，设).(,4.0)(,6.0)(,7.0)(B A P A B P B P A P ⋃===求 解：,12.06.04.0)/()()(=⨯==A B P A P B A P,48.012.06.0)()()(=-=-=B A P B P AB P..82.048.07.06.0)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为8.0，活到25年以上的概率为4.0，问现在20岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ 解：,:表动X 5.08.04.020}P{X }2520{}20/25{==≥≥≥=≥≥X X P X X P ， 23某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发生特大洪水的概率为85％，求已过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。
:X 发生特大洪水的时刻。
25.02.005.0}30{}4030,30{}304030{==≥<<≥=≥<<X P X X P X X P 24 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。
（1）问取道白球的概率是多少？（2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：解：:A “首先从甲袋中取到白球” :B 收到信号“然后从乙袋中取到白球.”;由题设:21)/(,32)(,32)(,31)(====A B P A P A B P A P 于是: 9521323231)/()()/()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:52953231)()/()()/(=⋅==B P A B P A P B A P ; 25 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。
解：B A ,分别表示第一次、第二次取得的是次品，则.61122121221121210111122)/()()/()()(===⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P 26一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h 以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h 以上的概率。
解：321,,A A A 分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。
:B 抽出的一个能工作500h 以上894.01007010011008010041009010095)/()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 27 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85，（1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。
（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。
（1） 由贝叶斯公式28用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。
解：:1A “患癌症.” :2A “未患癌症”; :B “检查结果为阳“结果是阴性”由题设:1.0)/(,9995.0)(,95.0)(,0005.0)(2211====A B P A P A B P A P 于是: 100425.01.09995.095.00005.0)/()()/()()(2211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:47299.0100425.0000475.0)()/()()/(111===B P A B P A P B A P ; 29二 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。
（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。
解：用,i A 表示第i 人击中，3,2,1,0=i ，则用,i B 表示恰有i 人击中，3,2,1,0=i ； 184.07.04.06.0)(446.0082.0112.0252.03.06.04.07.04.04.07.06.06.0)()()()(;184.07.06.04.0)(,082.03.04.06.0)(3321321321210=⋅⋅==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++==⋅⋅==⋅⋅=B P A A A P A A A P A A A P B P B P B P:B 表示敌机被击落，则34.04884.0184,0)/(4884.0184.02676.00368.01184.06.0446.02.0184.0)/()()(330===++=⋅+⋅+⋅==∑=B B P B B P B P B P i i i30 某厂产品有70％，不需调试即可出厂，另30％，需经调试，调试后有80％，能出厂，求：（1）该厂产品能出厂的概率。