§3.3 二维连续型随机变量[21页]
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3.3 二维连续型随机变量及其分布
1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)
3x(1 x4 0,其它
),0
x
1,
当0 y 1时，fY ( y)
f (x, y)dx
0
y
6xydx
3x2 y
|x
x0
y
3y 2 , 故得
fY
(
y)
3y2,0 0,其它.
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x
2x
2
2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y
1 3
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
3.3二维连续型随机变量
dv
为其它情形时: 当x, y为其它情形时 F(x,y)=0 为其它情形时
(1 − e −3 x )(1 − e −4 y ), x > 0, y > 0 ∴ F ( x, y) = 其它 0,
其它情形”不能写成“ ” 注: “其它情形”不能写成“x≤0,y≤0”, 并不同于一维分布 (3) P{0<X≤1,0<Y≤2} =F(1,2)−F(1,0)−F(0,2)+F(0,0) − − =(1−e−3)(1−e−8) − − 或=
求(X,Y)的分布函数 的分布函数 解: F ( x , y ) = ∫
y −∞ −∞
y
2
∫
x
f ( u, v )dudv
(1) x≤0或y≤0时: 或 时 F(x,y)=0 o
1
x
(2) 0<x≤1,0<y≤2时: 时 y x F ( x , y ) = ∫ ∫ f ( u, v )dudv
( u + 1 uv )dudv 0 ∫0 3 1 x3 y + 1 x2 y2 = 3 12 (3) 0<x≤1,y>2时: 时 =∫
2 2 1
二、常见二维连续型分布 (1)二维均匀分布 二维均匀分布 平面上的有界区域,其面 设D为xOy平面上的有界区域 其面 为 平面上的有界区域 积为A,若二维随机变量 若二维随机变量(X,Y)的概率密度 积为 若二维随机变量 的概率密度 为:
1 , ( x, y)∈ D A f ( x, y) = 0, 其它
1 uv )dudv =1 F ( x, y) = ∫ ∫ (u + 0 0 3 综合得: 综合得 0, x ≤ 0或y ≤ 0 1 2 x y( x + 1 y ), 0 < x ≤ 1,0 < y ≤ 2 4 3 1 2 F ( x , y ) = x ( 2 x + 1), 0 < x ≤ 1, y > 2 3 1 y(4 + y ), x > 1,0 < y ≤ 2 12 1, x > 1, y > 2
§3.3 二维连续型随机变量及其分布
3)F ( −∞ ,−∞ ) = F ( −∞ , y ) = F ( x ,−∞ ) = 0, F ( +∞ ,+∞ ) = 1;
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
作业P31-32 作业
2.4.2 联合分布函数 定义2.4.3 设(X,Y)是二维随机变量，对任 是二维随机变量， 定义 是二维随机变量 意有序实数对(x,y)，定义 ， 意有序实数对
F ( x , y ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ y ),−∞ < x , y < +∞ ,
为随机变量(X,Y)的分布函数，或称 称F(x,y)为随机变量 为随机变量 的分布函数， 为X与Y的联合分布函数 与 的联合分布函数.
∂2F( x, y) = f ( x, y); ∂x∂y
(2)对于任意一条平面曲线 ，有 对于任意一条平面曲线L， 对于任意一条平面曲线
P (( X ,Y ) ∈ L) = 0.
如图3.9 表示由曲线 例3.3.1 如图 G表示由曲线 y = x 2 及直 围成的图形在第一象限内的部分， 线 y = 1 围成的图形在第一象限内的部分，设
则称 ( X ,Y ) 服从参数为 µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r 的二维正 态分布,记为 态分布 记为 ( X ,Y ) ~ N ( µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r ). 其中
µ1 , µ 2 ∈ R,σ 1 ,σ 2 > 0, | r |< 1.
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
作业P31-32 作业
2.4.2 联合分布函数 定义2.4.3 设(X,Y)是二维随机变量，对任 是二维随机变量， 定义 是二维随机变量 意有序实数对(x,y)，定义 ， 意有序实数对
F ( x , y ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ y ),−∞ < x , y < +∞ ,
为随机变量(X,Y)的分布函数，或称 称F(x,y)为随机变量 为随机变量 的分布函数， 为X与Y的联合分布函数 与 的联合分布函数.
∂2F( x, y) = f ( x, y); ∂x∂y
(2)对于任意一条平面曲线 ，有 对于任意一条平面曲线L， 对于任意一条平面曲线
P (( X ,Y ) ∈ L) = 0.
如图3.9 表示由曲线 例3.3.1 如图 G表示由曲线 y = x 2 及直 围成的图形在第一象限内的部分， 线 y = 1 围成的图形在第一象限内的部分，设
则称 ( X ,Y ) 服从参数为 µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r 的二维正 态分布,记为 态分布 记为 ( X ,Y ) ~ N ( µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r ). 其中
µ1 , µ 2 ∈ R,σ 1 ,σ 2 > 0, | r |< 1.
§3.3 二维连续型随机变量
xy
1
2 (1 x2 )(1 y2 ) dxdy
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y
2
)
.
10
p( x,
y)
2 (1
1 x2 )(1
y2
)
,
(x, y) R2
1 11
11
(3) P{( X , Y ) D} 2 0 1 x2 dx 0 1 y2 dy
1
2
arctan
0
0 ,
其他
(1 e2x )(1 e3 y ) , x 0, y 0
0,
其他
7
Ae(2x3 y) , x 0, y 0
f (x, y) 0,
其他
(3) P{(X ,Y ) D} f ( x, y)dxdy
D
6
3
e
2
x
dx
e 1(62 x )
3
3 y
dy
0
0
y
2
( 4 ) P{ ( X ,Y ) D } f ( x, y)dxdy , 其 中 D 为平
D
面上的一个区域.
3
二、二维均匀分布
设G是平面上的有界区域, 其面积为A. 若二维 随机变量( X,Y )具有概率密度
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y)G
0 , 其他
则称( Xctan
y
|10
1. 16
11
三、二维连续型随机变量的边缘密度
设( X,Y )是连续型二维随机变量，联合密度函数为
f ( x, y) , 由于
FX (x) F(x, ) lim y
3.3二维连续型随机变量
② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
1, 2 0 , 1 1,
称
(
,)
服从参数为
1 ,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布，记为：
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
二维正态分布的密度
函数如图所示
信息系刘康泽
若
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,则
p (x)
1
e
x 1 212
2
，
2 1
p ( y)
1
e
y2
2
2 2
2
2 2
这说明二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分
布。即：若
( ,)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
，则：
~
N
(1,
2 1
)
，
~
N
(2
,
2 2
)
概率论与数理统计313 二维连续型随机变量及其联合概率密度
数f(x)的性质
概率密度函数f(x, y)的性质
(4) 在f(x)的连续点处有： f (x) F'(x)
(4)若f (x, y)在(x, y)连续,
则有 2F(x, y) f (x, y). xy
用来求概率密度f(x)的方法
用来求概率密度 f(x,y)的方法
例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
解: 由规范性
f (x, y)dxdy 1
Ae(2x y)dxdy 1 A 2 00
二、联合概率密度函数的性质:
(3)设D是xOy平面上的任意一个平面区域,点(X ,Y ) 落在D内的概率为
P{(X ,Y) D} f (x, y) d x d y.
D
z
z f (x, y)
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解: P{1 X 1,1 Y 1}.
f (x, y) d x d y
D
1 2e 1 (2x y) d y d x 01 01
1
2 e1 2x dx 1ey)(1 e1).
y
1
O
D 1
x
1
(x,y)
求(X ,Y )的联合密度函数.
例3 设
Ae(2x y) , x 0, y 0
(X ,Y ) ~ f (x, y)
0, 其它
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解:
(1)由规范性
f (x, y)dxdy 1
y
o
D x
(3) 对于任意平面区域D R2,
二维连续型随机变量公式
二维连续型随机变量公式 随机变量在概率论中起着重要的作用，它是对可能的结果进行数值化表示的工具。
在概率论中，随机变量可以分为离散型和连续型两种。
本文将重点探讨连续型随机变量中的二维连续型随机变量及其相关的公式。
首先，我们来介绍一些基本概念。
二维连续型随机变量是指对平面上的某个区域内的可能结果进行数值化表示的随机变量。
该随机变量可用一个二维函数来描述其概率密度函数 (Probability Density Function, 简称PDF)。
概率密度函数是一个非负的实值函数，满足以下两个条件：1、对于任意的(x, y)，概率密度函数f(x, y) ≥ 0；2、二重积分∬f(x, y)dxdy的值为1。
概率密度函数可以用来计算某个点落在某个区域内的概率。
在二维连续型随机变量中，还有一些相关的重要概念，如累积分布函数 (Cumulative Distribution Function, 简称CDF)、边缘概率密度函数 (Marginal Probability Density Function) 和条件概率密度函数 (Conditional Probability Density Function)等。
累积分布函数F(x, y)表示随机变量(X, Y)的取值小于等于(x, y)时的概率，即F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)。
边缘概率密度函数fX(x)和fY(y)分别表示随机变量X和Y的概率密度函数。
条件概率密度函数fY|X(y|x)表示在已知X的取值为x的条件下，随机变量Y的取值为y 的概率密度。
有了以上必要的基本概念和定义，我们可以进一步讨论二维连续型随机变量的相关公式。
首先是概率密度函数的性质。
对于任意的可测集合A，有P((X, Y)∈A) = ∬Af(x, y)dxdy。
根据这个性质，我们可以计算随机变量落在某个集合内的概率。
接下来是边缘概率密度函数和条件概率密度函数之间的关系。
3.3二维连续型随机变量及其的分布
+
fY ( y)
f (x, y)dx
边缘密度函数
第3章 连续型随机变量
3.3.1 概率密度
密度函数 f(x，y)具有以下性质：
性质 1 非负性，对于任意的实数 x，y，有 f (x, y) 0；
性质 2 规范性 + + f (x, y)dxdy 1；
性质 3 设 A 为 xOy 平面上的区域，点(X，Y)落入 A 内的概率为：
3.3二维连续型随机变量及其的分布
第3章 连续型随机变量
3.3 二维连续型随机变量及其的分布
3.3.1概率密度
联合概率密度
性质
3.3.2均匀分布
均匀分布
例3.10
3.3.3二维正态分布
概率密度
例3.11
同步练习
小结
例 3.9
第3章 连续型随机变量
3.3.1 概率密度
定义 3.5 设二维随机变量(X， Y)的联合分布函数为 F(x， y)，如果存在一个非负函数 f(x，y)，使得对任意实数 x，y， 有
F (x, y) y x f (u,v) dudv ，
则称(X，Y)为二维连续型随机变量，函数 f(x，y)为(X，Y)的 概率密度函数， 简称概率密度，或称二维连续型随机变量 (X，Y) 的联合概率密度．
第3章 连续型随机变量
3.3.1 概率密度
密度函数 f(x，y)具有以下性质： 性质 1 非负性，对于任意的实数 x，y，有 f (x, y) 0；
第3章 连续型随机变量
3.3.3 二维正态分布
同步练习
1.设二维随机变量（X，Y）在区域D {(x, y) | 0 x 1,| y | x}
内服从均匀分布，求，（1）关于 X，Y 的边缘密度函数；（2）
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当 x 0或y 0 时，
所以
F(x, y)
y 0
x 0
0ds
dt
=0
(1 ex )(1 e y ), F(x, y)
0,
x 0, y 0 其他
3.3.2 联合密概率密度与联合分布函数的互化
若 f ( x, y) 连 续 ， 则 2F(x, y) f (x, y) (3.12) xy
G
关于X的边缘概率密度为
fX (x)
f (x, y)dy
e
y
0
dy,
x
x0
0,
x0
x
ex, x 0
0, x 0
关于Y的边缘概率密度为
fY ( y)
f (x, y)dx
y e ydx,
0
0,
y0 y0
yey , y 0
0, y 0
3.3.5 两种重要的二维连续型随机变量的分布
f
(x,
y)
xy ,
0,
0
x
2, 0
其他
y
1 ,
y
y=x
求 (1)P(X 1) ； (2)P(X Y )
1 G2
解：(2)随机变量分布区域如图所示 0
1 2x
P(X Y ) f (x, y)dxdy x y
xydxdy
1
dx
1
xy
dy
1
G2
0
x
8
3.3.4 边缘概率密度
定理5 设二维连续型随机变量( X,Y ) 的联合概率密 度为 f ( x, y) , 则
2e( x2 y) , x 0, y 0
f (x, y)
0,
其他
求分布函数 F(x, y) .
解
xy
F ( x, y)
f ( x, y) dxdy
(1 ex )(1 e2 y ) , x 0, y 0
0,
其他
3.3.3 二维连续型分布的概率计算
性质1 设 ( X ,Y ) f (x, y) ,则对任意的平面区域G
f X ( x)
f ( x, y)dy ，
fY ( y)
f ( x, y)dx .
分别称为 (X,Y) 关于 X 和关于Y的边缘概率密度.
例3.8 设 (X, Y ) 的联合概率密度是 y
8xy, 0 x y 1
f
(x,
y)
0,
其他
y x
G
求边缘概率密度fX(x)与fY(y) 解 f(x,y)的非零区域如图
任何联合概率密度都具有上述两条性质；凡是满足
以上两条性质的二元函数必可作为联合概率密度.
例3.5 设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为
Ae(x y) , x 0, y 0
f (x, y) 0,
其他
求（1）常数 A
（2）( X ,Y ) 的分布函数 F (x, y)
解 （1）由规范性
P{ (X ,Y ) G } f (x, y) dxdy , G
在使用上式计算概率时,如果联合概率密度f(x,y) 在区域G内的取值有些部分为零,此时积分区域可缩小 到f(x,y)的非零区域与G的交集部分,然后再把二重积 分化成二次积分,最后计算出结果.
例3.7 设二维随机向量(X,Y)的概率密度为
0
1x
关于Y的边缘概率密度为
fY ( y)
f
(x,
y)dx
y
8xydx,
0
0,
0 y 1
其他
4y3, 0 y 1
0,
其他
例3.9 设二维随机变量 (X, Y ) 的联合概率密度是
ey, 0 x y
f (x, y) 0,
其他
求边缘概率密度fX(x)与fY(y)
y
y=x
解 f(x,y)的非零区域如图
0
1x
关于X的边缘概率密度为
fX (x)
Hale Waihona Puke f(x,y)dy
1
8xydy,
x
0,
0 x 1
其他
4x(1 x2 ), 0 x 1
0,
其他
例3.8 设 (X, Y ) 的联合概率密度是 y
8xy, 0 x y 1
f
(x,
y)
0,
其他
y x
G
求边缘概率密度fX(x)与fY(y) 解 f(x,y)的非零区域如图
f ( x, y)称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率密度,
简称概率密度，密度函数或密度. 记作 X ,Y f (x, y)
定理4 联合密度函数 f (x, y)具有以下性质：
(1) 非 负 性 ： f (x, y) 0 .
( 2 ) 规 范 性 ：
f (x, y)dx d y 1 .
（1）二维均匀分布
若 (X,Y) 的联合密度函数为
f
(x,
y)
1 SG
,
(x, y) G
0,
其他
其中 SG 为平面上的有界区域 G 的面积
则称 X ,Y 服从区域 G 上的均匀分布.
例3.10 设 X ,Y 服从区域 G 上的均匀分布，其中 G
为：0 x 2, 0 y x 求 PX Y 1
解 如图所示，G的面积 SG 2
y
y=x
所以 X ,Y 的密度函数为
f
(x,
y)
1 2
,
0,
(x, y) G 其他
xy , 0 x 2, 0 y 1
f (x, y)
0,
其他
,
y
求 (1)P(X 1) ； (2)P(X Y )
1
解:(1)随机变量分布区域如图所示
G1
0
1 2x
P(X 1) f (x, y)dxdy
x1
1
1
1
xydxdy 0 dx0 xy dy 4
G1
例3.7 设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为
1
f (x, y)dx dy
A exdx e ydy A
0
0
A 1.
（2）由定义4得
F(x, y)
y
x
f
(s, t )ds dt
则当 x 0, y 0 时，
F(x, y)
y 0
x 0
e
(
s
t
)ds
dt
x esds y etdt
0
0
(1 ex )(1 e y )
3.3 二维连续型随机变量
3.3 二维连续型随机变量 3.3.1 二维连续型随机变量
定义4 对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y),
如果存在非负的函数 f ( x, y)，使对于任意 x, y 有
F ( x, y)
y
x
f (s,t)
d
s
d
t
,
则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变量 , 函数
例3.6 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,
y)
1
2
2
arctan
x 3
2
arctan
y 5
求(X, Y )的联合密度函数f (x,y)f(x,y)
解：由式(3.12)有
f
( x,
y)
2F ( x, xy
y)
2( x2
15 9)( y2
, 25)
x,
y (, )
练习 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为