10.二维连续型随机变量
45 10.二维连续型随机变量 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》 第三章第§1 中的二维连续型随机变量
【教材分析】：前一章我们已经研究了一维随机变量的一些有关概念、性质和计算，本节将这些内容推广到多维的情形，主要讲授二维的连续型随机变量，学习本节内容，要求学生掌握有关概念，并会对一些随机变量进行有关的计算。
【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了一维随机变量的有关概念、性质和计算，掌握了随机变量的相关知识。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能 理解二维连续随机变量的联合密度函数的概念，会进行一些相关的计算，并熟练掌握几种常见的二维分布。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点，教学中采用类比和启发式教学法，将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数。 3、情感态度与价值观 将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数的学习过程中，使得学生初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神 【教学重点、难点】： 重点：二维连续型随机变量的概念和性质，并对一些随机变量进行有关计算。 难点：对一些随机变量进行有关计算。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法
【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入（复习） 46
定义 如果对于随机变量X的分布函数)(xF，存在非负可积函数)(xf，使得对于任意实数x有
.)(}{)(xdttfxXPxF 则称X为连续型随机变量， 称)(xf为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。 密度函数)(xf具有下述性质：
（1）非负性0)(xf （1）规范性1)(dxxf （3）对于任意实数1212,xxxx 1{}PxXx11221(())()()()xxPxFxFxpydy
2
1)(xxdxxf
（4）0}{0xXp
（5）若)(xf在点x处连续，则有 '()()Fxfx (由()()xFxfydy式可知，对()fx的连续点) 【设计意图】：采用类比的方法将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数的问题，使学生掌握转化，类比的思想。 二、二维连续型随机变量
定义1 如果存在二元非负函数(,)fxy，使得二维随机变量(,)XY的分布函数(,)Fxy可表示为 (,)(,),xyFxyfuvdvdu
则称(,)XY为二维连续随机变量，称(,)fxy为(,)XY的联合密度函数。
注 在偏导数存在的点上，有2(,)(,)pxyFxyxy。 联合密度函数的基本性质
2(,)012(,)1(,)3(,)4((,))(,)GfxyfxydxdyxyFfxyxyPxyfxydxdyG
（）（）（）（） 47
注 可求概率((,))(,),GPXYGpxydxdy具体使用左式时，积分范围是(,)pxy的非零区域与G的交集部分，然后设法化成累次积分再计算出结果。 【设计意图】：引进二维连续随机变量的联合密度函数的概念和性质。
(2)1(,)2e,0,0,(,)0,.(1)(,);(2){}.xyXYxyfxyFxyPYX
例设二维随机变量具有概率密度其它求分布函数求概率
解：(1)(,)(,)ddyxFxyfxyxy (2)002edd,0,0,0,.yxxyxyxy其他 2(1e)(1e),0,0.(,)0,.xyxyFxy
得
其他
(2) 将(,)XY看作是平面上随机点的坐标， 即有{}{(,)},YXXYG (2)01{}{(,)}(,)dd2edd.3xyyGPYXPXYGfxyxyxy 48
【设计意图】：通过这个例子，进一步理解分布函数和联合概率密度函数的关系，并会解决一些实际问题。 三、常用二维分布 1、均匀分布
设D为nR中的一个有界区域，其度量为DS，如果多维随机变量12(,,,)nXXX的联合密度函数为
12121,(,,,),(,,,)0,nDn
xxxDSpxxx
其他
则称12(,,,)nXXX服从D上的多维均匀分布，记为12(,,,)~).nXXXUD（ 2、二维正态分布 如果二维随机变量(,)XY的联合密度函数为
2211222222
112212
()()()()11(,)exp{[2]},,2(1)21xxyypxyxy
则称(,)XY服从二维正态分布，记为221212(,)~(,,,,).XYN其中五个参数的取值范围分别是：1212,;,0;11. 以后将指出：12,分别是X与Y的均值，2212,分别是X与Y的方差，是X与Y的相关系数。
四、思考与提问： 由联合分布能确定XY和的分布吗？
YXGx
y
O49 五、内容小结
1、 二维连续型随机变量的概率密度(,)(,)dd.yxFxyfuvuv 2、常用二维分布：均匀分布和二维正态分布。 六、课外作业：
P84： 2 ， 3
七、板书设计 二维连续型随机变量
一、问题引入（复习） 定义 如果对于随机变量X的分布函数)(xF，存在非负可积函数)(xf，使得对于任意实数x有
.)(}{)(xdttfxXPxF 则称X为连续型随机变量， 称)(xf为X
的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。 密度函数)(xf具有下述性质： （1）非负性0)(xf （1）规范性1)(dxxf （3）对于任意实数1212,xxxx 12{}PxXx11221(())()()()xxPxxFxFxpydy 21)(xxdxxf （4）0}{0xXp （5）若)(xf在点x处连续，则有 '()()Fxfx (由()()xFxfydy式可知，对()fx的连续点) 二、二维连续型随机变量 定义4 如果存在二元非负函数(,)fxy，使得二维随机变量(,)XY的分布函数(,)Fxy可表示为 (,)(,),xyFxyfuvdvdu 则称(,)XY为二维连续随机变量，称(,)fxy为(,)XY的联合密度函数。 注 在偏导数存在的点上，有
2(,)(,)pxyFxyxy。
联合密度函数的基本性质
2(,)012(,)1(,)3(,)4((,))(,)GfxyfxydxdyxyFfxyxyPxyfxydxdyG
（）（）（）（）
注 可求概率((,))(,),GPXYGpxydxdy具体使用
左式时，积分范围是(,)pxy的非零区域与G的交集部分，然后设法化成累次积分再计
算出结果。
(2)1(,)2e,0,0,(,)0,.(1)(,);(2){}.xyXYxyfxyFxyPYX
例设二维随机变量具有概率密度其它求分布函数求概率50
三、常用二维分布 1、均匀分布
设D为nR中的一个有界区域，其度量为DS，如果多维随机变量12(,,,)n
XXX
的联合密度函数为
12121,(,,,),(,,,)0,nDn
xxxDSpxxx
其他
则称12(,,,)nXXX服从D上的多维均匀分布，记为12(,,,)~).nXXXUD（ 2、二维正态分布 如果二维随机变量(,)XY的联合密度函数为 2211222222
112212
()()()()11(,)exp{[2]},,2(1)21xxyypxyxy
则称(,)XY服从二维正态分布，记为221212(,)~(,,,,).XYN
其中五个参
数的取值范围分别是：
1212,;,0;11. 以后将指出：12,分别是X与Y的均值，2212,分别是X与Y的方差，是X与Y的相关系数。
YX
Gx
y
O
概率统计练习册习题解答[定]
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习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。
解：{},18543，，，＝Ω ；{}18,,12,11 ＝A 。
（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。
3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ，B ，C 都发生：解： ABC ；（2） A ，B ，C（3） A 发生，B 与C（4） A ，B ，C 中至少有一个发生：解：C B A ⋃⋃（5）A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）恰好有两个是次品；（4习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P，则)(A P)(AB P)(B A P )(B A P =)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P AB 0.6（3）盒子中有10个球，其中3（4）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为（5）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为2．选择题（1）如果A 与B 互不相容，则（C ）(A) AB =∅ (B) A B = (C ) AB =Ω (D) A B =Ω（2）设A 、B 是任意两事件，则=-)(B A P （ B 、C ）。
考研数学复习(概率统计)
第十五章 随机事件与概率例1：设,,A B C ，D 为四个随机事件，试用这四个事件表示下列各事件：1）这四个事件至少发生一个；2）这四个事件恰好发生两个；3）B A ,都发生，而D C ,都不发生；4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件至多发生一个.例2： 有10件产品，其中3件次品，7件正品，从中任意抽取3件（不放回），求以下事件的概率：1） 第三次取得次品；2） 已知前两次没有取得次品第三次取得次品；3） 不超过三次取到次品.例3：将k 个不同的球放到)(k N N ≥个不同的盒子中去（假设每个盒子可容纳的球数不限） ，求1） 指定的k 个盒子各装一球的概率；2） 有k 个盒子各装一球的概率；3） 某个定的盒子装l 个球的概率.例4：一袋中装有1N -只黑球和1只白球. 每次从袋中随机地摸出一球放回并换入一只黑球，这样继续，求第k 次摸球时摸到黑球的概率.例5：从1到9这9个数字中，有放回地取3次，每次任取1个，求所取的3个数之积能被10整除的概率.（答案：786.0）例6：一批产品共有N 件，其中包含M 件次品，现采用“放回抽样”与“不放回抽样”方式，从中任取n 件，求抽出的n 件产品中恰有k 件次品的概率.例7：玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8, 0.1, 0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看4只； 若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回. 试求1）顾客买下该箱的概率；2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.（答案：1）0.8+947.0)109(1.0)2019(1.044≈⨯+⨯; 2)845.0947.08.0≈ ）例8：已知100件产品中有10件绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时，均有1.0可能性发生故障，现从100件产品中随机抽取一件，若使用了n 次均未发生故障，问n 为多大时，才能有70%的把握认为所取的产品为正品？（答案：29≥n ）例9：假设一厂家生产的每台仪器，以概率70.0可以直接出厂，以概率30.0需进一步调试，经调试后以概率80.0可以出厂，以概率20.0定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求1）全部能出厂的概率α； 2）其中恰好有两件不能出厂的概率β； 3） 其中至少有两件不能出厂的概率γ.（答案：1）n 94.0=α；2）22206,0)94.0(⋅=-n n C β；3）n n n 94.094.006.011-⋅-=-γ） 例10：每次射击命中的概率为0.2，问至少要进行多少独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？例11：．加工某一零件共需经过4道工序。
2010年10月全国自考概率论与数理统计试题答案
全国2010年10月高等教育自学考试《概率论与数理统计(经管类)》答案课程代码：04183（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（）A.P（B|A）＝0B.P（A|B）＞0C.P（A|B）＝P（A）D.P（AB）＝P（A）P（B）[答疑编号918070101]『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。
解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确；显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。
故选择A。
提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立；② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。
2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（）C.Φ（1）D.Φ（3）[答疑编号918070102]『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。
解析：，故选择C。
提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。
3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（）[答疑编号918070103]『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。
解析：，故选择A。
提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。
4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（）A.－3B.－1C.－[答疑编号918070104]『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。
解析：1＝，所以c＝－1，故选择B。
提示：概率密度的性质：4.在f（x）的连续点x，有F’（X）＝f（x）；5.5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（）A.f（x）＝－e－xB. f（x）＝e－xC. f（x）＝D.f（x）＝[答疑编号918070105]『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。
北工商《概率论与数理统计》综合复习题
54. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数为 求两个边缘概率密度.
55. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数为 ①试确定常数. ②求两个边缘概率密度.
56. 设二维连续型随机变量的联合分布函数为, 则关于的边缘分布函
数是
A. B. C. D.
[]
57. 甲、乙两人独立地投篮, 投中的概率分别为0.6、0.8, 每个人分
(1) .
(2).
.
25. 有两箱同种类的零件, 第一箱装50只, 其中10只一等品; 第二箱装
30只, 其中18只一等品. 今从两箱中任取一箱, 然后从该箱中取一个零件.
(1) 求该零件是一等品概率. (2)若该零件是一等品, 求该零件是从第二箱
中取出的概率.
解: 设用表示”取到的零件是一等品”, 用表示”第箱被取到”, 则, , , .
③. . 47. 设随机变量的概率密度为求函数的概率密度. 解:
48. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数为 则常数. 49. 二维连续型随机变量的联合分布函数为
则. 50. 称 为二维离散型随机变量的
A. 联合分布律 B. 联合分布函数 C. 概率密度 D 联合概率密度 [A ]
51. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在箱中任取两只开关, 每次任取一只, 取后不放回. 定义随机变量, 如下: 求, 的联合分布律.
46. 设随机变量, 求①的分布函数; ②函数的概率密度; ③概率与. 解: 由于, 所以的概率密度函数为 ① ②
③. . 47. 设随机变量的概率密度为求函数的概率密度. 解:
48. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数为 则常数. 49. 二维连续型随机变量的联合分布函数为
考试科目602数学
3.函数的可导性与连续性之间的关系；
4.平面曲线的切线和法线；
5.导数和微分的四则运算；
6.基本初等函数的导数；
7.复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；
8.一阶微分形式的不变性；
9.微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则；
10.函数单调性的判别；
11.函数的极值；
3.二次型的秩；
4.惯性定理；
5.二次型的标准形和规范形；
6.用正交变换和配方法化二次型为标准形；
7.二次型及其矩阵的正定性。
三、概率论与数理统计（20%）
(一)随机事件和概率
1.随机事件与样本空间；
2.事件的关系与运算；
3.完备事件组；
4.概率的概念；
5.概率的基本性质；
6.古典型概率；
7.几何型概率；
1.总体、个体与简单随机样本；
2.统计量、样本均值、样本方差和样本矩；
3. 分布、 分布、 分布、分位数、正态总体的常用抽样分布。
(七)参数估计
1.点估计的概念；
2.估计量与估计值；
3.矩估计法；
4.最大似然估计法。
(八)假设检验
1.显著性检验；
2.假设检验的两类错误；
3.单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
2.二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布；
3.二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度；
4.随机变量的独立性和不相关性；
5.常用二维随机变量的分布；
6.两个及两个以上随机变量简单函数的分布。
(四)随机变量的数字特征
1.随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质；
北民大概率论期末考试试题
北方民族大学试题课程代码：24100082 课程：概率论与数理统计（A 卷）一、填空题：（每小题3分，共30分）1.设8.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=)(AB P ＿＿＿＿＿＿ 。
2.设在一次试验中，事件A 发生的概率为p,现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ＿＿＿＿＿＿ 。
3.设X 的分布律为则分布函数值=)25(F ＿＿＿＿＿＿ 。
4.设随机变量X ～N(0,1),)x （Φ为其分布函数，则)()x x -Φ+Φ（=＿＿＿＿＿＿ 。
5.已知连续型随机变量X 的分布函数为2200,1),1(31,31)(≥<≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=x x x x e x F x，设X 的概率密度为)(x f ，则当=<)(,0x f x ＿＿＿＿＿＿ 。
6.设X 服从正态分布N(μ,2σ)，则=-)23(X E ＿＿＿＿＿＿ 。
7.设随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 的相关系数=XY ρ＿＿＿＿＿。
8.设随机变量X 的分布律为!3)(3k e k X P k -==，,,2,1,0 =k 则)(2X E =＿＿＿＿＿＿ 。
X0 1 2 3 P(X=k) 0.10.30.40.29. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2)(,1)(==Y D X D 则=-)(Y X D ＿＿＿＿＿＿ 。
10.若4321,,,X X X X 为来自正态分布N(0,4)的样本，则∑=41241i i X ～＿＿＿＿＿＿ 分布 。
二、设有N 件产品，其中有D 件次品，今从中任取n 件，问其中恰有k(D k ≤)件次品的概率。
（10分）三、设随机变量X 的概率密度函数为，其他10,0,3)(2<≤⎩⎨⎧=x x x f 求： （1）X 的分布函数；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-2121X P .（10分）四、设随机变量X 具有概率密度，其他,0,)(>⎩⎨⎧=-x e x f x 求随机变量2X Y =的概率密度。
概率统计10-11-2复习题
一．填空题1。
设A ，B,C 为三事件，用A ，B,C 的运算关系表示“事件A 发生，B 与C 不发生" 为 C B A .2．设 事 件 A ， B 的 概 率 分 别 为 0.6与 0。
8， 且 A ⊂ B ，则)()()()(A P B P A B P A B P -=-== 0.2 。
3。
设事件A ， B 的概率分别为51 与 41,且 A 与 B 互 斥， 则 =-=)()()(AB P A P B A P =51。
4。
设A ，B 为二事件,()0.6,()0.3P A P B ==。
若A ， B 互不相容,则()P A B ⋃= 0。
95。
设 A ， B 两 事 件 相 互 独 立 ， 且 P （B) = 0。
6，P(A B ） = 0。
9 ， 则 P(A ）= 43。
)()())(1)(()()()()()()()()()(B P B A P B P A P B P A P B P B A P A P AB P B P A P B A P -=-+-=-+= 6. 一 只 袋 中 有 4 只 白 球 ， 2 只 黑 球 ， 另 一 只 袋 中 有 3 只 白 球 和 5 只 黑 球 , 如 果 从 每 只 袋 中 各 摸 一 只 球 ， 则 摸 到 的 一 只 是 白 球 ,一 只 是 黑 球 的 事 件 的 概 率 为 1324 .7。
设 A1 ， A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件， 已知P(A1) = α , P(A2） = β，P(A3） = γ ，则A1 ， A2 ， A3 至少有一个发生的概率是 1- （1- α)(1- β）（1- γ) 。
8。
设随机变量ξ的分布律是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭⎫⎝⎛==k A k P kξ则 A = 。
解:()A A k P k 161516181412141=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令 11615=A 得 1516=A 9. 已 知 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 ,201}{+==K K X P K = 1, 2， 3， 4， 5， 则 概 率 {}=≤<41X P _______（53）。
概率论与数理统计 作业
10、设甲船在 24 小时内随机到达码头，并停留 2 小时；乙船也在 24 小时内独立地随机到达，并停 留 1 小时，试求：（1）甲船先到达的概率 p1;（2）两船相遇的概率 P2. 解：（1）
p1 = P {X < Y } = 0.5
（2）阴影部分的面积除以总面积
p2 = P {X < Y < X + 2} ∪ P {Y < X < Y + 1} = P {X − 1 < Y < X + 2}
f (X, Y ) = 0, 其他
试求：（1）常数 C ;（2）P {0 < x ≤ 1/2} ; （3）P {X = Y 2};
解：（1）
（2）
1
=
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
f (X, Y
)dxdy
=
∫1
−1
∫ 1−x2 dx
0
C (x2
+
y)dy
=
∫1
−1
C [x2 y
+
y2 2
]10−x2
dx
=
解：（1）p1
=
4 16
=
1 4
（2）p2
=
10 16
=
5 8
12、设二维随机变量 (X, Y ) ∼ N (0, 1; 0, 1; 0),，计算概率 P {X2 + Y 2 < r}, r > 0
解：
φ(x, y) =
1 e , −
x2
+y2 2
2π
∫ 2π
∫
√ r
P {X2 + Y 2 < r} =
10条件分布与独立性
f (x,y)=fX(x)fY(y).
特别地,令x = μ1,y = μ2, 由上述等式得到
1
1,
2 1 2 1 2 2 1 2
从而ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论: 定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
讲评 随机变量的独立性往往由实际问题
PX≤ x Y y为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作 FX Y ( x y).
即
x f (x, y)
FX Y ( x y)
dx. fY ( y)
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数.
而 f (x, y) 称为在给定条件
fY ( y)
Y= y下X的条件概率密度,
L
f (x1, x2,L , xn)dx2dx3L dxn,
(3.5)
fX1,X2 (x1, x2)
L
f (x1, x2,L , xn)dx3dx4L dxn.
(3.6)
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
F(x1, x2,L , xn) FX1 (x1)FX 2 (x2)L FXn (xn) (3.7) ，
随机变量的独立性是概率论与数理统计 中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相 互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B 是相互独立的,当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},{Y≤y}为 两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立, 相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).
10月概率论与数理统计(经管类)试题及答案
全国2010年10月高等教育自学考试 概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）>0,P (B )>0，则( ) (事件的关系与运算） A.P (B |A )=0 B.P (A |B )>0 C.P (A |B )=P （A ） D.P (AB )=P (A )P (B )解：A 。
因为P （AB ）=0.2.设随机变量X ～N (1，4)，F (x )为X 的分布函数，Φ(x )为标准正态分布函数，则F (3)=( ) A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1) D.Φ(3)(正态分布） 解：C 。
因为F(3)=)1()213(Φ=-Φ 3.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤,,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21=( )A.41 B.31C.21D.43 (连续型随机变量概率的计算）解：Ａ。
因为P {0≤X ≤}21412210==⎰xdx4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+, ,0 ,01,21其他x cx 则常数c =( ) A.-3 B.-1 C.-21D.1解：D.（求连续型随机变量密度函数中的未知数） 由于1)(=⎰+∞∞-dx x f112121212121)(01201=⇒=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=--∞+∞-⎰⎰c c x cx dx cx dx x f5.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) A. f (x )=-e -x B. f (x )=e -x C. f (x )=||-e 21xD. f (x )=||-e x解：选Ｃ。
（概率密度函数性质）A ．0<--x e 不满足密度函数性质 由于1)(=⎰+∞∞-dx x f ，B 选项∞=-=+∞∞--+∞∞--⎰xx e dx eＣ选项12122100||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰xx x x e dx e dx e dx eＤ选项2220||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰x xx x edx e dx e dx e6.设二维随机变量（X ，Y ）～N （μ1,μ2，ρσσ,,2221），则Y ～( )（二维正态分布）A.N （211,σμ） B.N （221,σμ） C.N （212,σμ）D.N （222,σμ）解：D 。