二维连续型随机变量
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3.3二维连续型随机变量
② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
1, 2 0 , 1 1,
称
(
,)
服从参数为
1 ,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布，记为：
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
二维正态分布的密度
函数如图所示
信息系刘康泽
若
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,则
p (x)
1
e
x 1 212
2
，
2 1
p ( y)
1
e
y2
2
2 2
2
2 2
这说明二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分
布。即：若
( ,)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
，则：
~
N
(1,
2 1
)
，
~
N
(2
,
2 2
)
12 二维连续型随机变量,边缘分布
fY ( y )
f ( x , y )dx
0 y1 1 24 y( 2 x )dx y fY ( y ) 5 0 其它 24 3 y2 y( 2 y ) 0 y 1 5 2 2 0 其它
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 2 6 , x y x, f ( x, y) 0, 其他.
1
k 1 kx kx 2 1 0 dx0 kxydy 0 [ 2 y ] 0 dx 0 2 dx 4 1
k 4.
7
( 2) P{ X Y }
1 dx 4 xydy 0 0 2
1
x
y x
(3) P{ X Y 1}
dx
0
1
1 x 0
9
二、边缘分布函数
问题 : 已知( X ,Y )的分布, 如何确定X ,Y 的分布?
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } , F ( x ) P{ X x },
P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) FX ( x )
X
Y
0 1
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49
解
X Y
0
1
12 42 6 42
pi
012 42 12 142 4 p j 7
3 7
4 7 3 7
1
注意 联合分布 边缘分布
练习 将一枚均匀硬币掷三次 ，设 X 为三次中正 面出现的次数，而Y 为正面次数与反面次数 差的 绝对值, 求( X , Y )的联合概率分布及边缘 分布律。 解： 由已知， ( X , Y )所有可能取值有
二维连续型随机变量及其概率密度
2 F (x, y) f (x, y) xy
5
这表示若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续，则当 x, y 很小时,
P{x X x x, y Y y y} f (x, y)xy
即 (X ,Y)落在小长方形 (x, x x](y, y y] 内的概率近似 地等于 f (x, y)xy
我们指出，如果随机变量 X、Y相互独立，则任一 变量的条件概率密度等于其边缘概率密度.事实上，
这时我们有
fX
Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
fX (x) fY ( y) fY ( y)
fX (x)
fY
X (y
x)
f (x, y) fX (x)
fX (x) fY ( y) fX (x)
1
S
D
,
(x, y) D ,
0,
其它
其中SD 为区域 D 的面积，则称 (X,Y) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 (X,Y) 在以圆
点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分
布，求二维联合概率密度.
解：
8
例2 设二维随机变量 (X ,Y) 具有概率密度
2e(2x y) , x 0, y 0
其它
0
问随机变量和是否相互独立的？
解：
34
例11 二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为
f (x, y)
1
1
(
x
1
)2
2
(x 1)(y2 ) ( y
2 )2
e 2(1
2
)
12
1 2Leabharlann 2 2,2 1 2 1 2
( x, y )
概率论与数理统计313 二维连续型随机变量及其联合概率密度
数f(x)的性质
概率密度函数f(x, y)的性质
(4) 在f(x)的连续点处有： f (x) F'(x)
(4)若f (x, y)在(x, y)连续,
则有 2F(x, y) f (x, y). xy
用来求概率密度f(x)的方法
用来求概率密度 f(x,y)的方法
例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
解: 由规范性
f (x, y)dxdy 1
Ae(2x y)dxdy 1 A 2 00
二、联合概率密度函数的性质:
(3)设D是xOy平面上的任意一个平面区域,点(X ,Y ) 落在D内的概率为
P{(X ,Y) D} f (x, y) d x d y.
D
z
z f (x, y)
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解: P{1 X 1,1 Y 1}.
f (x, y) d x d y
D
1 2e 1 (2x y) d y d x 01 01
1
2 e1 2x dx 1ey)(1 e1).
y
1
O
D 1
x
1
(x,y)
求(X ,Y )的联合密度函数.
例3 设
Ae(2x y) , x 0, y 0
(X ,Y ) ~ f (x, y)
0, 其它
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解:
(1)由规范性
f (x, y)dxdy 1
y
o
D x
(3) 对于任意平面区域D R2,
3-3 二维连续型随机变量
x
F (,y) 0 F ( x, ) 0 2）非负性： f ( x) 0 ． F (， ) 0 F (， ) 1 2）单调性 F ( x,y) 是单调不减函数 3）右连续性 F ( x 0,y) F ( x,y) ， 3）规范性： f ( x)dx 1． F ( x,y 0) F ( x,y) ． 4）任意实数 a , b ，且 a b ，有 4）对任意的 x1 x 2 , y1 y 2
x
C 1
（2）P X 2
e y , x 0, y x, f x, y 其他. 0,
x2
2
f ( x , y )dxdy dx
x
e dy
y
2
e x dx e 2．
（3）f X ( x )
x 3dy, 0 x 1 2 2 3( x x ), 0 x 1 f ( x, y )dy x 0, 其它 0, 其它
fY ( y )
y 3dx, 0 y 1 y 2 3( y y 2 ), 0 y 1 f ( x, y )dx 0, 其它 其它 0,
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X , Y D
D
1 SD f x, y dxdy dxdy SG D SG
F (,y) 0 F ( x, ) 0 2）非负性： f ( x) 0 ． F (， ) 0 F (， ) 1 2）单调性 F ( x,y) 是单调不减函数 3）右连续性 F ( x 0,y) F ( x,y) ， 3）规范性： f ( x)dx 1． F ( x,y 0) F ( x,y) ． 4）任意实数 a , b ，且 a b ，有 4）对任意的 x1 x 2 , y1 y 2
x
C 1
（2）P X 2
e y , x 0, y x, f x, y 其他. 0,
x2
2
f ( x , y )dxdy dx
x
e dy
y
2
e x dx e 2．
（3）f X ( x )
x 3dy, 0 x 1 2 2 3( x x ), 0 x 1 f ( x, y )dy x 0, 其它 0, 其它
fY ( y )
y 3dx, 0 y 1 y 2 3( y y 2 ), 0 y 1 f ( x, y )dx 0, 其它 其它 0,
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X , Y D
D
1 SD f x, y dxdy dxdy SG D SG
二维连续型随机变量ok
3 4 )
3 / 4 [ 0
1
x
3 xdy ]dx
y=x
=37/64
0
3/4 1
注意积分限
例4 设(X,Y)的概率密度是
3 y ( 2 x ), f ( x, y) 0 , 0 x 1, 0 y x 其它
1/2 1
解: (2) P ( X )
2
1
0
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
解 (1)由题意得:
f1 ( x )
x y 1
2 2
y
1 x
2
f ( x , y ) dy
其它
Y
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 当|x|≤1时,
f1 ( x ) [
1/2
1 4
,Y
1 2
)
0
1/4
[ 3 xdy ]dx
0
x
=1/16
y=x
1/4 1
P(X Y ) 0
是平面上一条直线
0
x
下面我们介绍两个常见的二维分布： 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
1 , ( x, y) G f ( x, y) A 0, 其它
F ( x , y ) y d dy FY ( y )
亦即 F X |Y ( x | y )
x
f ( u , y ) du fY ( y) ， 或写成 F X |Y ( x | y )
1
3 y
) 0
(1 e
3 / 4 [ 0
1
x
3 xdy ]dx
y=x
=37/64
0
3/4 1
注意积分限
例4 设(X,Y)的概率密度是
3 y ( 2 x ), f ( x, y) 0 , 0 x 1, 0 y x 其它
1/2 1
解: (2) P ( X )
2
1
0
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
解 (1)由题意得:
f1 ( x )
x y 1
2 2
y
1 x
2
f ( x , y ) dy
其它
Y
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 当|x|≤1时,
f1 ( x ) [
1/2
1 4
,Y
1 2
)
0
1/4
[ 3 xdy ]dx
0
x
=1/16
y=x
1/4 1
P(X Y ) 0
是平面上一条直线
0
x
下面我们介绍两个常见的二维分布： 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
1 , ( x, y) G f ( x, y) A 0, 其它
F ( x , y ) y d dy FY ( y )
亦即 F X |Y ( x | y )
x
f ( u , y ) du fY ( y) ， 或写成 F X |Y ( x | y )
1
3 y
) 0
(1 e
2.3 概率论——二维连续型随机变量及其分布
并求 P{(X ,Y ) D1} (D1 D)
y
解 由性质(2)
f
(
x,
y)dxdy
D1 D
f ( x, y)dxdy
D
0
x
dxdy SD 1
D
1
SD
(SD 为区域D的面积)
P{(x, y) D1} f ( x, y)dxdy D1
1 SD
dxdy
D1
S D1 SD
密度函数，或( X ,Y )的密度函数，简记为( X ,Y ) ~ f ( x, y)。
密度函数的性质： (1) f ( x, y) 0, ( x, y) R2
(2)
f
(
x,
y)dxdy
1
若( X ,Y )为连续型，则X ,Y均为连续型随机变量。
可以证明，对任意平面区域D,
P{( X ,Y ) D} f ( x, y)dxdy
(
x,
y)
Axe2
y
0
0 x 1, y 0 其它
求：(1)A；(2)P{ X Y 1}；(3)( X ,Y )的联合分布函数。
y解(1)来自f( x,y)dxdy
f
( x,
y)dxdy
D
Axe2 ydxdy 0 dy01 Axe2 ydx
D
0
A 2
e2 ydy
A 4
1
D x y1 D1
(
x,
y)
x2 y2 1
1
0 其它
0 D 1x 1
例2 设随机向量( X ,Y ) ~ f ( x, y)
f (x,
y)
Axy 2
0 x 1,0 y 1
3 二维连续型随机变量及其概率密度
G
(4)若 f ( x, y) 在点 ( x, y ) 连续，则有
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
4
由性质（4）和（1.1），如图3-3，在 的连续点处有
P{x X x x, y Y y y} lim x 0 xy
y 0
6
例 1
若二维随机变量
( X , Y )具有概率密度
( x, y ) D 1 , , f ( x, y ) S D 0, 其它 其中S D 为区域 D 的面积，则称 ( X , Y ) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 ( X , Y ) 在以圆 点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分 布，求二维联合概率密度.
其中 exp{ f ( x)} e f ( x) ，其中 , , , , 都是常数， 且 0, 0,1 1 .我们称 ( X ,Y ) 为服从参数 为 , , , , 的二维正态分布（这五个参数的意 2 2 ( X , Y ) N ( , , , 1 2 1 2 , ). 义将在下一章说明），记为 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
P{ X xi Y y j } P ( X xi , Y y j ) P(Y y j ) pij p j
，i 1, 2,
22
这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条 件{Y y} 下 X 的条件分布为如下连续型分布： 定义 设二维连续型随机变量 ( X ,Y )的概率密度 为 f ( x, y), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘密度为 f Y ( y).若对 f ( x, y ) y f ( y ) 0 于固定的 ，Y 则称 f ( y ) 为在Y y 的条件 下 X 的条件概率密度， f ( x, y) 记为 f X Y ( x y) (3.5) fY ( y ) x x f ( x, y ) 称
(4)若 f ( x, y) 在点 ( x, y ) 连续，则有
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
4
由性质（4）和（1.1），如图3-3，在 的连续点处有
P{x X x x, y Y y y} lim x 0 xy
y 0
6
例 1
若二维随机变量
( X , Y )具有概率密度
( x, y ) D 1 , , f ( x, y ) S D 0, 其它 其中S D 为区域 D 的面积，则称 ( X , Y ) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 ( X , Y ) 在以圆 点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分 布，求二维联合概率密度.
其中 exp{ f ( x)} e f ( x) ，其中 , , , , 都是常数， 且 0, 0,1 1 .我们称 ( X ,Y ) 为服从参数 为 , , , , 的二维正态分布（这五个参数的意 2 2 ( X , Y ) N ( , , , 1 2 1 2 , ). 义将在下一章说明），记为 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
P{ X xi Y y j } P ( X xi , Y y j ) P(Y y j ) pij p j
，i 1, 2,
22
这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条 件{Y y} 下 X 的条件分布为如下连续型分布： 定义 设二维连续型随机变量 ( X ,Y )的概率密度 为 f ( x, y), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘密度为 f Y ( y).若对 f ( x, y ) y f ( y ) 0 于固定的 ，Y 则称 f ( y ) 为在Y y 的条件 下 X 的条件概率密度， f ( x, y) 记为 f X Y ( x y) (3.5) fY ( y ) x x f ( x, y ) 称
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其它
求：（1）常数 C，（2）分布函数 F (x, y) ，
（3）边缘分布函数 F (x), F ( y)
（4）边缘密度函数 p (x), p ( y) 。
解：（1）1 Ce2(x y)dxdy 00
C e2xdx e2ydy 1 C
0
0
4
所以：：C 4
信息系刘康泽
xy
（2） F (x, y)
p(x)dx 1
【注】 3o (1)(2)为连续型随机变量的特征性质,
反之亦然.
(3) P{(,) B} p(x, y)dxdy , B R 2 ； B
信息系刘康泽
特别：
P{a 剟b,c
b
d
d} dx p(x, y)d若 m(B) 0 ,有: P{( ,) B} 0 .
所以 p (x) F(x) p(x, y)dy .
信息系刘康泽 2、 ( ,) 关于 的边缘分布：
p ( y) p(x, y)dx .
【注】: ( ,) 关于 和 的边缘分布也是连续型随机变量.
例 4、设 ( ,) ~ U ( A) ，而 A 是由 x 轴、 y 轴及直线
x
y 2
则服从G上的均匀分布的 密度函数为（如图）：
p(x,
y)
1 4
,
1剟x
1, 1剟y
1
0 ,
其它
向平面上有界区域G上随机投一质点，若质点落在 G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B
的形状及位置无关. 则质点的坐标 ( ,) 在G上服从均匀
分布.
信息系刘康泽
例2、设 ( ,) ~ p(x, y) ,且密度函数为：
p(u, v)dudv
x 2e2udu y 2e2vdv
。
b
对比一维情形： P{a „ b} p(x)dx a
对比一维情形：a R , 有：P{ a} 0
信息系刘康泽 例1、 (均匀分布) 在 A R 2 ( m( A) 0 )中任取一点 ( ,) ，则若 ( ,) 的密度函数为：
1
p(
x,
y)
m(
A)
0,
(x, y) A, (x, y) A .
② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
x
对比一维情形： F (x) P( „ x) p(t)dt
信息系刘康泽
【注】1o： F (x, y) 为连续函数； 【注】 2o p(x, y) 的意义与一维密度函数的意义相同.
2、【性质】
(1) p(x, y) …0 ;
(2) p(x, y)dxdy 1 。
对比一维情形： p(x) ? 0
p(
x,
y)
1 8
(6
x
y)
0 x 2, 2 y 4
0
其它
① B {(x, y) | x 1, y 3}；
② B {(x, y) | x y 3}.
求 P{( ,) B}.
解: ① P{(,) B} p(x, y)dxdy
B
1
3
dx
1
(6
x
y)dy
3
.
0 28
8
信息系刘康泽
1 y
2 dx
1
y
,
0
2
0 y 2,
0,
其它.
信息系刘康泽
例5、设 ( ,) 服从单位圆上的均匀分布，求两个
边缘密度函数。
解：联合密度函数为：
1
p(x, y)
x2 y2 „ 1
y
1
0 x2 y2 1
0
于是： p (x) p(x, y)dy
1x2 1 dy 2 1 x2
1x2
信息系刘康泽
第三节 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量
1、【定义】：设 ( ,) 为 上的二维随机变量，F (x, y) 为 ( ,) 的分布函数,若存在非负可积函数 p(x, y) ，对任意
实数 x ， y 有：
xy
F (x, y) P( 剟x, y) p(u,v)dudv
则称 ( ,) 为二维连续型随机变量. p(x, y) 为 ( ,) 的联 合概率密度函数.记作 ( ,) ~ p(x, y) .
求① A, B, C ；②密度函数.
信息系刘康泽
解:① 0 F (0,) AB(C ) ，
2
0 F (,0) AC(B ) ,
2
1 F (,) A(B )(C ) ，
22
又由于 A, B,C 均不能为 0 A 1 , B C .
2
所以：F (x, y) 1 ( arctan x)( arctan y) ，x, y R .
2
2
②
p( x,
y)
2 F ( x, xy
y)
(1
1 x2 )(1
y2)
，
x,
y
R
.
二、边缘分布
信息系刘康泽
1、 ( ,) 关于 的边缘密度函数：
p (x) p(x, y)dy .
证明: 因 F (x) P{ x} P{ x, }
x
x
dx p(x, y)dy p(x, y)dy dx ,
1所围的区域，求
p
(x)
和
p ( y)
.
解: 显然m(A) 1,
从而
p(x, y)
1, 0,
(x, y) A, (x, y) A.
信息系刘康泽
于是： p (x) p(x, y)dy
2 (1 x )
dy 2(1 x),
0
0 x 1,
0,
其它.
p ( y) p(x, y)dx
则称 ( ,) 服从A上的均匀分布，此时记 ( ,) ~ U ( A) .
例如:设G (x, y) x2 y2 „ R2 ,则服从G上均匀分
布的密度函数为:
1
p(x, y) R2
0
x2 y2 „ R2 x2 y2 R2
信息系刘康泽
又如：
G (x, y) | 1剟x 1, 1剟y 1
某个x
(1剟x 1)
1 x2
xx
1
1 x2
信息系刘康泽
同理： p ( y) p(x, y)dx
y
某个y
1
1 y2
1 y2
y x
0
1
1 1 y2
2
dx
1 y2
1 y2
(1剟y 1)
信息系刘康泽 例 6、设 ( ,) ~ p(x, y)
Ce2( x y) p(x, y)
0
0 x, y
求：（1）常数 C，（2）分布函数 F (x, y) ，
（3）边缘分布函数 F (x), F ( y)
（4）边缘密度函数 p (x), p ( y) 。
解：（1）1 Ce2(x y)dxdy 00
C e2xdx e2ydy 1 C
0
0
4
所以：：C 4
信息系刘康泽
xy
（2） F (x, y)
p(x)dx 1
【注】 3o (1)(2)为连续型随机变量的特征性质,
反之亦然.
(3) P{(,) B} p(x, y)dxdy , B R 2 ； B
信息系刘康泽
特别：
P{a 剟b,c
b
d
d} dx p(x, y)d若 m(B) 0 ,有: P{( ,) B} 0 .
所以 p (x) F(x) p(x, y)dy .
信息系刘康泽 2、 ( ,) 关于 的边缘分布：
p ( y) p(x, y)dx .
【注】: ( ,) 关于 和 的边缘分布也是连续型随机变量.
例 4、设 ( ,) ~ U ( A) ，而 A 是由 x 轴、 y 轴及直线
x
y 2
则服从G上的均匀分布的 密度函数为（如图）：
p(x,
y)
1 4
,
1剟x
1, 1剟y
1
0 ,
其它
向平面上有界区域G上随机投一质点，若质点落在 G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B
的形状及位置无关. 则质点的坐标 ( ,) 在G上服从均匀
分布.
信息系刘康泽
例2、设 ( ,) ~ p(x, y) ,且密度函数为：
p(u, v)dudv
x 2e2udu y 2e2vdv
。
b
对比一维情形： P{a „ b} p(x)dx a
对比一维情形：a R , 有：P{ a} 0
信息系刘康泽 例1、 (均匀分布) 在 A R 2 ( m( A) 0 )中任取一点 ( ,) ，则若 ( ,) 的密度函数为：
1
p(
x,
y)
m(
A)
0,
(x, y) A, (x, y) A .
② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
x
对比一维情形： F (x) P( „ x) p(t)dt
信息系刘康泽
【注】1o： F (x, y) 为连续函数； 【注】 2o p(x, y) 的意义与一维密度函数的意义相同.
2、【性质】
(1) p(x, y) …0 ;
(2) p(x, y)dxdy 1 。
对比一维情形： p(x) ? 0
p(
x,
y)
1 8
(6
x
y)
0 x 2, 2 y 4
0
其它
① B {(x, y) | x 1, y 3}；
② B {(x, y) | x y 3}.
求 P{( ,) B}.
解: ① P{(,) B} p(x, y)dxdy
B
1
3
dx
1
(6
x
y)dy
3
.
0 28
8
信息系刘康泽
1 y
2 dx
1
y
,
0
2
0 y 2,
0,
其它.
信息系刘康泽
例5、设 ( ,) 服从单位圆上的均匀分布，求两个
边缘密度函数。
解：联合密度函数为：
1
p(x, y)
x2 y2 „ 1
y
1
0 x2 y2 1
0
于是： p (x) p(x, y)dy
1x2 1 dy 2 1 x2
1x2
信息系刘康泽
第三节 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量
1、【定义】：设 ( ,) 为 上的二维随机变量，F (x, y) 为 ( ,) 的分布函数,若存在非负可积函数 p(x, y) ，对任意
实数 x ， y 有：
xy
F (x, y) P( 剟x, y) p(u,v)dudv
则称 ( ,) 为二维连续型随机变量. p(x, y) 为 ( ,) 的联 合概率密度函数.记作 ( ,) ~ p(x, y) .
求① A, B, C ；②密度函数.
信息系刘康泽
解:① 0 F (0,) AB(C ) ，
2
0 F (,0) AC(B ) ,
2
1 F (,) A(B )(C ) ，
22
又由于 A, B,C 均不能为 0 A 1 , B C .
2
所以：F (x, y) 1 ( arctan x)( arctan y) ，x, y R .
2
2
②
p( x,
y)
2 F ( x, xy
y)
(1
1 x2 )(1
y2)
，
x,
y
R
.
二、边缘分布
信息系刘康泽
1、 ( ,) 关于 的边缘密度函数：
p (x) p(x, y)dy .
证明: 因 F (x) P{ x} P{ x, }
x
x
dx p(x, y)dy p(x, y)dy dx ,
1所围的区域，求
p
(x)
和
p ( y)
.
解: 显然m(A) 1,
从而
p(x, y)
1, 0,
(x, y) A, (x, y) A.
信息系刘康泽
于是： p (x) p(x, y)dy
2 (1 x )
dy 2(1 x),
0
0 x 1,
0,
其它.
p ( y) p(x, y)dx
则称 ( ,) 服从A上的均匀分布，此时记 ( ,) ~ U ( A) .
例如:设G (x, y) x2 y2 „ R2 ,则服从G上均匀分
布的密度函数为:
1
p(x, y) R2
0
x2 y2 „ R2 x2 y2 R2
信息系刘康泽
又如：
G (x, y) | 1剟x 1, 1剟y 1
某个x
(1剟x 1)
1 x2
xx
1
1 x2
信息系刘康泽
同理： p ( y) p(x, y)dx
y
某个y
1
1 y2
1 y2
y x
0
1
1 1 y2
2
dx
1 y2
1 y2
(1剟y 1)
信息系刘康泽 例 6、设 ( ,) ~ p(x, y)
Ce2( x y) p(x, y)
0
0 x, y