10-2 二维离散型随机变量与二维连续型随机变量
《概率论与数理统计(经管类)》综合测验题库
《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.α=0.01，请根据下表推断显著性（ ）(已知F 0.05（1,8）=5.32)A.无法判断B.显著C.不显著D.不显著，但在α=0.01显著2.某批产品中有20%的次品，现取5件进行重复抽样检查，那么所取5件中有3件正品的概率为( )3.已知二维随机变量（X ，Y ）的分布密度为，那么概率=（ ）A.1/18B.4/18C.5/18D.7/184.已知二维随机变量（X ，Y ）的分布密度为那么=（）A.1/24B.2/24C.3/24D.5/245.已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为那么=（）A.1/8B.2/8C.3/8D.4/86.设随机变量（X,Y）的概率密度为那么（）A.3/5B.2/5C.4/5D.17.随机变量（X,Y）的概率密度为那么=（）A.0.65B.0.75C.0.85D.0.958.设随机变量（X,Y）的概率密度为那么（X,Y）的分布函数为（）9.在线性回归模型，则对固定的x，随机变量y的方差D（y）＝（）10.某种金属的抗拉程度y与硬度x之间存在相关关系，现观测得20对数据（x i，y i）（i=1，2，…，20），算得求y对x的回归直线（）11.设正态总体（）12.设总体X的分布中含有未知参数，由样本确定的两个统计量，如对给定的，能满足，则称区间（）为的置信区间13.设是来自总体X样本，则是（）.A.二阶原点矩B.二阶中心矩C.总体方差D.总体方差的无偏估计量14.下类结论中正确的是（）A.假设检验是以小概率原理为依据B.由一组样本值就能得出零假设是否真正正确C.假设检验的结构总是正确的D.对同一总体，用不同的样本，对同一统计假设进行检验，其结构是完全相同的15.统计推断的内容是（）A.用样本指标推断总体指标B.检验统计上的“假设”C.A、B均不是D.A、B均是16.关于假设检验，下列那一项说法是正确的（）A.单侧检验优于双侧检验B.采用配对t检验还是成组t检验是由实验设计方法决定的C.检验结果若P值大于0.05，则接受H0犯错误的可能性很小D.用u检验进行两样本总体均数比较时，要求方差相等17.以下关于参数估计的说法正确的是（）A.区间估计优于点估计B.样本含量越大，参数估计准确的可能性越大C.样本含量越大，参数估计越精确D.对于一个参数只能有一个估计值18.设总体,x1,x2,x3是来自X的样本，则当常数a=（）时候，=1/3x1+ax2+1/6x3是未知参数的无偏估计A.-1/2B.1/2C.0D.119.矩估计具有（）A.矩估计有唯一性B.矩估计具有“不变性”C.矩估计不具有“不变性”D.矩估计具有“稳定性”20.区间的含义是（）A.99%的总体均数在此范围内B.样本均数的99%可信区间C.99%的样本均数在此范围内D.总体均数的99%可信区间21.当样本含量增大时，以下说法正确的是（）A.标准差会变小B.样本均数标准差会变小C.均数标准差会变大D.标准差会变大22.设X1,X2独立，且X1～N（2,3）,X2～N（3,6）,那么服从（）分布A.B.C.正态分布D.t（2）23.如果X～F（3,5）,那么1/ F（3,5）服从（）分布A.F（5,2）B.F（2,5）C.F（5,3）D.无法知道24.一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为（20时产品合格，试求产品合格的概率（）A.0.2714B.0.3714C.0.4714D.0.571425.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,问其中至少有30根短于3米的概率是（）A.0.0052B.0.0062C.0.0072D.0.008226.设各零件的重量是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是（）A.0.0593B.0.0693C.0.0793D.0.089327.计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。
多维随机变量函数的分布
i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列： 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分 布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .
医学统计学课件：第六章 几种离散型变量的分布及其应用
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.52 SPSS: 常用PDF函数(23种)
11
BERNOULLI：贝努里。
BINOM：二项分布。
CHISQ：卡方分布。
第七章。
F：F分布，第四章。
NORMAL：正态分布。
POISSON：泊松分布。
下一节。
T：t分布。
UNIFORM：均匀分布。
从阳性率为 的总体中随机抽取大小为 n 的
样本，则出现阳性数为 X 的概率分布呈二项分布，
记为 X~B(n,)。
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.2 二项分布，binomial distribution
6
用某药治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效， 每个病案的有效率相同； 在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存； 接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 感染等。
X 2 X 1 X 0
n 3，( (1 ))3 3 3 2(1 ) 3 (1 )2 (1 )3
2020/10/18
XБайду номын сангаас3
X 2 X 1
X 0
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.5 例6-1 二项分布概率的计算
9
某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为 0.70。今用该药治疗该疾病患者10人。计算10 人中有6人、7人、8人有效概率。
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347 8!(10 8)!
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.51 SPSS: PDF函数
条件分布在生活中的应用1
学士学位论文题目学生姓名指导教师年级系别专业学院学校2014年4月目录摘要 (1)关键词................................ 错误!未定义书签。
引言.................................. 错误!未定义书签。
一、条件分布 (2)（一）条件分布的定义 .................. 错误!未定义书签。
（二）二维离散型随机变量的条件分布 (3)（三）二维连续型随机变量的条件分布 (4)二、条件分布在生活中的应用 (5)（一）条件分布在经济预算中的应用 (5)（二）条件分布在刑侦破案中的应用 (7)（三）条件分布在劳动生产中的应用 (8)总结 (10)英文摘要 (11)浅谈条件分布在生活中的应用摘要：随着时代的进步以及科学的发展,数学在生活中的应用越来越广泛，而概率论作为数学的一个重要组成部分，也逐渐发展起来并广泛应用于各个领域.条件分布研究了不同随机变量的关系，本课题中先说明了条件分布的基础概念，然后就二维随机变量中的离散型随机变量及连续型随机变量的条件分布分别作了简单的介绍，最后从经济预算，刑侦破案，劳动最优化来体现条件分布在生活中的应用。
关键词：条件分布；随机变量；应用引言概率是一门与生活联系紧密的学科同时也是一门相当有趣的数学分支学科，数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，而后发展成完整的数学分支。
除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期使"欧几里得几何相形见绌"的几个重大成就之一。
在概率论的基本概念中，我们学习了条件概率，它是对随机事件而言，所谓随机事件就是试验中的样本空间的特定子集。
当这一子集中的一个样本点出现时，称为这一事件发生。
而我们探讨的条件分布是对于随机变量而言的。
设随机试验的样本空间为Ω，对于，Ω∈ω有唯一的实数）（ωX 与之对应，这样就得得到一个实值单值函数）（ωX ，若R B ∈，B}X |{∈）（ωω是事件，）（ωX 就为随机变量。
二维离散型随机变量及其分布
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘 分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律 边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变 量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球 表示第二次取白球
二维随机变量(ξ ,η)
多维随机变量及其概率分布
§3.1 多维随机变量及其联合概率分布
第三章作业题
P158
1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30 31,34,39,40
有些随机现象用一个随机变量来描述不够， 例如
1、 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐
标)来确定的.
2、 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个 坐标）来确定的等等.
区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的 三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积 =0.5
∴ P{(ξ,η)A}=0.5/4=1/8
2、 二维正态分布
若二维随机变量（ξ,η）具有概率密度
p(x,
y)
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x
1 1
3、研究某年龄段儿童的身体发育情况，同时 考虑身高、体重、肺活量、血压等指标
4、研究某日的天气状况，同时考虑最高温度、最 大湿度、最大风力等指标。
一、多维随机变量的概念
设随机试验E的样本空间是Ω.ξ =ξ() 和η=η()都是定义在Ω上的随机变量,由它 们构成的变量(ξ,η),称为二维随机变量.
对任意n个实数x1,x2, xn,n元函数 F (x1,x2, xn, ) P{ X1 x1, X 2 x2,
Xn xn}
§3.4 边际分布与 随机变量的独立性
一、 边际分布
1、随机变量的边际分布函数
二维随机变量(ξ,η)作为一个整体,具有 分布函数F(x,y).
其分量ξ和η也都是随机变量,也有自己 的分布函数,将其分别记为Fξ (x ),Fη(y). 依次称为ξ 和η的 边际分布函数.
10条件分布与独立性
f (x,y)=fX(x)fY(y).
特别地,令x = μ1,y = μ2, 由上述等式得到
1
1,
2 1 2 1 2 2 1 2
从而ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论: 定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
讲评 随机变量的独立性往往由实际问题
PX≤ x Y y为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作 FX Y ( x y).
即
x f (x, y)
FX Y ( x y)
dx. fY ( y)
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数.
而 f (x, y) 称为在给定条件
fY ( y)
Y= y下X的条件概率密度,
L
f (x1, x2,L , xn)dx2dx3L dxn,
(3.5)
fX1,X2 (x1, x2)
L
f (x1, x2,L , xn)dx3dx4L dxn.
(3.6)
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
F(x1, x2,L , xn) FX1 (x1)FX 2 (x2)L FXn (xn) (3.7) ，
随机变量的独立性是概率论与数理统计 中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相 互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B 是相互独立的,当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},{Y≤y}为 两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立, 相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).
10月概率论与数理统计(经管类)试题及答案
全国2010年10月高等教育自学考试 概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）>0,P (B )>0，则( ) (事件的关系与运算） A.P (B |A )=0 B.P (A |B )>0 C.P (A |B )=P （A ） D.P (AB )=P (A )P (B )解：A 。
因为P （AB ）=0.2.设随机变量X ～N (1，4)，F (x )为X 的分布函数，Φ(x )为标准正态分布函数，则F (3)=( ) A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1) D.Φ(3)(正态分布） 解：C 。
因为F(3)=)1()213(Φ=-Φ 3.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤,,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21=( )A.41 B.31C.21D.43 (连续型随机变量概率的计算）解：Ａ。
因为P {0≤X ≤}21412210==⎰xdx4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+, ,0 ,01,21其他x cx 则常数c =( ) A.-3 B.-1 C.-21D.1解：D.（求连续型随机变量密度函数中的未知数） 由于1)(=⎰+∞∞-dx x f112121212121)(01201=⇒=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=--∞+∞-⎰⎰c c x cx dx cx dx x f5.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) A. f (x )=-e -x B. f (x )=e -x C. f (x )=||-e 21xD. f (x )=||-e x解：选Ｃ。
（概率密度函数性质）A ．0<--x e 不满足密度函数性质 由于1)(=⎰+∞∞-dx x f ，B 选项∞=-=+∞∞--+∞∞--⎰xx e dx eＣ选项12122100||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰xx x x e dx e dx e dx eＤ选项2220||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰x xx x edx e dx e dx e6.设二维随机变量（X ，Y ）～N （μ1,μ2，ρσσ,,2221），则Y ～( )（二维正态分布）A.N （211,σμ） B.N （221,σμ） C.N （212,σμ）D.N （222,σμ）解：D 。
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+∞ −∞
1
y=x
∫
+∞
−∞
f ( x, y )dxdy = ∫
1
0 0
∫
y
x
kxydxdy
=∫
k 3 k y dy = ⇒k =8 0 2 8
1 2 0 1− x x
( 2)
P ( X + Y ≤ 1) = ∫ dx ∫
1 2 0
8 xydy = ∫ 4 x[(1 − x) 2 − x 2 ]dx
y x
( 3) P(Y ≤ X ) = ∫
= ∫ 3e
0 ∞ −3 y −2 y
∞
0
∫
∞ y
6e
− (2 x + 3 y )
dxdy =
∫
∞
0
3e −3 y (−e−2 x |∞ )dy y
e
dy =
∫
∞
0
3e
−5 y
3 3 = − e −5 y |∞ = dy 0 5 5
(X,Y)具有概率密度 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 ：设二维随机变量(X,Y) kxy, 0 < x < y <1 y f (x, y) = 他 0, 其 1 (1) 求常数k；(2) 求概率 P(X +Y ≤1) 求常数k +∞ +∞ (1 解：) 利用∫−∞ ∫−∞ f ( x, y)dxdy = 1 0
称 ( X , Y ) 为连续型的二维随机变量 称f ( x, y ) 为二维随机变量 ( X , Y )的概率密度
概率密度的性质：
1. f ( x, y ) ≥ 0 2.
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f ( x, y )dxdy = 1
3. 设G是xoy平面上的区域，点 ( X , Y ) 落在G内的概率为： P (( X , Y ) ∈ G ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy
xi
…
…
… … … …
p2j
pij
… … … …
为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。
…
分布律的性质
1o pij ≥ 0，i, j = 1, 2,L
2
o
∑∑ P
i =1 j =1
∞
∞
ij
=1
例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等 ：设随机变量X 可能地取一个值，另一个随机变量Y 可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可 X 能地取一整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。 (X,Y)的联合概率分布 能地取一整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。
∂ 2 F ( x, y ) 4.在f ( x, y )的连续点(x,y)，有 = f ( x, y ) ∂x∂y
注： ) 在几何上，z = f ( x, y )表示空间一个曲面，介于它和xoy平面 (1 的空间区域的体积为1
G
( 2) P(( X , Y ) ∈ G )等于以G为底，以曲面z = f ( x, y )为顶面的柱体体积。 所以 ( X,Y ) 落在面积为零的区域的概率为零。
第二节 二维离散型随机变量 与二维连续型连续型随机变量
一、二维离散型随机变量 二、二维离散型随机变量
一、二维离散型随机变量
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不 (X,Y) 同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y) (X,Y)是离散型 同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型 随机变量。 随机变量。
0 0 0 0
3
1 12 1 12 1 12
4
1 16 1 16 1 16 1 维随机变量 ( X , Y )的分布函数F ( x, y ) , 有F ( x, y ) = ∫
y
如果存在非负函数f ( x, y )，使对于任意x, y，
−∞ −∞
∫
x
f (u , v)dudv
解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； X j取不大于i的正整数。 2 1 Y 1 1 ⅛ 1 ¼ P( X = i, Y = j ) = P( X = i ) P(Y = j | X = i ) = ⋅ 4 i ⅛ 2 0 i = 1, 2,3, 4；j ≤ i 即(X,Y)的联合概率分布为： 3 4
∞
∞
解： (1)利用∫
k∫ e
0 ∞ −2 x
－∞ －∞
∫
∞
f ( x, y )dxdy = 1, 得
dx ∫ e −3 y dy = k 6 = 1
0
⇒k =6
6e − (2 x +3 y ) , x > 0，y > 0 f ( x, y ) = 其他 0,
y x 6e − (2u +3v ) dudv, x > 0, y > 0 ( 2 ) F ( x, y) = ∫−∞ ∫−∞ f (u, v)dudv = ∫0 ∫0 0, 其他 x 2e−2u du y 3e−3v dv, x > 0, y > 0 (1 − e −2 x )(1 − e −3 y ), x > 0, y > 0 ∫0 = = ∫0 0, 其他 0, 其他
1 1 1 − = 2 3 6
1 2 0
= ∫ 4 x(1 − 2 x)dx =
离散型随机变量的联合概率分布： X Y y1 x1 p11
设( X ,Y ) 所有可能取值为
y2 … yj … p12 … p1j …
p22
( xi , yi ) , i, j = 1,2,L
x2
p21
…
pi1 pi2
称P ( X = xi , Y = y j ) = pij , i, j = 1, 2,L
(X,Y)具有概率密度 例2：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度： ：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
ke−(2x+3y) , x > 0， > 0 y f (x, y) = 其 他 0,
(1) 求 常 数 k ；
(2)
求分布函数 F ( x, y )； ( 3) 求P(Y ≤ X )的概率