[全]概率论与数理统计之二维连续型随机变量分布的知识点总结[下载全]
3.3 二维连续型随机变量及其分布
1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)
3x(1 x4 0,其它
),0
x
1,
当0 y 1时，fY ( y)
f (x, y)dx
0
y
6xydx
3x2 y
|x
x0
y
3y 2 , 故得
fY
(
y)
3y2,0 0,其它.
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x
2x
2
2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y
1 3
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
概率论与数理统计-第五章 二维随机变量及其分布
注：满足上述性质1~4的二元函数 可作为某个二维随机变量的分布函 数。
0 x y 0 例1.1 二元函数 F ( x, y) 1 x y 0 可否为某个二维随机变量的分布函数。
解：取 1 y1 0, x2 y2 1，则 x F (0,0) 0，F (1,0) 1，F (0,1) 1，F (1,1) 1
( x2 , y1 )
x1
x2
x
3、二维随机变量的分布函数性质
性质1 F(x,y)是变量x和y的不减函数。
即x1 x2 , F ( x1 , y) F ( x2 , y) y1 y2 , F ( x, y1 ) F ( x,)
p31 P X 3, Y 1 P X 3P 1 X 3 Y
Y X 1 2 3
P{XY}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}
1
2
3
+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1}
0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0
+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}
(1)当x<0或y<0时
F ( x , y)
x x
y
y
f ( s, t )dsdt
1
(3) (2)
(5)
y
0dsdt 0
(2)当0x<1, 0y<1时
F ( x , y)
x x
(1) y
(4)
y
f ( s, t )dsdt
0
x
1
x
(1)
概率论和数理统计知识点总结[超详细版]
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
二维连续型随机变量的函数分布-最新文档
二维连续型随机变量的函数分布-最新文档二维连续型随机变量的函数分布一、引言在实际问题中，有时需要研究二维连续型随机变量的函数分布.例如打靶问题中，如何计算弹落点与靶心的距离的分布.又例如已知飞机飞行时在横坐标上的飞行速度，以及飞行时在纵坐标的的飞行速度，那么如何确定此时该飞机在空中飞行的合速度呢？这些都是已知二维连续型随机变量中的联合分布或其概率密度函数，如何去求它们相互作用下的函数分布，本文将针对所给出函数的不同形式，运用不同的方法来解决上述问题.二、预备知识定义1：设是二维随机变量，对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量的联合分布函数.性质：是变量和的不减函数，即对于任意固定的，当时，；对于任意固定的，当时，.，对于任意固定的，对于任意固定的对于变元和均右连续：即；对于任意下述不等式成立定义2：对于二维随机变量的分布函数，存在非负函数使得对于任意有则称是二维连续型随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度或称为随机变量的联合概率密度，具有以下性质：非负性：规范性：设是平面上的区域，点落在内的概率为：若在点连续，则定义3：设二维连续型随机变量的联合分布函数为，概率密度为则有：关于的边际密度为：关于的边际密度为：三、解题方法下面将分别用分布函数法、换元法、变量变换法和增补变量法来依次解决相关的问题，对不同形式的函数采用不同的方法可以使解题更加简明、容易.1.分布函数法已知二维连续型随机变量的概率密度函数为则二维随机变量函数：的概率密度函数，可先求出的分布函数：通过对分布函数求导，即可得出概率密度例1：设随机变量相互独立，其分布函数分别为求随机变量的分布函数.解：由于相互独立，则的联合概率密度为：则由于所以当时当时当时因此分布函数，密度函数分别为：当二维连续型随机变量的函数为线性函数时，均可采用分布函数法，借助图形，利用公式计算出结果.但一般要根据函数曲线与所规定的线性区域的相关位置来分多种情况讨论积分的上下限，具有一定的难度.下面将利用另一种方法，简便积分限，求出二维连续型随机变量的和，差，积，商的函数分布.2.换元法以下假设：二元函数在任意点处可微且对和的偏导数均不为零.引理1：设二维连续型随机变量的概率密度为，若对任意实数，函数满足下述条件：关于存在唯一解；关于连续则随机变量，的函数的概率密度为引理2：设二维随机变量的概率密度为，若对任意实数，函数满足下述条件：关于存在唯一解；关于连续则随机变量，的函数的概率密度由引理1可以得出由引理1和引理2可以看出当随机变量的函数是对或单调时，可用一个变量来替换另一个变量，把二重积分化成只对或积分，因此整个积分过程变的简单，下面用此方法来求二维随机变量的和、差、积、商的函数分布：和的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为.差的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为.商的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为.积的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为：.上面是当随机变量的函数是严格单调时的情况，当函数不严格单调时，如何去求函数的分布密度函数，我们有以下定理：定理1：设二维连续型随机变量的密度函数为，若对任意实数，，若二元函数在不相叠的区域上关于或逐段单调可微，相对应反函数为且偏导数不为零，则为连续型随机变量，其分布密度为：例2：打靶问题中，弹落点是一个二维标准正态分布，所以有～，～，且相互独立，现求弹落点与靶心的距离的分布函数.解：当时可知不符合题意。
二维随机变量函数的分布
试求 U X Y , V XY 的分布律.
例2 设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们分别
服从参数为 1 和 2 的泊松分布.
二、二维连续型随机变量函数分布
随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数 f (x, y)
从公式
FZ (z) P{Z z} P{g(X ,Y ) z} P{(X ,Y ) Dz}
f (x, y)dxdy
( x, y)Dz
确定分布函数 FZ (z) 。
注：Dz 是由不等式 g(x, y) z 规定的 xOy 平面上的一个区域，且不必是连通的。
(1) Z X Y 的分布
y
x y z
x z y
y
x y z
yzx
x y z
x y z
x
x
(a)
(b)
图4-1 x y z 的区域
fX (x) fY ( y)
1
x2
e 2,
2
1
y2
e 2,
2
x y
(2) M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为 FX (x), FY ( y)，则 M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布函数分别为什么？
的分布律为：
P{Z zk}
pij
( xi , y j )Ak
其中 Ak {( xi , y j ) | g(xi , y j ) zk}, k 1,2,3,
例1 已知随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律如下：
Y X
1
2
-1
0
1
0.07 0.28 0.15 0.09 0.22 0.19
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
下面介绍2个常用二维连续型随机变量分布
下面介绍2个常用二维连续型随机变量分布常用的二维连续型随机变量分布有二维正态分布和二维均匀分布。
1. 二维正态分布（Bivariate Normal Distribution）是指两个随机变量同时服从正态分布的情况。
二维正态分布可以用于描述两个相互关联的连续随机变量之间的关系。
它的概率密度函数可以表示为：f(x,y) = (1 / (2πσ1σ2√(1-ρ^2))) * exp(-1 / (2(1-ρ^2))* ((x-μ1)/σ1)^2 + ((y-μ2)/σ2)^2 - 2ρ(x-μ1)(y-μ2)/(σ1σ2))其中，x和y是两个随机变量，μ1和μ2是两个随机变量的均值，σ1和σ2是两个随机变量的标准差，ρ是两个随机变量的相关系数。
二维正态分布的特点包括：-边缘分布：两个随机变量的边缘分布分别是正态分布。
-相关性：两个随机变量的相关性由相关系数ρ决定，当ρ=0时，两个随机变量独立；当ρ>0时，两个随机变量正相关；当ρ<0时，两个随机变量负相关。
-等高线：二维正态分布的等高线呈现椭圆形状，椭圆的形状和两个随机变量的相关系数ρ有关。
2. 二维均匀分布（Bivariate Uniform Distribution）是指两个随机变量在一个矩形区域上均匀分布的情况。
二维均匀分布可以用于描述两个随机变量在一个矩形区域上的概率分布。
它的概率密度函数可以表示为：f(x,y)=(1/(b-a)(d-c))，其中a≤x≤b，c≤y≤d其中，a、b、c、d是定义区域的边界。
二维均匀分布的特点包括：-边缘分布：两个随机变量的边缘分布分别是均匀分布。
-相互独立：两个随机变量在定义区域上相互独立。
-矩形形状：定义区域是一个矩形，概率密度函数在该矩形内的值是常数。
-概率均等：在定义区域内，任意子区域的概率均等于该子区域所占矩形的比例。
以上是关于二维正态分布和二维均匀分布的简要介绍。
这两个常用的二维连续型随机变量分布可以用于对实际问题中的两个随机变量进行建模和分析，从而帮助我们理解和解释变量之间的关系。
概率论与数理统计(第三版)第二章6二维连续性随机变量及其分布密度-文档资料
FY y
1 x arctan 2 2 1 y arctan 2 2
x ，
y ，
对任意的实数 x, y, 有F ( x, y) FX x FY y
2
所以，随机变量 X 的密度函数为
2 2 2 x x 0 x 1 f X x 3 0 其它
当 0 y 2 时，
2 1 1 1 x xy dx y fY y f x， y dx 3 3 6 0
二、
二维随机变量的分布函数
1、定义 设(X, Y)是二维随机变量, x , y R , 二元函数 F ( x, y ) P { ( X x ) (Y y ) }
P ( X x , Y y )
称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数， 也称为随机变量 X 与 Y 的联合分布.
x ，
FY y lim F x， y
x
lim
1 x y arctan arctan x 2 2 2 3 2
1 y arctan 2 2
y ，
αβｅ －（ αx ＋βy） ，x ≥0 、 y ≥0 f（ x， y） ＝ 其他 0， 则称 Ｒ．Ｖ．（X ，Y） 服从二维指数分布．
为考察随机变量 X ，Y的独立性，先求边缘分布密度．
x ， y
试求X 及Y 的边缘分布函数．
解： FX x lim F x， y
y
lim
1 x y arctan arctan y 2 2 2 3 2